用圆锥曲线极点与极线的性质解题

高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个比较复杂但又非常重要的内容。

其中，极点与极线是圆锥曲线中一个较为抽象但又极具深度的概念。

在本文中，我们将深入探讨高中数学中关于极点与极线的技巧，并通过具体的例子来帮助大家更好地理解和运用这一知识。

极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。

在接下来的内容中，我们将从简单到复杂，由浅入深地介绍极点与极线的相关知识，让大家能够更直观地理解这一概念。

让我们从极点的定义和性质入手。

极点是在圆锥曲线上的一个特殊点，它具有一定的性质和特点。

在直角坐标系中，对于椭圆、双曲线和抛物线而言，这些曲线上都存在极点。

具体来说，在椭圆和双曲线上，极点是无限远处的点，而在抛物线上，极点是定点。

通过对极点的性质进行深入了解，我们可以更好地应用这一知识解决问题。

让我们了解极线的概念及其性质。

极线是与极点对应的直线，它们之间存在着一定的几何关系。

在椭圆和双曲线的情况下，极线是通过极点并且与曲线相切的直线，而在抛物线的情况下，极线是通过极点并且与对称轴垂直的直线。

通过对极线的性质进行深入研究，我们可以更好地掌握圆锥曲线相关问题的解题技巧。

接下来，让我们通过实例来详细讨论极点与极线的应用技巧。

以椭圆曲线为例，假设我们需要确定椭圆上关于极点和极线的一些特定问题。

在解题过程中，我们可以先确定椭圆的极点，然后求出与极点相关的极线方程，进而利用极线的性质来解决具体的问题。

通过实例的具体讲解，我们可以更好地理解并掌握极点与极线的运用技巧。

总结回顾一下，极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。

通过对极点与极线的深入讨论和实例分析，我们能够更全面、深刻和灵活地理解这一知识，并运用于实际问题中。

对于我个人来说，极点与极线的学习过程不仅仅是对圆锥曲线知识的掌握，更是对数学思维和解题能力的提升。

圆锥曲线中的极点极线一、引言圆锥曲线是平面上的一类重要的几何图形，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在这些曲线中，极点和极线是非常重要的概念。

本文将介绍圆锥曲线中的极点和极线，包括定义、性质和应用。

二、定义1. 极点：在平面直角坐标系中，对于一个圆锥曲线C，如果存在一个定点F（称为焦点），则C上的任意一条直线L与F之间都有一个交点P。

当L不经过F时，P称为L在C上的截距点；当L经过F时，P 称为C的极点。

2. 极线：对于一个圆锥曲线C和它上面的一个极点P，在平面直角坐标系中，连接P与C上所有截距点的直线称为C关于P的极线。

三、性质1. 极点性质：（1）每个圆锥曲线都有两个焦点和两条相互垂直的对称轴；（2）如果L经过焦点，则其截距为a/e或ae，其中a是离心率e所确定的参数；（3）如果L不经过焦点，则其截距为b²/a，其中b是圆锥曲线的另一个参数。

2. 极线性质：（1）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意一个点P，P关于C的极线与P到C的距离相等；（2）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意一条直线L，L关于C的极点与L到C的距离相等；（3）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意两个点P、Q，它们关于C 的极线交于一点。

四、应用1. 极点和极线可以用来求解圆锥曲线上的各种几何问题，例如求解切线、法线、渐近线等；2. 极点和极线也可以用来描述圆锥曲线之间的关系，例如共轭圆锥曲线、互为反形图形等。

五、总结本文介绍了圆锥曲线中的极点和极线，包括定义、性质和应用。

在几何学中，圆锥曲线是非常重要的几何图形之一，在许多领域都有广泛应用。

掌握了极点和极线这一重要概念，可以更好地理解和应用圆锥曲线。

圆锥曲线极点极线过定点对于圆锥曲线，极点和极线是很重要的概念。

极点是指在平面上固定一个点P，并取出一条直线L，对于平面上所有点Q，连结P和Q，并延长这条连接线，使其与直线L相交，如果这样的交点存在，则点P就是曲线的极点，直线L就是曲线的极线。

