成的区域上的均匀随机数．
(2)均匀随机数的产生
①计算器上产生[0，1]的均匀随机数的函数是_R_A_N_D____函数．
②Excel 软 件 产 生 [0 ， 1] 区 间 上 均 匀 随 机 数 的 函 数 为
“__ra_n_d_(_) ______”．
(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 ①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计 试验结果． ②计算机模拟的方法：用 Excel 软件产生[0，1]区间上均匀随机 数进行模拟(注意操作步骤)．
几何概型 均匀随机数的产生
1．几何概型的概念 (1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与_构__成__该__事__件_区__域__的__长__度__(_面_积__ _或__体__积__)____成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几
何概型．
(2)几何概型的特点
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_无__限__多_个__．
于是 P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝AACB′＝AACB＝ 22.即 AM 小于 AC 的
概率为
2 2.
1．(变条件)在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 在∠ACB 内部作一条射线 CM，与直线 AB 交于点 M，求 AM 小于 AC 的概率．
[解] 由题意，应看成射线 CM 在∠ACB 内是等可能分布的，在 AB 上截取 AC′＝AC(如图)，则∠ACC′＝67.5°，故满足条件的概率为 6970.5＝34.
2．(变结论)本例条件不变． (1)若求 AM 不大于 AC 的概率，结果有无变化？ (2)求 AM 大于 AC 的概率． [解] (1)结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为 0， 包含与不包含一点，不改变概率的结果． (2)如图，点 M 随机地落在线段 AB 上，故线段 AB 的长度为试验 的全部结果所构成的区域长度，在 AB 上截取 AC′＝AC，当点 M 位 于线段 C′B 上时，AM>AC，
[提示] (1)无论是古典概型还是几何概型，若 A 是不可能事件， 则 P(A)＝0 肯定成立；若 A 是必然事件，则 P(A)＝1 肯定成立．
(2)在古典概型中，若事件 A 的概率 P(A)＝0，则 A 为不可能事件； 若事件 A 的概率 P(A)＝1，则 A 为必然事件．
(3)在几何概型中，若事件 A 的概率 P(A)＝0，则 A 不一定是不可 能事件，如：事件 A 对应数轴上的一个点，则其长度为 0，该点出现 的概率为 0，但 A 并不是不可能事件；同样地，若事件 A 的概率 P(A) ＝1，则 A 也不一定是必然事件．
②每个基本事件出现的可能性_相_等__．
2．几何概型的概率公式： 构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)＝_试__验_的__全__部__结__果__所__构__成__的__区_域__长__度__（__面__积__或__体__积_）___
பைடு நூலகம்
3．均匀随机数 (1)均匀随机数的概念
在随机试验中，如果可能出现的结果有无__限__多__个__，并且这些结 果都是_等__可_能__发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构
[解] (1)通解 设直角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ ABC 的面积，为 S1＝12bc，区域 Ⅱ的面积 S2＝12π×2c2＋12π×b22－π×2a22－12bc＝18π(c2＋b2－a2)＋12 bc＝12bc，所以 S1＝S2，由几何概型的知识知 p1＝p2，故选 A.
与面积、体积有关的几何概型
【例 2】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)如图所示，来自古希腊数学家希波 克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.△ ABC 的三边所围 成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中 随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3 (2)在区间[－2，2]上任取两个整数 x，y 组成有序数对(x，y)，求 满足 x2＋y2≤4 的概率；
思路点拨：(1)根据几何图形特征．分别计算区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 面积应用面积型几何概型定义判断．
(2)在区间[－2，2]上任取两个整数 x，y，组成有序数对(x，y)是 有限的，应用古典概型求解．
【例 1】 在等腰直角三角形 ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M， 求 AM 小于 AC 的概率．
思路点拨：本例是与哪种区域有关的几何概型问题？
[解] 点 M 随机地落在线段 AB 上，故线段 AB 的长度为试验的 全部结果所构成的区域长度．在 AB 上截取 AC′＝AC，当点 M 位于 图中的线段 AC′上(不包括点 C′)时，AM<AC，故线段 AC′即为构成事 件 A 的区域长度．
(4)[a，b]上均匀随机数的产生 利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数 x＝RAND，然
后利用伸缩和平移交换，x＝___x_1*_(_b_－__a_)＋__a________就可以得到[a，
b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任 何一个实数都是等可能出现的．
故线段 C′B 即为构成事件的区域长度．
∴P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝CA′BB＝1－
2 2.
求解与长度有关的几何概型的关键点 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成 的区域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后 找到事件 A 发生对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是问题 的关键，但边界点是否取到不会影响事件 A 的概率．
与长度、角度有关的几何概型
[探究问题] 1．几何概型与古典概型的区别是什么？
[提示] 几何概型的试验结果是无限的，古典概型的试验结果是 有限的．
2．解决几何概型问题概率的关键是什么？
[提示] 确定所求概率与区域长度、角度、面积、体积中的哪一 个有关．
3．“P(A)＝0⇔A 是不可能事件”，“P(A)＝1⇔A 是必然事件”， 这两种说法是否成立？
