均匀随机数的产生

3.3.2 均匀随机数的产生
（1）了解均匀随机数的概念； （2）掌握利用计算机产生均匀随机数的方法； （3）会利用均匀随机数解决具体的有关几何概 型概率的问题。
新知识：1、[0，1]上均匀随机数的产生
利用计算器或计算机中的RAND函数可以产生 [0，1]之间的均匀随机数。
试验的结果是区间[0，1]内的任何一个实数， 而且都是等可能出现的。 2、[a，b]上均匀随机数的产生
(1)利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀 随机数X1=RAND; (2)利用伸缩和平移变换：X=a+X1*(b—a) 计算X的值，则X为[a，b]上的均匀随机数.
试验的结果X是区间[a，b]内的任何一个实数， 而且都是等可能人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验， 可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题， 体现了数学知识的应用价值.
3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本 思想是，构造一个包含这个图形的规则图形 作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀 随机数，再利用两个图形的面积之比近似等 于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点 的个数之比来解决.
602 302
P(A)
2 602
87.5%.
例2、在下图的正方形中随机撒一把豆子， 如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.
S圆 S正

落在圆中的豆子数 落在正方形中的豆子数


4 落在圆中的豆子数 落在正方形中的豆子数
例3、利用随机模拟方法计算由y=1和
y=x2 所围成的图形的面积. y

电子信息与通信工程学院实验报告实验名称随机数的产生课程名称随机信号分析姓名顾康学号U201413323 日期6月6日地点南一楼东204 成绩教师董燕以上为6种分布的实验结果1.均匀分布随机变量X~U(0，1)的一组样本值的模拟值一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到，通常是利用递推公式:Xn=f(Xn-1,.....,Xn-k)1.1 同余法Xn+1 = λXn(mod M)Rn=Xn/MR1 R2...Rn即为（0,1）上均匀分布的随机数列。

而上述方法是伪随机的，{Rn}本质上是递推公式给定的周期序列，周期T可看做logλ（M）。

解决方法是：选择模拟参数并对序列进行统计检验。

1.2选择模拟参数1）周期长度取决于Xo,λ， M的选择2）通过选取适当的参数可以改善随机数的性质几组参考的取值Xo =1 , λ=7 , M=10^10Xo =1 , λ=5^13 , M=2 *10^10Xo =1 , λ=5^17 , M=10^121.3对数列进行统计检验对应序列能否看作X的独立同分布样本，须检验其独立性和均匀性for i=2:1:size %同余法均匀分布x(i)= mod ( v*x(i-1), M);y(i)=x(i)/M;endsubplot(2,3,1);hist(y,100)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(y)% 以0.95的置信度估计样本的参数首先我们的标准是U ~（0，1），而实验值，ACI表示ahat的范围[-0.0030,0], BCI表示bhat的范围[1.0000,1.0030]。

同时样本的均值和方差分别为0.4932和0.0830，结论与理论值很接近。

该样本以0.95的可信度服从（0,1）均匀分布。

2.伯努利分布2.1算法原理若随机变量R服从（0,1），P(X=Xi)=PiP(0)=0, P(n)=∑PiP{P(n-1)<R<=P(n)}=P(n)-P(n-1)=Pn令{P(n-1)<X<=P(n)}={X=Xn} 有P(X=Xn)=Pn从理论上讲，已经解决了产生具有任何离散型随机分布的问题。

均匀随机数的产生算法在计算机科学领域，均匀随机数的生成是一个重要的问题，因为许多应用程序和算法都需要使用随机数。

在下面的文章中，我们将讨论一些常见的均匀随机数生成算法。

1. 线性同余算法（Linear Congruential Algorithm，LCA）：线性同余算法是最常见和简单的随机数生成算法之一、它的基本思想是通过对当前随机数进行线性变换和模运算，得到下一个随机数。

