东南大学2014年高等数学转系练习试卷

东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设曲线在点处的切线与直线垂直，则( )A ．2B ．C ．D ．【答案】D2．过点（0，1）且与曲线11-+=x x y 在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( ) A ．012=+-y x B ．012=-+y x C ．022=-+y x D ．022=+-y x【答案】A 3．由曲线x y e =， x y e -=以及1x =所围成的图形的面积等于( )A ．2B ．22e -C ．12e-D ．12e e+- 【答案】D4．已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>--+=)1(1)1(132)(3x ax x x x x x f 在点1=x处连续，则)]21([f f 的值为( )A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B5．已知函数()=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛'=4,sin cos 4ππf x x f x f 则( ) A ．2 B ．12-C ．1D ．0【答案】C 6．已知120201,cos 15sin 15M x dx N -==-⎰,则( )A ． M N <B ． M N >C ． M N =D ． 以上都有可能【答案】B7．曲线x x x f ln )(=的最小值为( )A ．1eB ．eC ． e -D ． 1e-【答案】D8．21()(2)3,()2f x f x x f ''=- 已知则＝( )A ．－12B ．－2C ．12D ．2【答案】B9．抛物线2(12)y x =-在点32x =处的切线方程为( )A ． y=0B ．8x －y －8=0C ．x=1D ．y=0或者8x －y －8=0【答案】B 10．曲线13-=x y在x=1处的切线方程为( )A ．22-=x yB ．33-=x yC ．1=yD ．1=x【答案】B 11．与直线的平行的抛物线的切线方程是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D12．曲线2y x =与直线y x =所围成的平面图形绕x 轴转一周得到旋转体的体积为( )A ．130π B ．115π C ．215π D ．16π 【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．计算：2211x dx x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰____________. 【答案】7ln 23- 14．函数y ＝f(x)在点P(5,f(5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f(5)＋f ′(5)＝____________ 【答案】215．过点A （0，2）与曲线相切的直线方程是 。

河南省2014年普通高校等学校选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试高等数学一．选择题（每小题2分，共60分）1.函数2()sin 9ln(1)f x x x =-+-的定义域是（）A.(1,3] B.(1,)+∞ C.()3,+∞ D.[3,1)-2.已知2(2)2f x x x =-,则()f x =（）A.2114x + B.2114x - C.214x x - D.114x +3.设()f x 的定义域为R ,则()()()g x f x f x =--.()A.是偶函数 B.是奇函数C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数4.已知224lim 42x ax x →+=--,则（）A.1a =- B.0a = C.1a = D.2a =5.1x =-是函数2212x y x x -=--的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.连续点D.第二类间断点6.当x→0时，比1cos x -高阶的无穷小是（）A.211x +- B.2ln(1)x +C.sin xD.3arctan x7.已知()ln f x x =,则220()()lim 2h f x h f x h→+-=（）A.2ln xx -Bln x x C.-21xD.1x8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩(t 为参数）。

在2t=对应点处切线的方程为（）A.1x =B.1y =C.1y x =+ D.1y x =-9.函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则方程'()0f x =实根的个数为（）A.2B.3C.4D.510.设()y y x =是由方程xy xy e =+确定的隐函数。