下面证明极线过定点的结论。

假设圆锥曲线的极点为P，极线为L，并且经过点A。

那么，我们需要证明L一定经过一个定点B。

首先，任取曲线上另外一个点Q，并连接PQ。

因为P是极点，所以PQ与极线L垂直，所以PQ的斜率是L的斜率的倒数。

设斜率为m，则可以表示为：m = -1/k其中k是L的斜率。

因为Q和A都在曲线上，所以它们的坐标(xQ,yQ)和(xA,yA)必须满足曲线的方程。

设曲线的方程是F(x,y)=0，则有：F(xQ,yQ) = 0F(xA,yA) = 0由于Q在极线上，所以PQ过点A的中垂线L'也必须经过点Q。

因此，L'的斜率是QA的斜率的相反数，即：k' = - (yA-yQ)/(xA-xQ)而L'与L垂直，所以k'×k=-1。

将k'代入上式可得：(xA-xQ)/(yA-yQ)×k = 1解出k：k = (yA-yQ)/(xA-xQ)将k代入第一式中，可得：m = - (xA-xQ)/(yA-yQ)将m和曲线的方程代入PQ的直线方程中，得到：(y-yQ)/(x-xQ) = - (xA-xQ)/(yA-yQ)×(dF/dx)/(dF/dy)其中dF/dx和dF/dy分别是曲线上点Q处的偏导数。

这是PQ的直线方程，我们要找到L的方程。

由于L是曲线的极线，所以L也要与PQ垂直，即它的斜率也满足：kL = -1/k = - (yA-yQ)/(xA-xQ)将kL带入直线的一般式，有：y - yP = kL(x - xP)代入kL，有：y - yP = - (yA-yQ)/(xA-xQ)×(x - xP)化简之后，可得L的方程：y = - (yA-yQ)/(xA-xQ)×(x - xP) + yP因为Q是曲线上的点，所以可以将曲线的方程代入L的方程中，消去x和y，得到：y = (yA-yQ)/(xA-xQ)×x + (xAyQ-xQyA)/(xA-xQ)这是L的标准式，可以看出它是一个直线。

用圆锥曲线极点与极线的性质解题
邹生书
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2011(000)001
【摘要】@@ 本文介绍圆锥曲线极点和极线的几何性质在解题中的应用,以飨读者.1 圆锥曲线极点和极线的定义已知圆锥曲线C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cyoy+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线.
【总页数】2页(P13-14)
【作者】邹生书
【作者单位】湖北省阳新县高级中学,435200
【正文语种】中文
【相关文献】
1.用圆锥曲线极点与极线的性质解题 [J], 黄彩红
2.简述与圆锥曲线的极点和极线有关的性质 [J], 彭世金
3.高观点下再看问题本质——圆锥曲线极点与极线的一个性质应用 [J], 黄嘉欣
4.探解圆锥曲线问题的有效工具:极点与极线的性质 [J], 项燕英
5.用圆锥曲线极点与极线的性质解题 [J], 黄彩红;
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极点、极线与圆锥曲线试题的命制发布时间：2022-05-11T13:35:11.792Z 来源：《中国教师》2022年6月作者：卢光明[导读] 高中圆锥曲线经常会遇见直线与曲线相切的问题，最常见的有两种形式：第一种直线与圆锥曲线相切，切点在曲线上；另一种是过曲线外一点作圆锥曲线切线有两条，切点分别是A、B两点，过A、B两点可以确定一条直线，发现两种形式的切线是同一形式，从而找出其它一些性质特点，来源于课本练习题。

卢光明江西省宜春中学【摘要】高中圆锥曲线经常会遇见直线与曲线相切的问题，最常见的有两种形式：第一种直线与圆锥曲线相切，切点在曲线上；另一种是过曲线外一点作圆锥曲线切线有两条，切点分别是A、B两点，过A、B两点可以确定一条直线，发现两种形式的切线是同一形式，从而找出其它一些性质特点，来源于课本练习题。

