当前位置：文档之家 › 弹性力学—第四章—平面问题的极坐标解答

弹性力学—第四章—平面问题的极坐标解答

  • 格式：ppt
  • 大小：3.58 MB
  • 文档页数：82

下载文档原格式

  / 82

合集下载

弹性力学有限元第四章 平面问题的的极坐标解答

弹性力学有限元第四章 平面问题的的极坐标解答
2 2 整理后得： r x cos j y sin j 2 xy sin j cosj
Fj 0
பைடு நூலகம்
r j ( y x ) sin j cosj xy (cos2 j sin 2 j)
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
根据上式，得到拉普拉斯算子：
2Φ 2Φ 2Φ 1 Φ 1 2Φ 2 2 2 2 x y r r r r j 2
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
坐标变换式
O
(5) 应力的变换
1已知x,y,xy,求r,j,rj。
切应变： g rj
y
B C B'
b
1 u r b r j
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-2 极坐标中的几何方程和物理方程
极坐标中的几何方程
O
(1) 只有环向位移ur的情况 径向PAP”A” 环向PBP”B”
j r P dr A dj
P" B uj
x
径向PA的正应变 er 0
坐标变换式
O x
(5) 应力的变换
采用与前面类似的方法：
j
yx
y x
Fj 0
y
j
单位厚度
jr
xy
j x sin 2 j y cos2 j 2 xy sin j cosj
2已知r,j,rj,求x,y,xy。 采用相似的方法，直接给出结果：
x r cos2 j j sin 2 j 2 rj sin j cosj y r sin 2 j j cos2 j 2 rj sin j cosj xy ( r j ) sin j cosj rj (cos2 j sin 2 j )

弹性力学第四章平面问题的极坐标解答

弹性力学第四章平面问题的极坐标解答

圆环或圆筒受均布压力（1）
q2 q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1
两个方程三个未知数，不能求解A，B，
C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
பைடு நூலகம்q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
小孔口问题的特点：
1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。
2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。
注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
o
x 在仅有径向位移的情况下，段
P P’ A
PA没有转动，因此：
A’
B
C
y
B’
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
x
很小，导致P’’A’’与PA
P P’’
的差别可以忽略，因此：
A
B B’’
D
D’
A’’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
x
P
P’’
A
B B’’
D
D’
A’’
阶，因此假定：
半面体在边界上受集中力（2）
F
ao
c
ρ
代入极坐标中的相容方程：
b
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入：
F
ao

弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解

弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解

第四章 平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。

如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。

例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得max min ,q q σσ==-。

最大正应力 所在截面的方位角为max 0max 0tan 104yqq τασσπα=-=-=-→--=-qqx若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。

这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。

（2）取极坐标系如图。

由2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=--+⎪⎪⎭得矩形薄板ABCD 内的应力分量为()()()2222442222cos 2(1)(13)cos 2(13)sin 2(1)(13)ρφρφa a σq φa ρρa σq φb ρa a τq φc ρρ=--=-+=--+ 其中 为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在 处得到44cos 2(13)4cos 2,φa σq φaϕ=-+=-当 ， 时，孔边最小正应力为，当时，孔边最大正应力为。

分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。

也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。

习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。

【解】 （1）极坐标，直角坐标中的平衡微分方程10210f f ρρϕρϕρρϕϕρϕϕστσσρρϕρτστρρϕρ∂∂-⎧+++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 00yxx x y xy yf xy f y x τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂⎪++=⎪∂∂⎩将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较，第一式中，前两项与直角坐标相似；而项是由于正 面上的面积大于负 面上的面积而产生的，是由于正负 面上的正应力 在通过微分体中心的 方向有投影而引起的。

弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答

弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答

s = sσ
(3) 多连体中的位移单值条件
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·问题的提出
工程中有些问题, 用极坐标计算方便, 但应力分量用直角坐 标表述更直观. 反之也存在.
由此需要对应力分量进行坐标变换.
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
y
fρ τ + ∂τρυdρ ρυ ∂ρ ∂συ dυ συ+ ∂σρ ∂υ σρ+ dρ ∂τυρ C ∂ρ dυ τυρ+ ∂υ
B
fυ
§ 4-1 极坐标中的平衡微分方程
·平衡微分方程
x
υ dυ ρ
Σ Fρ = 0 :
συ
A
σρ τρυ P τυρ
∂σρ σρ+ dρ (ρ+dρ)dυ - σρ ρdυ ∂ρ ∂συ dυ - συ+ dυ dρ sin ∂υ 2 + τυρ+ - συ dρ sin
Σ Fυ = 0 :
συ = ?
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
συ = ?
将两坐标系下微元体组合
τyx σy σx συ
τυρ τxy
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
O x
υ
τyx
σy σx
συ y
τυρ τxy
Σ Fυ = 0 :
O h/2 h/2 lqx源自(v)x=0, l = 0
应力边界条件： ( σy ) y=-h/2 = - q (τyx ) y=-h/2 = 0 ( σy ) y= h/2 = 0 (τyx ) y= h/2 = 0

弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答

弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答
两 面面积不等，分别为 ρd φ ， ρ d ρ d φ 。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。
微分体上的作用力有：
体力-- f ρ , fφ ， 以坐标正向为正。 应力-- ρ面， φ面分别表示应力及其 增量。
应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反 之为负 。
平衡条件：
(b)
u u sin v cos。
导数的变换：
将对 x, y 的导数，变换为对 , 的导数：
F (x, y) 可看成是 F (, )，而 , 又是 x, y
的函数，即 F 是通过中间变量 , 为 x, y
的复合函数。
有: F
Φ Φ ρ Φ φ , x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
d
2
f ρ ρddρ
0
上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得
1
f
0。
(a)
式( a )中 1、2、4 项与直角坐标的方向相似; 而
σρ
ρ -- 是由于 面ρ面积大于 面的ρ面
积而引起的，
σφ ρ
-- 是由于 面上的
在C点的
向有 投影。
Fφ 0 --通过形心C的 φ向合力为0，
故物理方程形式相似。
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，
只须作如下同样变换，
E
1
E
2
,
。 1
泰勒展开
Exercise : Chap 4
Today: 4-1， 4-2 End of Lecture 9
边界条件

弹性力学简明教程-第四章_平面问题的极坐标解答习题详解

弹性力学简明教程-第四章_平面问题的极坐标解答习题详解

第四章 平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。

如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。

例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角α0max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得max min ,q q σσ==-。

最大正应力σmax 所在截面的方位角为α0max 0max 0tan 104yqq τασσπα=-=-=-→--=-qqx若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成π4方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。

这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。

（2）取极坐标系如图。

由2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=--+⎪⎪⎭得矩形薄板ABCD 内的应力分量为()()()2222442222cos 2(1)(13)cos 2(13)sin 2(1)(13)ρφρφa a σq φa ρρa σq φb ρa a τq φc ρρ=--=-+=--+ 其中α为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在ρ=α处得到44cos 2(13)4cos 2,φa σq φaϕ=-+=-当φ=0，π时，孔边最小正应力为(σφ)min=−4q ，当φ=±π2时，孔边最大正应力为(σφ)max=4q 。

分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。

也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。

习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。

弹性力学-平面问题的极坐标解答

弹性力学-平面问题的极坐标解答

l r
s
m
s
k
ur , u 为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
（位移单值条件）
r
r
r
0
r l
q0
r 0 0
0 r 0
r ra 0 r ra 0
r rb 0 r rb 0
b
a 0 dr 0
b
a r 0 dr 0
b
a 0 rdr M
d
r
P
ur
B
B
ur d
x
dr ur
A
P
A
1
(r ur )d
ur r
dr
径向线段PA的转角： 1 0
线段PB的相对伸长： 1
（b）
PB PB (r ur )d rd
PB
rd
ur （c） r
环向线段PB的转角：
tan 1 1
BB PP PB
(ur
ur
d )
ur
rd
1 ur
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
极坐标下的相容方程为：
22
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
0
4
22
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
说明： 方程（4－6）为常体力情形的相容方程。
（4－6）
结论： 弹性力学极坐标求解归结为
（1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 (r, )

弹性力学第四章 用极坐标解平面问题

弹性力学第四章 用极坐标解平面问题

第四章 用极坐标解平面问题4.1.极坐标中的平衡微分方程工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的结构物。

