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3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为Te jE e jE e jEe jEt f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20= 幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛==n tjn n tjn ne n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ其直流分量为T E n Sa T E F n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω 将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
信号系统(第3版)习题解答《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育出版社目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t )表示将f ( t )波形展宽。
] (a) 2 f ( t - 2 )(b) f ( 2t )(c) f ( 2t ) (d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i L t u L L d )(d )(= ⎰∞-=t C C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S R S L S C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有 )()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T ==)()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
《信号与系统（第三版）习题解析》勘误表1谷源涛2012年3月25日一、可能影响理解的错误1、 第12页，第3行“(t −π4)”改为“(t +π4)”，即把减号改成加号2、 第291页，第10行“=Wal2{[(i −1)⊕j ]+1,t]”改为“=Wal2{[(i −1)⊕j ]+1,t }”，即最后一个中括号改成大括号3、 第297页，第7行行末“πA 28δ(ω+1800)”改为“πA 28[δ(ω+1800)”并移至第8行行首，注意改动是插入方括号4、 第311页，倒数第6行“cos (ωc T −ωc t )+sin (ωc T −ωc t )”改成“cos (ωc T −ωc t )−sin (ωc T −ωc t )”，即加号改成减号5、 第311页，倒数第5行“cos (ωc t )−sin (ωc t )”改成 “cos (ωc t )+sin (ωc t )”，即减号改成加号6、 第391页，倒数第4行“DFT[x (n )]=X (k )”改为“DFT[x (n )]=X (k )”，即去掉x 和X 上的黑体；将“IDFT[X ](k )=x (n )”改为“IDFT[X (k )] =x (n )”，即一方面去掉黑体，另一方面将(k )移到方括号之内7、 第434页，第7行“0.739”改为“2.825”8、 第434页，倒数第3行“0.739”改为“2.825”9、 第455页，倒数第4行“，代价是增大了主瓣宽度和过渡带宽度”删掉10、 第460页，第9行“在∞有一个四阶零点，”删掉11、 第469页，第6行“ℒ[KΘ(t )]”改为“ℒ[Kθ(t )]”，即大写Θ改成小写θ，注意花体的ℒ还用原来的样子12、 第472页，倒数第3、4行“在PI 控制跟踪阶跃信号稳态误差不为零的情况下，”删掉13、 第472页，倒数第3行“可以改善”改为“可以提高系统稳定性，改善”14、 第486页，最后一行，分母“e jw −12”改成“e jω−12”，即把w 改成omega15、 第521页，第5行“|000−100006232−200−3|”改为“[000−100006232−200−3]”，即把绝对值号改为方括号 1 已将本勘误表交给出版社；希望这些问题能在第二次印刷中更正。
数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。
分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。
西安电子 ( 高西全丁美玉第三版 ) 数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列 (n) 及其加权和表示 题 1 图所示的序列。
解：x( n)(n4) 2 (n 2) ( n 1)2 (n)(n 1) 2 (n 2) 4 ( n 3)0.5(n 4)2 (n 6)2n 5, 4 n 12. 给定信号： x( n)6,0n 40, 其它（1）画出 x( n) 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x(n) 序列；（3）令 x 1( n) 2x(n 2) ，试画出 x 1( n) 波形；（4）令 x 2 (n) 2x(n 2) ，试画出 x 2 (n) 波形；（5）令 x 3 (n) 2x(2 n) ，试画出 x 3 (n) 波形。
解：（ 1） x(n) 的波形如 题 2 解图（一） 所示。
（ 2）x(n)3 ( n 4)(n 3) (n 2) 3 ( n 1) 6 (n) 6 (n 1)6 ( n 2)6(n 3) 6 (n 4)（ 3） x 1 (n) 的波形是 x(n) 的波形右移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解图（二） 所示。
（ 4） x 2 (n) 的波形是 x(n) 的波形左移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解图（三） 所示。
