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第10章z变换10.1 复习笔记一、z变换1．z变换的定义一个离散时间信号x[n]的z变换定义为其中z是一个复变量。
简单记为2．z变换与傅里叶变换的关系X（re jω）是序列x[n]乘以实指数r-n后的傅里叶变换，即指数加权r-n可以随n增加而衰减，也可以随n增加而增长，这取决于r大于1还是小于1。
若r＝1，或等效为|z|＝1，z变换就变为傅里叶变换，即（1）在连续时间情况下，当变换变量的实部为零时，拉普拉斯变换演变为傅里叶变换，即在虚轴jω上的拉普拉斯变换是傅里叶变换。
（2）在z变换中是当变换变量z的模为1，即z＝e jω时，z变换演变为傅里叶变换。
即傅里叶变换是在复数z平面中半径为1的圆上的z变换。
在z平面上，单位圆在z变换中所起的作用类似于s平面上的虚轴在拉普拉斯变换中所起的作用。
二、z变换的收敛域1．性质1X（z）的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。
2．性质2收敛域内不包含任何极点。
3．性质3如果x[n]是有限长序列，那么收敛域是整个z平面，可能除去z＝0和/或z＝∞。
4．性质4如果x[n]是一个右边序列，并且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么|z|＞r0的全部有限z 值都一定在这个收敛域内。
5．性质5如果x[n]是一个左边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么满足0＜|z|＜r0的全部z值都一定在这个收敛域内。
6．性质6如果z[n]是双边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中一定是包含|z|＝r0这一圆环的环状区域。
7．性质7如果x[n]的z变换X（z）是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，或者延伸至无限远。
8．性质8如果x[n]的z变换X（z）是有理的，并且x[n]是右边序列，那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边，亦即半径等于X（z）极点中最大模值的圆的外边。
而且，若x[n]是因果序列，即x[n]为n＜0时等于零的右边序列，那么收敛域也包括z＝∞。
第10章Z变换习题10.1 试对下列和式，为保证收敛确定在r＝|z|上的限制：解:（a）为了保证收敛，需满足即使和式收敛的z均满足，亦即有又因在和式中含有一个正幂项z，故z≠∞。
综上所述，使和式收敛的z的模需满足为了保证收敛，需，即满足|2z|＜1，从而知使和式收敛的z的模需满足为了保证收敛，需，即|z|＞1；为了保证收敛，需，即|z|＞1综上所述，使和式收敛的z的模需满足r＞1。
对于上式右端第二项，要保证其收敛，需，即|z|＜2。
对于上式右端第三项，要保证其收敛，需，即|z|＜2。
对于上式右端第四项，要保证其收敛，需，即。
对于上式右端第五项，要保证其收敛，需，即。
综上所述，要使和式收敛，z的模需满足。
10.2 设信号x[n]为利用式（10-3）求该信号的z变换，并标出对应的收敛域。
解:为使该级数收敛，需，即，于是可得10.3 设信号x[n]为已知它的z变换x（z）的收敛域是试确定在复数α和整数n0上的限制。
解:令x[n]＝x1[n]＋x2[n]，其中x1[n]＝（－1）n u[n]，x2＝αn u[－n－n0]于是有则X（z）＝X1（z）＋X2（z），1＜|z|＜|α|由于已知X（z）的收敛域为1＜|z|＜2，所以α应满足|α|＝2，而n0可为任意整数。
10.4 考虑下面信号：对x（z）确定它的极点和收敛域。
解：因为，要使x（z）收敛，显然应有及，即X（z）的ROC为由于故X（z）的两个极点分别为，它们是互为共轭自两个复数极点。
10.5 对下列信号z变换的每个代数表示式，确定在有限z平面内的零点个数和在无限远点的零点个数。
解:（a）由于X（z）的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高1阶，所以X（z）在有限z平面上零点的个数为1（即X（z）的有限零点个数为1），同样在无穷远处的零点个数也为1。
由于x（z）的分母多项式与分子多项式有相同的阶数，所以X（z）仅有2个有限零点，而在无穷远处无零点。
由于X（z）的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高2阶，所以X（z）有1个有限零点，而在无穷远处有2个零点。
信号系统Z 变换习题讲解7-1 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[](1/2)[]n x n u n = （2）[]2[]n x n u n = （3）[](1/2)[]n x n u n =- （4）[](2)[]n x n u n =- 解：7-2 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[][]x n nu n =-- （2）[]2[]n x n u n -= （3）[](1/2)[]n x n u n -=- （4）[](1/2)[]n x n u n =-- 解：1234(1)01234(2)(3)[n ](2)(1)(4)7-3 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[]sin 5n x n π⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）[]cos 105n x n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 解：7-5 序列x [n ]如图题7-5所示，把x [n ]表示为δ[n ]的加权与延迟之线性组合。
图 题7-5解： []2[3][]3[1]2[3]x n n n n n δδδδ=-+-+-+-7-7 求下列序列的z 变换X (z )，并注明收敛域，绘出X (z )的零极点图。
（1）(1/2)nu [n ] +δ [n ] （4）(1/2)n {u [n ] - u [n -8]} （5）δ [n ] -15δ [n -2]解：1011(1)()[()[][]]()[]221212111222n n n nn n n X z u n n z z n z z z z z z δδ∞∞∞---=-∞==-∞=+=+-=+=>--∑∑∑(2)∞--=-∞=--=--=--==>--∑∑718881711(4)()()([][8])()22111()()220111()22n n n nn n X z u n u n z z z z z z z zδδ∞-=-∞-=--=->∑21(5)()([][2])51105n n X z n n z z z7-8 求双边序列x [n ] =||(1/2)n 的z 变换，标明收敛域及绘出零极点图。