则dy dx=A.11x y x +-- B.21y xy x --C.11y x+- D.12x x xy---11.已知函数()f x 在区间[]0,a （a>0)上连实，(0)f >0且在（0，a)上恒有'()f x >0,设10()aS f x dx =⎰,2(0)S af =,1S 与2S 的关系是（）A.1S <2SB.1S =2SC.1S >2S D.不确定12.曲线31y x =+()A.无拐点B 有一个拐点C.有两个拐点D.有三个拐点13.曲线y=12x -的渐近线的方程为（）A.0,1x y ==B1,0x y ==C.2,1x y == D.2,0x y ==14.设()F x 是()f x 的一个原函数则()xx e f e dx --⎰=()A.()xF e c -+ B.()xF e c --+C.()x F e c+ D.()xF e c-+15.设()f x 在[],a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线x=a,x=b,y=0所围成平面图形的面积为（）A ()baf x dx⎰B.()baf x dx⎰C.()b af x dx ⎰D.()()()f b f a b a --16.设()f x 是连实函数，满足()f x =21sin 1x x ++_11(),f x dx -⎰则lim ()x f x →∞=（）A.B.-6πC.3πD6π17.设()f x =(1)sin ,xt tdt -⎰则'()f x =()A.sin cos x x x +B.(1)cos x x- C.sin cos x x x- D.(1)sin x x-18.下列广义积分收敛的是（）A.2ln xdx x+∞⎰B.11dx x+∞⎰C.2111dx x -⎰D.1cos xdx+∞⎰19.微方程0dx dy y x+=的通解是（）A.2225x y += B.34x y c+= C.22x y c+= D.227y x -=20解常微方程''2'xy y y xe -+=的过程中，特解一般应设为（）A.2=)xy Ax Bx e+半（ B.=xy Axe半 C.=xy Ae半 D.2=()xy x e Ax B +半21.已知a,b,c 为非零向量，且0a b ⋅=，0b c ⨯=则（）A.a b ⊥ 且b cB.a b b c⊥ 且 C.a c b c⊥ 且 D.a c b c⊥ 且22、直线L:==3-25x y z与平面π：641010x y z -+-=的位置关系是（）A、L 在π上B、L 与π平行但无公共点C、L 与π相交但不垂直D、L 与π垂直23、在空间直角坐标系内，方程222-y =1x 表示的二次曲面是（）A、球面B、双曲抛物面C、圆锥面D、双曲柱面24、极限0y 02lim+1-1x xyxy →→=（）A、0B、4C、14D、-1425、点（0,0）是函数z xy =的（）A、驻点B、极值点C、最大值点D、间断点26、设{}(,)21D x y x y =≤≤，则()+Dxy y dxdy ⎰⎰=（）A、0B、-1C、2D、127、设(),f x y 为连续函数，()()122-01,+,x xdx f x y dy dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰交换积分次序后得到（）A、()212,yy dy f x y dx⎰⎰B、()2,ydy f x y dx⎰⎰C、()12-0,y ydy f x y dx⎰⎰D、()2022,yy dy f x y dx⎰⎰28、L 为从（0,0）经点（0，1）到点（1,1）的折线，则2+Lx dy ydx ⎰=（）A、1B、2C、0D、-113.下列级数条件中收敛的是（）A、2n=12n-1n +1∞∑B、n nn=11-3∞∑（1）C、22n=1n +n+1n -n+1∞∑D、nn=11-n∞∑（1）30、级数2n=114n -1∞∑的和是（）A、1B、2C、12D、14二、填空题（每题2分，共20分）31、设-1=-1x x f x x x ⎛⎫≠⎪⎝⎭（0,1），则()f x =______.32、设连续函数()f x 满足22()()f x x f x dx =-⎰,则2()f x dx ⎰=______.33、已知(){,1ln 1x a x x x f x -<≥=，，若函数()f x 在1x =连续，则a=______.34、设33'(1)12f x x +=+是()01f =-，则()f x =______.35、不定积分cos 2xdx ⎰=______.36、若向量{}{}{}0,1,1;1,0,1;1,1,0a b c ===则()a b c ⨯ =______.37、微分方程"4'40y y y -+=的通解()y x =______.38、设arctan222(,)ln()cos y xf x y ex y xy =+，则'(1,0)x f =______.39、函数()222,,f x y z x y z =++在点（1，1,1）处方向导数的最大值为______.40、函数()112f x x=-的幂级数展开式是______.三、计算题（每题5分，共50分）41、求极限20(1)lim1tan -1x x x e x x→-++42、设n a 为曲线ny x =与1(1,2,3,4...)n y xn +==所围的面积，判定级数1n n na ∞-∑的敛散性43.求不定积分21xdx x -⎰.44.计算定积分402x dx -⎰.45.解方程3xy y x '-=.46.已知函数(,)z f x y =由方程20xyz ez e --+=所确定，求dz .47.已知点(4,1,2),(1,2,2),(2,0,1)A B C --求ΔABC 的面积.48.计算二重积分22lnDx y dxdy +⎰⎰,其中22{(,)14}D x y x y =≤+≤.49.计算曲线积分22(1)(1)y x dx x y dy <++-⎰其中L 是圆221x y +=（逆时针方向）.50.试确定幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域并求出和函数.四．应用题（每小题7分，共14分）51.欲围一个面积150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面每平方米6元，其余三面是每平方3元，问场地的长，宽各为多少时，才能使造价最低？52.已知D 是抛物线L:22y x =和直线12x =所围成的平面区域，试求：（1）区域D 的面积（2）区域D 绕Ox 轴旋转所形成空间旋转体体积.五．证明题（6分）53.设2e a b e <<<证明2224ln ln ()b a b a e ->-2014专升本真题答案一．选择题1-10A C B A B D B B C B 11-20C B D B C B D C C D 21-30B D D B A A C A D C 二．填空题31.1x 32.8933.134.21x x --35.1sin 22x c=36.237.2212xx x c ec e+38.239.2340.2n nn x ∞=∑,11(,)22x ∈-41.2030303030320220220(1)1tan 11tan 1(1tan 1)1tan (1)(1tan 1)tan 2tan 6sec 16tan 66lim limlimlimlimlim lim lim x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-+-+=+-++++=+-++++=-=-=-===42.解：由题意知112110111(1212(1)(2)n n n n n x x a x x dx n n n n n n +++⎡⎤=-=-=-=⎢⎥++++++⎣⎦⎰）1131123231112(1)(2)(1)(2)1(1)(2)lim 101(1)(2)1(1)(2)n n n n n n n n n n n n nna n n n n nn n n n n n n n a n n n∞∞==∞∞→∞==∞∞∞=====++++++=>++++∑∑∑∑∑∑∑故此级数为正项级数且u 由正项级数比较判别法的极限形式知故与级数的敛散性相同且为收敛级数，故为收敛级数即级数收敛43.22212221122211(1)2111(1)(1)21(1)11212xdx d x x x x d x x c x c--+=---=---=+=-+-+⎰⎰⎰44.42x dx-⎰4422422022(2)2222224x dx x dxx x x x =-+-⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=⎰⎰45.原方程可化为21'y y x x-=为一阶线性齐次微分方程，由公式知，其通解为112ln 2ln 2231(+c)2=2x xx xdx x e dx c e x e dx c x x dx c x x xdx c x x x cx ----⎡⎤⎰⎰⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=+⎰⎰⎰⎰y=e 46..'''''''2,,22222xy z xy xy z x y Z xy x zz xy y zz xy xyz z z e F ye F xe F e F zye x F e F z xe y F e z zdz dx dy x yye xe dx dy e e --------+=-=-=-∂=-=∂-∂=-=∂-∂∂=+∂∂=+--解：令F(x,y,z)=e 则故所以47.解：{}AB=3,34-- ，，{}AC=2,11-- ，{}AB*AC=3341,5,3211i j k--=--AB ×AC=22215335++=ABC 的面积等于12AB ×AC =35248.在极坐标下22221221222211222122122212lnln .2ln 22.ln ln 22122ln .224ln 224ln 2434ln 2x r rr r x y dxdy d rdrr dr r l d r dr rdrr l θπππππππππ+==⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰49.由格林公式知2222222222212013410(1)(1)(1)(1)1(1)(1)()(2242x oy x dx x y dy x y y x dxdy y x y y x dxdy x y dxdyd r rdr r drr l θπππ++-⎧⎫⎡⎤⎡⎤∂-∂+⎪⎪⎣⎦⎣⎦=-+=⎨⎬∂∂⎪⎪⎩⎭⎡⎤=--+⎣⎦=-+=--=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中D：x 用极坐标计算）50.解：幂级数01n n x n ∞=+∑中11n a n =+有公式知112limlim 111n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-1x =-时，幂级数为0(1)1nn n ∞=-+∑收敛；1x =时，幂级数为011n n ∞=+∑发散；故幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域为[1,1)-设幂级数01n n x n ∞=+∑的和函数为()s x ，即0()1nn x s x n ∞==+∑则10()1n n x xs x n +∞==+∑由100111n n n n x x n x +∞∞=='⎛⎫== ⎪+-⎝⎭∑∑则1(1)00011(1)ln 111n x x x n x dx d x n x x +∞-===--=-+--∑⎰⎰故(1)()ln x xs x -=-即(1)1()ln x s x x-=-51.解：设场地的长为x ，宽为y ，高为h 。

《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。

本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。

教学内容和基本要求一．行列式1．理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；12．知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3．了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；4．掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5．掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6．理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。

二．矩阵1．理解矩阵的概念；2．理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3．理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；4．理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5．了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；26．了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。

三．矩阵的初等变换与Gauss消元法1．理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2．了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3．了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4．理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5．熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。

四．向量组的线性相关性1．理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2．理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；3．理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；34．理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6．理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7．知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8．知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。

东南大学考试卷（A卷）课程名称高等数学B期末考试学期09-10-3 得分适用专业选修高数B的各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e4xzx x y yzπ-++=在点(0,1,2)处的法线方程是；2.设u=，则梯度；3.已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B，则A在B方向的投影；4.设闭曲线:1C x y+=，取逆时针方向，则曲线积分2d dCy x x y-⎰的值是；5.设函数(,)F x y具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.二重积分()2221e cos d dxx yy xy x y+≤+⎰⎰的值是；7. 设S为球面：2222x y z R++=，则曲面积分()222dSx y z S++⎰⎰的值是；8.设C是折线11(02)y x x=--≤≤，则曲线积分dCy s⎰的值是；9.取（注：答案不唯一），可使得级数2nna∞=∑收敛，且级数2lnnna n∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x yϕ=-，其中f具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂.解11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dx xy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥. 解12．（本小题满分8分）计算二次积分1121321d e d xxyx y y -⎰⎰. 解，13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标. 解三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z ==垂直的直线方程. 解四（15）。