在这些情况下，用直角坐标描述边界条件会变得相当复杂，由于极坐标使得结构的边界与坐标线一致，因而使边界条件的描述更加简单，使问题更易于求解。

首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。

用夹角为ϕd 的两条极径和两条半径相差为ρd 的同心圆弧截取一个微元体（图4.1）。

圆弧截面称为ρ面。

面的法向沿径向而且指向ρ增加方向，这一圆弧面称为正ρ面，反之称为负ρ面。

极径截面称为ϕ面。

面的法向沿环向而且指向ϕ增加方向，这一极径截面称为正ϕ面。

反之称为负ϕ面。

ρ面上的正应力用ρσ表示，剪应力用ρϕτ表示。

ϕ面上的正应力用ϕσ表示，剪应力用ϕρτ表示。

用ρf 表示体积力在径向的分量,用ϕf 表示体积力在环向的分量。

应力的符号规定与直角坐标下的规定完全相同：正面上指向正向（坐标增加的方向）的应力为正值应力，负面上指向负向（坐标减小的方向）的应力亦为正值应力，反之，为负值的应力。

体积力符号规定也与直角坐标下的规定相同，指向坐标轴正向（坐标增加的方向）的体积力为正值，反之，为负值。

直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。

从理论上说，我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的基本方程导出极坐标下的相应方程。

但是，为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解，我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平衡导出极坐标下的平衡微分方程。

我们取一个微分单元体研究，各个面上的应力分量和体积力如图4.2所示。

负ρ面上的正应力为ρσ，剪应力为ρϕτ；正ρ面的坐标比负ρ面增加了ρd ，所以正ρ面的应力和负ρ面相比，应力产生了一个增量，分别为ρρσσρρd ∂∂+和ρρττρϕρϕd ∂∂+。

负ϕ面上的正应力为ϕσ，剪应力为ϕρτ；正ϕ面的坐标比负ϕ面增加了ϕd ，所以正ϕ面的应力和负ϕ面相比，应力产生了一个增量，分别为ϕϕσσϕϕd ∂∂+和ϕϕττϕρϕρd ∂∂+。

弹性力学简明教程 第4章 平面问题的极坐标解答

弹性力学简明教程 第4章 平面问题的极坐标解答

2
u
u
§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
所以，几何方程为：
1 2 1 2
1 2
u
u
1
u
u
1
u
u
（4－2）
§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
由于极坐标和直角坐标都是正交坐标系，因此，极坐 标和直角坐标的物理方程应该有相同的形式。 极坐标下的物理方程： 直角坐标下的物理方程：
第四章 平面问题的极坐标解答
4-1 极坐标下的平衡微分方程 4-2 极坐标下的几何方程及物理方程 4-3 极坐标下的应力函数与相容方程 4-4 应力分量的坐标变换式 4-5 轴对称应力和相应的位移 4-6 圆环或圆筒受均布压力 4-7 压力隧洞 4-8 圆孔的孔口应力集中 4-9 半平面体在边界上受集中力 4-10 半平面体在边界上受集中力
第四章 平面问题的极坐标解答
研究对象： 圆形、扇形、楔形体等物体
研究内容： 极坐标下平面问题的基本方程 应力法的基本方程
研究问题： 轴对称问题 圆环或圆筒受均布压力 应力集中 半平面体的受力问题
§4－1 极坐标中的平衡微分方程
一、极坐标下各分量的表示方法
1.应力分量
f
－ 径向正应力
f
－ 环向正应力
)
1 2
E
(
1
)
1 2
E
(
1
) （4－4）
2(1 E
)
平面应力问题
平面应变问题
E E
1 2
1
总结 极坐标下的基本方程
平衡方程
1
f
0
1
2
f
0
几何方程
u

弹性力学 第4章_平面问题的极坐标解答

弹性力学 第4章_平面问题的极坐标解答


0，
略去三阶微量，保留到二阶微量，得
1 2
f 0。
目录
(b)
14
§4.1 极坐标中的平衡微分方程
式(b)中1、2、4项与直角坐标的方程相 似，而
τ ρυ