【关键词】极点，极线，圆锥曲线中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2022）6-135-03一、极点与极线的定义定义1 (代数定义)已知圆锥曲线Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲线方程中,以x0x替换x2,以(x0+x)/2替换x(另一变量y也是如此),即可得到点P(x0,y0)的极线方程.特别地：对于椭圆 ,与点P(x0,y0)对应的极线方程为 ;对于双曲线 ,与点P(x0,y0)对应的极线方程为；对于抛物线y2=2px,与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x).定义2 (几何定义)如图1,P是不在圆锥曲线上的点,过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点,则过P点的切线即为极线.由图1可知,同理PM为点N对应的极线,PN为点M所对应的极线,MNP称为自极三点形.若连接MN交圆锥曲线于点A,B,则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.二、极点与极线的基本性质定理1 （1）当P在圆锥曲线Γ上时，其极线l是曲线Γ在P点处的切线；(2)当P在Γ外时，其极线l是曲线Γ从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；(3)当P在Γ内时,其极线l是曲线Γ过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明 (1)假设同以上代数定义,对Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0的方程,两边求导得2Ax+2Cyy’+2D+2Ey’=0,解得y’=- ，于是曲线Γ的P点处的切线斜率为k=- ,故切线l的方程为y-y0=- (x-x0),化简得Ax0x+Cy0y-Ax20-Cy20+Dx+Ey-Dx0-Ey0=0.又点P在曲线Γ上,故有Ax20+Cy20+2Dx0+2Ey0+F=0,从中解出Ax20+Cy20,然后代入前式可得曲线Γ在P点处的切线为l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.根据代数定义,此方程恰为点P的极线方程.(2)设过点P所作的两条切线的切点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),则由(1)知,在M,N处的切线方程分别为Axx1+Cyy1+D(x1+x)+E(y1+y)+F=0和Axx2+Cyy2+D(x2+x)+E(y2+y)+F=0，又点P在切线上,所以有Ax0x1+Cy0y1+D(x1+x0)+E(y1+y0)+F=0,Ax0x2+Cy0y2+D(x2+x0)+E(y2+y0)+F=0.观察这两个式子,可发现点M(x1,y1),N(x2,y2)都在直线Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0上,又两点确定一条直线,故切点弦MN所在的直线方程为Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.根据代数定义,此方程恰为点P对应的极线方程.(3)设曲线Γ过P(x0,y0)的弦的两端点分别为S（x1,y1）,T(x2,y2),则由(1）知,曲线在这两点处的切线方程分别为Ax1x+Cy1y+D(x1+x)+E(y1+y)+F=0,Ax2x+Cy2y+D(x2+x)+E(y2+y)+F=0.设两切线的交点为Q(m,n),则有Ax1m+Cy1n+D(x1+m)+E(y1+n)+F=0,Ax2m+Cy2n+D(x2+m)+E(y2+n)+F=0.观察两式,可发现S(x1,y1),T(x2,y2)都在直线Axm+Cyn+D(x+m)+E(y+n)+F=O上,又两点确定一条直线,所以直线ST的方程为Axm+Cyn+D(x+m)+E(y+n)+F=0.又直线ST过点P（x0,y0）,所以Ax0m+Cy0n+D(x0+m)+E(y0+n)+F=O上,这意味着点Q(m,n)在直线Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0上.所以,两切线的交点的轨迹方程是Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0.3.特殊的极点与极线①圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线.譬如,对于椭圆 =1而言,右焦点F(c,0)对应的极线为 =1,即x= ,恰为椭圆的右准线.②对于椭圆 =1而言,点M(m,0)对应的极线方程为x= ;对于双曲线 =1而言,点M(m,0)对应的极线方程为x= ;(3)对于抛物线y2=2px而言,点M(m,0)对应的极线方程为x=-m.定理4 如图6,设圆锥曲线Γ的一个焦点为F,与F相应的准线为l.若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M,N两点,则Γ在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上,且FQ⊥MN;(2)若过准线l上一点Q作圆锥曲线Γ的两条切线,切点分别为M,N,则直线MN过焦点F,且FQ⊥MN;(3)若过焦点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M,N两点,过F作FQ⊥MN交准线l于Q,则连线QM,QN是圆锥曲线Γ的两条切线.下面给出椭圆情形下结论(1)的证明,其余皆同理可证.设Γ: (a>b>0),则F(c,0),l:x= .由于焦点F的极线为l,故切线MQ,NQ的交点Q一定在直线l上,设Q( ,yQ),则点Q的极线为 ,即y= . 再设MN:y=k(x-c),则k= ,即有yQ= ,从而Q点的坐标为 ,于是kFQ= ,kFQ•KMN=-1,故FQ⊥MN.过点（3，1）作圆的两条切线，切点为A,B则直线AB的方程为（）解析：法一、因为过点（3，1）作圆的两条切线，切点分别为A,B所以圆的一条切线方程为，切点之一为（1，1）排除BD，另一个切点的坐标在（1，1）的右侧，所以切线的斜率为负，排除C 故选A法二、切点弦AB所在直线就是点（3，1）对应的极线，故其方程为即故选A过椭圆内一点M（3，2）做直线AB与椭圆交于点A,B作直线CD与椭圆交于点C，D，过A,B分别作椭圆的切线交于点P，过C,D分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ的直线方程。

圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。

其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。

在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。

一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。

根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。

1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。

离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。

二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。

极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。

2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。

极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。

三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。

椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。

3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。

双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。

3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。

抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。

四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。

通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。

极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。

极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用宋雅静㊀冯福存(宁夏师范学院数学与计算机科学学院ꎬ宁夏回族自治区固原７５６０００)摘㊀要:圆锥曲线是解析几何和高等几何的主要研究内容ꎬ近些年以高等几何知识为背景的几何试题频频出现在高考中.本文从高等几何中极点极线的角度ꎬ对近三年高考中的一些圆锥曲线问题的解法进行探究ꎬ为教师和学生提供参考.关键词:极点ꎻ极线ꎻ调和点列ꎻ调和线束ꎻ圆锥曲线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３９－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:宋雅静(１９９７－)ꎬ女ꎬ河南省新乡人ꎬ硕士研究生ꎬ从事中学数学教学研究ꎻ冯福存(１９７７－)ꎬ女ꎬ宁夏中卫人ꎬ副教授ꎬ从事几何学㊁矩阵理论及其应用研究.基金项目:宁夏自然科学基金项目资助(项目编号:２０２２ＡＡＣ０３３３４)ꎬ宁夏高等学校一流学科建设(教育学学科)研究项目资助(项目编号:ＮＸＹＬＸＫ２０２１Ｂ１０).㊀㊀许多高考数学试题都有高等数学的背景ꎬ其中ꎬ高等几何中的极点㊁极线与调和点列就是高考数学圆锥曲线试题命制的一个主要来源.因此ꎬ很多学者将高等几何的方法与初等几何联系起来解决问题.文献[１]中阐述了极点与极线的基本性质ꎬ指出极点㊁极线是圆锥曲线的基本特征ꎬ是圆锥曲线试题命制的背景ꎻ文献[２]中对极点与极线的概念进行了解读并且对衍生性质给予证明ꎬ最后将其运用到具体的高考真题中ꎻ文献[３]中对２０２０年北京高考真题的高等解法进行了探究.