人教版八上数学之整式的乘除与因式分解 全章复习与巩固(基础)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）．A ．()()22422m n m n m n -=+-B ．()()2111m m m +-=-C ．()23434m m m m --=--D ．()224529m m m --=-- 2．下列计算正确的是( )．A.325a a a +=B.()23624a a -=C.()222a b a b +=+D. 623a a a ÷= 3.若252++kx x 是完全平方式，则k 的值是（ ）A . —10 B. 10 C. 5 D.10或—104. 将2m ()2a -＋()2m a -分解因式，正确的是（ ）A ．()2a -()2m m - B ．()()21m a m -+ C ．()()21m a m -- D ．()()21m a m --5. 下列计算正确的是（ ）A. 23323bx y xy x -÷=-B. ()()2223xyx y y -÷-=- C.()()33223322x y xy x y -÷-=- D. ()()32224a b a b a --÷-=6. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.27. 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是（） A ．2)5(b a - B ．2)5(b a + C ．)23)(23(b a b a +- D ．2)25(b a -8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）①22a b --； ②2224x y -； ③224x y -； ④()()22m n ---； ⑤22144121a b -+； ⑥22122m n -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二.填空题9．化简()2m n a a ⋅＝______． 10．如果229x mx -+是一个完全平方式，那么m ＝______．11．若221x y -=，化简()()20122012x y x y +-＝________． 12. 若2330x x +-=，32266x x x +-＝__________.13.把()()2011201222-+-分解因式后是___________.14.()()()()241111x x x x -++-+的值是________． 15. 当10x =，9y =时，代数式22x y -的值是________.16.下列运算中，结果正确的是___________①422a a a =+，②523)(a a =， ③2a a a =⋅，④()()33x y y x -=-，⑤()x a b x a b --=-+，⑥()x a b x b a +-=--，⑦()22x x -=-，⑧ ()()33x x -=--，⑨ ()()22x y y x -=-三.解答题17.分解因式：（1）234()12()x x y x y ---；（2）2292416a ab b -+；（3）21840ma ma m --.18. 解不等式()()()22232336x x x x +-+->+，并求出符合条件的最小整数解． 19．已知：x y a +=，xy b =，试用a b ，表示下列各式：（1）22x y +；(2)()2x y -；(3)22x y xy +． 20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价10％，再降价10％；(2)先降价10％，再提价10％；(3)先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？为什么？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.2. 【答案】B ；3. 【答案】D ；【解析】()2221055x x x ±+=± 4. 【答案】C ；【解析】2m ()2a -＋()2m a -＝2m ()2a -()2m a --＝()()21m a m --．5. 【答案】B ；【解析】233122bx y xy bx -÷=-；()()33223328x y xy x y -÷-=； ()()3222a b a b a --÷-=-.6. 【答案】D ；【解析】2(3)(5)28x x x x -+=+-.7. 【答案】A【解析】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-＝()()()22325a b a b a b -++=-⎡⎤⎣⎦.8. 【答案】D ；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.二.填空题9. 【答案】()22m n m n a a a +⋅=.10.【答案】±3；【解析】()2222293233x mx x x x -+=±=±⨯+. 11.【答案】1；【解析】()()()()()201220122012201222201211x y x y x y x y x y +-=+-=-==⎡⎤⎣⎦. 12.【答案】0；【解析】()3222662362360x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=.13.【答案】20112；【解析】()()()()()201120122011201120112221222-+-=--=--=.14.【答案】－2；【解析】()()()()()()()242241111111x x x x x x x -++-+=-+-+ 44112x x =---=-.15.【答案】19；【解析】()()()()2210910919x y x y x y -=+-=+-=. 16.【答案】③⑤⑥⑨；【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.三.解答题17.【解析】解：（1）234()12()x x y x y ---＝224()[3()]4()(32)x y x x y x y y x ---=--；（2）22292416(34)a ab b a b -+=-；（3）()()()2218401840202ma ma m m a a m a a --=--=-+. 18.【解析】解：()()()22232336x x x x +-+->+ 2224129636139913x x x x x x x ++-++>+>->- 符合条件的最小整数解为0，所以0x =.19.【解析】解：（1）()222222x y x y xy a b +=+-=-；(2)()()22244x y x y xy a b -=+-=-； (3)()22x y xy xy x y ab +=+=．20．【解析】解：设a 为原来的价格(1) 由题意得：()()110%110%0.99a a +-=（2）由题意得：()()110%110%0.99a a -+=（3）由题意得：()()120%120% 1.20.80.96a a a +-=⨯=. 所以前两种调价方案一样.。

整式的乘法与因式分解单元复习人教 版八年 级数学 上册
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（2）（a+1）（a+5）+4.
原式＝a2+6a+5+4 ＝（a+3）2．
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20. 求值：
整式的乘法与因式分解单元复习人教 版八年 级数学 上册
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4. 计算： （1）
原式＝-3x3y3+2x2y4+
xy5．
整式的乘法与因式分解单元复习人教 版八年 级数学 上册
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（2）（-2ab）（3a2-2ab-4b2）；
解：原式=x2+6x+9+x2-4-x2-2x-1 =x2+4x+4. 当x2+4x=0时， 原式=x2+4x+4=4．
整式的乘法与因式分解单元复习人教 版八年 级数学 上册
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19. 分解因式：
（1）（x-2y）2+8xy；
原式＝x2-4xy+4y2+8xy ＝x2+4xy+4y2 ＝（x+2y）2．
（1）a3·a5= a8
；
（2）a5÷a3= a2
；
（3）（a3）5= a15
；
（4）（-4a5）3= -64a15 ；
（5）-5a2b·（-3ab2）=
15a3b3