τ υρ ρ
--是由于 ρ面的面积大于 ρ 面引起的， --是由于 面上的切应力 τ υρ 在C点
而
cos , x
sin , x
sin ; y
cos 。 y
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ sin Φ sinυ Φ cosυ (cosυ )Φ ， x ρ ρ υ ρ ρ υ
Φ cos Φ cosυ Φ sinυ (sinυ )Φ。 y ρ ρ υ ρ ρ υ
(e)
34
§4.3 极坐标中的应力函数及相容方程
二阶导数的变换公式，可以从式(e) 导 出。例如
2 Φ ( Φ ) x x x 2 sinυ )(cos Φ sinυ Φ ). (cosυ υ ρ ρ υ ρ ρ υ
展开即得：
35
§4.3 极坐标中的应力函数及相容方程
Φ ( x, y ) 可看成是 Φ Φ(ρ,υ) ，而 ρ,υ 又
是 x, y的函数，即 Φ 是通过中间变量 ρ,υ， 为 x, y 的复合函数。 有:
Φ Φ ρ Φ υ , x ρ x υ x
Φ Φ ρ Φ υ. y ρ y υ y
33
§4.3 极坐标中的应力函数及相容方程
(3) 应用应力变换公式（下节）
σ ρ σ x cos 2 υ σ y sin 2 υ 2τ xy cosυsin υ Φ cos υ Φ sin υ 2 Φ cosυsin υ. 2 2 xy y x

弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答(2)

弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答(2)

1. 分析： 与以前相比较，相当于两个轴对称问题：
(a) 受内外压力作用的厚壁圆筒； (b) 仅受内压作用的无限大弹性体。
确定外压 p 的两个条件：
u 径向变形连续： r rb ur rb
径向应力连续： r rb
r rb
2. 求解
E,
E, E,
E,
2. 求解
(1) 圆筒的应力与边界条件
)
A r
2(1 )Br (ln r 1) (1 3)Br
2(1 )Cr I cos K sin
u
4Br
E
Hr I sin
位移多值项
K cos
要使单值，须有：B = 0 ，由式（b）得
a2b2 A b2 a2 (qb qa ),
2C
(qa a 2 b2
qbb2 ) a2
将其代回应力分量式（4-12），有：
r
1 1
a2
r2 a2
b2
qb ( 0)
（压应力）
1 1
a2
r2 a2
qb ( 0)
b2（压应力）
（3）若：b (qa 0 , qb 0)
—— 具有圆形孔道的无限大弹性体。
r
a2 r2
qa
a2 r2
qa
边缘处的应力：
r
r qa
r
qa
2. 压力隧洞
问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作 用，求圆筒的应力。
§4-6 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞
1. 圆环或圆筒受均布压力
已知： qa , qb , a, b 求：应力分布。
确定应力分量的表达式：
r
A r2
B(1

弹性力学 第4章 1-5 极坐标解答

弹性力学 第4章 1-5 极坐标解答

(4 12)
u H
若适当给定约束条件，无刚体位移
u | 0 , u | / 2 0 F K I 0
A 1 C u (1 ) (1 ) E E u 0
R2
•五. 特例
1.只受内压
R ( )2 1

2
1 qr
A ln B 2 ln C 2 D (4 10)
2.应力分量的通解

A

2
B(1 2 ln ) 2C B(3 2 ln ) 2C (4 11)
0
A

2
3.位移分量的通解
I cos K sin
§4.5 轴对称应力和对应的位移
构件的几何形状，受力都关于通过Z轴对称。则为 轴对称应力问题，应力分量和应力函数均与无关。
( )
( )
( )
1.应力分量（不计体力，与无关）
1 d d d 2 2 d
0
2.相容方程：（采用应力函数，不计体力）
d2 d 2 ( 2 ) d d d2 d 2 ( 2 ) 0 d d
3.这是一个常微分方程，可以求得通解为：
A ln B 2 ln C 2 D
(4 10)
轴对称应力问题的求解
1.应力函数的通解：
(4)针孔问题（应力集中） 受外压qb内径a0时：
| r
2 q 2q2 r 2 2 1 ( ) R
孔虽然很小，但孔边应力却提高了近2倍， 这就是应力集中现象。如果外力为拉力， 则此处为2倍的拉力实际问题中,孔边发 生开裂，就是这个原因。

