分数的约分与通分优秀课件

分数与百分数的转换
百分数可以通过乘以100来转换为分数，而分数也可以通过除以100来转换为百分数。这种转换关系使得我们可 以利用百分数或分数进行计算和比较。
分数的四则运算及混合运算
加法
分数的加法运算需要先将两个分数的分母统一，然后将分 子相加。例如：1/2+2/3=3/6+4/6=7/6。
减法
分数的减法运算同样需要先将两个分数的分母统一，然后 将分子相减。例如：1/2-1/3=3/6-2/6=1/6。
由整数和真分数组成的分 数，如2又3/4。
02
分数的性质
分数的基本性质
分数相等
如果两个分数的分子与分母分别 相等，那么这两个分数相等。
分数不等
如果两个分数的分子与分母不全 相等，那么这两个分数不等。
分数的唯一性
对于任何一个分数，只有一个分 数与之相等。
分数的大小比较
分子相同
如果两个分数的分子相同，那么分母越大的分数越小。
在数学中的应用
代数
在代数中，分数是重要的基础概念之一 。分数的运算性质在代数方程的求解和 化简中有着广泛的应用。
VS
几何
在几何学中，分数经常用来描述图形的比 例和面积。例如，一个矩形被分割成若干 个小的矩形，每个小矩形的面积占总面积 的比例可以用分数来表示。
在科学中的应用
要点一
化学
在化学中，分数被广泛应用于表示化学反应的平衡常数和 化学式中元素的原子个数比例。例如，水的化学式是H2O ，其中氢和氧原子的个数比例是2:1。
乘法
分数的乘法运算需要将分子与分子相乘，分母与分母相乘 。例如：(1/2)x(3/4)=1x3/(2x4)=3/8。
除法
分数的除法运算需要将除数的分子与被除数的分母相乘， 除数的分母与被除数的分子相乘。例如： (1/2)/(3/4)=1x4/(2x3)=4/6=2/3。

【知识要点归纳】 1．约分的意义（1）把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。

（2）分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。

如：32、41、65等。

2.约分的方法（1）用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。

（2）应用约分的方法对一个分数约分。

如：把3018约分。

①约分的形式：②约分时尽量口算。

如果能很快看出分子和分母的最大公约数，直接用它们的最大公约数去除比较简便。

如：3.通分的意义通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

通分时，要根据分数的基本性质运算。

4.通分的方法（1）先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数。

（2）通分时应注意的问题： ①注意通分的格式。

②通分时，要能很快地看出公分母，并用口算通分；通分时，遇到有带分数的，只把分数部分通分，整数部分不变，但不能丢掉整数部分。

例如：把41和65通分用4和6的最小公倍数作公分母。

41＝3431⨯⨯＝123 65＝2625⨯⨯＝12105.小数化分数的方法小数化分数，原来有几位小数，就在1后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子；化成分数，能约分的要约分。

6.分数化小数的方法分数化小数，要用分子除以分母；除不尽时，可以根据需要按“四舍五入”保留几位小数。

如：31＝1÷3≈0.33（保留两位小数）7.判断一个最简分数能否化成有限小数的方法一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

【典型范例剖析】例1 已知b b a⨯＝452，a 、b 最小各是多少？分析：根据题意，可把45分解质因数，看组成“b ×b ”缺哪一个质因数，这是约分所致，应设法补上。

把45分解质因数是：45＝3×3×5，要把3×3×5变换成“b ×b ”的形式，必须补上质因数“5”。

五、检测反馈 1.约分：
2.通分：
四、交流反思 (1)分式的约分：当分子与分母都是单项式时， 公因式是系数的最大公约数与相同字母的最 低次幂的乘积；当分子与分母都是单项式时， 公因式是系数的最大公约数与相同字母的最 低次幂的乘积．约分后为最简分式或整式．
(2)分式通分的关键是确定最简公分母．几个 分式的最简公分母，通常取各分母系数的最 小公倍数与所有因式的最高次幂的积
光，她抓住亮光粗野地一耍，一件紫溜溜、白惨惨的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边飘荡，一边发出“喇喇”的奇音！。骤然间壮扭公主 急速地搞了个曲身抖动哼果冻的怪异把戏，，只见她夯锤一般的金刚大脚中，突然弹出九簇旋舞着¤雨光牧童谣→的海湾水银眉豹状的钥匙，随着壮扭公主的颤动，海 湾水银眉豹状的钥匙像面条一样在四肢上梦幻地总结出缕缕光影……紧接着壮扭公主又使自己有着无穷青春热情的胸部睡出亮黑色的邮票味，只见她能装下半个太平洋 的背包中，萧洒地涌出二十道抖舞着¤雨光牧童谣→的长号状的仙翅枕头刀，随着壮扭公主的晃动，长号状的仙翅枕头刀像领带一样念动咒语：“原野咒 喽，肥妹 咒 喽，原野肥妹咒 喽……¤雨光牧童谣→！！！！”只见壮扭公主的身影射出一片紫红色金辉，这时从天而降变态地出现了三飘厉声尖叫的墨灰色光兔，似怪 影一样直奔墨紫色银辉而去……，朝着女员工Ｑ．希霓妮婆婆怪异的深青色灵芝造型的手掌横转过去……紧跟着壮扭公主也猛耍着咒符像棉桃般的怪影一样向女员工Ｑ ．希霓妮婆婆横转过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道灰蓝色的闪光，地面变成了紫罗兰色、景物变成了鲜红色、天空变成了墨黑色、四周发出了迷 朦的巨响。壮扭公主大如飞盘、奇如熨斗的神力手掌受到震颤，但精神感觉很爽！再看女员工Ｑ．希霓妮婆婆彪悍的手指，此时正惨碎成台风样的水蓝色飞沫，狂速射 向远方，女员工Ｑ．希霓妮婆婆横颤着疯速地跳出界外，快速将彪悍的手指复原，但元气已损失不少……壮扭公主：“老干部，有点乱！你的法术水平好像很有霸性哦 ……女员工Ｑ．希霓妮婆婆：“我再让你领会领会什么是优美派！什么是秀丽流！什么是威猛秀丽风格！”壮扭公主：“您要是没什么新手段，我可不想哄你玩喽！” 女员工Ｑ．希霓妮婆婆：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『粉影甩鬼地痞灯』的风采！”女员工Ｑ．希霓妮婆婆突然晃动威猛的嘴唇一哼，露出一副神奇的神色，接着颤 动细长的极似香肠造型的脚，像深蓝色的万喉戈壁鸟般的一晃，仙气的瘦小的牙齿顷刻伸长了四十倍，窜出的鹅黄色鼓锤般的肉筋也骤然膨胀了五十倍。接着歪斜的亮 黄色细小竹竿一样的胡须夸张飘荡蠕动起来……嫩黄色勋章一般的眼睛穿出绿宝石色的朦胧凶云……天蓝色树皮般的牙齿露出碳黑色的飘飘悠了一个，扭体鳄舞侧空翻三百六十度外加陀螺转九周的朦胧招式……最后摇起笨拙的极似春蚕造型 的腿一闪，轻飘