（本题满分7分）计算d Sx S z⎰⎰，其中S 是柱面222(0)x y ay a +=>被锥面z 和平面2z a =所截下的部分.解五（16）. （本题满分7分）计算 ()e cos d 5e sin d x x CI y x xy y y =+-⎰，其中C 为曲线x =y 增大的方向.解 六（17）（本题满分7分）计算()()222d d d d ()d d SI y xz y z z y z x x z x y =+∧++∧+-∧⎰⎰，其中S为2z =0z =所截部分，取上侧.解七（18）（本题满分6分）证明不等式1(1)eyyx x-<，01x<<，0y<<+∞.证08-09-3高数B 期末试卷（A ）参考答案09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e 4xzx x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是1222x y z -==-； 2.设u =(1,2,0)14,,033u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭grad ； 3. 已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B ，则A 在B方向的投影()=B A 4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰的值是2-； 5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是x y xF yF =； 6. 二重积分()2221ecos d d xx y y xy x y +≤+⎰⎰的值是0；7. 设S 为球面：2222x y z R ++=，则曲面积分()222d Sxy z S ++⎰⎰的值是44R π； 8. 设C 是折线11(02)y x x =--≤≤，则曲线积分d Cy s ⎰9.取21ln n a n n =（注：答案不唯一），可使得级数2n n a ∞=∑收敛，且级数2ln n n a n ∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂. 解12zf f xϕ∂=+∂， 21111222()z f x f x f f x y ϕϕϕϕϕ∂'''=++--∂∂ 11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dxxy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥.解21230013(1)d d 0d d 224Dx xy x y ππϕρρπ++=++=⎰⎰⎰⎰12．（本小题满分8分）计算二次积分11213021d e d xxyx y y-⎰⎰. 解，1111111211133200222111d e d d e d e 1d e 2x x xy y y yx y y x y y y y ---⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标.解 0x y ==（1分）)22cos 340122cos 240125d sin cos d d 2518d sin d d 3r rz r rππθππθπϕθθθϕθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z==垂直的直线方程. 解 设312x y z l m n-+-==为所求直线L 的方程，（1分）由于直线L 与z 轴相交，所以三个向量{},,l m n =s ，OA 及k 共面，从而312001l m n -=，即30l m --= （1），又由于L 与1L 互相垂直，得11023l m n ++=，即6320l m n ++= （2）联立（1），（2）解得3l m =-，152n m =，所求直线L 的方程为3126215x y z -+-==-- 四（15）。

东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若向量a 与b 的夹角为120° ，且||1,||2,a b c a b ===+，则有( )A ． c a ⊥B ． ⊥C ． //D ． //【答案】B 2．已知向量)2,2(=OA，)1,4(=OB ，O 为坐标原点，在x 轴上找一点P ，使⋅最小，则P 点坐标为( ) A ．)0,3(- B ．)0,2(C ．)0,3(D ．)0,4(【答案】C3．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则( )A ．（）B ．（）C ．（）D ．（）【答案】B4．若平面向量(1,2)=-a 与b 的夹角是180°，且||=b b 等于( )A ．(6,3)-B ．(3,6)-C ．(6,3)-D ．(3,6)-【答案】D5．已知向量(1,),(1,),a n b n a b a ==-⊥若,则|| = ( )A ．1 BC ．2D ．4【答案】B6．设非零向量a 、b 、c 满足c ba cb a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C ．60° D ．30° 【答案】B7．已知1||=，2||=，0=⋅OM ，点P 在∠MON 内，且∠POM=60°，设),(R ON OM OP ∈+=ϑλϑλ，则λϑ等于( )A ．3B ．32C ．332 D ．23【答案】D8．设向量，向量，且，则锐角θ为( ) A ． 60° B ． 30°C ． 75°D ． 45°【答案】D9．已知向量(cos ,2)a α=- ，(sin ,1)b α= ，a ∥b ，则tan()4πα+等于( )A ．13B ．－3C ．3D ．13-【答案】A10．在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量OQ 则点Q的坐标是( )A ．(-B ． (-C ． (2)--D ． (2)-【答案】A11．若向量u=()3,6-,v=()4,2,w=()12,6--,则下列结论中错误的是( )A ． u ⊥ vB ． v // wC ． w =u-3 vD ．对任一向量AB ,存在实数,a b 使AB=a u+b v【答案】C120≠=，且关于x 的方程02=⋅++b a x 有实数根，则与的夹角的取值范围是( ) A ． [,]3ππB ． [0,]6πC ． 2[,]33ππD ． [,]6ππ【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设向量a ，b 满足a b += ，a b -= a 与b 夹角的最大值为【答案】12014．已知(cos 23,cos 67)AB =︒︒ ,(2cos 68,2cos 22)BC =︒︒,则ABC ∆的面积为【答案】215．已知21,e e 是两个不共线的平面向量，向量212e e a -=，21e e b λ+=)(R ∈λ，若//a b，则λ＝ ． 【答案】21-16．在平面直角坐标系xOy 中，给定两定点M(- 1，2)和N( 1，4),点P 在x 轴上移动，当取最大值时,点P 的横坐标是____________. 【答案】1三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．在平面直角坐标系xOy 中，点O 是坐标原点，平行四边形ABCD 的三个顶点坐标为)3,2(A ，)2,1(--B ，)1,2(--C(1）求对角线AC 及BD 的长；(2）若实数t 满足0)(=⋅+OC OC t AB ，求t 值．【答案】（1）设),(y x D ，由平行四边形ABCD 中=，得)1,2()5,3(++=y x ，所以4,1==y x ，所以)4,1(D ， 102||,24||==BD AC(2）因为)5,3(--=，)1,2(--= 0)(=⋅+t ， 所以05562=++=+⋅t OC t OC AB ， 所以511-=t 18．已知向量()1,3,2sin ,2cos ,23sin ,23cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c x x b x x a(1）当b a⊥时，求x 的值的集合； (2）求c a -的最大值.【答案】（1）a b ⊥r r Q ，0a b ∴⋅=r r ，即02sin 23sin 2cos 23cos =⋅-⋅xx x x即02cos )223cos(==+x xx所以2,2x k k =+∈Z ππ，即,24k x k =+∈Z ππ所以，x 的集合为{|,}24k x x k =+∈Z ππ(2）2222a c a a c c -=-⋅+r r r r r r Q )23sin 23cos 3(2423sin 23cos 22x x x x --++= )23sin 2123cos 23(45x x --= )323sin(45π-+=x2max9a c∴-=r r ，即max3a c-=r r19．已知向量C n m B B n A A m 2sin ),sin ,cos 31(),cos ,sin 3(=∙==，且C B A 、、分别为ABC ∆三边c b a 、、所对的角.(Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，且,18=∙CBCA 求c 的值.【答案】（Ⅰ）∵m (3sin ,cos ),A A = n 1(cos ,sin )3B B =, sin2C =⋅∴sin cos cos sin sin 2A B A B C += 即 sin sin 2C C =sin 0C ≠ ∴ cos C = 21 又C 为三角形的内角， ∴ 3π=C(Ⅱ） ∵sin ,sin ,sin A C B 成等比数列， ∴2sin sin sin C A B =∴ab c =2又 18=⋅ ∴ 18cos =C ab∴36ab = 故 2c =36 ∴c =620．已知向量).0,1(),cos ,cos (),sin ,(cos -=-==c x x b x x a(1）若c a x,,6求向量π=的夹角；(2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f的最大值。

