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最新人教版初中初三九年级数学上册21.2.2_解一元二次方程-公式法

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人教版九年级数学(上)课件：21_2_2公式法

人教版九年级数学(上)课件：21_2_2公式法

x
2
1
2.
2
x1
1

2
2， x2
1
2.
2
导入新知
用配方法解一元二次方程的步骤
化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式.
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
p 2
p 2
2
x ＋px＋ ( 2 ) = －q＋ ( 2 )
2
（2）当 △ b 4ac 0 时，一元二次方程有两个相
等的实数根;
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.
2. 求出 ∆ 的值.
b b 2 4ac
3. (1)当 ∆ >0 时，代入求根公式 :x
2
b
b 2 4ac
x

.
2a
2a

x
b
b 2 4ac
.
2a
一元二次方程的求根公式
−b+ b2−4ac
−b− b2−4ac
x1 =
， x2 =
.
2a
2a
探究新知
公式法的概念
由上可知，一元二次方程
ax 2 bx c 0
（a 0）.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程
项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情
况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0

人教版数学九年级上册21.2.2公式法解一元二次方程 课件最新课件PPT

人教版数学九年级上册21.2.2公式法解一元二次方程 课件最新课件PPT

2 x2 1.5 3x
将方程化为一般形式
x2 3x 1.5 0.
a 1, b 3, c 1.5. b2 4ac 32 4 11.5 3 0.
x 3 3 3 3 ,
21
2
3 3 3 3 x1 2 , x2 2 .
3 x 22 x 1 0 4 4 x 2 3 x 2 0
2 x2 3x10
4
解： a 1, b 3, c 1 . 4
b2 4ac
3
2
4
1 4
4.
x 3 4 32,
21
2
x1
2 2
3 , x2
32. 2
3 3x2 6x20
解： a 3, b 6, c 2.
b2 4ac 62 4 3 2 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
b2 4ac 02 41 3 12.
x 0 12 2 3 ,
21
2
x1 x2 3.
6 x 2 x 4 5 8 x
解：化为一般式 2 x 2 4 x 5 0 . a 2,b 4, c 5.
b2 4ac 42 4 2 5 56.
x 4 2 14 4 2 14 ,
因为在实数范围内负数不能开方，所以方程无实数根．
归纳
（1）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 有实数根．
x1 b2 b a 24ac,x2 b2 b a 24ac;
（2）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 有实数根．
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 没有实数根．

九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版

九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版

合作探究
2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－x－＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2x＋10＝0.
解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；
2＋ 3
2－ 3
(2)x 1＝ 2 ，x 2＝ 2 ；
第二十一章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了 解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．
学前准备
用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0； 解：x1＝－2，x2＝－1； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：无解．
(3)没有实数根？
解：(1)m＜
1 4
Hale Waihona Puke ；(2)m＝；14
(3)m＞ .
1 4
合作探究
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋ mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1 ＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 根((，45))也由一可求般能根地有，公式式可子个知b12实，－根一4a或元c叫者二做次方方实程程没根a最x有．2多＋有bx＋c2个 ＝实数 0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2 －4ac.

人教版数学九年级上册 21.2.2一元二次方程的解法 ---公式法(共18张PPT)

人教版数学九年级上册 21.2.2一元二次方程的解法 ---公式法(共18张PPT)

3、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
4、写出方程的解：
x
、
1
x
2
例1 用公式法解下列方程： (1)2x2-x-1=0
(2)4x2-3x+2=0 (3) 2x222x10
注意: 用公式法解一元二次方程的前提是: 先化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
总结提高
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式,通常用△表示. 判别式定理
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 . 2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 .
3、已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0
有实数根，则k的取值范围是
(A )

A.k≤1
B.k≥1
C.k<1
D.k>1
已知 :关于
m x 2 (3 m 2 )x 2 m 2 0 (m 0 )
（1）将常数项移到方程的右边，得 ax2bxc .
（2）方程两边同除以a，得
x2 b x c
a
a
.
（3）方程两边同时加上__( _2b_a _) 2__，得
x2bx(b)2c(b)2. a 2a a 2a
左边写成完全平方式，右边通分，得
（4）开平方…
(x b )2 b2 4ac.
2a
4a2
(x b )2 b2 4ac.
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)

《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】

《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。

四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。

五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。

问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。

(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。

人教九上数学21.2.2公式法解一元二次方程教案

人教九上数学21.2.2公式法解一元二次方程教案
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-运用求根公式计算出一元二次方程的解，并理解其意义。
-根据判别式的值分析一元二次方程的根的情况（有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、没有实数根）。
举例解释：以方程3x^2 - 5x + 2 = 0为例，重点讲解如何识别a、b、c的值（a=3, b=-5, c=2），并引导学生通过求根公式计算出具体的解（x1,2 = (5±√(25-4*3*2))/(2*3)），强调这一过程是解决一元二次方程的关键。
在小组讨论环节，虽然大部分同学都能够积极参与，但仍有个别同学显得较为沉默。我想在之后的课堂中，更多地关注这些同学，鼓励他们发表自己的观点，提高他们的自信心和表达能力。
最后，从整体来看，学生们对于一元二次方程的求解方法和应用有了基本的了解。但在教学过程中，我也意识到需要不断调整和优化教学方法，以提高教学效果。例如，增加课堂互动，让学生更多地参与到课堂教学中来；加强对重点难点的讲解，确保学生真正理解并掌握这些知识点。
3.增强学生的数据分析能力，使其能够根据判别式的值分析一元二次方程的根的情况，进而对问题进行深入理解与解决。在教学过程中，关注学生对于公式的理解与应用，引导他们形成系统的数学思维和方法。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程。
-能够准确地将一元二次方程转换为标准形式，识别出a、b、c的值。