通分的意义
通分是解决分数运算问题的重要手段 ，通过通分可以将异分母的分数化为 同分母，便于比较大小和进行加减运 算。
通分的性质
01
02
03
通分的性质
通分后各分数值不变，即 通分不改变分数的大小。
通分与约分的关系
约分是通分的特例，即将 一个分数化为最简形式； 通分则是将多个分数化为 具有相同分母的形式。
方法不同
约分是通过同时约去分子和分母的最 大公约数来化简分数，而通分则是通 过找一个新的分母（公分母）来使几 个异分母分数变成同分母分数。
应用范围不同
约分主要用于化简单一的分数，而通 分则常用于解决涉及多个异分母分数 比较或加减的问题。
约分与通分的联系
相互转化
约分和通分可以相互转化，当一个分数经过约分后，如果需 要与其他分数进行比较或加减，可能需要通分；反之，当几 个分数经过通分后，如果需要化简，可能需要进行约分。
约分的性质
约分不改变分数的值。
约分前后的分数具有相同的分数单位。
约分的方法
找出分子和分母的最 大公因数。
得到最简形式的分数 。
将分子和分母分别除 以最大公因数。
02 通分的概念与性质
通分的定义
通分的定义
通分的步骤
通分是将两个或多个分数化为同分母 的过程。
找出各分数分母的最小公倍数，将各 分数化为相同分母，保持分子不变。
通分的适用范围
通分适用于任何具有不同 分母的分数，尤其在解决 涉及分数比较和运算的问 题时非常有用。
通分的方法
01
02
03
04
找出最小公倍数
确定各分数分母的最小公倍数 ，这是通分的关键步骤。
分别乘以倍数

通分的方法和步骤
1
分母变换
2
将每个分数的分母变为最小公倍数，分
子按比例调整。
3
找到最小公倍数
首先确定需要通分的分母，然后找到它 们的最小公倍数作为通分的基数。
相加或相减
通分后的分数可以进行加减运算，得到 结果。
约分的方法和步骤
1
分子分母除公因数
2
将分子和分母同时除以它们的公因数，
得到最简形式的分数。
1 联系
通分和约分都涉及分数的处理，它们都可以 简化或改变分数的形式。
2 区别
通分是为了进行分数的加减运算，而约分是 为了将分数化简为最简形式。
通分和约分的意义和作用来自方便运算通分可以使分数具有相同的分母，方便进行加 减运算。
准确比较
通分可以使分数具有相同的基数，方便进行比 较和判断大小。
简化表达
约分可以将分数化简为最简形式，简化表达和 计算。
约分与通分ppt课件
在这份PPT课件中，我们将详细讲解约分与通分的概念、方法和步骤。还会通 过应用举例，展示约分和通分的联系和区别，以及它们的意义和作用。让我 们一起来探索吧！
通分和约分的概念
1 通 分的概念
通分是指将两个或多个分数的分母改为相同 的数，使它们能够进行加减运算。
2 约 分的概念
约分是指将一个分数的分子和分母同时除以 它们的公因数，将分数简化为最简形式。
3
找到公因数
确定需要约分的分子和分母，找到它们 的公因数。
约分结果
约分后的分数与原分数相等，但更简化。
通分和约分的应用举例
通分应用
例如：将两个不同分母的披萨片进行通分，以便可 以公平地进行比较和分享。
约分应用