东 南 大 学 考 试 卷（B 卷）课程名称 高等数学B 期末 考试学期06-07-3得分适用专业高数B考试形式闭卷 考试时间长度 150分钟一。

填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x = ，0y = ，0z = ；2．已知三角形ABC ∆的顶点坐标为(0,1,2),(3,4,5),(6,7,8)A B C -，则ABC ∆的面积为 ；3． 曲线22221025x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩在点(1,3,4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为 ；4．函数2u xyz =在点(1,1,1)处沿方向2=++e i j k 的方向导数等于 ；5.交换积分次序⎰⎰-221x -1-11- ),(dx x dy y x f = ；6．设222},,,{z y x r z y x r ++== ，则3rr div= ；7. 设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分dy xy ydx x c 22+⎰= ；8.设2()e x f x =，则)0()2(n f= ；9．设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π= ；10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为 。

14．求全微分方程22(cos 21)d (3)d 0x xy x x y y +++-+=的通解.二．(本题共2小题，每小题9分，满分18分) 11．计算二重积分()22d Dxy y σ+-⎰⎰，其中D 为由1,2y x y x ==及2y =围成的区域.12．计算三重积分zv Ω，其中Ω是yoz 平面上的直线121,3z y y =-=以及1z =围成的平面有界区域绕z 轴旋转一周得到的空间区域.三．(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 13．计算曲线积分d Lz s ⎰，其中L 为圆锥螺线cos ,sin ,(02)x t t y t t z t t π===≤≤四．（15）(本题满分9分) 求函数(,)f x y xy =在圆周22(1)1x y -+=上的最大值和最小值.五．（16）(本题满分10分) 已知流体的流速函数 {}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面1z =+ z = 所围立体表面的外侧的流量.六．（17）(本题满分9分) 计算曲线积分(()ln d x y xy x y ++⎰，其中Γ是曲线1y =上从点(1,2)A 到点(0,1)C 的部分.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰06-07-3高数B 期末试卷参考答案及评分标准（A ）一。

东南⼤学⾼数（上）⾄年期末考试（附答案）东南⼤学⾼数(上)⾄年期末考试(附答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：03～10级⾼等数学（A ）（上册）期末试卷2003级⾼等数学（A ）（上）期末试卷⼀、单项选择题（每⼩题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由⽅程+-=yx t x dt e12确定，则==0x dxdy（）.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2．曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为（） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所⽰，则导函数)(x f y '=的图形为（）4．微分⽅程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（）.2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===⼆、填空题（每⼩题3分，共18分）2．若)(cos 21arctanx f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dxdy3．设,0,00,1sin )(=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。

4．若dt t t x f x ?+-=2324)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线xxey -=的拐点是__________6．微分⽅程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题（每⼩题6分，共36分）1．计算积分dx x x+232)1(arctan 2．计算积分dx xxx ?5cos sin3. 计算积分dx e x x ?-2324. 计算积分?5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim 3→6.求微分⽅程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解四.（8分）求微分⽅程xxe y y y 223-=+'-''满⾜条件0,000='===x x y y 的特解五.（8分）设平⾯图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转⼀周所⽣成的旋转体的体积。