具体的公式为：Xn+1 = (a * Xn + b) mod m其中，Xn是当前随机数，Xn+1是下一个随机数，a、b和m是参数，mod是取余运算符。

这种算法主要依靠选择适当的参数来产生随机数序列。

2. 排列算法（Permuting Algorithm，PA）：排列算法是一种将给定数字进行随机排列的算法。

它的基本思想是通过交换数字的位置来生成随机排列。

具体的步骤如下：1)首先，将数字按照正常顺序排列。

2)然后，开始从第一个数字开始，随机选择一个位置，并将该数字与选定位置的数字交换。

3)重复第2步，直到所有数字都被交换过。

4)最后得到的序列即为随机排列。

3. 梅森旋转算法（Mersenne Twister Algorithm，MTA）：梅森旋转算法是一种广泛使用的随机数生成算法，它具有较长的周期和良好的统计特性。

该算法的基本思想是使用一个巨大的状态空间，并通过一系列复杂的运算来生成随机数。

梅森旋转算法是一种伪随机数生成算法，它使用有限的状态空间来产生伪随机序列。

4. 线性同余器方法（Linear Congruential Generator Method，LCG）：线性同余器方法是一种简单但有效的随机数生成算法。

它基于线性同余算法，但加入了更多的操作，以改进随机数的质量和周期。

具体的步骤如下：1)首先，选择合适的参数a、c和m。

2)赋予一个初始值X0。

3) 计算下一个随机数Xn+1 = (a * Xn + c) mod m。

4)重复第3步，即可得到一个均匀分布的随机数序列。

第二章补充一随机数的产生方法1.均匀分布随机数的产生产生(0, 1)均匀分布随机数的方法很多,大致可归纳为三大类:1）利用专门的随机数表。

这种随机数随机性和均匀性较好，但是很难产生和存储足够大的随机数表，而仿真有时需要大量的随机数。

2）物理方法产生随机数例如放射粒子计数器，电子管或晶体管噪声发生器等。

这种随机数随机性和均匀性都很好，而且可以产生任意多个随机数。

缺点是没有可重复性，难以对程序和仿真的正确性作检查。

3）数学方法产生随机数常用的方法有：平方取中法和线性同余法。

i.平方取中法：平方取中法是四十年代由冯·诺依曼和梅特罗波利斯(V on Neuman and Metropolis)提出的。

其基本思想是任取一个N位整数作为初值，将初值平方，得到一个2N位的整数，如果初值的平方不是2N位时，高位用0补齐，取中间N 位作第一个随机数。

将第一个随机数平方取中间N位即得第二个随机数，以此类推可得到一系列随机数。

平方取中法虽然简单，但周期较短，产生的随机数的统计性质不好，若初值取得不恰当，还会发生退化现象。

所以必须注意初值的选取。

ii.线性同余法当今应用的大多数随机数发生器是采用线性同余法。

使用线性同余法必须事先提供三个参数；l，u，m．其迭代公式为：x i+1＝(λxi+μ)(mod m)其中，i＝1，2，…λ≠0 。

这里A称为乘子，μ为增量，m为模。

在式中，若给定初值x0(称为种子)，就可迭代算出均匀随机数序列x1、x2、……，将它们除以m，即可得到(0，1)区间均匀分布的随机数xi 。

当μ≠0、λ=1时称为加同余法；当μ=0且λ≠1时，称为乘同余法；当λ≠1且μ≠0时称为混合同余法。

乘同余法的迭代公式为：xi+1=λxi(mod m)例如用乘同余法产生随机数，其中λ=19，m=100，x。

＝11，按下面步骤计算：第i步x i-1λx i-1λx i-1(mod m)1 11 209 92 9 171 713 71 1349 494 49 931 315 31 589 89由于模数m的位数有限，这使得产生的随机数序列到了一定长度后，总会出现重复循环序列的现象。