八年级数学上册期末专题复习资料：《整式的乘法和因式分解》巩固与提升的分类例解编制：赵化中学 郑宗平新人教版八年级数学上册的《整式的乘法和因式分解》在初中数学中位置特殊，作用突出，其中的知识点可以串联起初中代数部分的绝大部分内容，与此相关的题也是统考和中考的必考题型，且所占比重较大；下面我就本部分的知识点运用的拓展与提升进行分类例谈，每个小专题附有追踪练习，希望对同学们迎考有所帮助！一.化简求值：例1. 先化简，再求值：()()()214mn 1mn 22mn mn 2⎡⎤--+-÷⎣⎦，其中,.m 4n 05=-=-. 略解：原式 = ()()⎡⎤-+--÷⎣⎦222214m n 8mn 44m nmn 2 = ()-+-+÷222214m n 8mn 44m n mn 2= ()-÷2215m n 8mn mn 2=-10mn 16当,.m 4n 05=-=-，原式=()⎛⎫⨯-⨯--=-= ⎪⎝⎭110416201642例2.已知+-=2a a 30，求()()()2a 12a 1a 1-+--的值.略解：原式 =+---+-222a a 2a 1a 2a 1=+-2a a 2∵+-=2a a 30 ∴+=2a a 3∴原式=+-=-=2a a2321 点评：化简求值是统考和中考的必考题型，例1是常规题，例2整体代入求值也要引起足够的重视.追踪练习：1.2. 已知+-=22x 4x 100，求()()()-+--x 13x 12x 1的值.3. 已知+-=2x 8x20200，求()()()()+---+-22x 32x 34x x 3x 2的值=0 ，先化简()()()--+-2a 2b a 2b a b ，再求值.+2222ab 2b =-26b 5ab+≥≥a 30=+=61521例2. 若+m 1与-+22m 4mn 4n 互为相反数，先化简()()()-+--22m n 2m n 4m n ，再求值.-22224n =25n2互为相反数()++-+=221m 4mn 4n 0()+≥-≥2m 10,m 2n 0)⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111522=-=511444 .本题目主要是利用整式的乘法化简，同时利用非负数的性质求字母的值，例2利用非负数的性质前还要事先建立等式并局部分解因式.追踪练习：1.若x,y 满足-=x 20 ，先化简()()()+---24x 2y x 2y 2x y ，再求值.2.若-+=2b 2b 10与互为相反数，先化简()()()-+--2a 3b a b a b ，再求值.三.以方程（组）、不等式（组）为载体例1.解方程组()()()()22x 2y 2x y x y x y 6⎧⎪+--=+-⎨-=⎪⎩略解：原方程组为⎧++-+-=-⎪⎨-=⎪⎩2222x 4x 4y 4y 4x yx y 6整理为：+=⎧⎨-=⎩x y 0x y 6①＋②得：=2x 6，解得：=x 3 ；①－②得：=-2y 5，解得：=-x 3；∴原方程组的解为=⎧⎨=-⎩x 3y 3例2.解不等式：()()()()2x 1x 12x 1x 26+--+≤-略解：()()--+--≤222x 12x 4x x 26---+≤222x 22x 3x 26-≤3x 6 ∴≥-x 2点评：以方程（组）、不等式为载体，关键是还是要正确的进行整式的乘法和因式分解，然后整理成普通的方程（组）、不等式来解答.追踪练习：1.解方程组：()()()()⎧⎪--+=+-⎨-=⎪⎩2x 2y y 4x y x y x y 7；2.解方程：()()()---+=2x 1x 1x 36； 3.解不等式：()()()---+≤22x 12x 3x 30；4.若a,b 是自然数，且满足-=22a b 19，分别求a,b 的值.四.拆（添）项配方举例例1.已知x,y 满足-+++=22x 4x y 6y 130，求()+2021x y 的值.略解： ()()-++++=22x 4x 4y 6y 90 ∴()()-++=22x 2y 30 ∵()()-≥+≥22x 20,y 30∴-=+=x 20,y 30； 解得：=x 2，=-y 3 . ∴()()()+=-=-=-202120212021x y 2311例2.求代数式++2a 2a 7的最小值. 略解：原式=()()+++=++22a 2a 16a 16∵()+≥2a 10∴代数式++2a 2a 7的最小值为6.∴()---<2x 140，即代数式-+-2x 2x 5的值恒小于0+-2m 2m 5追踪练习：1.已知a,b 满足-+-+=22a 2ab 4b 50，求()-2021a b 的值.2.已知x,y 满足-+++=225x 4xy y 6x 90，分别求x,y 的值. 3.求代数式++22x 4x 1的最小值. 4.求代数式-++2m 2m 5的最大值. 5.求证：代数式++22x 4x 9的值恒大于0 6.在实数范围内分解因式：--2a 2a 1.五.整体思想运用举例例1.若()()+=-=22a b 7,a b 3，求+22a b 和ab 的值.略解：∵()()+=-=22a b 7,a b 3 ∴++=-+=2222a 2ab b 7,a 2ab b 3∴①＋②得：()()+++-+=+2222a 2ab ba 2ab b 73，合并解得：+=22a b 5 ①－②得：()()++--+=-2222a2ab b a2ab b 73，合并解得：=ab 1.例2.若+=a b 7，=ab 12 ，求++22a 3ab b 的值. 略解：∵+=a b 7，=ab 12 ∴()()++=+++=++=+=222222a 3ab b a 2ab bab a b ab 71261.例3.若a,b 满足()+---=22222x y4x 4y 50 ，求+22x y 的值.略解：原方程可化为：()()+-++--=22222x y4x y 4450，即 ()+-=222x y 29根据平方根的性质可知：+-=22x y 23或+-=-22x y 23 解得：+=22x y 5或+=-22x y 1（不合题意，舍去）∴+=22x y 5. 点评：整体思想是初中数学必考的思想，这类题还经常通过拆（添）项的技巧和非负数联系在一起.例3也可以用狮子相乘法因式分解进行解答.六.其它能力提升题型的举例例1.若△ABC 的三边a,b,c 满足-=-22a acb bc ，判断△ABC 的形状.略解： 原等式化为：--+=22a b ac bc 0，则()()()+---=a b a b c a b 0∴()()-+-=a b a b c 0∵+>a b c ，即+->a b c 0 ∴-=a b 0∴=a b ，即△ABC 为等腰三角形.例2.若△ABC 的三边a,b,c 满足++=++222a b c ab bc ac ，判断△ABC 的形状. 略解：等式两边同时乘以2为：++=++2222a 2b 2c 2ab 2bc 2ac 移项并拆平方项再分组为：()()()-++-++-+=222222a 2ab b b2bc c a 2ac c 0∴()()()-+-+-=222a b b c a c 0 ∵()()()-≥-≥-≥222a b 0,b c 0,a c 0 ∴==a b c ，即△ABC 为等边三角形.例3.已知a,b,c △ABC 的三边，判断式子()+--222222a b c4a b 值的正负性.)++n x = 根据你的猜想进行下列运算： )++++3x ++9922： ++n 2.+n 1x；-1001； ②+++222)-++n 12=+++2221.先观察下列各式后，用n 来表示这一规律正确的是（ ） ①.;223142-=⨯②. ;224243-=⨯③. ;225344-=⨯④.226445-=⨯；A.()22n n 14n --= B.()()22n 1n 4n 1+-=+C.()()22n 2n 4n 1+-=+ D.()()22n 2n 4n 1+-=-⎛⋅⋅- ⎝2119拓展提升这类题也应引起足够重视，由于篇幅有限，这里不再举例2020.12.26。

整式乘除与因式分解一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()nm a ＝ a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a 5)53．()n n nb a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a 2b )3 练习：（1）y x x 2325⋅ （2）)4(32b ab -⋅- （3）a ab 23⋅（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(232xy y x -⋅ （6）22253)(631ac c b a b a -⋅⋅4．nm a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )25．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？6．负指数幂的概念：a －p ＝pa 1 （a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．也可表示为：ppn m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅-8．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅-（3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为 4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是5．－[－a 2(2a 3－a)]＝6．(－4x 2＋6x －8)·(－12x 2)＝ 7．2n(－1＋3mn 2)＝8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－12x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为，体积为。

人教版八年级数学第14章整式的乘法与因式分解综合巩固训练一、选择题1. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是()A．(x＋1)(x－1)＝x2－1B．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1C．x2－4y2＝(x－2y)2D．x2＋2x＋1＝(x＋1)22. 今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：－3xy(4y－2x－1)＝－12xy2＋6x2y＋□，□的地方被弄污了，你认为□内应填写()A．3xy B．－3xy C．－1 D．13. 下列计算错误的是（）A．B．C．D．4. 若a2＋ab＋b2＝(a－b)2＋X，则整式X为( )A．ab B．0 C．2ab D．3ab5. 如果a2－2a－1＝0，那么式子(a－3)(a＋1)的值是()A．2 B．－2 C．4 D．－46.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美．现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果．．呈现的密码信息可能是( )A. 我爱美B. 宜昌游C. 爱我宜昌D. 美我宜昌7. 若n为正整数，则(2n＋1)2－(2n－1)2的值( )A．一定能被6整除B．一定能被8整除C．一定能被10整除D．一定能被12整除8. 如果，，是三边的长，且，那么是( )A. 等边三角形．B. 直角三角形．C. 钝角三角形．D. 形状不确定．9. 若是自然数，并且有理数满足，则必有( )A．B．C．D．10. 若，，是三角形三边的长，则代数式的值( )．A.大于零B.小于零C大于或等于零D．小于或等于零二、填空题11. 分解因式：(2a＋b)2－(a＋2b)2＝________．12. (2020·宁波)分解因式：2a2－18＝.13. (2020自贡)分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝．14. (2020·成都)已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为．15. （2020·临沂）若，则_________.16. 2018·成都已知x＋y＝0.2x＋3y＝1则式子x2＋4xy＋4y2的值为________．17. 若a－b＝3x－y＝2则a2－2ab＋b2－x＋y＝________．18.根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是_______ _____________.三、解答题19. （2020·岳阳）因式分解：．20. 分解因式：21. 分解因式：22. 分解因式：人教版八年级数学第14章整式的乘法与因式分解综合巩固训练-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】A[解析] 因为左边＝－3xy(4y－2x－1)＝－12xy2＋6x2y＋3xy，右边＝－12xy2＋6x2y＋□，所以□内应填写3xy.3. 【答案】C【解析】根据积的乘方运算法则，应选C4. 【答案】D5. 【答案】B[解析] 因为a2－2a－1＝0，所以a2－2a＝1.所以(a－3)(a＋1)＝a2－2a－3＝1－3＝－2.6. 【答案】C 【解析】(x2－y2)a2－(x2－y2)b2＝(x2－y2)(a2－b2)＝(x＋y)(x－y)(a＋b)(a－b) ，根据题中的相应式子对应的密码信息可得，结果可能为“爱我宜昌”，故选择C.7. 【答案】 B [解析] 原式＝(4n2＋4n＋1)－(4n2－4n＋1)＝8n，则原式的值一定能被8整除．8. 【答案】A【解析】已知关系式可化为，即，所以，故，，.即．选A．9. 【答案】【解析】由知两数为相反数，且不为0，易得答案10. 【答案】B【解析】又因为，，是三角形三边的长，所以，即，，，二、填空题11. 【答案】3(a＋b)(a－b) 【解析】(2a＋b)2－(a＋2b)2＝[(2a＋b)＋(a＋2b)][(2a＋b)－(a＋2b)]＝(3a＋3b)(a －b)＝3(a＋b)(a－b)．12. 【答案】2(a＋3)(a－3)【解析】本题考查了因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，若能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍就不能分解，因式分解必须进行到不能再分解为止．2a2－18＝2(a2－9)＝2(a＋3)(a－3)．13. 【答案】故答案为：3（a﹣b）2．【解析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，解：3a2﹣6ab+3b2＝3（a2﹣2ab+b2）＝3（a﹣b）2．因此本题答案为：3（a﹣b）2．14. 【答案】49【解析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．解：∵a＝7﹣3b，∴a+3b＝7，∴a2+6ab+9b2＝（a+3b）2＝72＝49，故答案为：49．15. 【答案】-1【解析】可以通过因式分解使原式出现，然后代入求值：；16. 【答案】0.36[解析] 因为x＋y＝0.2x＋3y＝1所以2x＋4y＝1.2即x＋2y＝0.6.则原式＝(x＋2y)2＝0.36.17. 【答案】7[解析] a2－2ab＋b2－x＋y＝(a－b)2－(x－y)．把a－b＝3x－y＝2代入得原式＝32－2＝7.18. 【答案】(a＋b)(a－b)＝a2－b2三、解答题19. 【答案】（x+3）（x﹣3）【解析】利用平方差公式分解：原式＝（x+3）（x﹣3）．20. 【答案】【解析】前三项比完全立方公式少l，四、五、六项的和也比立方公式少l．如果把2拆为两个l，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是21. 【答案】【解析】解6项可以分成三组，每组两项．我们把幂次相近的项放在一起，即本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为l的放在一组，系数为2的放在另一组．详细过程请读者自己完成．22. 【答案】【解析】。