弹性力学平面问题极坐标解法

弹性力学平面问题极坐标解法
2
sin θ cosθ ∂ 2 − r2 ∂θ 2
极坐标下的应力函数和相容方程（ 极坐标下的应力函数和相容方程（3）
∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + 2 = 2 + + 2 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂x ∂y ∂r
应力函数的相容方程
∂2 ∂2 2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 2 ∇ 2ϕ = ( 2 + 2 ) ϕ = ( 2 + + 2 ) ϕ =0 2 ∂x ∂y ∂r r ∂r r ∂θ
极坐标系是正交曲线坐标系 极坐标系是正交曲线坐标系 正交
r坐标曲线：坐标θ为常数的曲线（过原点和空间点的直线） 坐标曲线：坐标 为常数的曲线 过原点和空间点的直线） 为常数的曲线（ 坐标曲线 θ坐标曲线：坐标 为常数的曲线（过空间点的圆弧） 坐标曲线： 为常数的曲线（ 坐标曲线 坐标r为常数的曲线 过空间点的圆弧） 由坐标确定的空间点， 由坐标确定的空间点，既是两条坐标曲线的交点 过一个空间点的两条坐标曲线都是唯一的，且相互正交。 过一个空间点的两条坐标曲线都是唯一的，且相互正交。其 切线构成局部正交坐标标架
极坐标和直角坐标的坐标变换
∂r 2 x = = cos θ ∂x 2r ∂r 2 y = = sin θ ∂y 2r ∂θ 1 −y y sin θ = ⋅ 2 =− 2 =− 2 y x ∂x r r 1+ 2 x 1 1 x cos θ ∂θ = ⋅ 2 = 2 = 2 y x ∂y r r 1+ 2 x
ε
(1) r
P′A′ − PA AA′ − PP′ = = PA PA ∂u (u r + r d r ) − u r ∂ur ∂r = = dr dr ∂r
ε θ(1) =

弹性力学简明教程(第四版)第四章课后习题答案

弹性力学简明教程(第四版)第四章课后习题答案

qr 1 2 E

2rR R2 r 2
圆环厚度的改变为
qr 1 2 R r u R ur E R r 1
。
4-15：设有一刚体，具有半径为 R 的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为 R 而内 半径为 r 的圆筒，圆筒受内压力为 q，试求圆筒的应为。 解：本题为轴对称问题，故环向位移 件，有 （1）应力分量 引用轴对称应力解答，教材中式(4-11)。 A 2 B(1 2 ln ) 2C ，另外还要考虑位移的单值条
u 1 A [ (1 ) 2 B (1 ) (ln 1) B (1 3 ) 2C (1 ) ] I cos K sin , E 4 B 4 B u f ( ) d f1 ( ) H I sin K cos E E
qr 2 R2 u (1 1 ) (1 1 ) E 2 2 1 2 R r qr 2 1 2 2 2 (1 1 ) (1 1 ) R 2 2 E R r (1 q