本文在前人研究的基础上ꎬ阐述极点与极线的基本理论ꎬ并且从极点㊁极线视角对２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题㊁２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题㊁２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题进行解决.１预备知识在平面上ꎬ由二元二次方程Ｆ(ｘꎬｙ)＝ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０所表示的曲线叫做二次曲线ꎬ对应的矩阵为Ａ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷.若Ａʂ０ꎬ则方程所表示的曲线为非退化的二次曲线ꎬ即圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线).齐次坐标㊀笛卡儿坐标为(ｘꎬｙ)的点的二维齐次坐标(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)是指由任意适合ｘ１ｘ３＝ｘꎬｘ２ｘ３＝ｙ的三个数ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３组成的有序三数组(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)ꎬ其中ｘ３ʂ０.一点的齐次坐标有无数组.极点与极线的代数定义㊀已知圆锥曲线ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０ꎬ则称平面内任意一点Ｐ０(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)和直线ｌ:(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０是圆锥曲线的一对极点与极线.极点与极线的几何定义㊀点Ｐ不是圆锥曲线９３上的点ꎬ过点Ｐ引两条割线依次交圆锥曲线于点ＥꎬＦꎬＧꎬＨꎬ连接ＥＨꎬＦＧ交于点Ｎꎬ连接ＥＧꎬＦＨ交于点Ｍꎬ则直线ＭＮ为点Ｐ对应的极线ꎬ同理直线ＭＰ为点Ｎ对应的极线ꎬ直线ＮＰ为点Ｍ的极线.为方便理解ꎬ本文以椭圆为例作图ꎬ如图１.图１特别地ꎬ若Ｐ是圆锥曲线上的点ꎬ则过点Ｐ的切线即为极线ꎻ圆锥曲线的焦点和准线恰巧是一组极点与极线.调和点列的定义㊀若同一直线上四点ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的交比满足(ＡＣꎬＢＤ)＝ＡＢ ＣＤＣＢ ＡＤ＝－１ꎬ即ＡＣＣＢ＝ＡＤＤＢ时ꎬ称点ＣꎬＤ调和分割线段ＡＢꎬＡꎬＢꎬＣꎬＤ为调和点列.定理㊀点Ｐ不在圆锥曲线上ꎬ过点Ｐ的任一直线与该圆锥曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ与点Ｐ关于该圆锥曲线的极线交于点Ｑꎬ则ＡꎬＢꎬＰꎬＱ是调和点列.调和线束的定义㊀若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是调和点列ꎬ直线外一点Ｍ与它们的连线统称为调和线束ꎬ即直线ＭＡꎬＭＢꎬＭＣꎬＭＤ为一簇调和线束.调和线束的性质１㊀平面内若一条直线与调和线束中的一条平行而与其余三条相交ꎬ则相交线段被平分.调和线束的性质２㊀平面内若一条直线与调和线束都相交ꎬ且交于不同的四个点ꎬ则相应的交点也成调和点列.２在高考试题中的应用例１㊀(２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题)已知ＡꎬＢ分别为椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的左㊁右顶点ꎬＧ为Ｅ上的顶点ꎬ其中ＡＧң ＧＢң＝８.Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬＰＡ与Ｅ上的另一交点为ＣꎬＰＢ与Ｅ的另一交点为Ｄ.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)证明:直线ＣＤ过定点.解析㊀(１)Ｅ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.图２(２)如图２ꎬ设ＡＢ与ＣＤ交于点Ｍꎬ延长ＣＢꎬＡＤ交于点Ｑꎬ由极点㊁极线的几何定义可得点Ｍ和ＰＱ所在的直线是一对极点极线.