【整式的乘法与因式分解】基础巩固训练（一）一．选择题1．计算：（﹣8）101•（﹣0.5）300的结果是（）A．﹣1B．1C．﹣8D．﹣0.52．若关于x的多项式（2x﹣m）与（3x+5）的乘积中，一次项系数为25，则m的值（）A．5B．﹣5C．3D．﹣33．若a2+（m﹣3）a+4是一个完全平方式，则m的值应是（）A．1或5B．1C．7或﹣1D．﹣14．若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，则ab的值为（）A．﹣B．C．﹣6D．65．已知x2﹣mx+9是某个整式的平方的展开式，则m的值为（）A．3B．±3C．6D．±66．以下关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）A．x2﹣3x+2B．3x2﹣x+1C．2x2﹣9x﹣1D．x2﹣4x+27．如果x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2），那么k应为（）A．3B．﹣3C．1D．﹣18．如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为（）A．4B．C．5D．69．若x2﹣8x+k是完全平方式，则k的值是（）A．4B．8C．16D．3210．若a x＝2，a y＝3，则a2x+3y＝（）A．108B．54C．36D．31二．填空题11．已知：a+b＝7，ab＝﹣12，则（a﹣b）2的值为．12．已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为．13．已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式，那么k的值是．14．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为．15．若多项式A与单项式2a2b的积是8a3b2﹣6a2b2，则多项式A为．三．解答题16．计算下列各式（1）x（2x2y﹣3y）；（2）（x+2y）（x﹣3y）+xy．17．因式分解：（1）ax2﹣9a；（2）b﹣6ab+9a2b．18．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（3x+a）（2x﹣b），甲把第二个多项式中b前面的减号抄成了加号，得到的结果为6x2+16x+8；乙漏抄了第二个多项式中x的系数2，得到的结果为3x2﹣10x ﹣8．（1）计算出a、b的值；（2）求出这道整式乘法的正确结果．19．中国古贤常说万物皆自然．而古希腊学者说万物皆数．小学我们就接触了自然数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“欢喜数”．定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”．例如：24是一个“欢喜数”，因为24＝4×（2+4），125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5＝8，125不是8的整数倍．（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；（2）有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”．20．阅读材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下列问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．（2）（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，求（n﹣2019）（2020﹣n）．（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．参考答案一．选择题1．解：（﹣8）101•（﹣0.5）300＝（﹣2）303•（﹣0.5）300＝（2×0.5）300×（﹣2）3＝﹣8．故选：C．2．解：（2x﹣m）（3x+5）＝6x2﹣3mx+10x﹣5m＝6x2+（10﹣3m）x﹣5m．∵积的一次项系数为25，∴10﹣3m＝25．解得m＝﹣5．故选：B．3．解：根据题意得：（m﹣3）a＝±2•a•2，则m﹣3＝±4，解得：m＝7或﹣1．故选：C．4．解：∵a2﹣b2＝16，∴（a+b）（a﹣b）＝16，∴（a+b）2（a﹣b）2＝256，∵（a+b）2＝8，∴（a﹣b）2＝32，∴ab＝＝＝﹣6，故选：C．5．解：∵x2﹣mx+9＝x2﹣mx+32是某个整式的平方的展开式，∴﹣m＝±6，解得：m＝±6．故选：D．6．解：A．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2），此选项不符合题意；B．3x2﹣x+1不能在实数范围内因式分解，此选项符合题意；C．2x2﹣9x﹣1＝2（x﹣）2﹣＝[（x﹣）+][（x﹣）﹣]，此选项不符合题意；D．x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2＝（x﹣2+）（x﹣2﹣），此选项不符合题意；故选：B．7．解：由题意得，x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，则k＝1．故选：C．8．解：设AB＝a，AD＝b，由题意得，8a+8b＝24，2a2+2b2＝12，即a+b＝3，a2+b2＝6，∴ab＝＝＝，即长方形ABCD的面积为，故选：B．9．解：∵x2﹣8x+k是完全平方式，∴k＝42＝16，故选：C．10．解：∵a x＝2，a y＝3，∴a2x+3y＝a2x•a3y＝（a x）2•（a y）3＝22×33＝4×27＝108，故选：A．二．填空题11．解：因为a+b＝7，ab＝﹣12，所以（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×（﹣12）＝49+48＝97．故答案为：97．12．解：∵一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，∴长方形的周长为：（6a2﹣4ab+2a）÷2a＝3a﹣2b+1．故答案为：3a﹣2b+1．13．解：∵25x2+kxy+4y2是一个完全平方式，∴kxy＝±2•5x•2y，解得：k＝±20，故答案为：±20．14．解：因式分解x2+ax+b时，∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案为：（x﹣6）（x+2）．15．解：∵多项式A与单项式2a2b的积是8a3b2﹣6a2b2，∴多项式A为：（8a3b2﹣6a2b2）÷2a2b＝8a3b2÷2a2b﹣6a2b2÷2a2b＝4ab﹣3b．故答案为：4ab﹣3b．三．解答题16．解：（1）x（2x2y﹣3y）＝x•2x2y﹣x•3y＝x3y﹣xy；（2）（x+2y）（x﹣3y）+xy＝x2﹣xy﹣6y2+xy＝x2﹣6y2．17．解：（1）ax2﹣9a＝a（x2﹣9）＝a（x+3）（x﹣3）；（2）b﹣6ab+9a2b＝b（1﹣6a+9a2）＝b（1﹣3a）2．18．解：（1）甲的算式：（3x+a）（2x+b）＝6x2+（3b+2a）x+ab＝6x2+16x+8，对应的系数相等，3b+2a＝16，ab＝8，乙的算式：（3x+a）（x﹣b）＝3x2+（﹣3b+a）x﹣ab＝3x2﹣10x﹣8，对应的系数相等，﹣3b+a＝﹣10，ab＝8，∴，解得：；（2）根据（1）可得正确的式子：（3x+2）（2x﹣4）＝6x2﹣8x﹣8．19．解：（1）∵2+8＝10，28不是10的整数倍，∴根据“欢喜数”的概念，28不是“欢喜数”；∵1+3+5＝9，135＝15×9是9的倍数，∴根据“欢喜数”的概念，135是“欢喜数”；（2）①设这个数为一位数a，且a为自然数，a≠0，根据题意可知a＝4a，又a≠0，∴这种情况不存在；②设这个数为两位数，a，b为整数，∴10a+b＝4（a+b），即b＝2a，∴或或或，∴这种欢喜数为12，24，36，48；③设这个数为三位数，a，b，c为整数，∴100a+10b+c＝4（a+b+c），则96a+6b＝3c，又a，b，c为0到9的整数，且a≥1，∴这种情况不存在；④设这个数为四位数，a，b，c，d为0到9的整数，且a≥1，∴1000a+100b+10c+d＝4（a+b+c+d），∴996a+96b+6c＝3d，故没有0到9的整数a，b，c，d使等式成立，由此类推，当这个数的位数不断增加时，更加无法满足等式，∴当一个欢喜数等于各数位数字之和的4倍时，这个数为：12或24或36或48．20．解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（9﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．（2）设n﹣2019＝a，2020﹣n＝b，则）（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝a2+b2＝1，a+b＝（n﹣2019）+（2020﹣n）＝1，∴（n﹣2019）（2020﹣n）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝（1﹣1）＝0；（3）有题意得，长方形EMFD的长DE＝a＝x﹣1，宽DF＝b＝x﹣3，则有a﹣b＝2，当x＝6时，ab＝（x﹣1）（x﹣3）＝15，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+60＝64，∴a+b＝8，a+b＝﹣8（舍去）所以阴影部分的面积为：（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8×2＝16，答：阴影部分的面积为16．。