1 1 2 E R 1 2 2 1 r
) 2 (1

)R2
此时内径改变为
(1 ur q


qr 1 2 (1 ) r 2 (1 ) R 2 E
1 1 2 Er R 1 2 2 1 r


r r
0, q,


R
0;
R

弹性力学 第四章

弹性力学 第四章

(τ ρϕ ) ρ =R = 0 (σ ρ ) ρ = R = −q2
上面的两个边界条件是自然满足的。 上面的两个边界条件是自然满足的。 下面的两个边界条件只能确定两个常数。 下面的两个边界条件只能确定两个常数。 由多连体的位移单值条件，可以确定 。（P63) 由多连体的位移单值条件，可以确定B=0。（ 。（ 于是由下面的两个边界条件得： 于是由下面的两个边界条件得：
γ ρϕ
仅有切向位移时： 仅有切向位移时：
ερ = 0
α=
∂uϕ ∂ϕ
1 ∂uϕ εϕ = ρ ∂ϕ
β =−
∂uϕ ∂ρ
uϕ
ρ
uρ
γ ρϕ = α + β =
于是
−
ρ
ερ =
∂u ρ ∂ρ
1 ∂uϕ εϕ = + ρ ρ ∂ϕ uρ
γ ρϕ
1 ∂u ρ ∂uϕ u ρ − = + ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
σρ =
ρ
1+
q
r2
1−
r R2
σϕ =
ρ2
2
R远大于 ，得 远大于r， 远大于
σ ρ = (1 −
r2
r 1− 2 R
q
ρ
2
)q
σ ϕ = (1 +
r2
ρ
2
)q
τ ρϕ = τ ϕρ = 0
应力分量： 应力分量：
σx = q
σ y = −q
τ xy = 0
外环边界条件： 外环边界条件：
(σ ρ ) ρ = R = q cos 2 ϕ − q sin 2 ϕ = q cos 2ϕ
A
ρ
2
+ B(1 + 2 ln ρ ) + 2C + B(3 + 2 ln ρ ) + 2C

第四章平面问题的极坐标解答课件

第四章平面问题的极坐标解答课件
圆筒内半径为a，外半径为b，受内压q作用，外 边界固定。
这是一个混合边值问题。
边界条件：
解:
图4-8
显然，
已自然满足
将（4-13）第一式和（4-14）第一式分别代入其 余两式，并注意到在平面应变问题中
由此可解得：
应力分量：
位移分量：
3 . 弹性接触问题
设一圆筒，其内径为a，外径为b，埋在无限大弹 性体中，内部受均压q，求应力分量.
由应力分布的上述特点，可假设应力函数形式为：
相容方程：
展开上式得：
这是一个变系数欧拉方程，其通解为
式中，A、B、C、D是待定系数。将代入式 （4-8），得应力分量：
位移分量：
将（4-9）式代入本构方程（4-3）得应变分量为
几何方程：
积分可得位移分量：
（2）
将（4-10）的第2式及（2）式代入几何方程 的第二式：
同样两个径向平面由于位置差d，其上正应力和 剪应力的元体上所受的力向 微元体中心的径向方向投影，得径向平衡方程：
将微元体上的作用力向中心的切向方向投影，得切 向平衡方程：
将式（4）和（5）代入上式，得
（8）
由（4-14）的第1式，并注意到（7）式，圆筒和 无限大弹性体的径向位移为
代入连续条件，经整理得
（9）
由方程（6）（8）（9）可求出A、C、A，
圆筒及无限大弹性体的应力分量和位移分量：
无限大弹性体：
式中
当 时，应力分布大致如图4-9所示。
这个问题是一个最简单的弹性接触问题。在接触 问题中，通常都假定各弹性体在接触面上保持“完 全接触”，即，既不互相脱离也不互相滑动。
积分得：

