圆锥曲线的极点与极线方程_汪民岳

圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。

今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。

当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。

引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。

当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。

（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。

（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。

整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。

极点与极线背景下的高考试题极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+= 211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简图1图2即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条 对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题图4 R【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=，说明点,P Q 关于 圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y ⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③图5,)m图6x又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得 223ty x t-=④ 解由③④联立方程组得22654244542t x t t tx t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P . (1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4. 【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B 两点. (1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.图8图9设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.。

压轴题05圆锥曲线中的极点、极线问题“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向，学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题。

也就是说只有熟练“二级结论”才能明确运算方向、提高运算效率.○热○点○题○型1椭圆中的极点与极线问题○热○点○题○型2双曲线中的极点与极线问题○热○点○题○型3抛物线中的极点与极线问题极点极线的定义4.极点极线的配极性质①点P关于二次曲线ϕ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于二次曲线ϕ的极线q 经过点P ．②直线p 关于二次曲线ϕ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于二次曲线ϕ的极点Q 在直线p 上．①②说白了，就是点P 和点Q 是二次曲线的一组调和共轭点．1.若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．解利用替换法则，易得直线AB 为：112x y +=，故1c =，2b =，椭圆方程是22154x y +=2.如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC 、BD ，设内层椭圆方程为()222210x y ab a b +=>>，若直线AC 与BD 的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为()．A ．12B ．22C ．D ．34解(1)法一选C ；不妨特殊化，设切线BD 关于y 轴的对称切线为BE ，令切线AC 和BE 恰好重合为切线AB ，则222114b e a ==-，即32e =．法二设11(,)C x y ，22(,)D x y ，外层椭圆为()22222211x y m m a m b+=>，则(,0)A ma，(0,)B mb ．椭圆在点C 处的切线为：11221xx yy a b +=，代入(,0)A ma ，可得1ax m=，1y =；椭圆在点D 处的切线为：22221xx yy a b +=，代入(0,)B mb ，可得2bym=，2x =-因此，2244221212224421212114ACBD b x b x x x b b b k k e a y a y a y y a a ⎛⎫=--===-=-=-⎪⎝⎭ ，即32e =．法三设直线AC 为：()y k x ma =-，利用等效判别式：222222a k b k m a +=，解得AC k =；同理可得：BDk a=，因此，2214AC BDbk ka=-=-．3.如图，已知A、B分别为椭圆()222210x y a ba b+=>>的右顶点和上顶点，直线l∥AB，l与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线CE、DF为椭圆的切线，则CE与DF的斜率之积CE DFk k等于()．A．22ab±B．222a ba-±C．22ba±D．222a bb-±ABCDyxOABCDyEFO xl解选C；不妨在第一象限，令CD与该椭圆相切于点H，则切点F与H关于y轴对称，切点E与H关于x轴对称，此时有22CE DFbk ka=．4.如图，O是坐标原点，过(,0)E p的直线分别交抛物线22(0)y px p=>于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x p=相交于点N．则22ME NE-=()．A．22p B．2p C．4p D．pyxO EN BAM答案选A．法一设211,2yA yp⎛⎫⎪⎝⎭，222,2yB yp⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB的方程为：1212()2y y y px y y+=+，代入点E可得：2122y y p=-．直线OB的方程为：22py xy=，令1y y=，可得x p=-，即点M的坐标为1(,)p y-．设3(,)N p y，则22222134ME NE p y y-=+-，只需要再得到一个关于1y、3y的式子即可．直线MN的两点式方程为：1313()2()0y y x py p y y-+-+=，与抛物线方程联立：2221313()42()0y y y p y p y y-+-+=，令2221313(4)4()2()0p y y p y y ∆=+-+= ，可得222132y y p -=-，故2222ME NE p -=．法二利用到点00(,)M x y 对抛物线22y px =的双切线方程为：[]2220000(2)(2)()y px y px yy p x x --=-+，代入点1(,)M p y -、3(,)N p y ，可得：[]222223131(2)(2)()y p y p y y p p p -+=--，解得222132y y p -=-．5.设a 、b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为()．A ．0B ．1C ．2D ．3解易知直线AB 的方程为cos sin 0y x θθ+=，又双曲线的渐近线为cos sin x y θθ=±，则直线AB 为双曲线的渐近线，故选A ．6.过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点A 、B 为切点．过A 、B的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为()．A ．12B ．23C ．1D ．43解(1)选B ；设00(,)M x y ，则直线l 的方程为：002xx yy +=，易得02,0P x ⎛⎫⎪⎝⎭，020,Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又2200001943x y x y +=≥，即003x y ≤，故00223POQ S x y =≥△．7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，圆222C x y a +=：，过双曲线的任意一点000(,)(0)P x y y ≠作圆C 的两条切线，其切点分别为A 、B ．若直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，则2222b a OMON-=．A ．22b aB ．22b a-C ．22a b D ．22c a 解选A ；直线AB 为：200xx yy a +=，令0y =，20a x x =，20a OM x =；令0x =，20a y y =，20a ON y =，因此，22222220022442b x a y b a b a a aOMON-=-=．8.圆221x y +=的切线与椭圆22143x y +=交于两点A 、B ，分别以A 、B 为切点的椭圆22143x y +=的切线交于点P ，则点P 的轨迹方程为．解设00(,)P x y ，则极点P 对应的极线（切点弦）AB 的方程为：00143xx yy+=，又直线AB1=，即22001169x y +=，即点P 的轨迹方程为221169x y +=．9.设1A 、2A 、3A 、4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R，1412()A A A A μμ=∈R ，且112λμ+=,则称3A 、4A 调和分割1A 、2A ，已知平面上的点C 、D 调和分割A 、B ，则下面说法正确的是()．A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解对调和点列背景熟悉的话，此题是送分题，显然选D ．10.过点(1,1)M -的动直线l 交圆2220C x y x +-=：于点A 、B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的点Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ =．答案55；Q 点的轨迹就是极点M 对应的极线！。