第十四章整式的乘法与因式分解练习一、选择题1．下列计算正确的是（）A．2x2⋅3x3=6x6B．x3÷x3=0C．(2xy)3=6x3y3D．(x3)n÷x2n=x n2．下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2−2ab+b2−1=(a−b)2−1B．x4−1=(x2+1)(x+1)(x−1)C．(x+2)(x−2)=x2−4D．2x2+2x=2x2(1+1x)3．化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是（）A．−x6B．x6C．x5D．−x5 4．已知x m=4,x n=6，则x2m−n的值为（）A．9 B．34C．83D．435．如果x2−kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值是（）A．3 B．±6 C．6 D．±36．若x+m与x+2的乘积化简后的结果中不含x的一次项，则m的值为（）A．2 B．-2 C．4 D．-47．用图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为2a+b，宽为a+b的矩形，需要A类卡片，B类卡片，C类卡片的张数分别是（）A．1、2、3 B．1、3、5 C．2、3、1 D．2、3、48．如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置在一个边长为a的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为b的长方形，根据图二中阴影部分的面积计算方法可以验证的公式为（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab二、填空题9．分解因式：a2−1 = .10．将代数式(a+2)(a−2)−3a分解因式的结果是.11．如果x2−(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为12．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是.（用“＞”连接）13．某农户租两块土地种植沃柑，第一块是边长为am的正方形，第二块是长为(a+10)m，宽为(a+5)m的长方形，则第二块比第一块的面积多了m2．三、计算题14．化简求值：(2x+1)2(3x−2)−(2x+1)(3x−2)2−x(2x+1)(2−3x)，其中x=3215．计算（1）(4a−b2)⋅(−2b)（2）(15x2y−10xy2)÷5xy（3）(−2m−1)2（4）(x+2y−3)(x−2y+3)16．分解因式：（1）x2y−4y；（2）(a−3b)(a−b)+b2．四、解答题17．两位同学将一个二次三项式进行因式分解时，一名同学因为看错了一次项系数而分解成：2(x−1)(x−9)，另一位同学因为看错了常数项而分解成了2(x−2)(x−4) .请求出原多项式，并将它因式分解. 18．如图，在边长为（2m+3）的正方形纸片中剪出一个边长为（m+3）的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，求另一边长．18．某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植(3a−b)株豌豆幼苗，种植了（3a+b）排，正方形实验田每排种植（a+b）株豌豆幼苗，种植了(a+b)排（a>b>0）.（1）长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多少株？（2）当a=4，b=3时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？19．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.解：将“x+y”看成一个整体，设x+y=m，则原式=m2+2m+1=(m+1)2.再将x+y=m代入，得原式=(x+y+1)2.上述解题方法用到的是“整体思想”.“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.请写出下列因式分解的结果：（1）因式分解：1−2(x−y)+(x−y)2=；（2）因式分解：25(a−1)2−10(a−1)+1=；（3）因式分解：(y2−4y)(y2−4y+8)+16.。

人教版八年级上册数学第十四章 整式的乘除与因式分解 小结和复习训练一、知识点梳理：1．合并同类项法则：把同类项中的系数 ， 不变。

（1）8b +2a -5b +3a= ；（2）2x 3-10xy +2x 3+4x 2y -xy 2+2xy -3x 2y= ___2．幂的乘方法则：幂的乘方， 即(a m )n = (m ，n 是正整数)。

（1）(a 4)3= ；（2）(-y 4)3=________; （3）(-103)4×102=________；（4） (-22)·(-2)2=______;3．积的乘方的法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即(ab)m = (m 是正整数).（1）(ab)3= （2）(-a 2b)3=_________; （3）(0.3a 2b 3)2=4．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘， 即 a m ·a n = (m ，n 是正整数)。

（1）a 3⋅a 2= （2）-24·23=_________（3）x 5·2m x -=___________（4） (-a)5·(-a)4=________. 5．同底数幂的除法法则：同底数幂相除， 。

a m ÷a n = (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n)。

规定：a 0= （1）m 9÷m 7= （2）（－a ）6÷（－a ）2=（3）a m+2÷a m －1=_______ （4）（－3.14）0=_____ （5）2）0=_______． 6．单项式除法法则：单项式相除， 分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的 ，则连同它的指数作为商的一个因式。

（1）－2x 3y 2z ÷12xy = （2）（27a 8÷9a 2）÷13a 3 = 7．单项式乘法法则：把系数与同底数幂分别相 ，对于只在 含有的字母，则连同它的指数作为 的一个因式。