东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。

x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。

东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷）课 程 名 称 高等数学 A 期末 考试学期 06 - 0 7 - 3 得分 适 用 专 业 选学 A 的各专业 考试形 式 闭卷 考试时间长度 150 分钟(10330)1．已知曲面z xy 上一点M0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处的法线垂直于平面x 3y z 9 0 ，则x 0， y 0，z 0；22 交换积分次序 1d xf ( x , y ) d y ；3 设r x , y , z , r ，则 d i v ； r 2 2C5.设幂级数 a n x n 的收敛半径为3 ，则幂级数 na n (x 1) n 1 的收敛区间为 ；n 0 n 16 设 f ( x ) e x，则 f ( 2 n )( 0 ) ；7. 设 f ( x ) ，其以2 为周期的F o u rie r 级数的和函数记为S ( x ) ， 则1 x , 0 xS ( 3 ) ；8.设正向圆周C : z 1 ，则 d z ；C9．函数 f ( z ) z c o s 的孤立奇点z 0 的类型是 （如为极点， 应指明是几级极z 点）， R e s f ( z ) , 0 ； 10 使二重积分 4 4 x2y2d 的值达到最大的平面闭区域D 为 .D( 2 8 16)n4 22 2 2x y z 0 , x 0c o s z 1 1 xzr3132n 1判断级数 n n 的敛散性.4 设正向闭曲线C ： x y 1 ，则曲线积分 x y d x xy d y ；．求幂级数 x n 1的收敛域与和函数.n 1将函数 f ( x ) x x 在( 1, 1] 上展开为以 2 为周期的F o u rie r 级数. 14 将函数 f ( z ) z 4 z 3在圆环域 1 3 内展开为L a u r e n t 级数.15(9)验证表达式 (c o s x 2 xy 1) d x ( x2y23) d y 为某一函数的全微分， 并求其原函数.16( 9 )利用留数计算反常积分0 4d x .17(10)已知流体的流速函数 v ( x , y , z ) y 3 z 3 , z 3 x 3 , 2 z 3 ，求该2 2 2 218( 8 ) 设函数 f C ( [ 0 , 1] ) ，且 0 f ( x ) 1 ，利用二重积分证明不等11f ( x ) 0f ( x ) d x1 f ( x ) 1 0f ( x ) d xz 式： d x 12 n n n 111 x12流体流过由上半球面z 1与锥面 z 所围立体表面的外侧的流量.06 - 07 - 3 AA(10330)1 、x 03 ， y 01 ， z 031 1 x 02 、 1 d xf ( x , y ) d y 1d y1f ( x , y ) d x 0d y1 y1 yf ( x , y ) d xr 2 2 ( 2 n )( 2 n ) !r n !7、S ( 3 ) 8、 d z 2 i 9、R e s f ( z ) , 0 10、 ( x , y ) x y 12 C z2 4 ( 2 8 16 )n na 3 n，b 4 2 4 n b n n 1 n 1 4 2n12 、记 a n， n 1lim n 1 2 ，R ，收敛区间为 , ，在收敛区间的 na n 2 2 2两端点处， 级数都发散， 故收敛域为 , 2 2(2)2 n n 1 1 2x 21 n1 n 1 n 12 n 1 n 1 1 2x 2P ( t )tn1 ，P (2 x ) ln (1 2 x ) 2 x ，S ( x )( 2 9 18 )ln (1 2 x ) (3 )1 2 x 213 、 a 0 2 0x d x 1 , a n 2 0x c o s n x d x 2 ( ( 1) n 1) ，(1+3)n 1b n2 0x s i n n x d x , n 1, 2 , (3 )2 2 c o s ( 2 n 1) x s in n x (2 )14 、2 z 63 1 1z 3C1 c o s z 12 121 4 12 ( 1)n 1f ( x ) , 1 x 1 2 n 1 ( 2 n 1) n 1 n 1 , x 1a 1 1 11 121 1 1 z n12 ( 1)n 11 t3 3 1 11 x 1( n )2 nn1 y222n 1nz24 z 3 2 z 3 z 1 2 z 1 6 zn 0 n 0 S ( x )x n 1 x ( 2 x ) n ( 2 x ) n 1P ( 2 x ) (3 )11、记 a n n n n n，则 li m n1 ，而 b n 收敛， 故 n n 收敛.(8 )3 、d i v 3 04 、 x y d x xy d y 05 、( 2 , 4 )6 、 f ( 0 )1 y92 22x ，所验证的表达式确是某一函数的全微分.x y(3采用凑微分法2 2 2 2= d ( s in x x x 2 y y 3 3 y ) d u ,故原函数为u s i n x x x 2 y y 3 3 y C .3 39110 1 x4d x211, e 4 R e s1 z4, e 4 (2+2)11i2 2 ( i 1) 2 2 (1 i ) 2 2 410V d S( y3 z3 ) d y d z( z3 x3 ) d z d x 2 z3 d x d y(2)S S6 z2 d v 6d4 c o s 2 s in d4 d 9 (3+3+2)8所证不等式等价于不等式：d x(1 f( x ) ) d xf( x ) d x，(2)而0 1 f( x ) 0 0 1 f( x ) 0d y (1 f( x ) ) d x d1(f(x)f(y))(1f(x)f(y))4f(x)f(y)2D(1 f( x) ) (1 f( y ) )12122dd(f(x)f(y))d f(x)d x其中D [ 0 , 1] [ 0 , 1] (4)1 f( x )1 f( x ) 1 1 f( x ) 11f(y)11f(x)f(x)f(y)f(y)f(x)f(y)D(1 f( x) ) (1 f( y ) ) 2D( f( x) f( y ) ) (1 f( x) ) (1 f( y ) ) 1 1(f(x)f(y))(1f(x)f(y))(f(x)f(y))D(1 f( x) ) (1 f( y ) )111 f( x ) 1 1i1i32 2 c o sd(2)0 1 f( y ) 0 2D1 f( x) 1 f( y )d x (1 f( x ) ) d x d x (1 f( y ) ) d yi i (2+2)+(1)(c o s x 2 xy 1) d x( x y3) d y (c o s x 1) d x( y3) d y 2 xy d x x d y( x y 3 ) (c o s x 2 xy1)。

东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：空间几何体 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为( ) A ． 90° B ． 60° C ． 45° D ． 30° 【答案】C2．体积为的球的内接正方体的棱长为( )A ．2B ．2C ． 3D ． 5【答案】B3．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．8C ．16D ．20【答案】A4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若lm ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m //【答案】A5．已知空间四边形OABC 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=( ) A ．213221+- B ．212132++- C ．212121-+D ．213232-+ 【答案】B6．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ． 6B ． 8C ． 16D ． 24【答案】D7．一个几何体的表面展开平面图如图．该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？( )A ．前；程B ．你；前C ．似；锦D ．程；锦【答案】A8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是( )A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm【答案】B9．在空间直角坐标系中，已知定点(1,2,1)A -,(2,2,2)B .点P 在z 轴上，且满足||||PA PB =，则P 点的坐标为( ) A ．()3,0,0 B ．()0,3,0C ．()0,0,3D ．()0,0,3-【答案】C10．圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为( ) A ．1:( 2 -1) B ．1:2 C ．1: 2 D ．1:4 【答案】A11．如图，正方体1111D C B A ABCD 的棱长为1，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11D ABC 的距离为( )A ．21B ．42C ．22D ．23 【答案】B12．有下列命题(1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； (2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；(3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； (4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是( )A ．（1）（2）B ．（ 2）（3）C ．（1）（3）D ．（2）（4） 【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知圆柱M 的底面半径与球O 的半径相同，且圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比＝【答案】814．已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是15．空间四点O （0,0,0）,A （0,0,3）,B （0,3,0）,C （3,0,0）,O 点到平面ABC 的距离为 【答案】316．Rt △ABC 的斜边在平面α内，直角顶点C 是α外一点，AC 、BC 与α所成角分别为30°和45°.则平面ABC 与α所成锐角为 . 【答案】60°三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ⊥PD ，底面ABCD 是直角梯形，其中BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，AD ＝3BC ，O 是AD 上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置，并说明理由；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【答案】 (1) O在AD的13处且离D点比较近.理由是：∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD，又∵BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形，∴BC＝DO，又∵AD＝3BC，∴点O的位置满足ODAD＝13，即在AD的13处且离D点比较近．(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，∴AB⊥平面PAD，∵PD 平面PAD∴AB⊥PD.又∵PA⊥PD，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.又∵PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.18．如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点．求证：(1）PB∥平面AEC；(2）平面PCD⊥平面PAD．PAB C DE【答案】（1）连BD ，AC 交于O 。