声明: 本内容来自网络,感谢∙百度贴吧mpc_killer吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线草稿》∙《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》∙百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》等优秀内容.极点极线定义 已知圆锥曲线С: A x+B y+C x +D y +E=0与一点P(x 0,y 0) [其中A+B ≠0,点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L: A ∙x 0x +B ∙y 0y +C ∙x 0+x 2+D ∙y 0+y 2+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.即在圆锥曲线方程中,以x 0x 替换x，以x 0+x 2替换x ，以y 0y 替换y,以y 0+y 2替换y 则可得到极点P(x 0,y 0)的极线方程L.特别地：(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r ,与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；(2)对于椭圆x a +y b=1，与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为x 0x a +y 0yb=1 ；(3)对于双曲线xa-yb=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为x0xa-y0yb=1；(4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)；性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部．．．．．．．．．．．]:①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0xa +y0yb=x0a+y0b；若是双曲线,则此时中点弦的方程为x0xa-y0yb=x0a-y0b；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；④当P(x 0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P 和直线L 是关于曲线С的一对极点和极线,则L 上任一点Pn 对应的极线Ln 必过点P,反之亦然,任意过点P 的直线Ln 对应的极点Pn 必在直线L 上[图．中点．．P ．n ．与．直线．．Ln ．．是一对极点极线．．．．．．．]；Ⅱ.过点P 作曲线C 的两条割线L 1、L 2，L 1交曲线C 于AB ，L 2交曲线C 于MN ，则直线AM 、BN 的交点T ，直线AN 、BM 的交点S 必都落在点P 关于曲线C 的极线L 上 [图中点．．．P ．与．直线．．ST ．．是一对极点极线；点．．．．．．．．．T ．与直线．．．SP ．．是一对极点极线．．．．．．．] ；Ⅲ. 点P 是曲线C 的极点，它对应的极线为L ，则有: 1)若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP ∙OQ=OR 即OP OR = OR OQ 椭圆如图双曲线如图2) 若曲线为抛物线，过点P 作对称轴的平行线交C 于R ，交L 于Q ，则PR=QR 如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆xa+yb=1的焦点的极线方程为: x=ac.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.圆锥曲线基础必备极点极线例题。