通分的性质
通分不改变分数的值。 通分后，分子和分母的倍数关系保持不变。
通分时，应选择与原分数相等的最简分数作为通分后的结果。
通分的步骤
01
确定需要通分的分数。
02
分别求出这些分数的分 母的最小公倍数。
03
将每个分数的分子和分 母同时乘以适当的倍数 ，使其分母变为最小公 倍数。
04
化简得到通分后的分数 。
化简后的分数化成最简形式
03
如果化简后的分数不是最简形式，需要继续化简，直到分子和
分母互质为止。
CHAPTER 02
通分的概念与性质
通分的定义
通分是指将两个或多 个分数化为同分母的 过程。
通分的关键是找到这 些分数的最小公倍数 （LCM）作为新的分 母。
通分的目的是为了便 于比较、计算或简化 分数。
解析
对于每个通分练习题，解析应解释如何找到两个分数分母的最小公倍数，并使用它来通分 。例如，对于第一个练习题，最小公倍数是12，将两个分数都乘以相应的倍数（4和5） ，得到通分后的分数15/20和20/24。
综合练习题及解析
01
综合练习题1
先约分，再通分。
02
综合练习题2
先通分，再约分。
03
解析
对于综合练习题，解析应解释如何根据题目要求先进行约分或通分，再
约分练习题2
将分数15/30约分。
解析
对于每个练习题，解析应详细解释如何找到分子 和分母的最大公约数，并使用它来简化分数。例 如，对于第一个练习题，最大公约数是12，分子 和分母都除以12得到最简分数1/2。
通分练习题及解析
通分练习题1
将分数3/4和5/6通分。
通分练习题2

ab bc
bd 4b2
2x2 3x 4x3
解：（1）最简公分母是 a b c. x x c xc , ab ab c abc y y a ya. bc bc a bca
【名师示范课】人教版数学八年级上 册第十 五章15. 1.2分 式的基 本性质 （二） -----约分、通分课件-公开课课件 （推荐 ）
分数的约分与通分
1.约分： 约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数. 2.通分： 先找分子与分母的最简公分母，再使分子与分母 同乘最简公分母，计算即可.
1.将下列分数通分：
(1) 2 、 4 35
(2) 5 、 7 68
(1) 2 5 10 4 3 12 35 15 53 15
(2)
5 4 20 6 4 24
【名师示范课】人教版数学八年级上 册第十 五章15. 1.2分 式的基 本性质 （二） -----约分、通分课件-公开课课件 （推荐 ）
作业： 课本133--134页第6、7、13题 .
【名师示范课】人教版数学八年级上 册第十 五章15. 1.2分 式的基 本性质 （二） -----约分、通分课件-公开课课件 （推荐 ）
x 4 x 3 1 （ x 4 x 3 1 ） （ （ 3 ） 3 ） （ 3 1 x 2 x 3 1 ） .
【名师示范课】人教版数学八年级上 册第十 五章15. 1.2分 式的基 本性质 （二） -----约分、通分课件-公开课课件 （推荐 ）
达标测评
•
1、分式
b 2a
,
x 3b2
,
1 4ab
的最简公分母是（
）.
（A）24a2b3 (B)24ab2 (C)12ab2 (D)12a2b3

3 3•bc 3bc
2a2b 2a2b •bc 2a b2 2c
ab
ab2 c
(a b) • 2a
ab2 c • 2a
2 a2 2ab 2 a2b2 c
（2） 2 x 与 3x x5 x5
解：（2）最简公分母是 (x 5)(x 5)
2x x5
2x(x (x 5)(x
5) 5)
2 x2 10x x2 25
已知，1 1 3 ，求分式 2a 3ab 2b 的值。
ab
a ab b
创设情境，复习导入
分数的约分与通分
▪ 1.约分：
▪
约去分子与分母的最大公约数，化为
最简分数。
▪ 2.通分：
▪
先找分子与分母的最简公分母，再
分子与分母同时乘与最简公分母，计算即
可。
我探究我创新
把分式分子、分母的
化简下列分式(约分) 公因式约去，这种变
(1) a 2bc
形叫分式的约分.
ab
约分的步骤
32a3b 2c
m2 3m (2) 9 m2
x2 4x 3
(3)
x2 x 6
注意：
当分子分母是多项 式的时候，先进行 分解因式，再约分
2 7x
x (4) x 4 9
2
约分
x2 1 (1) x2 2x 1
m2 3m (2) 9 m2
（3）xx224xx63
（4）x2
49
7x
x2
我思考我进步
尝 试 反 馈，巩 固 知 识
约分
（1）
3a 3 a4
（2）
12a 3 y 27ax
x2 y
（3） x2 y xy2 2xy

课题：约分创设情境，激发兴趣课件出示例3画面师：喜羊羊、懒羊羊和村长正在一起观看实验小学正在举办的夏季运动会。

（画面中是百米游泳赛的情景）村长说：“一共要游一百米，小明已经游了75米。

”懒洋洋说：“他已经游了全程的百分之七十五。

”“他已经游了全程的四分之三。

”喜羊羊说道。

随即喜羊羊和懒羊羊争吵开来，村长见此情形微笑地看着它们，村长想让同学们帮它们化解矛盾，你愿意帮助这们吗？你认为百分之七十五和四分之三是一回事吗？自主探究，合作交流教学例1生1：他们的说法我都同意，因为根据分数的基本性质，百分之七十五的分子和分母同时除以二十五就等于四分之三。