人教版第十四章整式的乘除与因式分解常考基础训练（含解析）一、选择题1. 下列各式计算正确的是( )A. a2⋅a3=a6B. (−a3)2=a6C. (2ab)4=8a4b4D. 2a2−3a2=−12. 计算(−a3)2的结果是( )A. a5B. −a5C. a6D. −a63. 下列计算正确的是( )A. a2+a2=a4B. 2a−a=2C. (ab)2=a2b2D. (a2)3=a54. 计算(−2xy2)3的结果是( )A. −2x3y6B. −6x3y6C. 8x3y6D. −8x3y65. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A. a(x+y)=ax+ayB. x2−4x+4=x(x−4)+4C. 10x2−5x=5x(2x−1)D. x2−16+3x=(x−4)(x+4)+3x6. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )A. 3x+3y−5=3(x+y)−5B. (x+1)(x−1)=x2−1C. 4x2+4x=4x(x+1)D. 6x7=3x2⋅2x57. 下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )A. x 2−4y 2B. x 2+4y 2C. x 2−4xy +4y 2D. x 2−4xy −4y 28. 下列计算，能用平方差公式的为 ( ) A. (a +2b )(a +2b ) B. (−a +2b )(−a +2b ) C. (2b −a )(−a +2b )D. (2b −a )(a +2b )9. 计算 x 2⋅x 3 的结果为 ( ) A. x 5 B. x 6 C. x 8 D. x 910. 已知 x 2−2x −3=0，则 2x 2−4x 的值为 ( ) A. −6 B. 6 C. −2 或 6 D. −2 或 3011. 下列说法正确的是 ( ) A. −2ab 3 的次数是 3 B. 2x 2+3x −1 是三次三项式 C. 13xy 的系数为 13D. x +1 是单项式12. 下列各式中，与 2a 是同类项的是 ( ) A. 3abB. 22aC. −3a 2D. a 2b13. 下列代数式：a ，−ab ，m +n ，x 2+y 2，−1，−12ab 2c ，其中单项式共有 ( ) A. 6 个 B. 5 个 C. 4 个 D. 3 个14. 下列各组中的两项，不是同类项的是 ( ) A. 2x 2y 与 −2x 2y B. x 3 与 3x C. −3ab 2c 3 与 c 3b 2aD. 1 与 −815. 单项式 −2a 2b 3的系数和次数分别是 ( )A. −2，2B. −2，3C. 23，3D. −23，316. 化简 2a −[3b −5a −(2a −7b )] 的结果是 ( ) A. −27a +10b B. 5a +4b C. −a −4b D. 9a −10b17. 4πx 2y 29 的系数与次数分别为 ( )A. 49，7 B. 49π，6C. 4π，6D. 49π，418. 用代数式表示“ a 的 2 倍与 b 的差的平方”，正确的是 ( ) A. (2a −b )2 B. 2(a −b )2 C. 2a −b 2 D. (a −2b )219. 在代数式：−23，m 4n 27，x 2+y 2−1，x ，−3(2a−b )2，32t 2 中，单项式有 ( ) A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个20. 下列各式的计算结果正确的是 ( ) A. 2x +3y =5xy B. 5x −3x =2x 2 C. 7y 2−5y 2=2D. 9a 2b −4ba 2=5a 2b21. 下列各式运算正确的是 ( ) A. a 2+a 3=a 5 B. a 2⋅a 3=a 5C. (ab 2)3=ab 6D. a 10÷a 2=a 5(a ≠0)22. 下列运算正确的是 ( ) A. a 3⋅a 4=a 12 B. (a 3)4=a 7 C. (a 2b )3=a 6b 3 D. a 3÷a 4=a23. 下列运算正确的是 ( ) A. a −2a =a B. (−2a 2)3=−8a 6 C. a 6+a 3=a 2D. (a +b )2=a 2+b 224. 下列计算正确的是 ( )A. 2a+3a=6aB. a2⋅a3=a6C. a8÷a4=a2D. (−2a3)2=4a625. 下列运算中正确的是( )A. a5+a5=2a10B. 3a3⋅2a2=6a6C. a6÷a2=a3D. (−2ab)2=4a2b226. 下列分解因式错误的是( )A. x2−2xy+y2=(x−y)2B. x3−x2+x=x(x2−x)C. x2y−xy2=xy(x−y)D. x2−y2=(x−y)(x+y)27. 下列运算正确的是( )A. 2a+3b=5abB. a2⋅a3=a5C. (2a2)3=6a6D. a8÷a2=a428. 下列运算正确的是( )A. x3+x3=2x6B. x8÷x4=x2C. (−x3)2=x6D. x(x−y)=x2−y29. 下列运算中，计算正确的是( )A. a3⋅a2=a6B. a8÷a2=a4C. (ab2)2=a5D. (a2)3=a630. 下列计算正确的是( )A. a+a=a2B. a6÷a2=a3C. a(a+1)=a2+1D. (a2)3=a6二、填空题31. 长方形的长为a cm，宽为b cm，若长增加了2cm后，面积比原来增加了cm2．32. 计算：(2x2)3=．33. a3⋅a2b= .34. 化简：(a2−a)÷a=．35. (a+2)(a−2)=．36. 计算：m8÷m3=．xy2的系数和次数分别是和．37. 单项式−1238. 单项式−3πxy2的系数是，次数是．539. x2−xy−6y2是次项式．xy2的系数是．40. 单项式−12=．41. 计算：①x2⋅x3=；②(−2y2)3=；③7m2n−35mn242. 若m+n=10，m−n=2，则m2−n2=．43. 如果a x=2，a y=3，则a x+y=．44. 2a2⋅a3÷a4=．45. 已知a=2，x+2y=3，则3ax+6ay=．46. 计算(−a2)3=．47. 若a+b=13，ab=42．则a2+b2=．48. 分解因式：ay2+2ay+a=．49. 已知 x +y =6，xy =4，则 x 2y +xy 2 的值为 ．50. 计算 512×50−492×50= ．三、解答题51. 分解因式：x 3−4x 2+4x ．52. 解方程组：{x 2−6xy +9y 2=4, ⋯⋯①x −2y =3. ⋯⋯②53. 计算：√12−2×(−4)−(−3)2+20170．54. 化简：（1）5a 2+3ab −4−2ab −5a 2； （2）−x +2(2x −2)−3(3x +5)．55. 化简：13(9y −3)+2(y +1)．56. 先化简，再求值．12x −2(x −13y 2)+(−32x +13y 2)，其中 x =−2，y =23．57. 某厂共有三个车间，一号车间有工人 a 人，二号车间人数比一号车间人数的 2 倍少一人，三号车间的人数比一号车间人数的一半多 3 个，全厂共有工人多少人?58. 计算或者化简：（1）(+18)+(−12)； （2）√8273+√19；（3）4x −5y +2y −3x ；（4）−12014+√83÷√4−2×(−3)2．59. 在一次抗震救灾中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资到灾民安置区，按计划每辆汽车只能装运一种救灾物资且必须装满．已知用了a辆汽车装运食品，用了b辆汽车装运药品，其余剩下的汽车装运生活用品，根据表中提供的信息，解答下列问题：物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载(吨)654每吨所需运费(元)120160100（1）20辆汽车共装载了多少吨救灾物资?（2）装运这批救灾物资的总费用是多少元?60. 先化简，再求值：12x−4(x−13y2)+(−32x+13y2)，其中x=2，y=−23．答案第一部分1. B2. C3. C4. D5. C6. C7. C8. D9. A10. B11. C 【解析】A 、−2ab3的次数是4，故错误；B 、2x2+3x−1是二次三项式，故错误；C 、13xy的系数为13，故正确；D 、x+1是多项式，故错误．12. B13. C14. B15. D16. D17. D18. A19. D20. D22. C23. B24. D25. D26. B27. B28. C29. D30. D第二部分31. 2b32. 8x633. a5b【解析】a3⋅a2b=a5b．34. a−135. a2−436. m5，337. −12，338. −3539. 2，340. −1241. ①x5，②−8y6，③−m5n 42. 2044. 2a 45. 18 46. −a 6【解析】原式=(−1)3(a 2)3=−a 6． 47. 85【解析】原式=(a +b )2−2ab =169−84=85． 48. a (y +1)2 49. 24 50. 10000 第三部分51. 原式=x (x −2)2 52. 由 ①，得(x −3y )2=4.所以x −3y =±2.所以原方程组可转化为：{x −3y =2,x −2y =3或{x −3y =−2,x −2y =3.解得{x 1=5,y 1=1或{x 2=13,y 2=5.所以原方程组的解为：{x 1=5,y 1=1或{x 2=13,y 2=5.第11页（共11 页） 53. 原式=2√3+8−9+1=2√3.54. （1） 原式=5a 2−5a 2+3ab −2ab −4=0+ab −4=ab −4.（2） 原式=−x +4x −4−9x −15=−6x −19.55. 原式=3y −1+2y +2=5y +1.56. 原式=12x −2x +23y 2−32x +13y 2=−3x +y2=y 2−3x.当 x =−2，y =23 时，原式=(23)2−3×(−2)=49+6=589．57. a +(2a −1)+(12a +3)=72a +2．58. （1） 原式=6．（2） 原式=23+13=1.（3） 原式=4x −3x +2y −5y =x −3y.（4） 原式=−1+1−18=−18.59. （1） 6a +5b +4(20−a −b )=80+2a +b （吨）．（2） 120×6a +160×5b +100×4(20−a −b )=8000+320a +400b （元）．60. 原式=12x −4x +43y 2−32x +13y 2=12x −4x −32x +43y 2+13y 2=−5x +53y 2.将 x =2，y =−23 代入得 原式=−5×2+53×(−23)2=−9727．。