由题意可知Ａ＝１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷.设极点Ｍ的坐标为(ｍꎬ０)ꎬ点Ｍ齐次坐标为(ｍꎬ０ꎬ１)ꎬ则ＰＱ所在的直线方程为(ｍꎬ０ꎬ１)１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｘ＝９ｍ.因为Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬ则ｍ＝３２ꎬ即直线ＣＤ恒过定点(３２ꎬ０).例２㊀(２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知抛物线Ｃ:ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ且Ｆ与圆Ｍ:ｘ２＋(ｙ＋４)２＝１上的点的距离的最小值为４.(１)求ｐꎻ(２)若点Ｐ在Ｍ上ꎬＰＡꎬＰＢ是Ｃ的两条切线ꎬＡꎬＢ是切点ꎬ求әＰＡＢ面积的最大值.解析㊀(１)由题意可得ｐ＝２.(２)如图３ꎬ由(１)可得抛物线Ｃ为ｘ２＝４ｙꎬ若点Ｐ为极点ꎬ则ＡＢ所在的直线为点Ｐ关于抛物线的极线ꎬ若动点Ｐ沿ｙ轴运动ꎬ则ＡＢʅｙ轴运动.设点Ｐ的齐次坐标为(０ꎬｍꎬ１)ꎬ由题意得０４Ａ＝１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷.则Ｐ所对应的极线方程为(０ꎬｍꎬ１)１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝－ｍꎬ可得极点与极线在ｘ轴的两侧且到ｘ轴的距离相等.由此极点和极线之间的距离越大ꎬ所求三角形的面积越大ꎬ得ｍ＝－５时ꎬΔＰＡＢ的面积最大ꎬ此时ｘ２＝２０ꎬ解得ｘ＝ʃ５ꎬ即ＡＢ＝４５.所以ＳәＰＡＢ＝１２ˑ１０ˑ４５＝２０５.图３例３㊀(２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知椭圆Ｅ的中心为坐标原点ꎬ对称轴为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬ且过Ａ(０ꎬ－２)ꎬＢ(３２ꎬ－１)两点.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)设过点Ｐ(１ꎬ－２)的直线交Ｅ于ＭꎬＮ两点ꎬ过Ｍ且平行于ｘ轴的直线与线段ＡＢ交于点Ｔꎬ点Ｈ满足ＭＴң＝ＴＨңꎬ证明:直线ＨＮ过定点.解析㊀(１)椭圆方程为ｘ２３＋ｙ２４＝１.图４(２)如图４ꎬ若点Ｐ(１ꎬ－２)为极点ꎬ齐次坐标为Ｐ(１ꎬ－２ꎬ１)ꎬ由题意可知Ａ＝１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷.则极点Ｐ对应的极线方程为(１ꎬ－２ꎬ１)１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝２３ｘ－２ꎬ经验证点ＡꎬＢ在此极线上ꎬ即ＡＢ所在的直线即为点Ｐ的极线.连接ＡＭꎬ设ＭＰ与ＡＢ相交于点Ｑꎬ则ＰꎬＮꎬＱꎬＭ为调和点列ꎬ所以ＡＰꎬＡＢꎬＡＭꎬＡＮ为调和线束ꎬＭＴ为截线ꎬ因为ＭＴң＝ＴＨңꎬ所以Ｔ为ＭＨ的中点ꎬ由调和线束的性质可得ＭＨʊＡＰꎬ在射影平面内ꎬＭＨ与ＡＰ相交于无穷远点ꎬ连接ＡＮꎬＡＮ的延长线必然交于点Ｈꎬ此时ꎬＡꎬＮꎬＨ三点共线ꎬ即直线ＨＮ过定点Ａ.高考圆锥曲线压轴题普遍是学生思维的难点和计算的痛点ꎬ在解题时容易出错.如果能从更高的角度去认识和分析它ꎬ有助于学生形成对问题的深刻理解并掌握问题的本质ꎬ在解决问题时直入主题ꎬ减少运算ꎬ从而轻松解题ꎬ还为之后的高等几何的学习甚至工作奠定相应的理论和思维基础ꎬ实现真正意义上的素质教育ꎻ有助于教师把握题目的设计意图和本质ꎬ增强学科知识储备ꎬ提高学科专业素质ꎬ更好地服务教学.参考文献:[１]王文彬.极点㊁极线与圆锥曲线试题的命制[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(０８):６２－６６.[２]于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１９(０１):１３－１６.[３]柏任俊ꎬ贾春花ꎬ毛井.高等几何背景下的解析几何试题探究[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０９):２０－２２.[责任编辑:李㊀璟]１４。