平面问题极坐标解答

平面问题极坐标解答

Fx 0
0
a cos
sin ad 0
a
Fy 0
0
a sin
cos ad 0
a
MO 0
0
a ad
a
M
0
a
4.3 stress function and compatibility equation in polar coordinates
τxy=u/y+v/x中的一般规律
• 由τxy=u/y+v/x，总结出一般规律，即设有 两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如 u）对另一个坐标方向（y）求导为该坐标方向 （y）线段的转角。
1. u/y--x方向的位移 u 对y坐标求导为y方向线 段的转角。
2. v/x--y方向的位移 v 对x坐标求导为x方向线 段的转角。
几何学和物理学三个方面来考虑。
直角坐标不
大方便
弹性力学 第四章
2
Polar coordinates 极坐标
• The position of a point P in polar coordinates is defined
by the radial coordinate ρand the angular coordinate φ.
极坐标中的应力函数及相容方程
1. 极坐标下的应力分量与相容方程
方法1：（步骤）
（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：
1
2 2
1
2
1
2 ( )
（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：
2
2
1
1
2
2
(
)
0
（常体力情形）
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1. 应力与体力的正负号规定相同。 2. 切应力互等。
极坐标中的平衡方程（1）
o x
y
极坐标中的平衡方程（2）
o x
y
极坐标中的几何方程（1）
— 假定只有径向位移
o
P P’ A A’ B
x
C
y
B’
极坐标中的几何方程（2）
— 假定只有环向位移
o
P P’’ B B’’ A’’ A
x
y
极坐标中的几何方程（3）
小孔口问题小结（2）
如有任意形状的薄板，受有任意面力，而在距边 界较远处有一小圆孔，那么只要有了无孔时的应 力解答，也就可以计算孔边的应力，其过程如下： 1.求出无孔时相应于圆孔中心的应力分量， 2.由平面中一点的应力状态，求得两个主应力的 方向和大小。 3.将两个主应力认为是在两个方向上的均布载荷， 则根据上面的叠加法可求得孔边应力。
(q1-q2)/2 (q1-q2)/2
A
(q1+q2)/2
（q1-q2）/2
圆孔孔口应力集中（12）
— 载荷的组合
左右两边受拉力，上下两边不 受拉力的薄板，可认为是以下 两种载荷的组合。
q
q
q/2 q/2
q/2
q/2
q/2
A
q/2
q/2
q/2
圆孔孔口应力集中（13）
— 载荷的组合
q/2 q/2 q/2
圆环或圆筒受均布压力（1）
q2
q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1 两个方程三个未知数，不能求解A，B， C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
简化相容方程：
轴对称应力状态下的应力（2）
轴对称问题的拉普拉斯算子可以写成：
代入相容方程：
得到：
轴对称应力状态下的应力（3）
积分四次 得到应力 函数：
轴对称应力状态下的应力（4）
轴对称问题的应力分量函数：
轴对称应力状态下的位移（1）
由物理方程可由应力分量得到应变分量：
轴对称应力状态下的位移（2）
平面应变状态下轴对称问题的径向位移解答：
0
压力隧洞（5）
径向位移解答：
4. 接触面：
n
压力隧洞（6）
应力分量的最终解答：
小结：该问题是最简单的接触问题，属于完全接触问题。在接触面上， 两弹性体的正应力与切应力相等，法向与切向位移也相等。 光滑接触属于非完全接触，在接触面上，两弹性体的正应力与法向位移 相等，而切向位移不相等。此外，还有摩擦滑移接触，在法向上，正应 力及位移相等，在切向上，则达到极限滑移状态而产生移动，此时两弹 性体的切应力都等于极限摩擦力。
应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立 两者之间的关系。 o x B A y 由B中环向上的力平衡，得到：
应力分量的坐标变换式（5）
整理结果如下：
轴对称应力状态下的应力（1）
所谓轴对称，是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称 的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。因此，轴对称 应力状态下的应力分量只与径向坐标有关而与环向坐标 无关，而应力函数只是径向坐标的函数，即：
— 纯径向位移下的线应变
o
P P’ A
x
A’
B C B’
y
很小，导致P’C与P’B’ 的差别可以忽略，因此：
极坐标中的几何方程（4）
— 纯径向位移下的切应变
o
P P’ A
x
A’
在仅有径向位移的情况下，段 PA没有转动，因此：
B C B’
y
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