f ( x) ≤ d
b
,
为了化一般区间上的积分为[0,1]区间上的积分,且被积函数值 在[0,1]之间,令 x = (b − a)u + a ,则有：
∫
b
a
f ( x)dx = S0 ∫ ϕ (u )du + c(b − a )
0
1
其中 ϕ (u ) =
[ f (a + (b − a )u ) − c] , S 0 = (b − a)(d − c) . d −c
本章目录
7
随机数的产生与模拟
Carlo方法在解确定性问题中的应用 3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
1 2 3 4
蒙特卡罗（ Carlo） 方法（ 即随机模拟方法） 蒙特卡罗 （ Monte Carlo ） 方法 （ 即随机模拟方法 ） 求解实际问题的基本步骤包括： 求解实际问题的基本步骤包括： 建模： 建模 ： 对所求的问题构造一个简单而又便于实现的概 率统计模型， 率统计模型 ， 使所求的解恰好是所建模型的参数或有 关的特征量。 关的特征量。 改进模型： 改进模型 ： 根据概率统计模型的特点和计算实践的需 尽量改进模型，以便减少误差和降低成本， 要 ， 尽量改进模型 ， 以便减少误差和降低成本 ， 提高 计算效率。 计算效率。 模拟试验 求解：对模拟结果进行统计处理， 求解 ： 对模拟结果进行统计处理 ， 给出所求问题的近 似解。 似解。
1
随机数的产生与模拟
Carlo方法在解确定性问题中的应用 3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
应用实例
例4：用上述四种方法计算 I = ∫0 e x dx (3)重要抽样法
data E3; do k=1 to 1000;s=0; Do i=1 to 1000; r=ranuni(32789);x=(3*r+1)**(1/2)-1; s=s+exp(x)/(1+x); end; I3=3/(2*1000)*s;output; E3=abs(I3-(exp(1)-1)); End; run; proc means data=e3 Mean Var; var I3; run;

第一节 均匀随机数的产生及其应用§1.1 随机数的产生§1.1.1 均匀随机数的产生随机变量X 的抽样序列 ,,,,21n X X X 称为随机数列。

若随机变量X 是均匀分布的，则X 的抽样序列 ,,,,21n X X X 称为均匀随机数列；如果X 是正态分布的随机变量，则称其抽样序列为正态随机数列。

用数学方法产生随机数，就是利用计算机能直接进行算术运算或逻辑运算的特点，产生具有均匀总体、简单子样统计性质的随机数。

计算机利用数学方法产生随机数速度快，占用内存少，对模拟的问题可以进行复算检查，通常还具有较好的统计性质。

另外，计算机上用数学方法产生随机数，是根据确定的算法推算出来的，因此严格说来，用数学方法在计算机上产生的“随机数”不能说是真正的随机数，故一般称之为“伪随机数”。

不过对这些伪随机数，只要通过统计检验符合一些统计要求，如均匀性、随机性、独立性等，就可以作为真正的随机数来使用。

以后，我们统称这样产生的伪随机数为随机数。

首先给出产生均匀随机数的方法，这是产生具有其它分布随机数的基础，而后给出产生其它分布随机数的方法。

§1.1.1 均匀随机数的产生方法线性同余法简称为LCG 法（Linear Congruence Generator ），它是Lehmer 于1951年提出来的。

线性同余法利用数论中的同余运算原理产生随机数。

分为乘同余法、混合同余法等，线性同余法是目前发展迅速且使用普遍的方法之一。

线性同余法递推公式为)(m o d 1M c ax x n n +≡-,,2,1, ==n M x r n n其中0x 为初值，a 为乘子，c 为增量，M 为模，且c a x ,,0和M 皆为非负整数。

当0=c 时，上式称为乘同余法公式；当0>c 时，上式称为混合同余法公式。

如下例用乘同余法产生伪随机数：例1：1117(mod11)n n x x x +=⎧⎨≡⎩ 1234567891011121;7;5;2;3;10;4;6;9;8;1;7;......x x x x x x x x x x x x ============上述方法虽产生了随机数，但只产生1-10之间的数。