圆锥曲线一组性质及猜想的简证与推广曾建国（江西省赣州市赣南师范大学数学与计算机科学学院，３４１０００） 一、引言文［１］将有关圆锥曲线切线、割线的一组性质进行了推广，证明了更为一般化的结论（为节省篇幅，仅列出有关椭圆的结论，参见图１）命题１　设点Ｆ（ｘ０，ｙ０）（非坐标原点）为椭圆Γ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）内一点，过点Ｆ任作两直线ＡＣ，ＢＤ分别与椭圆Γ交于Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄ，设直线ＡＢ，ＣＤ交于点Ｐ．过直线ＰＦ上任意一点Ｍ作直线ｌ：ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１的平行线，与直线ＰＡ，ＰＣ分别交于点Ｇ，Ｈ，则直线ＰＦ平分线段ＧＨ．图１图２文［１］末作者猜想命题１的极限情形结论成立，但因未能找到严格、规范的证法及简捷证法而留下“一丝遗憾”（参见图２）．猜想　设点Ｆ（ｘ０，ｙ０）（非坐标原点）为椭圆Γ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）内一点，过点Ｆ任作一直线与椭圆Γ交于Ａ，Ｂ，设Ａ，Ｂ处的两条切线交于点Ｐ．过直线ＰＦ上任意一点Ｍ作直线ｌ：ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１的平行线，与直线ＰＡ，ＰＢ分别交于点Ｇ，Ｈ，则直线ＰＦ平分线段ＧＨ．文［２］通过引进“调和线束”、“完全四边形的调和性”等“高观点”，完美地证明了上述猜想．但美中不足的是文［２］的证法仍算不上“简捷证法”．本文拟利用调和点列的一个性质，给出命题１及猜想的简证并将结论进一步推广．二、有关调和点列的概念和性质定义１［３］［４］　对于线段ＡＢ的内分点Ｃ与外分点Ｄ，若ＡＣＣＢ＝ＡＤＤＢ，则称Ｃ、Ｄ调和分割线段ＡＢ（或线段ＡＢ被Ｃ、Ｄ调和分割），或称点列Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ为调和点列．根据定义１易知，若线段ＡＢ被Ｃ、Ｄ调和分割，则线段ＣＤ也被Ａ、Ｂ调和分割．调和点列与圆锥曲线的极线概念密切相关．事实上，根据高等几何知识我们有（参见图３）：图３图４定义２［３］　设两点Ｃ、Ｄ的连线与圆锥曲线Γ相交于Ａ、Ｂ，若线段ＡＢ被Ｃ、Ｄ调和分割，则称Ｃ、Ｄ是关于圆锥曲线Γ的一对调和共轭点．定义３［３］　一点Ｐ关于圆锥曲线Γ的所有调和共轭点的轨迹为一条直线ｐ，称直线ｐ为点Ｐ（关于Γ）的极线，点Ｐ为直线ｐ（关于Γ）的极点．我们知道，点Ｆ（ｘ０，ｙ０）（非坐标原点）关于椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的极线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１（参阅文［１］的引理１）．因此，在命题１及猜想中，直线ｌ就是点Ｆ关于椭圆Γ的极线．特别地，圆锥曲线焦点的极线就是与之对应的准线．当Ｐ在Γ外时，其极线ｐ是从点Ｐ所引曲线Γ的两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）［３］．如图３，过一点Ｃ作圆锥曲线Γ的割线分别与曲线Γ及Ｃ点的极线交于点Ａ、Ｂ及Ｄ，则根据上述定义易知，Ｃ、Ｄ、Ａ、Ｂ为调和点列．