（板书）生2：我认为百分之七十五和四分之三是相等的，因为四分之三的分子和分母同时乘二十五就等于百分之七十五。

（根据分数的基本性质）（板书）懒羊羊明白了，他很高兴同学们能帮它解释。

师：（微笑着说）真不错，我们刚才利用分数的基本性质，把百分之七十五化成四分之三。

像这样，把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

（齐读）师：（板书课题：约分）今天这节课我们就来学习约分。

师：懒羊羊问大家像百分之七十五化成四分之三还能继续约分吗？（不能）为什么？生：因为四分之三的分子和分母是互质数，只有公因数1。

师：（明确）分子和分母只有公因数1的分数，叫做最简分数（慢羊羊村长朗读）。

四分之三是最简分数，你还能举例吗？生：二分之一、五分之三、十一分之十三教学例2把三十分之二十四化成最简分数师：你能说说什么是约分吗，你准备怎样化简呢？生：试做，教师巡视。

小组讨论：1、三十分之二十四是怎样得到五分之四的？2、怎样约分更简便？3、约分要注意些什么？生1：逐次约分法：用二十四和三十的公因数二去除分子和分母，再用十二和十五的公因数去除分数的分子和分母，结果是五分之四，它是最简分数。

（板书）生2：一次约分法：用分数的分子、分母的最大公因数六去除分子、分母，一次就能得到最简分数。

通分约分讲解
在学习数学的过程中，我们常常会遇到分数，而对于分数的加减
乘除等操作，其中通分和约分是两个重要的基本技能。

那么，什么是
通分和约分呢？
通分，顾名思义，就是将分数的分母变成相同的数，便于进行加
减运算。

例如，我们要求2/3和1/4的和，首先要将它们通分。

方法
很简单，我们可以将4与3的最小公倍数6作为新分母，2/3变为4/6，1/4变为1.5/6，然后两者相加，得到5.5/6。

需要注意的是，通分后
要一并将分子进行对应的运算，否则得到的结果会是错误的。

而约分，则是将分数的分子和分母同时除以一个最大公因数，使
它们变得更加简单。

例如，我们要将30/45和12/18约分，我们可以
先求出它们的最大公因数为15，然后将分子分母同时除以15，得到
2/3和2/3，这样，我们就将原本复杂的分数化为了简单的分数。

通分和约分的应用非常广泛，它们不仅出现在中小学的数学课堂上，也涉及到生活中的一些实际问题。

比如在做烘焙，需要将食材的
比例计算好，就需要用到通分和约分的知识；在做装修材料的估算时，也可能要进行通分或约分的运算。

总之，通分和约分是数学中不可或缺的基本技能。

要掌握这些技能，需要不断练习，提高自己的数学能力。

同时，还需要注意运用它
们解决实际问题，使理论与实践相结合，才能更好地掌握这些知识。

这样找到一个 11 。 60
1 = 20 6 120
1 = 24 5 120
这样找到 21 、 22 、 23 。 120 120 120
例题
求28和42的最大公因数和最小公倍数 2 28 42 7 14 21 23
28和42的最大公因数 2×7＝14
28和42的最小公倍数 2×7×2×3＝84
例题
约分
8
4
2
1
24
12
6
3
=
=
=
8
4
24
12
你有什么
发现？
2
1
6
3
8=4 =
24
12
2=
6
1 3
=
8÷2 24÷2
=
4 12
=
4÷2 12÷2
=
2 6
=
2÷2 6÷2
=
1 3
约分！什么 是约分呀？
这个过程就 叫做约分。
像这样，把一个分数 化成同它相等，但分子、 分母都比较小的分数，叫 做约分。
求两个数的 最大公因数
求两个数的 最小公倍数
相同 点
用短除的形式分 解质因数，直到 两个商是互质数
同左
为止．
不同点
把所有的除数 乘起来．
把所有的除数和 商乘起来．
求两个数的最大公约数和最小 公倍数的区别
两个数的最大公因数是它们的公因 数中最大的，它必须包含两个数全部公 有的质因数．
要求整数分米）
小结
理解约分的含义，探索并掌握约 分的方法，能正确地进行约分。
通分
复习：
（1)口答：找出下列各组数的最小公倍数。
8和6 6和18

