一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。
A 、{}a
B 、{}e a ,
C 、{}3,a e
D 、
{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群
A 、G 为整数集合,*为加法
B 、G 为偶数集合,*为加法
C 、G 为有理数集合,*为加法
D 、G 为有理数集合,*为乘法
3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( )
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、
2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( )
A 、12σ
B 、1σ2σ
C 、22σ
D 、2σ1σ
5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。
A 、不可能就是群
B 、不一定就是群
C 、一定就是群
D 、 就是交换群
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。
5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既就是单射又就是满射,则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得
010=+++n n a a a ααΛ。
8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为
---------。
9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G作成一个群,如果满足G对于乘法封闭;结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P就是----------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、设集合A={1,2,3}G就是A上的置换群,H就是G的子群,H={I,(1 2)},写出H 的所有陪集。
2、设E就是所有偶数做成的集合,“•”就是数的乘法,则“•”就是E中的运算,(E,•)就是一个代数系统,问(E,•)就是不就是群,为什么？
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 与p, q。
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、若就是群,则对于任意的a、b∈G,必有惟一的x∈G使得a*x＝b。
2、设m就是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系:a〜b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不就是( )。
A、2阶
B、3 阶
C、4 阶
D、 6 阶
2、设G就是群,G有( )个元素,则不能肯定G就是交换群。
A、4个
B、5个
C、6个
D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数
B、奇数
C、4的倍数
D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格( )
A、(N,≤)
B、(Z,≥)
C、({2,3,4,6,12},|(整除关系))
D、 (P(A),⊆)
5、设S3＝{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换
的所有元素有( )
A 、(1),(123),(132)
B 、12),(13),(23)
C 、(1),(123)
D 、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元就是--------的,每个元素的逆元素就是--------的。
2、如果f 就是A 与A 间的一一映射,a 就是A 的一个元,则()[]=-a f f 1----------。
3、区间[1,2]上的运算},{min b a b a =ο的单位元就是-------。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z 8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点,每个群只能同构于她/它自己的---------。
8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。
9、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为--------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链？
2、S 1,S 2就是A 的子环,则S 1∩S 2也就是子环。S 1+S 2也就是子环不？
3、设有置换)1245)(1345(=σ,
6)456)(234(S ∈=τ。
1.求στ与στ-1;
2.确定置换στ与στ-1的奇偶性。 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、一个除环R 只有两个理想就就是零理想与单位理想。
2、M 为含幺半群,证明b =a -1的充分必要条件就是aba =a 与ab 2a =e 。