定义４［３］［５］　如图４，若Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ为调和点列，过此点列所在直线外任一点Ｐ作射线ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ、ＰＤ，则称这四条射线为调和线束．反过来，任一直线与调和线束相交所截的四个点构成调和点列．调和点列有一个特殊性质（参见图５）：图５图６引理１［３］［５］　如果ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ、ＰＤ为调和线束，且ＰＤ平行于ＡＢ，则ＰＣ必平分线段ＡＢ．三、命题１与猜想的简证及推广命题１的简证　如图１，依题设知，直线ｌ就是Ｆ关于椭圆Γ的极线．设直线ＢＤ与ｌ交于Ｑ，根据定义２和定义３知，Ｂ，Ｄ，Ｆ，Ｑ是调和点列，由定义４知，ＰＢ，ＰＤ，ＰＦ，ＰＱ是调和线束．因为ＧＨ∥ＰＱ交ＰＦ于Ｍ，则调和线束也就是ＰＧ，ＰＨ，ＰＭ，ＰＱ．根据引理１即知，Ｍ为线段ＧＨ的中点．猜想的简证　依题设知，图２中ｌ是Ｆ关于椭圆Γ的极线，于是Ａ，Ｂ，Ｆ，Ｑ是调和点列，以下与命题１证法类似，同理可得Ｍ为线段ＧＨ的中点．从上面的证明我们不难发现，命题１及猜想中没必要限制点Ｆ在椭圆内，即它们可以推广为下面的结论（点Ｆ在椭圆外的情形见图６、图７，上面的证法完全适用，证明略）．命题２　设点Ｆ关于椭圆Γ的极线为ｌ，过点Ｆ任作两直线ＡＣ，ＢＤ，分别与椭圆Γ交于Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄ，设直线ＡＢ，ＣＤ交于点Ｐ．过直线ＰＦ上任意一点Ｍ作直线ｌ的平行线，与直线ＰＡ，ＰＣ分别交于点Ｇ，Ｈ，则ＧＭ＝ＭＨ．命题３　设点Ｆ关于椭圆Γ的极线为ｌ，过点Ｆ任作一直线与椭圆Γ交于两点Ａ，Ｂ，设Ａ，Ｂ处的两条切线交于点Ｐ．过直线ＰＦ上任意一点Ｍ作直线ｌ的平行线，与直线ＰＡ，ＰＢ分别交于点Ｇ，Ｈ，则图７图８ＧＭ＝ＭＨ．在引理１中，显而易见，（图５中）与点列所在直线ＡＢ平行的直线ＰＤ可以换成调和线束中的任一条，也能得到类似的结论．因此，命题２及命题３也可以通过变换所作的平行线得到新的命题．例如命题２中换成作ＰＡ的平行线就得（见图８，证明略）：命题４　设点Ｆ关于椭圆Γ的极线为ｌ，过点Ｆ任作两直线ＡＣ，ＢＤ，分别与椭圆Γ交于Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄ，设直线ＡＢ，ＣＤ交于点Ｐ．过直线ＰＣ上任意一点Ｍ作直线ＰＡ的平行线，与直线ｌ，ＰＦ分别交于点Ｇ，Ｈ，则ＧＭ＝ＭＨ．类似这样的命题还可以写出很多；另外，椭圆Γ也可以换成其他圆锥曲线，得到一系列命题，这里不再赘述．以上命题的结论不仅揭示了圆锥曲线的有趣性质，也为我们编制圆锥曲线试题提供了丰富的素材，例如２０１７年北京高考圆锥曲线试题就是以此为素材编制的［６］．参考文献：［１］　干志华．圆锥曲线中的一个割线性质再探究［Ｊ］．数学通讯（上半月），２０１７（６）：４１－４３．［２］　李伟健．椭圆的一个结论的演变历程［Ｊ］．数学通讯（上半月），２０１７（１２）：３８－４０．［３］　朱德祥．高等几何［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９８．［４］　沈毅．与调和点列有关的平面几何问题［Ｊ］．中等数学，２００９（２）：６－１０．［５］　郑春筱．调和点列的一个特殊性质及应用［Ｊ］．数学通讯（上半月），２０１７（４）：５３－５５．［６］　曾建国．调和点列：一道２０１７年北京高考题的背景分析及应用［Ｊ］．数学通讯（上半月），２０１７（１２）：５９－６０．（收稿日期：２０１８－０２－２５）。