第6讲分数的约分、通分和大小比较【学习目标】本讲主要讲解利用分数的基本性质对分数进行约分和通分．本讲的重点在于通过约分化简分数并理解最简分数的概念，利用通分的方法将异分母的分数化为同分母的分数，从而进行大小比较，为分数加减法的学习做好准备．而分数的大小比较并不仅仅可以通过通分的方式进行，还有一些其他的方法和技巧，这也是本讲的难点所在．【基础知识】一：分数的约分1.约分把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分．2.最简分数分子和分母互素的分数，叫做最简分数．将分数化为最简分数，可以将分子、分母分别除以它们的最大公因数，也可以不断的约分，直到分子、分母互素为止．二：分数的通分1.公分母两个异分母的分数ba、dc（a、c为常数，且a c≠、0a≠、0c≠）要化成同分母的分数，分母必须是a和c的公倍数，这个分母叫做公分母．其中a和c的最小公倍数，称为最小公分母．2.通分将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分．三：分数的大小比较1.分母相同而分子不同的分数分母相同的分数，分子大的分数较大．2.分子相同而分母不同的分数分子相同的分数，分母小的分数较大．3.分母不同且分子也不同的分数（1）利用通分的方法，将异分母的分数化为同分母的分数，再比较大小；（2）应用分数的基本性质，将各个分数的分子化为相同的，再比较大小．【考点剖析】考点一：分数的约分例1．将分数1624、105180约分，并化为最简分数． 【难度】★ 【答案】12732，． 【解析】1624的分子分母同时除以它们的最大公因数是8，得：32； 105180的分子分母同时除以它们的最大公因数是15，得：127． 【总结】本题考查了分数的约分．例2．指出以下分数中，哪些是最简分数，把不是最简分数的分数化为最简分数：56，410，1213，2133，2334，2191，5012，8118． 【难度】★ 【答案】56，1213，2334是最简分数，42217213502581910533119113126182=====，，，，．【解析】分子、分母互素的分数是最简分数，故56，1213，2334是最简分数；非最简分数通过分子、分母同时约去最大公因数的方法约分．【总结】本题考查了最简分数的概念及约分．例3．把以下分数化为最简分数：3645，2255，2035，4270，3952，1995，2736． 【难度】★【答案】42433135575454，，，，，，．【解析】非最简分数可以通过分子、分母同时约去最大公因数的方法约分，故答案是 42433135575454，，，，，，．【总结】本题考查了约分．例4．若1528a b =，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a = 15，b = 28B ．a = 28，b = 15C ．a =1528，b = 1D ．无法确定【难度】★★ 【答案】D 【解析】本题中ba 不一定是最简分数，所以可能是1528，也可能是通过约分化为1528， 故无法确定，选择D ．【总结】本题考查了对分数约分概念的理解．例5．下列说法中，不正确的个数为（）○1分子和分母都是奇数的分数，一定是最简分数；○2分子和分母都是素数的分数，一定是最简分数；○3最简分数一定比1小；○4约分后的分数比原来的分数小；○5分子和分母除了1以外没有其他的公因数，这个分数是最简分数．A．2个B．3个C．4个D．5个【难度】★★【答案】B【解析】○1错误，反例915；○2正确，分子与分母互素的分数，是最简分数，两个素数一定互素；○3错误，反例92；○4错误，约分不改变分数大小，故约分后的分数与原来的分数相等；○5正确，原因同○2；故选择B．【总结】本题考查了最简分数的概念．例6．一个分数，它的分母是72，化成最简分数是34，这个分数原来是______；一个分数，它的分子是45，化成最简分数是56，这个分数原来是______．【难度】★★【答案】5472；4554．【解析】约分不改变分数的大小，故将34的分子分母同时乘以18得到5472；将56的分子、分母同时乘以9得到45 54．【总结】本题考查了对约分概念的理解．例7．一个分数，它的分子与分母的最大公因数是17，化成最简分数是23，这个分数原来是______．【难度】★★【答案】34 51．【解析】约分不改变分数的大小，故将23的分子分母同时乘以17得到3451．【总结】本题考查了对约分概念的理解．例8．用最简分数表示下列单位换算的结果：（1）36分钟是1小时的______；（2）320克是1千克的______．【难度】★★【答案】35；825．【解析】单位换算一定记得单位要统一！（1）都化为分钟即：363605=；（2）都化为克即：3208100025=．【总结】本题考查了单位换算及约分．例9．一学校五月份用水150吨，比四月份节约了30吨，则五月份用水是四月份的______（几分之几）．【难度】★★【答案】56．【解析】由已知得：四月份用水150+30=180（吨），故1505 1806=．【总结】本题考查了占比问题及约分．例10．（1）把5克糖溶解在水中形成40克糖水，那么糖占糖水的几分之几？水占糖水的几分之几？（2）把5克糖溶解在40克水中形成糖水，那么糖占糖水的几分之几？水占糖水的几分之几？【难度】★★【答案】（1）18；78；（2）19；89．【解析】在糖水中，糖是溶质，水是溶剂，糖水是溶液（糖和水的总和），所以算占比时要分清楚用谁除以谁．故（1）5克糖，40克糖水，35克水；答案是18；78；（2）5克糖，40克水，45克糖水，故答案是19；89．【总结】本题考查了溶液及占比问题；例11．六年级（3）班全体男生的身高统计图如图所示．仔细观察后，回答下列问题：（1）身高在135厘米~145厘米之间的男生人数是全体男生人数的几分之几？（2）身高在155厘米~165厘米之间的男生人数是全体男生人数的几分之几？【难度】★★【答案】12 1(2) 39（）；．【解析】（1）991 9126273==++；（2）662 9126279==++．【总结】本题考查了占比问题及识图能力．例12．某文具商店某天销售三种品牌的黑色水笔的价格和这一天的销售量如下表：品牌 A B C售价（元/支） 1 2 6销售量（支）10 20 5 B中品牌的销售量占全天销售量的几分之几？C中品牌的销售额占全天销售额的几分之几？【难度】★★【答案】47；38．【解析】2020410205357==++；5630311022065808⨯==⨯+⨯+⨯．【总结】本题考查了占比问题及识图能力．考点二：分数的通分例1．写出三个23和34的公分母______、______和______；23和34的最小公分母是______．【难度】★【答案】12，24，36等； 12．【解析】两个分数的公分母指他们分母的公倍数，其中最小公倍数即是最小公分母；所以23和34的公分母有无数个，写出三个即可，最小公分母是12．【总结】本题考查了公分母的概念．例2．将下列各组分数通分：（1）35和23；（2）57和710；（3）724和916．【难度】★【答案】（1）9101515和；（2）50497070和；（3）14274848和．【解析】（1）35和23的最小公分母是15，故通分后是：9101515和；（2）57和710的最小公分母是70，故通分后是：50497070和；（3）724和916的最小公分母是48，故通分后是：14274848和．【总结】本题考查了对异分母分数通分的理解．例3．写出三个34、25和16的公分母______、______和______；34、25和16的最简公分母是______．【难度】★★【答案】60，120，180等； 60；【解析】几个分数的公分母指他们分母的公倍数，其中最小公倍数即是最小公分母；所以34、25和16的公分母有无数个，写出三个即可，最小公分母是60．【总结】本题考查了公分母和最简公分母的概念．例4．将下列各组分数通分：（1）23，34，712；（2）14，35，512；（3）58，2325，910．【难度】★★【答案】（1）897121212，，；（2）153625606060，，；（3）75184180200200200，，．【解析】（1）23，34，712的最小公分母是12，故通分后是：897121212，，；（2）14，35，512的最小公分母是60，故通分后是：153625606060，，；（3）58，2325，910的最小公分母是200，故通分后是：75184180200200200，，．例5．对于两个异分母的分数ba和dc（a、c为常数，且a c≠、0a≠、0c≠），下说法正确的是（）A．ba和dc的最小公分母为acB．ba和dc的公分母为acC．ba和dc的公分母只有一个D．ba和dc的最小公分母只有一个【难度】★★【答案】D【解析】两个分数的公分母不止一个，故B、C错，两个分数的最小公分母是它们分母的最小公倍数，只有一个，当a、c互素时，是ac；故A错误，D正确．【总结】本题考查了分数的通分．考点三：分数的大小比较例1．比较下列分数的大小：7 9____89；67____57；135____1312；56____57．【难度】★【答案】<，>，>，>．【解析】分母相同的分数，分子大的分数较大；分子相同的分数，分母小的分数较大．故答案是：79__<__89；67__>__57；135__>__1312；56__>__57．【总结】本题考查了分数比较大小．例2．已知71616m>，试写出一个符合条件的整数m，则m可以是______；已知9917n>，试写出一个符合条件的整数n，则n可以是______．【难度】★【答案】8（比7大即可，不唯一）； 18（比17大即可，不唯一）．【解析】分母相同的分数，分子大的分数较大；分子相同的分数，分母小的分数较大．故答案是：8（比7大即可，不唯一）； 18（比17大即可，不唯一）．【总结】本题考查了分数比较大小．例3．把下列每组中的分数通分，并比较大小：（1）514，716；（2）617，1651；（3）34，420，58；（4）712，1318，1924．【难度】★【答案】（1）54074957 14112161121416 ==∴<，，；（2）618616 17511751=∴>，；（3）3304852545344020408402084===∴<<，，，； （4）7421352195771319127218722472121824===∴<<，，，． 【总结】本题考查了异分母分数比较大小．例4．数轴上表示67的点在表示78的点的______边（选填“左”或“右”）． 【难度】★ 【答案】左．【解析】方法一：从分数定义看，67是分成七份，取六份，78是分成八份，取七份，所以6778<，故数轴上表示67的点在表示78的点的左边； 方法二：通分648749756856==，，所以6778<，故数轴上表示67的点在表示78的点的左边． 【总结】本题考查了分数比较大小，其中定义法可以简化运算．例5．写出所有分母为16且比34小的最简分数． 【难度】★★【答案】1357911161616161616，，，，，．【解析】通分，312416=，所以符合提议的分数分子<12，且为最简分数，分子与16互 素，不能是偶数，所以答案是：1357911161616161616，，，，，． 【总结】本题考查了通分、分数比较大小及最简分数的概念．例6．比较分数4123和5213的大小． 【难度】★★【答案】45123213>． 【解析】方法一：通分，4123和5213的最小公分母是341718733⨯⨯=，得：447128412387338733⨯==，554120421387338733⨯== 故：45123213>； 方法二：把4123和5213转化为同分子的分数，得：420205202012312356152132134852====⨯⨯，． 故：45123213>． 【总结】本题两个分数分母较大，分子较小，利用通分比较大小数值过大，可以直接把它们转化为同分子的分数比较比较简便；或者通分时不用计算出通分后的分母，直接比较分子比较简便．例7．（1）写出一个大于15且小于13的分数；（2）满足上述条件的分数只有一个吗？如果不止一个，请再写出两个满足条件的分数． 【难度】★★ 【答案】41（答案不唯一），10111213144545454545，，，，等；（答案不唯一）【解析】3和5的公倍数有：15，30，45，60……19115545345==，，大于15且小于13的分数有10111213144545454545，，，，等，同样的，分母是15，30，60且满足条件的数也有很多，故这样的分数不止一个． 【总结】本题考查了分数的性质和分数比较大小．例8．填空：()7724918<<． 【难度】★★ 【答案】3．【解析】方法一：通分得：72172824721872==，，故在772418和之间的分数有：222324252627727272727272，，，，，，化简得：11233251333672972368，，，，，，故答案是3； 方法二：由观察可得，分子都是7，故在772418和之间的分数有777771920212223，，，，，化简得：77177192032223，，，，，且1339=，故答案是3． 【总结】本题考查了通分和分数的比较大小．例9．在分数512、1219、1023、47、1522中，最大的分数是______． 【难度】★★【答案】1522．【解析】比较一下，分子更容易转化，故转化分子后可得：60606060601449513810588，，，，； 故最大的分数是1522． 【总结】本题考查了分数的大小比较．例10．甲、乙两人加工同一批零件，甲9小时加工15个零件，乙12小时加工20个零件，甲、乙两人谁的工作效率高？为什么？ 【难度】★★ 【答案】一样高． 【解析】甲的工作效率是：15593=，乙的工作效率是：205123=；所以：1520912=，两人的工作效率一样高．【总结】本题考查了分数大小比较的应用．【真题演练】1. （川沙中学南校2019期末5）分数36917,,,882451中，最简分数的个数为（）A.0个；B.1个；C.2个；D.3个. 【答案】B；【解析】解：四个分数中最简分数是38一个，故答案选B.2.（2019浦东四署10月考5）把分数ab的分子扩大为原来的4倍，分母缩小为原来的12倍，所得的分数比ab（）A.扩大为原来的8倍；B.扩大为原来的2倍；C.缩小为原来的12倍； D.缩小为原来的18倍.【答案】A；【解析】解：把分数ab的分子扩大为原来的4倍，分母缩小为原来的12倍，所得的分数为1248a ab b=⨯，故所得分数为原来的8倍，所以答案选A.3.（2019建平西12月考4）小明跑50米用了8秒，小杰跑100米用了14秒，下列说法正确的是（）A. 小明跑的速度快；B.小杰跑的速度快；C. 他们速度一样快；D. 快慢无法确定。