试验的总次数
.
思考2 设X、Y为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送 报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间， 若事件A发生，则X、Y应满足什么关系？ 7＋Y >6.5＋X，即Y>X－0.5.
思考3：如何利用计算机做100次模拟试验，计算事件A发 生的频率，从而估计事件A发生的概率？ （1）在A1～A100，B1～B100产生两组[0，1]上的均匀随机 数；
a1=RAND,b1=RAND; （2）经平移和伸缩变换， a=(a1-0.5)﹡2; （3）数出落在阴影内的样本点数N1,用几何概型计 算阴影部分的面积. 例如做1000次试验，即N=1000,模拟得到N1=698, 所以 S 2N1 1.396.
N
根据几何概型计算概率的公式，概率等于面
积之比，如果概率用频率近似表示，在不规则 的图形外套上一个规则图形，则不规则图形的 面积近似等于规则图形的面积乘频率.
（2）选定D1格，键入“=A1-B1”，按Enter键. 再选定D1格， 拖动至D100，则在D1～D100的数为Y-X的值； （3）选定E1格，键入“=FREQUENCY（D1：D100， 0.5）”，统计D列中小于0.5的数的频数；
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找 出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题 转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.
记“两人会面”为事件A.
阴影（红色）部分的面积
P( A)
正方形的面积
25 2 1 42
=
2
=
9
.
25
25
y
5
y=x+1
4
y=x-1
3
2
1
0 1234 5 x

i
* 为非负整数。
0
xi
M
可以证明，{i}是周期为 2k 的伪随机数。
x*
1、混合同余法（0，1）均匀分布的随机数 L=60,取 k=2,c=1,n=5,l=60, 0 =1
公lear clc k=8;
c=1; n=5; x=1;
M=2^k;
A=2^n+1; store=[ ]; for i=1:60
0.128906250000000 0.890625000000000 0.777343750000000 0.789062500000000 0.925781250000000 0.187500000000000 0.574218750000000 0.0859375000000000 0.722656250000000 0.484375000000000
x1=xor(y3,y4);%第一个移位积存器的输入是第3个与第4个移位积存器的输出的“或” x2=y1;%第二个移位积存器的输入是第3个移位积存器的输出 x3=y2;%第三个移位积存器的输入是第2个移位积存器的输出 x4=y3;%第四个移位积存器的输入是第3个移位积存器的输出 y(i)=y4;%取出第四个移位积存器幅值为"0"和"1"的输出信号，
0.359375000000000 0.863281250000000 0.492187500000000
0.246093750000000 0.257812500000000 0.394531250000000 0.656250000000000 0.0429687500000000 0.554687500000000 0.191406250000000 0.953125000000000 0.839843750000000 0.851562500000000

一维均匀分布随机数序列的产生方法【摘要】利用混沌的随机数产生算法和线性同余发生器以及MATLAB产生一维均匀分布随机数序列.经过检验,随机数列的统计性质有了很大提高，【关键词】混沌；线性同余发生器；MATLAB；随机数1 引言随机数在信息加密、数值运算及医学中基因序列分析等研究中有着广泛的应用。

比如数值运算中,Monte Carlo方法占有重要的地位,随机数是该方法的基础.随机数的质量影响了信息的安全和计算结果的精度。

特别是一些安全级别比较高的应用,对随机数提出了很高的要求。

随机数可由硬件和软件两种方式产生。

在计算机中广泛使用的是软件方式,通过计算机利用数学模拟随机过程产生随机数。

此方法有着自身的不足,数据之间有着关联性,存在周期,并非真正的随机数,因此被成为伪随机数。

生成随机数的方法繁多，从产生机理来说，可分为数学方法和物理方法两种，其所产生的随机数分别被称之为伪随机数和真随机数，前者易被破解，后者取自物理世界的真实随机源，难以破解，但这并不代表基于真随机源产生的随机数质量就很高，要取决于产生算法如何利用这个真随机源，相反的，许多用数学方法产生的随机数质量比较好。

因此，若能将数学方法和物理方法结合起来，则可能产生高质量的真随机数。

常见的产生随机数的方法有【1】线性同余法（LCG,Linear Congruent Generators）、Tarsworthe位移计数器法、Fibonacci延迟产生器法等。