东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【答案】C2．某个命题与正整数有关，若当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( ) A ．当6=n 时，该命题不成立 B ．当6=n 时，该命题成立 C ．当4=n 时，该命题成立 D ．当4=n 时，该命题不成立【答案】D3．在不等边三角形ABC ∆中，a 为最大边，要想得到A ∠为钝角的结论，三边应满足的条件是( )A ． 222c b a +<B ． 222c b a += C ． 222c b a +> D ． 222c b a +≠【答案】C4．1若函数()f x =,a b ∈R ）定义域为R ，则3a b +的取值范围是( )A ．[2,)-+∞B ．[6,)-+∞C ．[6,)+∞D ．[0,)+∞【答案】B5．用反证法证明命题“若,022=+b a 则a 、b 全为0”（a 、b ）R ∈，其反设正确的是( ) A ．a 、b 至少有一个为0B ．a 、b 至少有一个不为0C ．a 、b 全不为0D ．a 、b 中只有一个为0 【答案】B6．对于数列}{n a ,若存在常数M,使得*N n ∈∀,n a 与1+n a 中至少有一个不小于M,则记:M a n }{,那么下列命题正确的是( )A ．若M a n }{,则数列}{n a 的各项均大于或等于MB ．若M a n }{,M b n }{,则M b a n n 2}{ +C ．若M a n }{,则22}{M a nD ．若M a n }{,则12}12{++M a n 【答案】D7．观察式子：2222221311511171+<,1++<,1+++<,222332344……，由此可归纳出的式子为( ) A ．22211111+++......+<232-1n n B ．22211111+++......+<232+1n n C ．2221112-11+++......+<23n n n D ．22211121+++......+<232+1nn n 【答案】C8．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式．．．是( )A ．94H CB ．114HC C.104H C D.124H C【答案】C9．用数学归纳法证明不等式2n >n 2时，第一步需要验证n 0=( )时，不等式成立A ． 5B ． 2和4C ． 3D ． 1 【答案】A10．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个奇数”时正确的反设是( )A ．a 、b 、c 都是偶数B ．a 、b 、c 都是奇数C ．a 、b 、c 中至少有两个奇数D ．a 、b 、c 中或都是偶数或至少有两个奇数 【答案】D【答案】C12．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x xa a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是( ) ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④【答案】Ｄ第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．如果函数f(x) = sin (2x+ϕ) ，且函数f(x)+f(x)为奇函数，f(x)为f(x)的导函数，则tan ϕ= 【答案】-214．若lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则_____xy=。

东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：统计本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据以上表可得回归方程y bxa =+ 中的b 为9.4据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ． 65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【答案】B2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。

若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( ) A ．101 B ．808C ．1212D ．2012【答案】B3．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示， 12,x x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )甲乙012965541835572A ． 1212,x x s s ><B ． 1212,x x s s =<C ． 1212,x x s s ==D ． 1212,x x s s ==【答案】B4．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( ) A ．30B ．25C ．20D ．15【答案】C5．始祖鸟的肱骨长度y （cm ）对股骨长度x （cm ）的回归方程为 3.660 1.197y x =-+，则以下判断正确的是( )A ． 肱骨长度每增加1cm ，股骨的长度平均减少3.660cmB ． 股骨长度每增加1cm ，肱骨的长度平均减少3.660cmC ． 肱骨长度每增加1cm ，股骨的长度平均增加1.197cmD ． 股骨长度每增加1cm ，肱骨的长度平均增加1.197cm【答案】D6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2， (960)分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A，编号落入区间[]451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )A． 7 B． 9 C． 10 D．15【答案】C7．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过( )A．点（2,2）B．点（1.5,2）C．点(1,2) D．点（1.5,4）【答案】D8．从一群游戏的孩子中随机抽出k人，每人分一个苹果，让他们返回继续游戏。

东南大学转系考试---高数(A)一、填空题(每小题4分，满分20分)1.函数()(2 (0)x F x dt x =>⎰的单调减少区间为 1(0,)42．设()f x 有一个原函数是sin x x ，则2()xf x dx ππ'=⎰ 41π- 3．设函数),(y x z z =是由方程2(,)0F x z y z --=所确定的隐函数，其中F 可微，则z x ∂=∂ 1122xF F F + 4．设区域221为D x y +≤，则2Dx dxdy =⎰⎰ 4π5．函数1()1ze f z z =-在奇点0z =处的留数为 111!或e n ∞-∑二、单项选择题(每小题4分，满分16分)6．设21,0()00, x f x xx ≠=⎪=⎩，则()0在点f x x =处 【 C 】 (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导7．由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周得到的旋转曲面在点处，指向曲面外侧的单位法向量为 【 B 】(A)(0, (B)(C)(0,)55-- (D))558．设(,)f x y 为连续函数，则41d (cos sin )d f ,πϕρϕρϕρρ⎰⎰= 【 A 】（A）(,)yy f x y dx （B） 0(,)f x y dx（C）(,)f x y dy （D） 0(,)xf x y dy9．Laurent 级数101(1)(1)(1)(2)2nnn nn n z z ∞∞==-+---∑∑的收敛域为 【 D 】 （A ）21z ->； （B ）21z -<； （C ）021z <-<； （D ）122z <-< 三．计算下列各题(每小题8分，满分64分)10．求极限21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2e =11．求圆3ρ=与心形线2(1cos )ρϕ=+所围共同部分的面积。

东 南 大 学成 贤 学 院考试卷 （A 卷）课程名称 高等数学B （上） 适 用 专 业 11级工科各专业 考试学期 11 - 12 - 2 考 试 形 式 闭 卷 考 试 时 间 长 度 120 分钟 学 号 姓 名 得 分题 号 一二三四五得 分一、 选择题： （每小题 3 分）1、设 f (x ) = x (x − 1)2 (x − 2)3 ，则 f ′ 0() 等于A 、 − 6B 、 6C 、 8D 、 − 82、曲线 y = ln(x 2 − 1) 是区间(−∞,− 1) 内( )。

A 、单增的凸弧段B 、单增的凹弧段C 、单减的凸弧段D 、单减的凹弧段x →+∞A 、 0B 、C 、 ∞D 、不存在24、下列广义积分收敛的是( )。

C 、dx D 、xdx)。

x = t − 1 5、平面2x − y + z = 3 与直线 y = t + 2 的夹角是(z = 2t − 3π π π 6 4 3二、 填空题： （每小题3分）1、 lim = ( x →a x − a、2)。

2、设 f (x ) = xe − x，则 f(2012)0() = ( )。

3、∫dx = ( )。

π 4、∫−2π(x 2 sin x + cos 5 x )dx = ( )。

25、曲线 绕 z 轴旋转一周所成的旋转面方程是( )。

x = 0三、 计算题： （每小题 7 分）1、计算极限 lim 3 。

2、求 y = x 3 − 3x 2 − 9x +14 的单调区间及极值点。

3、计算不定积分 ∫x sin(3x + 2)dx 。

4、计算定积分∫5、设 f (x ) = 1 (x + 1)2x x≤ 1 > 1 ，求 xf (x − 1)dx 。

- 1 -密 封线自觉遵守考场 纪律如考试作弊 此答 卷无 效D t cos t 2dt 2B 、 A 、A 、B 、C 、arctan x − arctan a πx1 2 x 1 − x 2 z 2 = 5 + y 2x →0 x3、 lim (− x ) = ( )。

河南省2014年普通高校等学校选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试高等数学一．选择题（每小题2分，共60分）1.函数2()sin 9ln(1)f x x x =-+-的定义域是（）A.(1,3] B.(1,)+∞ C.()3,+∞ D.[3,1)-2.已知2(2)2f x x x =-,则()f x =（）A.2114x + B.2114x - C.214x x - D.114x +3.设()f x 的定义域为R ,则()()()g x f x f x =--.()A.是偶函数 B.是奇函数C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数4.已知224lim 42x ax x →+=--,则（）A.1a =- B.0a = C.1a = D.2a =5.1x =-是函数2212x y x x -=--的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.连续点D.第二类间断点6.当x→0时，比1cos x -高阶的无穷小是（）A.211x +- B.2ln(1)x +C.sin xD.3arctan x7.已知()ln f x x =,则220()()lim 2h f x h f x h→+-=（）A.2ln xx -Bln x x C.-21xD.1x8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩(t 为参数）。