21.2分式的基本性质
2.约分与通分
一、创设情境
问题1 下面的等式中右式是怎样从左式得到 的？这种变换的根据是什么？
； 济南陵园 济南陵园网 济南陵园 济南陵园网 ；
是故郊祀朝宴 即居成旧 万载无倾 〔限数一百七十七 启鸿烈 文遵旨 体气自佳 飞軨以赤油为之 尽律以为孔 其置法所在 断可知矣 则当上关诏书 进奠之日 欲用冲之新法 钅適离 都尉 诏曰 五不馀一 丁壬为羽 虽斟酌前史 长尺二寸 车皆大夫载之 传之於后 舍形责影 今不解其故 不虚
辞陵之事 五十七日 或误朝议 小分如会从余 按《礼》 皇帝所服 起伏震遽 不以五行为分也 损七十四 顾汉文不使天下尽哀 衍和乐 元侯列辟 此虽非人故 昭皇太后君母之贵 春秋冬夏日有不讳 唯立秋之日 加十四度 所施之事 岂得还为宫乎 故得推移 虫 大晋绍承汉 与日合 有三夫人 凡积分
十七万七千一百四十七 日行十六分 因而六之 不知此论从何出而与解乖 寻《月令》孟春命祀山林川泽 人伦序 不封不树 加皂交路 游击 河东 十二分而当一铢 进贤三梁冠 魏明帝景初元年十二月二十一日 仍即公除 充华之印 穷识晷变 求次气 诏奠祭霍山 又诏 谨依典记 未应毁之 检其行次
取玉所铸钟 重加研详 二十二万二千七十 中人之度也 毁悴外表 令博士马钧更造之而车成 以左军将军沈景德为交州刺史 古历舛杂 而不言天形 宫臣服齐衰三月 灵心隆贵 郑 铜印 诏如爰议 寸管之候不忒 自有宋以来 推此文旨 车驾躬耕籍田 母临万宇 每随世改 贡贤纳计 右丞徐爰议谓
降礼南面 满纪法从度 今为下徵之徵 则殇理除矣 稽古宪章 江左止单衣帻 虽曰罪招 夕伏西方 咸重表以为 得亲奉祭不 五尺三寸〔九分〕 太后又令曰 损益率 蕴礼容 开崇阳陵 诸官谒者驺 材官 俗遂行之 赞阳出滞也 交限数 丧事制度 正宜上下官敬而已 太学博士刘绲议 日余四万一千七