为了克服以上方法的缺陷,人们还发展了许多新的方法。

组合发生器就是著名的一种。

它是将两个随机数发生器进行组合,以一种发生器产生一个随机数列,再用另一个随机数发生器对随机数列进行重修排列,得到一个更为独立,周期更长的随机数列。

已有一些利用混沌序列转换伪随机数列的报道【2】,文献【3】虽然提出了一种由logistic映射构造具有均匀性数列的好方法,但数据之间的独立性较差。

本研究中提出了一种新的方法,利用混沌算法【4】和线性同余发生器相组合得到随机数列,并就数据的均匀性和独立性进行了检验。

一维均匀分布随机数序列的产生方法引言：随机数序列主要应用于序列密码（流密码）。

序列密码的强度完全依赖于序列的随机性与不可预测性。

随机数在密码学中也是非常重要的，主要应用于数字签名（如美国数字签名标准中的数字签名算法）、消息认证码（如初始向量）、加密算法（如密钥）、零知识证明、身份认证（如一次性nonce）和众多的密码学协议。

关键词：随机数、随机数序列、均匀分布一、随机数及随机数序列的简介在统计学的不同技术中需要使用随机数，比如在从统计总体中抽取有代表性的样本的时候，或者在将实验动物分配到不同的试验组的过程中，或者在进行蒙特卡罗模拟法计算的时候等等。

产生随机数有多种不同的方法。

这些方法被称为随机数发生器。

随机数最重要的特性是：它所产生的后面的那个数与前面的那个数毫无关系。

随机数序列分为真随机数序列与伪随机数序列，随机数分为真随机数和伪随机数。

真随机数序列从真实世界的自然随机性源产生，办法是找出似乎是随机的事件然后从中提取随机性，如自然界中的抛币。

在计算机中噪音可以选取真实世界的自然随机性，如从计算机时钟寄存器中取得本机的当前系统时间到秒（或微秒）级的数值，测量两次击键的时间间隔，相邻两次鼠标移动的时间间隔以及由计算机硬件报告的鼠标实际位置等。

伪随机数序列用确定的算法产生，不是真正的随机数序列。

伪随机数序列发生器指使用短的真随机数序列（称为种子）x扩展成较长的伪随机数序列y。

在密码学中伪随机数序列的使用大大减少了真随机数序列的使用，但不能完全取代真随机数序列的使用（如种子）。

通常，我们需要的随机数序列应具有非退化性、周期长、相关系数小等优点。

二、一维均匀分布的简介设连续型随机变量X 的分布函数为 F(x)=(x-a)/(b-a)，a ≤x≤b，则称随机变量X 服从[a,b]上的均匀分布，记为X ～U[a ，b]。

若[x1,x2]是[a,b]的任一子区间,则 P{x1≤x≤x2}=(x2-x1)/(b-a)，这表明X 落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关，因此X 落在[a,b]的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种等可能性。

第三章 3.3
3.3.2
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规律总结：用随机模拟方法估计几何概型的步骤：① 确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面 积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机 数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系 式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概 率．
第三章 3.3 3.3.2
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利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y＝x3和x＝2以及x 轴所围成的部分)的面积．
第三章 3.3
3.3.2
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[分析]
解答本题可先计算与之相应的规则图形的面
积，然后利用随机模拟的方法求出几何概率，并对阴影部分 的面积进行估算．
第三章 3.3
3.3.2
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自主预习 阅读教材P137－140，回答下列问题： 1．均匀随机数 (1)定义 如果试验的结果是区间[a，b]上的任何一个实数，而且 出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机 数．
第三章 3.3
3.3.2
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求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积 的近似值．
第三章 3.3
3.3.2
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[解析]
步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随
机数，a1＝RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2b1，得到 一组[－1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数． (3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b<2a 的点(a，b)的个数]．

一维均匀分布随机数序列的产生方法引言：随机数序列主要应用于序列密码（流密码）。

序列密码的强度完全依赖于序列的随机性与不可预测性。

随机数在密码学中也是非常重要的，主要应用于数字签名（如美国数字签名标准中的数字签名算法）、消息认证码（如初始向量）、加密算法（如密钥）、零知识证明、身份认证（如一次性nonce）和众多的密码学协议。

关键词：随机数、随机数序列、均匀分布一、随机数及随机数序列的简介在统计学的不同技术中需要使用随机数，比如在从统计总体中抽取有代表性的样本的时候，或者在将实验动物分配到不同的试验组的过程中，或者在进行蒙特卡罗模拟法计算的时候等等。