P P’’ B B’’ A’’ A
对于平面应变问题：
换为 换为
极坐标中的应力函数与相容方程（1）
为了简化推导，可以将直角坐标的公式直接变换到极坐 标中来，为此，我们需要如下关系式：
极坐标中的应力函数与相容方程（2）
建立直角坐标中的应力函数与极坐标中应力函数的关系：
极坐标中的应力函数与相容方程（3）
证明以上应力分量满足平衡方程。
q
无限大弹性体可看成是内 径为R而外径为无限大的圆 筒。
压力隧洞（2）
轴对称问题环向位移的一般解答： 圆筒 无限大弹性体
圆筒
无限大弹性体
压力隧洞（3）
由应力边界条件得：
1. 圆筒内壁： 2. 无限大弹性体离 圆筒无限远处： 3. 接触面：
压力隧洞（4）
由位移边界条件得： 4. 接触面： 平面应力状态下轴对称问题的径向位移解答：
o
b
B
半面体在边界上受分布力（3）
对于均布载荷q：
o
c
半面体在边界上受垂直集中力（6）
F a ρ bo源自c半面体在边界上受垂直集中力（7）
F
注：常数I不能确定，因为它 代表了半面体在铅直方向上的 刚体位移。如果在铅直方向上 有约束，则可以确定I值。
a ρ
o
c
b
半面体在边界上受垂直集中力（8）
F
ρ
B
M点的沉陷： M点相对B点的沉陷：
M s
o
本 节 中 的 解 答 被 称 为 符 拉 芒 （ Alfred-Aimé （1839～1914-1918），法国）解答。
由几何方程可由应变分量得到位移分量：
轴对称应力状态下的位移（3）
轴对称应力状态下的位移（4）
将以上得到的环向径向位移代入切应变的几何方程：
得到：
轴对称应力状态下的位移（4）
分离变量以便求得未知函数的形式：
轴对称应力状态下的位移（5）
轴对称应力状态下的位移（6）
代入
得到
轴对称问题小结
以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一般表 达式，适用任何轴对称应力问题。其中，待定系数将由应 力边界条件，位移边界条件和位移单值条件确定。若位移 边界条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的。
应力分量的坐标变换式（2）
应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立 两者之间的关系。 o x B A y 简化后得到：
应力分量的坐标变换式（3）
应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立 两者之间的关系。 o x B A y 由A中环向上的力平衡，得到：
应力分量的坐标变换式（4）
半面体在边界上受集中力（1）
设有半面体受集中力，如右 图所示。其中F为单位厚度 上所受的力，量纲为MT2。
F a ρ b
o
c
用半逆解法求解：由于应力分量是 , ,ρ,F 的函数，而应力分量的量纲为L-1MT-2， F的量纲为MT-2 ，角度的量纲为一，因此各应力 分量只能取 FNρ-1的形式，其中N为量纲一的量。 又因为应力函数中 ρ 的幂次比应力分量高两阶， 因此假定：
边界条件：在o点之外的ac面上，没有任何的法向 或者切向的面力，因此，上式中的后两个方程完 全满足边界条件。
半面体在边界上受集中力（6）
a ρ
o
F c
在o点附近切出一部分脱离体 oabc，运用圣维南原理：
b
半面体在边界上受集中力（7）
a ρ
o
F c
b
半面体在边界上受垂直集中力（1）
a ρ b
o
A
q
x
q
在虚线圆上：
圆孔孔口应力集中（3）
— 四边受拉力
q q x y q
A
q
q
0
-q
圆孔孔口应力集中（4）
— 四边受拉力
q
0
-q
R远大于r,则r/R=0 矩形薄板在离开边界较远处有圆孔，在四边受均布拉 力的引力分量函数：
圆孔孔口应力集中（5）
— 左右两边受拉力，上下两边受压力
q
由极坐标与直角坐标应力分量的转 换公式：
半面体在边界上受集中力（2）
F a ρ 代入极坐标中的相容方程： b
o
c
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入： a ρ b
o
F c
x
y
应力函数中的常数以及关于坐标的一次项 略去后不影响应力分量的计算。
半面体在边界上受集中力（4）
F a ρ b
o
c
半面体在边界上受集中力（5）
a ρ b
o
F c
Flamant
半面体在边界上受分布力（1）
半面体在边界上受分布力作用时 的应力和沉陷是由上节中半面体 在边界上受集中力作用时的应力 和沉陷的叠加而得到的。 y A x a
o
b
B
M 取距离o点 的微小长度 做研究， y 其微小集中力 在M点引起的应力为： x
半面体在边界上受分布力（2）
y A x M a y x
F c
当F垂直于直线边界时：
半面体在边界上受垂直集中力（2）
F a ρ b
o
c
将上式中的三角函数用直角坐标表示就可以得到直角坐标 下的该问题的应力分量函数。
半面体在边界上受垂直集中力（3）
F a ρ b
o
c
半面体在边界上受垂直集中力（4）
F a ρ b
o
c
半面体在边界上受垂直集中力（5）
F a ρ b
q y q
A
x
q
外边界上的边界条件
内边界上的边界条件
圆孔孔口应力集中（6）
— 左右两边受拉力，上下两边受压力
q
q y q
A
x
q
不能将边界条件代入上式，因为上式仅适用于轴 对称应力状态下的应力分量，而本问题不是轴对 称应力状态（如径向正应力是环向坐标的函数）。