21.2.2公式法《用求根公式解一元二次方程》教案

-能够熟练运用求根公式解决具体的一元二次方程问题；
-通过实际例题，使学生体会求根公式在解决一元二次方程中的应用价值。
举例解释：求根公式是一元二次方程解决的核心工具，教学中应重点关注公式本身的记忆、理解和应用。例如，对于公式中的判别式Δ=b²-4ac，应强调其与根的关系，即Δ>0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ<0时无实数根。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了求根公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式本身及其推导过程这两个重点。对于难点部分，如判别式的计算和根的情况判断，我会通过具体的例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的问题，如土地分割、物体抛物线运动等。
2.实验操作：为了加深对求根公式的理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用图形计算器绘制一元二次方程的图像，观察不同判别式下根的情况。
3.能够运用求根公式解决实际问题；
4.通过求根公式的推导，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.理解并掌握一元二次方程求根公式，提高学生的数学运算能力；
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用素养；
3.通过对求根公式的推导和应用，培养学生的逻辑思维、抽象思维和推理能力；

21.2.2_一元二次方程的解法-公式法


特别提醒
即
b b 4ac x 2a 2a
2
b b2 4ac x 2a
一元二次方程的 求根公式
一般地，式子b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式， 通常用希腊字母Δ表示它，即 Δ＝b2－4ac
归纳：
2－4ac Δ ＝ b 由根的判别式________________的值可以直接去判断方程
2
解：原方程变形为：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b= - 2 3、 c= 3
2 b2 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2
即：
x1 x2 3
b b 4ac 2 x (a 0, b 4ac 0) 2a 例 3 解方程： x 21 3 x 6
根的个数情况，而不用求解方程： 有两个不相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程__________________________ ； 有两个相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程__________________________ ； 没有实数根 当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程__________________________ ．
2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
2
即
更多资源
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
2 当 4a 0 b 4ac 0 时 2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、

九年级数学人教版(上册)21.2.2《公式法》教学课件


1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
写出一元二次方程的根：
x1 = ______ ，x2 = ______ 。 (b)当∆=0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根：
x1 = x2 = ______ 。
b2 4ac 62 432 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
3 15 3 15
x1
3
, x2
. 3
4 4x2 6x 0
解： a 4,b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 40 36.
6
x
36 6 6 ,
24
8
3
x1
0,
x2
公式法
❖ 例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解a 1,b 4, c 7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
方程有两个不相等的实数根：
❖1.变形:化已知方 程为一般形式;
❖2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数;
x b b2 4ac 2a
4 44 4 2 11 .
2
c a
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
②
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b2 4ac 0时，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）有实数根．
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2

人教版九年级数学上册第21章 一元二次方程2 公式法

定的？
（ − 的值）
小组讨论
两人一组编题互判，首先根据根的判别式独立编制
出三个不同根的情况的一元二次方程，然后将所编
方程让同桌判断根的情况，并用公式法求解.
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点1：根的判别式（难点）
一般地，式子 − 叫方程a ＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式.
元一次方程）
自主探究
2.请同学们利用配方法解方程 ² + + = ≠ .
（原方程可变形为
所以 +


=±

+

=
−
,

−
,

− + −
− − −
=
, =
)


自主探究
3.请同学们思考以下问题：
2.回忆用配方法解方程的一般步骤.
(1)移常数项，二次项系数化为1；(2)配方， 两边都加上一次项系数
一半的平方；(3)写成(x+n)²=p(p≥0)的形式；(4)直接开平方法解方程.
对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），
能不能利用配方法求出它的解呢？应该怎样做呢？
请同学们任意选择一个方程求解：
洁美，产生热爱数学的情感.
旧知回顾
1.用配方法解下列方程：
(1)2x2-9x+8=0 ；
(2)3x2+2x+1=0.
(1)原方程可变形为 −


(2)原方程可变形为 +


=

,所以
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配方后可得
b b 4ac x 2a 4a
2 2 2
解得：
b b 4ac x 2a (b2-4ac≥0)
2
当b 4ac 0
2
一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的 一元二次方程的求根公式为：
2
时，方程有 实数根吗
b b 4ac x (b2-4ac≥0) 2a
（1）公式叫做一元二次方程的求根公式；
（2）利用求根公式解一元二次方程的方法 叫公式法；
例1 用公式法解下列方程：
(1)2x2-x-1=0 (2)x2+1.5=-3x (4)4x2-3x+2=0
1 3 x 2 x 0 2
2
注意: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1、先化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). 2、b2-4ac≥0.
九 年 级 数 学 第二十一章 第二节
用配方法解一元二次方程的步骤:
1、移项:把常数项移到方程的右边; 2、化二次项系数为1； 3、配方: 方程两边都加上一次项系数一半的 平方,将方程左边配成完全平方式 4、降次: 根据平方根意义,方程两边开平方;
怎样用配方法解形如一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程：
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0有两个相等 的实数根，则n= -1或4 . 3、用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.
解: a 1 , b 2 2 , c 2 b 4ac 8 8 0
2
2 2 0 2 2 0 x 2 2
x x 2.
1 2
(1)求根公式的概念及其推导过程; (2)公式法的概念;
(3)应用公式法解一元二次方程;
(4)根据b²-4ac的符号，判断方程根情况
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当b 2 4ac 0 时,方程无实数根; 当b 4ac 0时 ,一元二次方程才有实数 根 .
2
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
4、写出方程的解：
x1 = ？ ，x2 = ？
方程根的情况： 记作：判别式∆=b2-4ac
当 b 4ac 0 时，方程有两个不相等的实 数根；
2
2
当b 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b 4ac 0 时，方程没有实数根.
2
1、方程3x2 +1=2
x中， b2-4ac= 0 .