产生随机数有多种不同的方法。

这些方法被称为随机数发生器。

随机数最重要的特性是：它所产生的后面的那个数与前面的那个数毫无关系。

随机数序列分为真随机数序列与伪随机数序列，随机数分为真随机数和伪随机数。

真随机数序列从真实世界的自然随机性源产生，办法是找出似乎是随机的事件然后从中提取随机性，如自然界中的抛币。

在计算机中噪音可以选取真实世界的自然随机性，如从计算机时钟寄存器中取得本机的当前系统时间到秒（或微秒）级的数值，测量两次击键的时间间隔，相邻两次鼠标移动的时间间隔以及由计算机硬件报告的鼠标实际位置等。

伪随机数序列用确定的算法产生，不是真正的随机数序列。

伪随机数序列发生器指使用短的真随机数序列（称为种子）x扩展成较长的伪随机数序列y。

在密码学中伪随机数序列的使用大大减少了真随机数序列的使用，但不能完全取代真随机数序列的使用（如种子）。

通常，我们需要的随机数序列应具有非退化性、周期长、相关系数小等优点。

二、一维均匀分布的简介设连续型随机变量X 的分布函数为 F(x)=(x-a)/(b-a)，a ≤x≤b，则称随机变量X 服从[a,b]上的均匀分布，记为X ～U[a ，b]。

若[x1,x2]是[a,b]的任一子区间,则 P{x1≤x≤x2}=(x2-x1)/(b-a)，这表明X 落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关，因此X 落在[a,b]的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种等可能性。

