近世代数期末考试试题和答案解析

{ 1、设置换σ 和τ 分别为：σ = ⎡⎢ ，τ = ⎡⎢⎥ ，判断 和 的奇偶性，并把 和12345678 ⎤ 12345678 ⎤⎣64173528⎦⎣23187654⎦矩阵，且 A = B + C 。

若令有 A = B + C ，这里 B 和 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 2 2 ..世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中 只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无 分。

1、设 A ＝B ＝R(实数集)，如果 A 到 B 的映射 ϕ ：x→x ＋2，∀ x∈R ，则 ϕ 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 A×B 中含有（ d ）个元素。

A 、2 B 、5 C 、7 D 、103、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。

5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合 A = {- 1,0,1}； B = 1,2}，则有 B ⨯ A = 。

2、若有元素 e∈R 使每 a∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环。

近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。

答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。

正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。

群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。

如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得10=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

一、单项选择题《本大题共5小题，每小题3分，共分》在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题口要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

JL、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G 的子集()是子群。

耳、{"} 1B、C.肛*} !>、ha"'}2、下面的代数系统(G，*)中，()不是群耳、G为整数集合，★为加法：B、G为偶数集合，★为加法C. G为有理数集合，★为加法Q、G为有理数集合，★为乘法3、在自然数集：NT上，下列哪种运算是可结合的？( )A. £L*lb=£L-l> B-、C、a*l>=a+251>设6、6、6 是三个置换，其中bu(jL2)(23) (13), 6=(24)(14),内二(13254),则内二( )耳、cr2i 耳、6 6 °、a22Q、6 65、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。

耳、不可能是群耳、不一定是群Q、一定是群Q、是交换群二、填空题C本大题共JLO小题，每空3分，共30分》请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

JL、凯莱定理说：任一个子群都同一个--------- 同构。

2、一个有单位元的无零因子——称为整环。

3、已知群G中的元素"的阶等于50,则“的阶等于------------ ：4、a的阶若是一个有限整数n,那么G 与------------- 同构。

5、A={1.25.3） 13={2・5・6}那么耳QR -------------------------------- 。

6、若映射0既是单射乂是满射，则称0为----------------- 。

7、&叫做域尸的一个代数元，如果存在尸的——绻，也，…使得“° + 5 + a …+ a n a" = 0O导、"是代数系统（A,0）的元素，对任何x w A均成立兀。

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( )A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。

A 、不可能就是群B 、不一定就是群C 、一定就是群D 、 就是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。

5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既就是单射又就是满射,则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。

8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为---------。

近 世 代 数 试 卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ f ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ f ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（ t ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（t ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ f ）6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ t ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（ t ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（ t ）9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（ f ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（ f ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ 2 ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4①在整数集Z 上，abba b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

