极点极线及高中圆锥曲线必备公式

声明: 本内容来自网络,感谢

∙百度贴吧mpc_killer吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线草稿》

∙《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》

∙百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》

等优秀内容.

极点极线

定义已知圆锥曲线С: A x+B y+C x+D y+E=0与一点P(x

0,y

) [其中A+B

≠0,点．P．不在曲线中心和渐近线上

．．．．．．．．．．．].则称点P和直线L: A∙x0x+B∙y0y+C∙x

0 +x 2

+D∙y

+y

2

+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.

即在圆锥曲线方程中,以x

0x替换x，以

x

+x

2

替换x，以y

y替换y,以

y

+y

2

替

换y则可得到极点P(x

0,y

)的极线方程L.

特别地：

(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r,与点P(x

0,y

)对应的极线方程为

(x

0-a)(x-a)+(y

-b)(y-b)=r；

(2)对于椭圆x

a

+

y

b

=1，与点P(x

,y

)对应的极线方程为

x

x

a

+

y

y

b

=1；

(3)对于双曲线x

a

-

y

b

=1，与点P(x

,y

)对应的极线方程为

x

x

a

-

y

y

b

=1；

(4)对于抛物线y=2px，与点P(x

0,y

)对应的极线方程为y

y=p(x

+x)；

性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部

．．．．．．．．．．．]:

①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；

②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；

③若极点P 在曲线С内,则极线L 在曲线С外且与以极点P 为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= (x 0-a)

+(y 0-b)

；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x 0x a +y 0y b =

x 0

a

+y 0b

；若是

双曲线,则此时中点弦的方程为x 0x a -y 0y b =

x 0

a

-y 0

b

；若是抛物线,则此时中点弦的

方程为y 0y-p(x 0+x)=y 0-2px 0)；

④当P(x 0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；

⑤极点极线的对偶性:

Ⅰ.已知点P 和直线L 是关于曲线С的一对极点和极线,则L 上任一点Pn 对应的极线Ln 必过点P,反之亦然,任意过点P 的直线Ln 对应的极点Pn 必在直线L 上[图．中点．．P ．n ．与．直线．．Ln ．．是一对极点极线．．．．．．．]；

Ⅱ.过点P 作曲线C 的两条割线L 1、L 2，L 1交曲线C 于AB ，L 2交曲线C 于MN ，则直线AM 、BN 的交点T ，直线AN 、BM 的交点S 必都落在点P 关于曲线C 的极线L 上 [图中点．．．P ．与．直线．．ST ．．是一对极点极线；点．．．．．．．．．T ．与直线．．．SP ．．是一对极点极线．．．．．．．] ；

Ⅲ. 点P 是曲线C 的极点，它对应的极线为L ，则有: 1)若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP ∙OQ=OR 即OP OR = OR OQ

椭圆如图

双曲线如图

2) 若曲线为抛物线，过点P 作对称轴的平行线交C 于R ，交L 于Q ，则PR=QR 如图

中学数学中极点与极线知识的现状与应用

虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破

而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆x

a

+

y

b

=1的焦点的极

线方程为: x=a

c

.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线

的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.

圆锥曲线基础必备

极点极线例题