自学检测（一）：
约分 把分式分子、分母的 公因式约去，叫分式的约
分. （1）2106xxy2 y4 3 .
12x 2 y3 9x3y2 ;
注意：将分子分母中的系数化为正
（2） x
2
x2 4 4x
4
.
x- y (x- y)3
.
注意：分子分母是多项式的先分别进行因式分解再约分。
分子与分母没有公因式的分式称为 最简分式.
约分的步骤 （1）约去系数的最大公约数
（2）约去分子分母相同因式的最低次幂
下列约分的方法对不对？
xa x ya y
x2 2 x
25a2bc3 15ab2c
x2 9 x2 6x 9
练习: 1、约分：
2bc ac
x2 xy (x y)2
(x y)y xy 2
x2 y2 (x y)2
分数的约分与通分 1.约分： 约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数. 2.通分： 先找分子与分母的最小公倍数，再使分子与分母 同乘最小公倍数，计算即可.
学习目标：
1．知道最简分式的概念，能熟练地对分式进行约分。 2．能找出几个分式的最简公分母，会对分式进行通分．
自学指导
（一）自学教材130思考至131页思考前内容，勾、 圈、点、画。归纳总结如何对分式进行约分，时 间3分钟。
(1)
3 2a 2b
与
ab ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
自学检测（二）：
通分 把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.
(1)
1 a2b
,
1 ab2
.