⼈教版数学⼋年级上册整式的乘除与因式分解复习与巩固提⾼整式的乘除与因式分解全章复习与巩固（基础）【学习⽬标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运⽤它们熟练地进⾏运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运⽤它们进⾏运算；2. 会推导乘法公式（平⽅差公式和完全平⽅公式），了解公式的⼏何意义，能利⽤公式进⾏乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘⽅的较简单的混合运算，并能灵活地运⽤运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反⽅向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运⽤公式不超过两次）这两种分解因式的基本⽅法，了解因式分解的⼀般步骤；能够熟练地运⽤这些⽅法进⾏多项式的因式分解. 【知识⽹络】【要点梳理】【⾼清课堂整式的乘除与因式分解单元复习知识要点】要点⼀、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘⽅： (为正整数)；幂的乘⽅，底数不变，指数相乘.3.积的乘⽅： (为正整数)；积的乘⽅，等于各因数乘⽅的积.4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次⽅等于1.m n ，m n ，n a m n ，m n >()010.a a =≠要点诠释：公式中的字母可以表⽰数，也可以表⽰单项式，还可以表⽰多项式；灵活地双向应⽤运算性质，使运算更加⽅便、简洁. 要点⼆、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在⼀个单项式⾥含有的字母，则连同它的指数作为积的⼀个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是⽤单项式去乘多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先⽤⼀个多项式的每⼀项乘另⼀个多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每⼀项前⾯的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要⽤“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出⼀个应⽤⽐较⼴泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式⾥出现的字母，则连同它的指数⼀起作为商的⼀个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每⼀项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：要点三、乘法公式1.平⽅差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平⽅差.要点诠释：在这⾥，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平⽅差公式的典型特征：既有相同项，⼜有“相反项”，⽽结果是“相同项”的平⽅减去“相反项”的平⽅.2. 完全平⽅公式：；两数和 (差)的平⽅等于这两数的平⽅和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平⽅，右边是⼆次三项式，是这两数的平⽅和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把⼀个多项式化成⼏个整式的积的形式，像这样的式⼦变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的⽅法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, ⼗字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好⽅法的综合运⽤：⾸先提取公因式，然后考虑⽤公式；mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++22()()a b a b a b +-=-a b ，()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两项平⽅或⽴⽅，三项完全或⼗字；四项以上想分组，分组分得要合适；⼏种⽅法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，⼀次⼀次⼜⼀次.【典型例题】类型⼀、幂的运算1、计算下列各题：（1）（2）（3）（4）【思路点拨】按顺序进⾏计算，先算积的乘⽅，再算幂的乘⽅，最后算同底数的幂相乘. 【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【总结升华】在进⾏幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号⾥的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．举⼀反三：【变式】当，＝4时，求代数式的值．【答案】解：.类型⼆、整式的乘除法运算2、（2015秋?闵⾏区期中）解不等式：（x ﹣6）（x ﹣9）﹣（x ﹣7）（x ﹣1）＜7（2x ﹣5）【答案与解析】解：原不等可化为：x ﹣15x+54﹣x +8x ﹣7＜14x ﹣35，2334(310)(10)??-2332[3()][2()]m n m n +-+26243(2)(3)xy x y -+-63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-2334(310)(10)??-323343(10)(10)=??18192710 2.710=?=?2332[3()][2()]m n m n +-+36263()(2)()m n m n =?+?-?+661227()4()108()m n m n m n =+?+=+26243(2)(3)xy x y -+-6661233612(1)2(1)3x y x y =-??+-?612612612642737x y x y x y =-=63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-6662232366(1)2(1)3()(1)(2)a a a =-?--??+-?6666649649a a a a =--=-41=a b 32233)21()(ab b a -+-333223363636611771()()45628884a b ab a b a b a b ??-+-=-==??= 22整理得：﹣21x ＜﹣82，解得：x ＞．则原不等式的解集是x ＞．【总结升华】此题考查了多项式乘多项式，以及解⼀元⼀次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3、已知，求的值．【思路点拨】利⽤除法与乘法的互逆关系，通过计算⽐较系数和相同字母的指数得到的值即可代⼊求值．【答案与解析】解：由已知，得，即，，，解得，，．所以．【总结升华】也可以直接做除法，然后⽐较系数和相同字母的指数得到的值. 举⼀反三：【变式】（1）已知，求的值．（2）已知，，求的值．（3）已知，，求的值．【答案】解：（1）由题意，知．∴．∴，解得．（2）由已知，得，即．由已知，得．∴，即．∴∴．（3）由已知，得．由已知，得．∴．类型三、乘法公式4、对任意整数，整式是否是10的倍数？为什么？82218221312326834mn axy x y x y ÷=(2)n m n a +-m n a 、、312326834mn axy x y x y ÷=31268329284312m n n ax y x y x y x y +=?=12a =39m =2812n +=12a =3m =2n =22(2)(23212)(4)16n m n a +-=?+-=-=m n a 、、1227327m m -÷=m 1020a=1105b =293a b÷23m=24n=322m n-312(3)327m m -÷=3(1)2333m m --=3323m m --=6m =1020a =22(10)20a =210400a=1105b =211025b =221101040025a b ÷=÷2241010a b-=224a b -=22222493333381a b a b a b-÷=÷===23m =3227m =24n=2216n=32322722216m nm n -=÷=n (31)(31)(3)(3)n n n n +---+【答案与解析】解：∵，是10的倍数，∴原式是10的倍数．【总结升华】要判断整式是否是10的倍数，应⽤平⽅差公式化简后，看是否有因数10．举⼀反三：【变式】解下列⽅程(组)：【答案】解：原⽅程组化简得，解得．5、已知，，求： (1)；(2)【思路点拨】在公式中能找到的关系.【答案与解析】解：(1)∵，，∴(2)∵，，∴.(31)(31)(3)(3)n n n n +---+22222(3)1(3)919n n n n =---=--+22101010(1)n n =-=-210(1)n -(31)(31)(3)(3)n n n n +---+22(2)(4)() ()32x y x y x y x y ?+-+=+-?-=-?2332x y x y -=??-=-?135x y =??=?3a b +=4ab =-22a b +33a b +()2222a b a ab b +=++22,,a b ab a b ++222222a b a ab b ab +=++-()22a b ab =+-3a b +=4ab =-()22232417a b +=-?-=333223a b a a b a b b +=+-+()()()2a a b b a b a b =+-+-()()22a b a ab b =+-+()()2[3]a b a b ab =++-3a b +=4ab =-()332333463a b ??+=-?-=??【总结升华】在⽆法直接利⽤公式的情况下，我们采取“配凑法”进⾏，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的⽕花，找到最佳思路.类型四、因式分解6、分解因式：(1)；(2)．【答案与解析】解：(1)． (2)．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的⼀定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来⽤整式乘法验证其正确与否．举⼀反三：【变式】（2016春·⽯景⼭区期末）分解因式：（1）316x x - （2）()()2221236x x x x ---+．【答案】解：（1）316x x -=()216x x -=()()44x x x +-；（2）()()2221236x xx x ---+=()226x x --=()()2223x x +-．整式的乘除与因式分解全章复习与巩固（提⾼）【学习⽬标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运⽤它们熟练地进⾏运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运⽤它们进⾏运算；2. 会推导乘法公式（平⽅差公式和完全平⽅公式），了解公式的⼏何意义，能利⽤公式进⾏乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘⽅的较简单的混合运算，并能灵活地运⽤运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反⽅向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运⽤公式不超过两次）这两种分解因式的基本⽅法，了解因式分解的⼀222284a bc ac abc +-32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-2222842(42)a bc ac acb ac abc c b +-=+-32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-2()[()()()]m m n m n m n m n =++++--22()(22)m m n m mn n n =++++般步骤；能够熟练地运⽤这些⽅法进⾏多项式的因式分解. 【知识⽹络】【要点梳理】【⾼清课堂整式的乘除与因式分解单元复习知识要点】要点⼀、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘⽅： (为正整数)；幂的乘⽅，底数不变，指数相乘.3.积的乘⽅： (为正整数)；积的乘⽅，等于各因数乘⽅的积.4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次⽅等于1.要点诠释：公式中的字母可以表⽰数，也可以表⽰单项式，还可以表⽰多项式；灵活地双向应⽤运算性质，使运算更加⽅便、简洁. 要点⼆、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在⼀个单项式⾥含有的字母，则连同它的指数作为积的⼀个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是⽤单项式去乘多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式m n ，m n ，n a m n ，m n >()010.a a =≠mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,多项式与多项式相乘，先⽤⼀个多项式的每⼀项乘另⼀个多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每⼀项前⾯的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要⽤“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出⼀个应⽤⽐较⼴泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式⾥出现的字母，则连同它的指数⼀起作为商的⼀个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每⼀项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：要点三、乘法公式1.平⽅差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平⽅差.要点诠释：在这⾥，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平⽅差公式的典型特征：既有相同项，⼜有“相反项”，⽽结果是“相同项”的平⽅减去“相反项”的平⽅.2. 完全平⽅公式：；两数和 (差)的平⽅等于这两数的平⽅和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平⽅，右边是⼆次三项式，是这两数的平⽅和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把⼀个多项式化成⼏个整式的积的形式，像这样的式⼦变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的⽅法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, ⼗字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好⽅法的综合运⽤：⾸先提取公因式，然后考虑⽤公式；两项平⽅或⽴⽅，三项完全或⼗字；四项以上想分组，分组分得要合适；⼏种⽅法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，⼀次⼀次⼜⼀次.【典型例题】类型⼀、幂的运算1、已知，求的值．【思路点拨】由于已知的值，所以逆⽤幂的乘⽅把变为，再代⼊计算．()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++22()()a b a b a b +-=-a b ，()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-25mx=6155m x -2mx6mx23()m x【答案与解析】解：∵，∴．【总结升华】本题培养了学⽣的整体思想和逆向思维能⼒．举⼀反三：【⾼清课堂整式的乘除与因式分解单元复习例1】【变式】（1）已知，⽐较的⼤⼩.（2）⽐较⼤⼩。