在2t=对应点处切线的方程为（）A.1x =B.1y =C.1y x =+ D.1y x =-9.函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则方程'()0f x =实根的个数为（）A.2B.3C.4D.510.设()y y x =是由方程xy xy e =+确定的隐函数。

则dy dx=A.11x y x +-- B.21y xy x --C.11y x+- D.12x x xy---11.已知函数()f x 在区间[]0,a （a>0)上连实，(0)f >0且在（0，a)上恒有'()f x >0,设10()aS f x dx =⎰,2(0)S af =,1S 与2S 的关系是（）A.1S <2SB.1S =2SC.1S >2S D.不确定12.曲线31y x =+()A.无拐点B 有一个拐点C.有两个拐点D.有三个拐点13.曲线y=12x -的渐近线的方程为（）A.0,1x y ==B1,0x y ==C.2,1x y == D.2,0x y ==14.设()F x 是()f x 的一个原函数则()xx e f e dx --⎰=()A.()xF e c -+ B.()xF e c --+C.()x F e c+ D.()xF e c-+15.设()f x 在[],a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线x=a,x=b,y=0所围成平面图形的面积为（）A ()baf x dx⎰B.()baf x dx⎰C.()b af x dx ⎰D.()()()f b f a b a --16.设()f x 是连实函数，满足()f x =21sin 1x x ++_11(),f x dx -⎰则lim ()x f x →∞=（）A.B.-6πC.3πD6π17.设()f x =(1)sin ,xt tdt -⎰则'()f x =()A.sin cos x x x +B.(1)cos x x- C.sin cos x x x- D.(1)sin x x-18.下列广义积分收敛的是（）A.2ln xdx x+∞⎰B.11dx x+∞⎰C.2111dx x -⎰D.1cos xdx+∞⎰19.微方程0dx dy y x+=的通解是（）A.2225x y += B.34x y c+= C.22x y c+= D.227y x -=20解常微方程''2'xy y y xe -+=的过程中，特解一般应设为（）A.2=)xy Ax Bx e+半（ B.=xy Axe半 C.=xy Ae半 D.2=()xy x e Ax B +半21.已知a,b,c 为非零向量，且0a b ⋅=，0b c ⨯=则（）A.a b ⊥ 且b cB.a b b c⊥ 且 C.a c b c⊥ 且 D.a c b c⊥ 且22、直线L:==3-25x y z与平面π：641010x y z -+-=的位置关系是（）A、L 在π上B、L 与π平行但无公共点C、L 与π相交但不垂直D、L 与π垂直23、在空间直角坐标系内，方程222-y =1x 表示的二次曲面是（）A、球面B、双曲抛物面C、圆锥面D、双曲柱面24、极限0y 02lim+1-1x xyxy →→=（）A、0B、4C、14D、-1425、点（0,0）是函数z xy =的（）A、驻点B、极值点C、最大值点D、间断点26、设{}(,)21D x y x y =≤≤，则()+Dxy y dxdy ⎰⎰=（）A、0B、-1C、2D、127、设(),f x y 为连续函数，()()122-01,+,x xdx f x y dy dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰交换积分次序后得到（）A、()212,yy dy f x y dx⎰⎰B、()2,ydy f x y dx⎰⎰C、()12-0,y ydy f x y dx⎰⎰D、()2022,yy dy f x y dx⎰⎰28、L 为从（0,0）经点（0，1）到点（1,1）的折线，则2+Lx dy ydx ⎰=（）A、1B、2C、0D、-113.下列级数条件中收敛的是（）A、2n=12n-1n +1∞∑B、n nn=11-3∞∑（1）C、22n=1n +n+1n -n+1∞∑D、nn=11-n∞∑（1）30、级数2n=114n -1∞∑的和是（）A、1B、2C、12D、14二、填空题（每题2分，共20分）31、设-1=-1x x f x x x ⎛⎫≠⎪⎝⎭（0,1），则()f x =______.32、设连续函数()f x 满足22()()f x x f x dx =-⎰,则2()f x dx ⎰=______.33、已知(){,1ln 1x a x x x f x -<≥=，，若函数()f x 在1x =连续，则a=______.34、设33'(1)12f x x +=+是()01f =-，则()f x =______.35、不定积分cos 2xdx ⎰=______.36、若向量{}{}{}0,1,1;1,0,1;1,1,0a b c ===则()a b c ⨯ =______.37、微分方程"4'40y y y -+=的通解()y x =______.38、设arctan222(,)ln()cos y xf x y ex y xy =+，则'(1,0)x f =______.39、函数()222,,f x y z x y z =++在点（1，1,1）处方向导数的最大值为______.40、函数()112f x x=-的幂级数展开式是______.三、计算题（每题5分，共50分）41、求极限20(1)lim1tan -1x x x e x x→-++42、设n a 为曲线ny x =与1(1,2,3,4...)n y xn +==所围的面积，判定级数1n n na ∞-∑的敛散性43.求不定积分21xdx x -⎰.44.计算定积分402x dx -⎰.45.解方程3xy y x '-=.46.已知函数(,)z f x y =由方程20xyz ez e --+=所确定，求dz .47.已知点(4,1,2),(1,2,2),(2,0,1)A B C --求ΔABC 的面积.48.计算二重积分22lnDx y dxdy +⎰⎰,其中22{(,)14}D x y x y =≤+≤.49.计算曲线积分22(1)(1)y x dx x y dy <++-⎰其中L 是圆221x y +=（逆时针方向）.50.试确定幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域并求出和函数.四．应用题（每小题7分，共14分）51.欲围一个面积150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面每平方米6元，其余三面是每平方3元，问场地的长，宽各为多少时，才能使造价最低？52.已知D 是抛物线L:22y x =和直线12x =所围成的平面区域，试求：（1）区域D 的面积（2）区域D 绕Ox 轴旋转所形成空间旋转体体积.五．证明题（6分）53.设2e a b e <<<证明2224ln ln ()b a b a e ->-2014专升本真题答案一．选择题1-10A C B A B D B B C B 11-20C B D B C B D C C D 21-30B D D B A A C A D C 二．填空题31.1x 32.8933.134.21x x --35.1sin 22x c=36.237.2212xx x c ec e+38.239.2340.2n nn x ∞=∑,11(,)22x ∈-41.2030303030320220220(1)1tan 11tan 1(1tan 1)1tan (1)(1tan 1)tan 2tan 6sec 16tan 66lim limlimlimlimlim lim lim x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-+-+=+-++++=+-++++=-=-=-===42.解：由题意知112110111(1212(1)(2)n n n n n x x a x x dx n n n n n n +++⎡⎤=-=-=-=⎢⎥++++++⎣⎦⎰）1131123231112(1)(2)(1)(2)1(1)(2)lim 101(1)(2)1(1)(2)n n n n n n n n n n n n nna n n n n nn n n n n n n n a n n n∞∞==∞∞→∞==∞∞∞=====++++++=>++++∑∑∑∑∑∑∑故此级数为正项级数且u 由正项级数比较判别法的极限形式知故与级数的敛散性相同且为收敛级数，故为收敛级数即级数收敛43.22212221122211(1)2111(1)(1)21(1)11212xdx d x x x x d x x c x c--+=---=---=+=-+-+⎰⎰⎰44.42x dx-⎰4422422022(2)2222224x dx x dxx x x x =-+-⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=⎰⎰45.原方程可化为21'y y x x-=为一阶线性齐次微分方程，由公式知，其通解为112ln 2ln 2231(+c)2=2x xx xdx x e dx c e x e dx c x x dx c x x xdx c x x x cx ----⎡⎤⎰⎰⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=+⎰⎰⎰⎰y=e 46..'''''''2,,22222xy z xy xy z x y Z xy x zz xy y zz xy xyz z z e F ye F xe F e F zye x F e F z xe y F e z zdz dx dy x yye xe dx dy e e --------+=-=-=-∂=-=∂-∂=-=∂-∂∂=+∂∂=+--解：令F(x,y,z)=e 则故所以47.解：{}AB=3,34-- ，，{}AC=2,11-- ，{}AB*AC=3341,5,3211i j k--=--AB ×AC=22215335++=ABC 的面积等于12AB ×AC =35248.在极坐标下22221221222211222122122212lnln .2ln 22.ln ln 22122ln .224ln 224ln 2434ln 2x r rr r x y dxdy d rdrr dr r l d r dr rdrr l θπππππππππ+==⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰49.由格林公式知2222222222212013410(1)(1)(1)(1)1(1)(1)()(2242x oy x dx x y dy x y y x dxdy y x y y x dxdy x y dxdyd r rdr r drr l θπππ++-⎧⎫⎡⎤⎡⎤∂-∂+⎪⎪⎣⎦⎣⎦=-+=⎨⎬∂∂⎪⎪⎩⎭⎡⎤=--+⎣⎦=-+=--=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中D：x 用极坐标计算）50.解：幂级数01n n x n ∞=+∑中11n a n =+有公式知112limlim 111n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-1x =-时，幂级数为0(1)1nn n ∞=-+∑收敛；1x =时，幂级数为011n n ∞=+∑发散；故幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域为[1,1)-设幂级数01n n x n ∞=+∑的和函数为()s x ，即0()1nn x s x n ∞==+∑则10()1n n x xs x n +∞==+∑由100111n n n n x x n x +∞∞=='⎛⎫== ⎪+-⎝⎭∑∑则1(1)00011(1)ln 111n x x x n x dx d x n x x +∞-===--=-+--∑⎰⎰故(1)()ln x xs x -=-即(1)1()ln x s x x-=-51.解：设场地的长为x ，宽为y ，高为h 。