一、选择题1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决()A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积D．最适合估计古典概型的概率[答案] C[解析]很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．2．给出下列关系随机数的说法：①计算器只能产生(0,1)之间的随机数；②我们通过RAND*(b－a)＋a可以得到(a，b)之间的随机数；③计算器能产生指定两个整数值之间的取整数值的随机数．其中说法正确的是()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] C3．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则()A．m>n B．m<nC．m＝n D．m是n的近似值[答案] D4．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是( )A.12B.13C.14D ．1[答案] B[解析] 因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是13.5．设x 是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y ＝2x ＋3，则x ＝12对应变换成的均匀随机数是( )A ．0B ．2C ．4D ．5 [答案] C[解析] 当x ＝12时，y ＝2×12＋3＝4.6．把[0,1]内的均匀随机数分别转化为[0,4]和[－4,1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为( )A ．y ＝－4x ，y ＝5－4B ．y ＝4x －4，y ＝4x ＋3C ．y ＝4x ，y ＝5x －4D ．y ＝4x ，y ＝4x ＋3 [答案] C7．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30 s ，黄灯亮的时间为5 s ，绿灯亮的时间为40 s ，当你到达路口时，事件A 为“看见绿灯”、事件B 为“看见黄灯”、事件C 为“看见不是绿灯”的概率大小关系为( )A ．P (A )>P (B )>P (C ) B ．P (A )>P (C )>P (B )C ．P (C )>P (B )>P (A )D ．P (C )>P (A )>P (B )[答案] B 8．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A ＝{投中大圆内}，事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C ＝{投中大圆之外}．(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RNAD.(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．(3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足上述－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数)．则概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值分别是( )A.N 1N ，N 2N ，N －N 1NB.N 2N ，N 1N ，N －N 2NC.N 1N ，N 2－N 1N ，N 2ND.N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N[答案] A [解析] P (A )的近似值为N 1N ，P (B )的近似值为N 2N ，P (C )的近似值为N －N 1N .二、填空题9．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________．[答案] N 1N[解析] 这种随机模拟的方法，是在[0,1]内生成了N 个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N 1个，所以根据比例关系SS 矩形＝N 1N ，而矩形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为N 1N .10．(2012～2013·福建四地六校联考高二检测)设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率为________．[答案] 12[解析] 如图所示，在圆周上过定点A 作弦AB ＝AC ＝2r ，则BC 是圆的一条直径．当取的点在BC 上方时满足了弦长大于半径的2倍，所以P ＝12.11．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM >AC 的概率是________．[答案] 1－22[解析] 设CA ＝CB ＝m (m >0)，则AB ＝2m .设事件M ：AM >AC ，即P (M )＝AB －AC AB ＝2m －m 2m＝1－22. 12．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为45，则河宽为________m.[答案] 100[解析] 已知河宽为x m ，由题意得1－x 500＝45，则x ＝100.三、解答题13．在长为14 cm 的线段AB 上任取一点M ，以A 为圆心，以线段AM 为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm 2到16πcm 2之间的概率．[分析] 圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型．解答本题时只需产生一组均匀随机数．[解析] 设事件A 表示“圆的面积介于9π cm 2到16π cm 2之间”．(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a 1＝RAND ；(2)经过伸缩变换a ＝14a 1得到一组[0,14]上的均匀随机数；(3)统计出试验总次数N 和[3,4]内的随机数个数N 1(即满足3≤a ≤4的个数)；(4)计算频率f n (A )＝N 1N ，即为概率P (A )的近似值．14．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率．[解析] 记事件A ＝{硬币与格线有公共点}，设硬币中心为B (x ，y )．步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND.(2)经过平移，伸缩变换，则x ＝(x 1－0.5)*6，y ＝(y 1－0.5)*6，得到两组[－3,3]内的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 及硬币与格线有公共点的次数N 1(满足条件|x |≥2或|y |≥2的点(x ，y )的个数)．(4)计算频率N 1N ，即为硬币落下后与格线有公共点的概率．15．用随机模拟方法求函数y ＝x 与x 轴和直线x ＝1围成的图形的面积．[分析] 将问题转化为求在由直线x ＝1，y ＝1和x 轴，y 轴围成的正方形中任取一点，该点落在已知图形内的概率．用随机模拟方法来估计概率即可．[解析] 如图所示，阴影部分是函数y ＝x 的图象与x 轴和直线x ＝1围成的图形，设阴影部分的面积为S .随机模拟的步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；(2)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件y <x 的点(x ，y )的个数)；(3)计算频率N 1N ，即为点落在阴影部分的概率的近似值；(4)直线x ＝1，y ＝1和x ，y 轴围成的正方形面积是1，由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为S 1＝S .则S ＝N 1N ，即阴影部分面积的近似值为N 1N .16．现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，用随机模拟的方法计算飞镖落在阴影部分的概率，阴影部分由直线6x －3y －4＝0和x ＝1，y ＝－1围成．[分析] 要确定飞镖落点位置，需要确定两个坐标x 、y ，可用两组均匀随机数来表示点的坐标．[解析] 记事件A ＝{飞镖落在阴影部分}．(1)用计算机或计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，x ＝2(x 1－0.5)，y ＝2(y 1－0.5)得到两组[－1,1]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 及落在阴影部分的点数N 1(满足6x －3y －4>0的点(x ，y )的个数)．(4)计算频率f n (A )＝N 1N 即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值．。

均匀随机数的产生算法下面将介绍几种常见的均匀随机数产生算法：1. 线性同余法算法（Linear congruential generator, LCG）：线性同余法算法是最常见的随机数产生算法之一、它的基本原理是通过以下递推公式得到随机数：Xn+1 = (a * Xn + c) mod m其中，Xn是当前的随机数，Xn+1是下一个随机数，a、c、m是常数，通常选择合适的a、c、m可以产生具有良好均匀性的随机数序列。

2. 递推式产生器（Recursive generator）：递推式产生器是一种基于数学递推公式的随机数产生算法。

其基本原理是通过递推公式不断更新随机数的值，从而产生一系列随机数。

递推式产生器的一个常见例子是Fibonacci递推式：Xn+2 = (Xn+1 + Xn) mod m其中，Xn是当前的随机数，Xn+2是下一个随机数。

3. 平方取中法（Middle-square method）：平方取中法是一种简单的随机数产生算法。

它的基本原理是通过将当前的随机数平方并取中间的几位数字作为下一个随机数。

具体步骤如下：-将当前的随机数平方，得到一个更大的数。

-取平方结果的中间几位作为下一个随机数。

-若需要较大的随机数，再次对下一个随机数进行平方取中操作。

4. 梅森旋转算法（Mersenne Twister）：梅森旋转算法是一种基于梅森素数（Mersenne prime）的随机数产生算法。

它具有周期长、随机性好等特点，广泛应用于模拟、统计等领域。

该算法基于以下递归公式生成随机数：Xn=Xn-M^(Xn-M+1，u)其中，Xn是当前的随机数，Xn-M和Xn-M+1是前面两个随机数，u是一系列位操作（如或运算、异或运算等）。