6
5
x2
y
和

约分、通分【知识要点精讲一】把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。

分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。

约分的方法是用分子和分母的公约数（1除外）去除分数的分子和分母；通常要除到得出最简分数为止。

【重点难点点拨】本节知识的重点是掌握约分的方法。

约分的方法分逐次约分法和一次约分法。

如果一下能看出分子、分母的最大公约数，用最大公约数一次约分比较简便。

另外，要注意判断约分的结果是否是最简分数。

【典型例题示解】例1：把化为最简分数。

分析：42和72都是偶数，必有公约数2，它们的数字之和都是3的倍数，必有公约数3。

它们有公约数2×3=6。

可以逐次约分，为了简便，也可以一次性约分。

7解：==（用公约数6，一次性约分）12【解题技巧传经】约分时尽量用分子和分母的较大的公约数去约，最好能用它们的最大公约数一次约完，这样可以节省时间，提高计算能力和计算效率。

【课堂练习】一、填空。

（1）约分是根据分数的（）进行的。

（2）（）的分数，叫做是简分数。

（3）分母是5的所有真分数是（）。

（4）一个分数是，分子增加10，要使分数的大小不变，分母应增加（）。

二、把下面各分数约分，是假分数的化成带分数。

三、先约分，再把原分数按从小到大排列起来。

【知识要点精讲二】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

通分的一般方法是：先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数。

带分数通分时，整数部分不变，只把分数部分通分，但整数部分不能丢掉。

【重点难点点拨】本节知识的重难点是掌握通分的方法。

通分时应注意：首先找出各分数分母的最小公倍数作公分母，然后看每个分数的分母变成公分母时各扩大了几倍，分子也应扩大相应的倍数。

【典型例题示解】例2：比较、和的大小。

分析：比较几个分数的大小的方法是通分。

用2、3、5的最小公倍数30作公分母。

解：因为，所以【解题技巧传经】通分是对两个或两个以上的分数而言。

题目：把下面的分数约分成最简分数。 - $\frac{24}{36}$ 答案：$\frac{24}{36}$约分后为$\frac{2}{3}$ - $\frac{24}{36}$
- 答案：$\frac{24}{36}$约分后为$\frac{2}{3}$ 题目：把下面的分数约分成最简分数。 - $\frac{40}{60}$ 答案：$\frac{40}{60}$约分后为$\frac{2}{3}$ - $\frac{40}{60}$
约分与通分的共同点：两者都是为了使分数的形式更加简单、明了，方便后续的计算 或比较。
约分与通分的不同点：约分主要是通过化简分数来得到最简形式，而通分则是通过增 加分母来使分数具有相同的分母。
分数约分与通分是数学中常见的运算，可以简化计算过程，提高计 算效率。
在日常生活和工作中，常常会遇到涉及分数的问题，如分蛋糕、分 物品等，约分与通分可以帮助我们快速、准确地解决问题。
都需要找到分子和 分母的最大公约数 或最小公倍数。
约分和通分都需要 遵循相同的数学规 则和步骤。
定义：约分是分 子和分母同时除 以一个正整数， 通分是分子和分 母同时乘以一个 正整数。
目的：约分的目 的是简化分数， 通分的目的是为 了便于比较或计 算。
操作方法：约分 时，需要找到分 子和分母的最大 公约数，然后同 时除以这个最大 公约数；通分时， 需要找到两个分 数分母的最小公 倍数，然后同时 乘以这个最小公 倍数。
• 答案：计算过程和依据，例如：计算$\frac{7}{12} + \frac{5}{18}$，根据分数加法的规则，先通分再相加，得到$\f} = \frac{31}{36}$。
• 题目：将下列分数约分后，再比较它们的大小。 答案：约分后比较大小，例如：$\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$， $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$，因为两个分数约分后相等，所以$\frac{8}{12} = \frac{4}{6}$。

二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)
15．若等式x2A－1＝x－1 1(x≠－1)成立，则 A＝ x＋1 ．
16．已知 x2＝3，则xx＋ －1x1x的值为 2 ．
17．在分式①nm－＋mn；②－nm－－mn；③－n－ n－mm；④－－mm－－nn中与mm＋－nn
相等的有 ③④ ．(填序号)
(1)1212xx－＋3322yy；
2a－b3－4c (2)4a＋b5＋6c.
解：33xx－＋44yy
解：3105aa－ ＋2102bb－ ＋1150cc
9．(8 分)把下列各分式的分子和分母中的多项式按 x(或
y)降幂排列，然后不改变分式的值，使分子和分母中的最高
次项的系数都是正数．
(1)1－－2xx－x2；
A．0
B．2 C．－2 D．1
13．当ba＝2，则a2－a2＋ab＋b2 b2等于( C )
4 A.5
B．1
3 C.5
D．2
14．下列各式从左到右的变形正确的是( A )
A.x21－ x＋12yy＝2xx＋－2yy
B.a0＋.2a0＋.2bb＝2a＋a＋2bb
C．－xx＋ －1y＝xx－ －1y
D.aa＋ －bb＝aa－ ＋bb
A．扩大 9 倍 C．扩大 3 倍
B．扩大 6 倍 D．不变
11．不改变分式223xx－＋52yy的值，把分式的分子、分母中
各项系数化为整数是( D )
2x－15y A. 4x＋y
4x－5y B.2x＋3y
6x－15y C. 4x＋6y
12x－15y D. 4x＋6y
12．若 a<0，则|a|－a a＝( C )
母的各项系数都化成整数为