2020-2021学年八年级数学上册同步必刷题闯关练（人教版）第十四章《整式的乘法和因式分解》章节复习巩固一．选择题1．（2020秋•海珠区校级期中）下列运算正确的是( )A ．236a a a =B ．336()x x =C ．5510x x x +=D ．3226()xy x y =2．（2020•柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是( )A ．22a b -B ．22a b --C ．22a b +D ．222a ab b ++3．（2020秋•天心区期中）下列运算正确的是( )A ．22()()m n m n m n ---=--B ．22(1)(1)1mn mn m n -++=--C ．22()()m n m n m n -+-=-D ．2(23)(23)49m m m -+=- 4．（2020秋•朝阳区期中）若2(3)(21)23x x x ax -+=+-，则a 的值为( )A ．7-B ．5-C ．5D ．75．（2020秋•南岗区校级月考）下列计算中，结果正确的是( )A ．3515x x =B ．248x x x =C ．326()x x =D ．623x x x ÷=6．（2020秋•鼓楼区期中）如图，从边长为2a +的正方形纸片中剪去一个边长为a 的小正方形，剩余部分可剪拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2，则它另一边的长是( )A ．22a -B ．2aC ．21a +D ．22a +7．（2020春•瑶海区校级月考）已知2a b b c -=-=，2221a b c ++=，则(ab bc ac ++= )A ．22-B ．11-C ．7D ．118．（2019秋•白云区期末）化简(4)(1)(4)(1)x x x x +-+-+的结果是( )A ．228x -B ．224x x --C ．228x +D ．226x x +9．（2020秋•海淀区校级期中）已知3a b +=，1ab =，则多项式22a b ab a b +--的值为( )A ．1-B ．0C ．3D ．610．（2018秋•大同期末）如图1，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2)，利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是( )A ．222()2a b a ab b -=-+B ．222()2a b a ab b +=++C ．2()a a b a ab +=+D ．22()()a b a b a b +-=-二．填空题11．（2020秋•浦东新区期中）将关于x 的多项式223x x ++与2x b +相乘，若积中不出现一次项，则b = ．12．（2020秋•朝阳区校级期中）241x M ++是完全平方式，则M = ．（填一种即可）13．（2020秋•道外区期中）若x m +与7x +的乘积不含x 的一次项，则m 的值为 ．14．（2020秋•雨花区校级月考）如图．现有正方形卡片A 类，B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(3)a b +，宽为(32)a b +的大长方形，那么需要C 类卡片的张数是 ．15．（2020春•文登区期末）有两个正方形A 、B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将A 、B 并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和20，则正方形A 、B 的面积之和为 ．16．（2020春•双流区期末）关于x 的二次多项式26x x m ++恰好是另一个多项式的平方，则常数项m = ．17．（2019秋•临西县期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以2x y +错抄成乘以2x ，结果得到2(3)x xy -，则正确的计算结果是 ．18．（2020春•江阴市期中）已知25x x +=，则代数式(5)(4)x x +-的值为 ．三．解答题19．（2020秋•中山区期中）已知2(3)(2)x mx x n +-+的展开式中不含2x 项，常数项是6-．（1）求m ，n 的值．（2）求22()()m n m mn n +-+的值．20．（2020秋•朝阳区期中）如图，某中学校园内有一个长为(4)a b +米，宽为(3)a b +米的长方形小广场， 学校计划在中间留一块边长为()a b +米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化．求绿化的面积．（用含a 、b 的代数式表示）21．（2020秋•海淀区校级期中）阅读下列材料：已知230a a +-=，求2(4)a a +的值．解：23a a =-222(4)(3)(4)312412(3)129a a a a a a a a a a a ∴+=-+=+--=--+=---+=2(4)9a a ∴+=根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）若2100a a --=，则2(4)(5)a a +-的值为 ．（2）若2410x x +-=，求代数式43228481x x x x +--+的值．22．（2020秋•九龙坡区校级期中）计算下列各式（1）21(23)2x x y y -；（2）(2)(3)x y x y xy +-+．23．（2020春•城关区校级月考）乘法公式的探究及应用．（1）：如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；（2）：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）（3）：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）（4）：应用所得的公式计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100---⋯--24．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式32464x x x -+-进行因式分解．（拆添项算一种方法）25．（2020秋•海淀区校级期中）已知多项式2x +与另一个多项式A 的乘积为多项式B ．（1）若A 为关于x 的一次多项式x a +，B 中x 的一次项系数为0，直接写出a 的值；（2）若B 为322x px qx +++，求2p q -的值．（3）若A 为关于x 的二次多项式2x bx c ++，判断B 是否可能为关于x 的三次二项式，如果可能，请求出b ，c 的值；如果不可能，请说明理由．26．（2020春•锦江区校级期中）（1）已知关于x 、y 的多项式223x kxy y xy +-++不含xy 项，且满足2430a b k +--=，20ab k -=，求代数式224a b +的值；（2）已知2222(22019)(20202)4x x -+-=，求代数式22(44039)x -的值．27．（2020春•北仑区期末）两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1)，其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2)，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ．（1）用含a ，b 的代数式分别表示1S 、2S ；（2）若10a b +=，20ab =，求12S S +的值；（3）当1230S S +=时，求出图3中阴影部分的面积3S ．28．（2020春•高港区期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b ，宽为a 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1: ；方法2: ；（2）观察图2，请你写出代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系 ；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2213a b +=，求ab 的值；②已知22(2020)(2019)5a a -+-=，求(2020)(2019)a a --的值；③已知22(2019)(2021)8a a -+-=，则求2(2020)a -的值．29．（2020•浙江自主招生）对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果(0,1)x a N a a =>≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a x N =，例如：239=，则3log 92=，其中10a =的对数叫做常用对数，此时10log N 可记为lgN ．当0a >，且1a ≠，0M >，0N >时，log ()log log a a a M N M N =+． ()I 解方程：log 42x =；（Ⅱ）求值：4log 8；（Ⅲ）计算：2(2)215152018lg lg g g ++-．。

第十四章 整式的乘法与因式分解综合提高复习一、学习目标：1. 复习总结本章所学知识，包括幂的运算、整式的乘除、乘法公式及因式分解。

2. 归纳数学思想和数学方法，主要有整体思想、逆向思维和数形结合思想。

二、重点、难点：重点：知识和方法的总结。

难点：实事求是地分析问题，灵活使用公式。

【思维导图】【典型例题】知识点一：幂的运算性质例1. 计算：33234(2)()4a b a b ÷ 思路分析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除。

解答过程：33234(2)()4a b a b ÷ 363484a b a b =÷ 33642a b --= 22b =解题后的思考：3301a a -==，易错误地认为00a =，得出错误结论为0。

小结：幂的运算是整式乘除的基础，应熟练、准确的掌握其运算法则。

而准确掌握幂的运算法则的关键是要理解法则的来源。

知识点二：整式的运算例2. 计算：22232[()()]3x x y xy y x x y x y ---÷，其中1x =，3y =。

思路分析：观察式子结构，确定运算顺序，应先去小括号，然后合并整理，最后计算除法。

解答过程：22232[()()]3x x y xy y x x y x y ---÷3222322()3x y x y x y x y x y =--+÷ 3222(22)3x y x y x y =-÷2233xy =-当1x =，3y =时，原式=24133332⨯⨯-=解题后的思考：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序，二要熟练、正确地运用运算法则。

例 3. 已知一个多项式与单项式547x y -的积为577432221287(2)x y x y y x y -+，求这个多项式。

思路分析：由于这个多项式乘547x y -等于577432221287(2)x y x y y x y -+，那么这个多项式就等于577432254[21287(2)](7)x y x y y x y x y -+÷-，从而转化为多项式除以单项式的运算。