江苏省2014年普通高校专转本选拔考试高等数学 试题卷答案一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1、C2、B3、B4、A5、D6、D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、2y e -= 8、5 9、2π10、2222y x dz dx dy x y x y =-+++ 11、3π 12、[0,2) 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、原式=230000arcsin arcsin lim lim arcsin x x x x x x x x x x x→→→→--===20116x x →-==- 14、2(32)y t dy y dy dt e t dx dx e t dt-+==+,013t dy dx e==-. 15、2222222221111ln ln ln ln ln ln 2222x xdx xdx x x x d x x x x xdx ==-=-⎰⎰⎰⎰222222222211111111ln ln ln ln ln ln ln 22222222x x xdx x x x x x d x x x x x xdx =-=-+=-+⎰⎰⎰2222111ln ln 224x x x x x C =-++ 16、令t x =-12，则原式=222222220002444(1)22arctan 2044422t t t dt dt dt t t t π+-==-=-=-+++⎰⎰⎰ 17、平面∏的法向量(1,2,3)(1,0,0)(0,3,2)n MN i →→=⨯=⨯=-，直线方程：0(1)3(1)2(1)0x y z -+---=.即3210y z --=.18、12cos 2z xf xf x∂''=+∂212221222cos (2)2(2)2cos 4z xf y xf y y xf xyf x y∂''''''''=⋅-+⋅-=--∂∂ 19、2101001()()26y D y x y dxdy dy x y dx dy -+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ 20、特征方程：220r r -=，120,2r r ==，齐次方程的通解为212x Y C C e =+.令特解为2()x y x Ax B e *=+，则22(222)x y Ax Bx Ax B e *'=+++，22(44824)x y Ax Bx Ax A B e *''=++++代入原方程得：22(422)x x Ax A B e xe ++=， 有待定系数法得：41220A A B =⎧⎨+=⎩，解得1414A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以通解为221211()44x x y C C e x x e =++-. 四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21、令()ln 3f x x x =-,显然在区间(2,3)上连续，且38(2)2ln 23ln ln10,f e =-=<< (3)3ln333(ln31)0,f =-=->根据零点定理，(2,3),()0f ξξ∃∈=成立.又()ln 10f x x '=->，(2,3)x ∈，)(x f '单调递增，唯一性得证.22、令21()1ln(1)2x f x e x x =---+，则1()1x f x e x x '=--+，21()1(1)x f x e x ''=-++， 在0x >时，()f x ''单调递增，()(0)10f x f ''''>=>，所以()f x '单调递增，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 单调递增，()(0)0f x f >=，得证.五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23、（1）2k y x '==-切，切线：,02(1)y x -=--，即2(1)y x =--，D 面积1201[2(1)(1)]3x x dx ----=⎰. (2) 21200211(1)(1)2326y y V d y y d y πππππ=---=-=⎰⎰ 24、已知0()1()xt t dt x ϕϕ=-⎰两边同时对x 求导得：()()x x x ϕϕ'=-，22()x x Ce ϕ-=，令0x =代入0()1()xt t dt x ϕϕ=-⎰得(0)1ϕ=，所以求得221,()x C x e ϕ-==.（2）因为2222232222(),(),()(1),()(3)x x x x x e x xe x x e x x x e ϕϕϕϕ----''''''==-=-=-(0)1ϕ=，(0)0ϕ'=，(0)1,(0)0ϕϕ'''''=-=. 20000()1()()(0)1lim ()lim lim lim (0)2222x x x x x x x f x f x x ϕϕϕϕ→→→→'''''-=====-=. 所以()f x 在0=x 处的连续.223000()11()(0)2()22lim lim lim 2x x x x f x f x x x x x x ϕϕ→→→-+--+== 20002()2()()11lim lim lim 6666x x x x x x x x x x ϕϕϕ→→→''''''+++====. 所以()f x 在0=x 处可导，1(0)6f '=.。