近世代数期末考试试卷及答案1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则G的子集（）是子群.A、 aB、a, eC、e, a3D、e, a,a 32、下面的代数系统（ G，* ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法 B 、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法 D 、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、 a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13）， 2 =（24）（14），3 =（ 1324），则3 =（）A、 2 B 、1 2C 、 2 D 、 2 11 25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）.A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ---------- 同构 .2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环 .3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a4 的阶等于 ------.4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与------- 同构 .5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----.6、若映射既是单射又是满射，则称为----------------- .7、叫做域F的一个代数元，如果存在 F 的a0 , a1 ,, a n使得aa1 a nn0 .8、a是代数系统( A,0)的元素，对任何x A 均成立x ax，则称a为 --------- .9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 ---------.10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------.三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群， H 是 G的子群， H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.2、设 E 是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是 E 中的运算，（ E，?）是一个代数系统，问（ E，?）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b]和p, q.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若 <G，*> 是群，则对于任意的a、 b∈ G，必有惟一的 x∈ G使得 a*x ＝ b.2、设 m是一个正整数，利用m定义整数集 Z 上的二元关系： a? b 当且仅当 m︱ a– b.近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）.A、2阶B、3 阶C、4阶D、6阶2、设 G是群， G有（）个元素，则不能肯定G是交换群 .A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（ {2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),)5、设 S3＝ {(1) ， (12) ， (13) ， (23) ，(123) ，(132)} ，那么，在 S3 中可以与 (123) 交换的所有元素有（）A、(1) ， (123) ，(132) B 、 12) ，(13) ，(23)C、(1) ， (123) D 、 S3 中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、群的单位元是 -------- 的，每个元素的逆元素是 -------- 的 .2、如果f是 A 与A间的一一映射，a是 A 的一个元，则f1f a---------- .3、区间 [1 ， 2] 上的运算ab{min a,b}的单位元是 -------.4、可换群 G中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= —————————— .5、环 Z8的零因子有 ----------------------- .6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 ---------- .7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 --------- .8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R的----------- .9、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为 -------- .三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1， S2是 A的子环，则 S1∩ S2也是子环 .S 1 +S2也是子环吗？3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6.1．求和1；2．确定置换1的奇偶性 . 和四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e.近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题 .1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构 ;7 、零、 -a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换.和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)B 1(A A) C1(A A)，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对2、解：设 A 是任意方阵，令 2 ， 2称矩阵，且AB C.若令有AB1C1 ，这里B1 和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1C1C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B B1 ，C C1，所以，表示法唯一.3、答：（Mm，m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0 和 m.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G中任意元 x，y，由于(xy)2 e ，所以 xy ( xy) 1 y 1 x1yx（对每个 x，从x2 e 可得 x x 1 ）.2、证明在 F 里ab 1 b 1 a a (a, b R, b 0)bQ所有a(a,b R, b0)有意义，作 F 的子集 bQ显然是 R 的一个商域证毕.近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分).二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、{2} ；6、一一映射；7、不都等于零的元； 8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、解： H的 3 个右陪集为： {I,(1 2)} ，{(123) ，(1 3)} ，{(1 32) ，(23)}H的 3 个左陪集为： {I,(1 2)} ，{(1 2 3) ，(2 3)} ，{(1 3 2 ) ，(1 3 )}2、答：（ E，?）不是群，因为（ E，?）中无单位元 .3、解方法一、辗转相除法 . 列以下算式：a=b+102b=3× 102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代： 17=102-85=102-(b-3 ×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明设e是群<G，*>的幺元.令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的解 .若 x ∈G也是 a*x ＝ b 的解，则 x ＝e*x ＝(a － 1*a)*x ＝a－1*(a*x ) ＝a－1*b ＝ x. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的惟一解 .2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为 [a]= ｛x∈ Z； m︱ x– a｝或者也可记为a，称之为模 m剩余类 . 若 m ︱a– b 也记为 a≡b(m).当 m=2时， Z2 仅含 2 个元： [0] 与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案 . 错填、不填均无分 .1、唯一、唯一；2、a； 3、 2； 4、 24；5、； 6、相等； 7、商群； 8、特征； 9、m n；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法. 用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共8 种 .2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈ S1∩S2 有 a-b, ab ∈ S1∩S2：因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab ∈S1 和 a-b, ab ∈S2 ，因而 a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以 S1∩ S2 是子环 .S1+S2不一定是子环 . 在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 ．(1243)(56) ，1(16524 ) ；2．两个都是偶置换 .四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R 的一个理想而不是零理想，那么 a 0，由理想的定义a 1a 1，因而R的任意元b b ?1这就是说=R，证毕 .2、证必要性：将 b 代入即可得 . 充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以 b=a-1.。

近世代数期末考试试卷及答案1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群.A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）.A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构.2、一个有单位元的无零因子-----称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------.4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构.5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----.6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------.7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα . 8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------.9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------.10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.2、设E是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E中的运算，（E，•）是一个代数系统，问（E，•）是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b.2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b.近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、6阶有限群的任何子群一定不是（）.A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群.A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A 、(1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的.2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------.3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------.4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————.5、环Z 8的零因子有 -----------------------.6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------.7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------.8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------.9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环.S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ.1．求στ和στ-1；2．确定置换στ和στ-1的奇偶性. 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e .近世代数模拟试题一 参考答案一、单项选择题.1、C ；2、D ；3、B ；4、C ；5、D ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I 或S=R ；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(1653(=σ )6)(57)(48)(123(=τ可知σ为奇置换，τ为偶置换. σ和τ可以写成如下对换的乘积：)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ2、解：设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=，)(21A A C '-=，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且C B A +=.若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一.3、答：（m M ，m +）不是群，因为m M 中有两个不同的单位元素0和m.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）.2、证明在F 里)0,,(11≠∈==--b R b a b a a b ab有意义，作F 的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有-Q 显然是R 的一个商域 证毕. 近世代数模拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分).二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}2、答：（E，•）不是群，因为（E，•）中无单位元.3、解方法一、辗转相除法.列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群<G，*>的幺元.令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b.所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解.若x'∈G也是a*x＝b的解，则x'＝e*x'＝(a－1*a)*x'＝a－1*(a*x')＝a－1*b＝x.所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解.2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类.若m ︱a–b也记为a≡b(m).当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、n m ；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法.用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种.2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2： 因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环.S1+S2不一定是子环.在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；2．两个都是偶置换.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b这就是说μ=R ，证毕.2、证 必要性：将b 代入即可得.充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以b=a-1.。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}aB 、{},a eC 、{}3,e aD 、{}3,,e a a2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1(12)(23)(13)σ=，2(24)(14)σ=，3(1324)σ=，则3σ=（ ）A 、21σB 、12σσC 、21σσD 、22σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群 6、12阶有限群的任何子群一定不是（ ）。

A 、2阶B 、3 阶C 、4 阶D 、 5 阶7、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。

A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个8、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。

A 、偶数B 、奇数C 、4的倍数D 、2的正整数次幂9、若I,J 均是环A 的理想，则（ ）不一定是A 的理想。

A 、I+JB 、I ∩JC 、I ∪JD 、IJ10、3S 中元素(123)的中心化子有（ ）A 、(1),(123),(132)B 、（12），(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

2、一个有单位元的无零因子 称为整环。