第14章 整式的乘法与因式分解（基础篇）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算()32a 的结果是（ ）A ．6aB ．5aC ．8aD ．9a2．下列计算正确是（ ） A ．236()a a =B ．224a a a +=C ．()()326a a a ⋅=D ．33a a -=3．对于①3(13)x xy x y -=-，①2(3)(1)23x x x x +-=+-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，①是乘法运算D ．①是乘法运算，①是因式分解4．长方形的面积是296a ab -，一边长是3a ，则它的另一边长是（ ） A ．32a b +B ．32a b -C ．23a b -D ．23a b +5．若（x +2）（x ﹣1）=x 2+mx +n ，则m +n =（ ） A ．1B ．-2C ．-1D ．26．设(5a +3b )2=(5a -3b )2+A ，则A 等于（ ） A ．60abB ．30abC ．15abD ．12ab7．已知x +1x=6，则x 2+21x =（ ）A ．38B ．36C ．34D ．328．已知a ，b ，c 是①ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，则此三角形是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不能确定9．设M =(x ﹣3)(x ﹣7)，N =(x ﹣2)(x ﹣8)，则M 与N 的关系为( ) A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M =ND ．不能确定10．如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长 为3，则另一边长是（ ）A ．m +3B ．m +6C ．2m +3D ．2m +6二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．分解因式：2ab a -=______． 12．计算432x x ⋅的结果等于__________．13．已知代数式2x y -的值是1，则代数式241x y -+-的值是_______. 14．若2(3)()x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n =______．15．若关于x 的二次三项式21x ax 4++是完全平方式，则a 的值是_______.16．已知（x+y ）2=25，（x ﹣y ）2=9，则xy=___． 17．分解因式：2x 3﹣6x 2+4x =__________．18．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）计算（1）9991000(0.125)8⨯； （2）2(4)(4)(1)a a a +---20．（8分）因式分解：(1) 228m -； (2) 3223242m n m n mn -+．21．（10分）求值：（1）已知40x y +-=，求22x y ⋅的值；（2）化简求值：()()()22121214x x x x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中2x =-．22．（10分）已知(x 2+mx +1)(x 2﹣2x +n )的展开式中不含x 2和x 3项． (1) 分别求m ，n 的值；(2) 先化简再求值：2n 2+(2m +n )(m ﹣n )﹣(m ﹣n )223．（10分）回答下列问题：（1）方法学习：把二次三项式265x x ++因式分解，可按照如下方法： 265x x ++2=694x x ++- 2(3)4x =+-(32)(32)x x =+++-(5)(1)x x =+-应用上述方法，把二次三项式2412x x --的因式分解．（2）拓展应用：由上述因式分解过程可知，2265(3)4x x x ++=+- 2(3)0x +≥∴当30x +=时即3x =-时265x x ++取最小值4-参照上述分析过程回答：对二次三项式226x x -+，当x 的值为 时，此二次三项式取最小值，这个最小值是 ．24．（12分）如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是________； （2）根据（1）中的结论，若95,4x y x y ⋅+==，则x y -=________； （3）拓展应用：若22(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)m -(2020)m -的值．参考答案1．A【分析】根据幂的乘方法则进行计算即可． 解：()23236a a a ⨯==，故选：A ．【点拨】本题考查幂的乘方，计算法则为：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 2．A【分析】根据幂的乘方，整式的加减法法则，单项式乘单项式的法则，逐一进行判断即可．解：A 、236()a a =，选项正确，符合题意； B 、2222a a a +=，选项错误，不符合题意； C 、()()2326a a a =，选项错误，不符合题意；D 、32a a a -=，选项错误，不符合题意； 故选A ．【点拨】本题考查幂的乘方，合并同类项以及单项式乘单项式．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．3．C【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ①左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法； 故答案选C ．【点拨】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键． 4．B【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 解：①长方形的面积是296a ab -，一边长是3a ， ①它的另一边长是： 2(96)3a ab a -÷29363a a ab a =÷-÷32a b =-．故选：B ．【点拨】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．C【分析】依据多项式乘以多项式的法则，进行计算，再进行比较即可得到答案. 解：（x +2）（x -1）=2x +x ﹣2 =2x +mx +n ，m =1，n =﹣2，所以m +n =1﹣2=﹣1． 故选C 6．A【分析】根据完全平方公式的展开法则，将等号两边去掉括号，即可得出A ． 解：①(5a +3b )2=(5a -3b )2+A ①25a 2+30ab +9b 2=25a 2-30ab +9b 2+A ①A =60ab 故选：A【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，(a ±b )2=a 2±2ab +b 2，两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们的的积的2倍．7．C【分析】把x +1x =6两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求．解：把x +1x =6两边平方得：（x +1x）2=x 2+21x +2=36，则x 2+21x =34， 故选C ．【点拨】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．8．B【分析】运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a =b =c ，即可解决问题．解：①a 2+2b 2+c 2﹣2b （a +c ）=0， ①（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2=0； ①（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣c ）2≥0， ①a ﹣b =0，b ﹣c =0， ①a =b =c ，①①ABC 为等边三角形． 故选B ．【点拨】本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．9．B【分析】由于M =（x -3）（x -7）=x 2-10x +21，N =（x -2）（x -8）=x 2-10x +16，可以通过比较M 与N 的差得出结果．解：①M =（x -3）（x -7）=x 2-10x +21， N =（x -2）（x -8）=x 2-10x +16，M -N =（x 2-10x +21）-（x 2-10x +16）=5， ①M >N ． 故选B ．【点拨】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．10．C【分析】由于边长为（m +3）的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．解：设拼成的矩形一边长为x ， 则依题意得：（m +3）2－m 2=3x ， 解得，x =（6m +9）÷3=2m +3， 故选：C ．11．a （b +1）（b ﹣1）解：原式=2(1)a b -=a （b +1）（b ﹣1）， 故答案为a （b +1）（b ﹣1）． 12．72x解：分析：依据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可． 详解：原式=2x 4+3=2x 7． 故答案为2x 7．点睛：本题主要考查的是单项式乘单项式，掌握相关运算法则是解题的关键． 13．-3【分析】把（x -2y ）看作一个整体并代入代数式进行计算即可得解． 解：①x -2y=1， ①-2x+4y -1=-2（x -2y ）-1 =-2×1-1 =-3． 故答案为-3.．【点拨】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键． 14．4．解：①()()23x x m x x n ++=-+，①()2233x x m x n x n ++=+-- ，故31n -=，解得：n=4．故答案为4．15．±1【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a 的值．解：这里首末两项是x 和12这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和12积的2倍，故a =±1，故答案为：±1． 16．4【分析】根据完全平方公式的运算即可. 解：①()225x y +=，()29x y -= ①()2x y ++()2x y -=4xy =16， ①xy =4.【点拨】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用.17．2x （x ﹣1）（x ﹣2）．解：分析：首先提取公因式2x ，再利用十字相乘法分解因式得出答案． 详解：2x 3﹣6x 2+4x =2x （x 2﹣3x+2） =2x （x ﹣1）（x ﹣2）． 故答案为2x （x ﹣1）（x ﹣2）．点睛：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．18．27【分析】根据题意得出a 2+b 2=15，（b -a ）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b ）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b ）2即可．解：由题意可得在图1中：a 2+b 2=15，（b -a ）2=3， 图2中大正方形的面积为：（a+b ）2， ①（b -a ）2=3 a 2-2ab+b 2=3， ①15-2ab=3 2ab=12，①（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=15+12=27， 故答案为：27．【点拨】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．19．（1）8（2）217a -.【分析】（1）利用积的乘方的逆运算可计算出结果. （2）运用平方差公式和平方差公式展开,然后再合并同类项. 解：（1）()()9999999999919000(0=0.12588=0.12588=)8.1258⨯⨯⨯⨯⨯.（2）222(4)(4)(1)=1621217+----+---=a a a a a a a【点拨】本题主要考查了整式乘法公式的应用，主要是对公式逆应用的考查. 20．(1)()()222m m -+ (2)()22mn m n -【分析】（1）先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式2mn ，再利用完全平方公式分解因式即可． （1） 解：228m - ()224m =-()()222m m =-+；（2）解：3223242m n m n mn -+()2222mn m mn n =-+()22mn m n =-．【点拨】本题考查因式分解，熟记平方差公式和完全平方公式，掌握因式分解的方法步骤并正确求解是解答的关键．21．（1）16；（2）2x -1；－5．【分析】（1）根据等式的基本性质可得4x y +=，然后根据同底数幂的乘法法则变形，并利用整体代入法求值即可；（2）根据完全平方公式和平方差公式计算，然后利用多项式除以单项式法则计算，最后代入求值即可．解：（1）①40x y +-= ①4x y += ①22x y ⋅ =2x y + =42 =16；（2）()()()22121214x x x x ⎡⎤-++-÷⎣⎦=22441414x x x x ⎡⎤-++-÷⎣⎦ =()2844x x x -÷=2x -1， 将2x =-代入， 原式=2×（-2）－1=-5．【点拨】此题考查的是整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法法则、完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式法则是解题关键．22．(1)m ＝2，n ＝3；(2)m 2+mn ， 10．【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，最后求出解 (2)先算乘法，再合并同类项，最后代入求解 解：(1)(x 2+mx +1)(x 2﹣2x +n )＝x 4﹣2x 3+nx 2+mx 3﹣2mx 2+mnx +x 2﹣2x +n ＝x 4+(﹣2+m )x 3+(n ﹣2m +1)x 2+(mn ﹣2)x +n ， ①(x 2+mx +1)(x 2﹣2x +n )的展开式中不含x 2和x 3项， ①﹣2+m ＝0，n ﹣2m +1＝0， 解得：m ＝2，n ＝3； (2)2n 2+(2m +n )(m ﹣n )﹣(m ﹣n )2 ＝2n 2+2m 2﹣2mn +mn ﹣n 2﹣m 2+2mn ﹣n 2 ＝m 2+mn ，当m ＝2，n ＝3时，原式＝4+6＝10．【点拨】此题考查了合并同类项，多项式乘多项式，解题关键是合并同类项 23．（1）(2)(6)x x +-；（2）1；5【分析】（1）根据题目所给方法进行因式分解即可；（2）先对二次三项式进行因式分解，然后利用题中所给方法进行求解即可． 解：（1）2412x x --24416x x =-+-()2216x =-- ()()2424x x =---+()()62x x =-+；（2）由()222615x x x -+=-+可得： ①()210x -≥，①当10x-=时，即x=1，226x x-+取最小值5；故答案为1，5．【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．24．（1）（a+b）2-（a-b）2＝4ab；（2）±4；（3）-3【分析】（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2＝（a+b）2-（a-b）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2＝4xy，将x+y＝5，x•y94=代入计算即可得出答案；（3）将等式（2019-m）+（m-2020）＝-1两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2＝（a+b）2-（a-b）2，①图1的面积和图2中白色部分的面积相等，①（a+b）2-（a-b）2＝4ab，故答案为：（a+b）2-（a-b）2＝4ab；（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2＝4xy，①x+y＝5，x•y＝94，①52-（x-y）2＝4×94，①（x-y）2＝16①x-y＝±4，故答案为：±4；（3）①（2019-m）+（m-2020）＝-1，①[（2019-m）+（m-2020）]2＝1，①（2019-m）2+2（2019-m）（m-2020）+（m-2020）2＝1，①（2019-m）2+（m-2020）2＝7，①2（2019-m）（m-2020）＝1-7＝-6；①（2019-m）（m-2020）＝-3．【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键。

A.大于零
B.等于零
C.小于零
D 不能确定
3．已知 x3 12x 16 有一个因式是 x 4 ，把它分解因式后应当是（ ）
A． (x 4)(x 2)2 B． (x 4)(x2 x 1)
C． (x 4)(x 2)2 D． (x 4)(x2 x 1)
4．若 x a x b x2 px q ，且 p 0 ， q 0 ，那么 a，b 必须满足条件( )．
8. 【答案】D； 【解析】A、B 各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C 第一组运用
立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式 x y ，所以分组合理，D 第一组
提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当.
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A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 将 x3 x2 y xy2 y3 分组分解，下列的分组方法不恰当的是（
）
A. (x3 x2 y) (xy2 y3 ) B. (x3 xy2 ) (x2 y y3 )
C. (x3 y3 ) (x2 y xy2 ) D. (x3 x2 y xy2 ) y3
11.【答案】－3；
【解析】 m2 2m n2 6n 10 m 12 n 32 0, m 1, n 3 .
12.【答案】 x7 y8
【 解 析 】 因 为 x2 y3 0， 所 以 y 0 ， 原 式 ＝
2xy
|
1 2
x6
y7
|
2xy
1 2
x6
y7
x7
y8
.
13.【答案】－6；
A．提取公因式