通过选择不同的Xn-M和Xn-M+1，可以生成不同的随机数序列。

混合线性同余法是一种多元随机数产生算法。

它的基本原理是将多个线性同余法的结果进行线性组合，从而产生更高质量的随机数。

高一数学必修三复习知识点归纳1.高一数学必修三复习知识点归纳篇一均匀随机数均匀随机数的产生：我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[0，1]内的任何一个数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此就可以用计算器来产生0～1之间的均匀随机数进行随机模拟，我们常用随机模拟的方法来计算不规则图形的面积。

均匀随机函数：均匀随机函数且只能产生[0，1]区间上均匀随机数。

产生[a,b]区间上均匀随机数：产生[a,b]区间上均匀随机数，如果x是[0,1]区间上的均匀随机数，则x(b-a) +a就是[a,b]区间上的均匀随机数。

计算机通过产生均匀随机数进行模拟实验的思路：(1)根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的个数，如长度、角度型只用一组即可;而面积型需要两组随机数，体积型需要三组随机数;(2)根据总体对应的区域确定产生随机数的范围;(3)根据事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式。

2.高一数学必修三复习知识点归纳篇二直线回归方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。

如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。

3.高一数学必修三复习知识点归纳篇三直线方程：1.点斜式：y-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直线所通过的已知点的坐标，k是直线的已知斜率。

x是自变量，直线上任意一点的横坐标;y是因变量，直线上任意一点的纵坐标。

2.斜截式：y=kx+b直线的斜截式方程：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。

此斜截式类似于一次函数的表达式。

电子信息与通信工程学院实验报告实验名称随机数的产生课程名称随机信号分析姓名顾康学号U201413323 日期6月6日地点南一楼东204 成绩教师董燕以上为6种分布的实验结果1.均匀分布随机变量X~U(0，1)的一组样本值的模拟值一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到，通常是利用递推公式:Xn=f(Xn-1,.....,Xn-k)1.1 同余法Xn+1 = λXn(mod M)Rn=Xn/MR1 R2...Rn即为（0,1）上均匀分布的随机数列。

而上述方法是伪随机的，{Rn}本质上是递推公式给定的周期序列，周期T可看做logλ（M）。

解决方法是：选择模拟参数并对序列进行统计检验。

1.2选择模拟参数1）周期长度取决于Xo,λ， M的选择2）通过选取适当的参数可以改善随机数的性质几组参考的取值Xo =1 , λ=7 , M=10^10Xo =1 , λ=5^13 , M=2 *10^10Xo =1 , λ=5^17 , M=10^121.3对数列进行统计检验对应序列能否看作X的独立同分布样本，须检验其独立性和均匀性for i=2:1:size %同余法均匀分布x(i)= mod ( v*x(i-1), M);y(i)=x(i)/M;endsubplot(2,3,1);hist(y,100)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(y)% 以0.95的置信度估计样本的参数首先我们的标准是U ~（0，1），而实验值，ACI表示ahat的范围[-0.0030,0], BCI表示bhat的范围[1.0000,1.0030]。

同时样本的均值和方差分别为0.4932和0.0830，结论与理论值很接近。

该样本以0.95的可信度服从（0,1）均匀分布。

2.伯努利分布2.1算法原理若随机变量R服从（0,1），P(X=Xi)=PiP(0)=0, P(n)=∑PiP{P(n-1)<R<=P(n)}=P(n)-P(n-1)=Pn令{P(n-1)<X<=P(n)}={X=Xn} 有P(X=Xn)=Pn从理论上讲，已经解决了产生具有任何离散型随机分布的问题。