信号系统Z 变换习题讲解7-1 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[](1/2)[]n x n u n = （2）[]2[]n x n u n = （3）[](1/2)[]n x n u n =- （4）[](2)[]n x n u n =- 解：7-2 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[][]x n nu n =-- （2）[]2[]n x n u n -= （3）[](1/2)[]n x n u n -=- （4）[](1/2)[]n x n u n =-- 解：01234n(1)01234n(2)(3)01234n[n ]-1-4n(2)(1)(4)7-3 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[]sin 5n x n π⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）[]cos 105n x n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解：7-5 序列x [n ]如图题7-5所示，把x [n ]表示为δ[n ]的加权与延迟之线性组合。
图 题7-5解： []2[3][]3[1]2[3]x n n n n n δδδδ=-+-+-+-7-7 求下列序列的z 变换X (z )，并注明收敛域，绘出X (z )的零极点图。
（1）(1/2)nu [n ] +δ [n ] （4）(1/2)n {u [n ] - u [n -8]} （5）δ [n ] -15δ [n -2]解：111(1)()[()[][]]()[]221212111222nnnnn n n X z u n n z z n zz z z z z δδ∞∞∞---=-∞==-∞=+=+-=+=>--∑∑∑(2)∞--=-∞=--=--=--==>--∑∑718881711(4)()()([][8])()22111()()22111()22n nn nn n X z u n u n zzzz z zzzδδ∞-=-∞-=--=->∑21(5)()([][2])51105n n X z n n z zz7-8 求双边序列x [n ] =||(1/2)n 的z 变换，标明收敛域及绘出零极点图。
解：∞-∞----=-∞=-∞=∞∞====+=+=+---=<<--∑∑∑∑∑11111()()()()222(12)11()()221(12)12(32)122(12)(2)nnnnn nn n n nnn n X z zzz z zz zzz z z z z7-11 画出X (z ) =1123252z zz-----+的零极点图，在下列三种收敛域下，哪种情况对应左边序列，哪种情况对应右边序列，哪种情况对应双边序列? 并求出各对应序列。
（1）z> 2 （2）z< 0.5 （3）0.5 <z< 2解：----=-+-==--+---==-----∴=--- 11223()2523312522(2)()23()1121122(2)()2()122zX z z zz zz z z z X z z z z z z z zX z z z（1） 当>2z 时，[]x n 为右边序列1[][()2][]2nnx n u n =-（2） 当<0.5z 时，[]x n 为左边序列1[][()2][1]2=-+--nnx n u n（3） 当0.52z <<时，[]x n 为双边序列1[]()[]2[1]2nnx n u n u n =+--7-13 已知X (z ) = 11111(12)2z z --⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
（1）确定与X (z )有关的收敛域可能有几种情况，画出各自的收敛域图； （2）求以上各种收敛域所对应的离散时间序列的表达式； （3）以上序列中哪一种序列存在傅氏变换?解：--==---- 2111()(112)(12)(12)(2)zX z zzz z==-+----∴=-+--()14(12)(2)3(12)3(2)4()3(12)3(2)X z zzz z z z z zX z z z（1）收敛域可能有三种情况：><<<2,12,122z z z|z|>2|z|<1/2Re(z)（2）对应的序列分别为：1112[][()4(2)][]32nnz x n u n >=-+21112[][()4(2)][1]32nnz x n u n <=---311122[][()[]4(2)[1]]32n nz x n u n u n <<=-+--（3）序列3[]x n 的收敛域包括单位圆，所以此序列存在傅氏变换。
7-14 已知X (z ) =223(1)(2)(3)z z z z z -+-+，若收敛域分别为1 <z < 2和2 <z < 3两种情况，求对应的逆变换x [n ]。
解：223(23)()(1)(2)(3)(1)(2)(3)zzz z X z z z z z z z --==+-++-+ ()23(1)(2)(3)5196(1)15(2)10(3)59()6(1)15(2)10(3)X z z zz z z z z z z z z X z z z z -=+-+=+-+-+∴=+-+-+519(1)12[](1)[][2(3)][1]61510nnnz x n u n u n <<=------519(2)23[][(1)2][](3)[1]61510nnnz x n u n u n <<=-++---7-21 利用卷积定理求y [n ] = x [n ] * h [n ]。
已知（3）x [n ] = R N [n ] = u [n ] - u [n -N ]，h [n ] = a n u [n ]，0< a <1 解：（3）[][][][]Nx n R n u n u n N ==--[][]nh n a u n =1()111()||N z zX z z z z zH z z a z a-+∴=->--=>-根据卷积定理得：1()()()11()1[](1)1111[](1)1111()[](1)11N NNNz zz Y z X z H z z z z aY z z zzz z aa za z a z a z a zY z z az z a-+----==>--=---=------=-----由于[]x n 、[]h n 均为因果序列，因此[]y n 亦为因果序列，根据移位性质可求得11111[][()](1)[](1)[]11n n Ny n ZY z au n au n N aa-++-==------7-24 计算下列序列的傅里叶变换。
（1）2n u [-n ] （3）δ [4-2n ] 解：1(1)()2[]212(2)212j n j nn j nn n j nj j n H eu n eee eeωωωωωω∞--=-∞=-∞∞-==-====--∑∑∑2(3)()[42]j j nj n H en e eωωωδ∞--=-∞=-=∑。