（ 5）画 x 3 (n) 时，先画 x(-n) 的波形，然后再右移2 位， x3 ( n) 波形如 题 2 解图（四） 所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1） x( n)Acos(3n) ，A 是常数；78（2）x(n)j ( 1n)e 8。
解：（1）w 3214T=14 ；7,，这是有理数，因此是周期序列，周期是w3（2）w 1 , 216 ，这是无理数，因此是非周期序列。
8w5. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n) 与 y(n) 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
信号分析与处理第3版赵光宙课后引言《信号分析与处理》是作者赵光宙创作的一本经典教材，已经有3个版本了。
本文档将对《信号分析与处理》第三版的课后习题进行分析和讨论，并对其中一些重要的概念和方法进行介绍和解释。
读者可以通过这些习题的分析，深入理解信号分析与处理的关键概念，为进一步研究和实践打下坚实的基础。
第一章信号与系统本章主要介绍了信号与系统的基本概念和性质。
其中，信号是指随着时间或空间变化而变化的物理量。
系统是信号的输入与输出之间的关系。
课后习题主要涉及信号的分类、线性系统和非线性系统的特性等方面的内容。
习题1：请分类描述以下信号的类型：1.电压信号2.温度信号3.音频信号4.光信号解答：1.电压信号属于连续时间信号，因为时间是连续的。
2.温度信号既可以是连续时间信号，也可以是离散时间信号，取决于温度的采样方式。
3.音频信号属于连续时间信号，因为声音是连续变化的。
4.光信号既可以是连续时间信号，也可以是离散时间信号，取决于光的采样方式。
习题2：判断以下系统是线性系统还是非线性系统：1.y(t) = x(t) + sin(x(t))2.y(t) = 3x(t) - 23.y(t) = x(t)^2解答：1.这个系统是非线性系统，因为它包含了非线性运算sin(x(t))。
2.这个系统是线性系统，因为它只是对输入信号进行了比例增益和平移操作。
3.这个系统是非线性系统，因为它包含了非线性运算x(t)^2。
第二章离散时间信号与系统本章主要介绍了离散时间信号与系统的基本概念和性质。
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统是对离散时间信号进行处理的系统。
课后习题主要涉及离散时间信号的表示和性质、离散时间系统的差分方程表示等方面的内容。
习题1：请给出以下离散时间信号的表示方式：1.x[n] = {1, 2, 3, 4, 5}2.x[n] = (-1)^n3.x[n] = sin(πn/4)解答：1.x[n] = {1, 2, 3, 4, 5}，表示在离散时间点上的取值分别为1, 2, 3, 4, 5。
数字信号处理第三版课后答案西安电⼦(⾼西全丁美⽟第三版)数字信号处理课后答案1.2教材第⼀章习题解答1.⽤单位脉冲序列及其加权和表⽰题1图所⽰的序列。
解：2.给定信号：（1）画出序列的波形，标上各序列的值；（2）试⽤延迟单位脉冲序列及其加权和表⽰序列；（3）令，试画出波形；（4）令，试画出波形；（5）令，试画出波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（⼀）所⽰。
（2）（3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（⼆）所⽰。
（4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所⽰。
（5）画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图（四）所⽰。
3.判断下⾯的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1），A是常数；（2）。
解：（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2），这是⽆理数，因此是⾮周期序列。
5.设系统分别⽤下⾯的差分⽅程描述，与分别表⽰系统输⼊和输出，判断系统是否是线性⾮时变的。
（1）；（3），为整常数；（5）；（7）。
解：故该系统是时不变系统。
故该系统是线性系统。
（3）这是⼀个延时器，延时器是⼀个线性时不变系统，下⾯予以证明。
令输⼊为，输出为，因为故延时器是⼀个时不变系统。
⼜因为故延时器是线性系统。
（5）令：输⼊为，输出为，因为故系统是时不变系统。
⼜因为因此系统是⾮线性系统。
（7）令：输⼊为，输出为，因为故该系统是时变系统。
⼜因为故系统是线性系统。
6.给定下述系统的差分⽅程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）；（3）；（5）。
（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输⼊有关。
如果，则，因此系统是稳定系统。
（3）如果，，因此系统是稳定的。
系统是⾮因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。
如果，则，因此系统是稳定的。
7.设线性时不变系统的单位脉冲响应和输⼊序列如题7图所⽰，要求画出输出输出的波形。
数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。
](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
信号系统习题解答3版-3第3章习题答案3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率5 kHz f =，脉宽20 s τ=μ，幅度10V E =，如图题3-1所示。
用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5，12，20，50，80及100 kHz 频率分量来？要求画出图题3-1所示信号的频谱图。
图 题3-1解：5kHz f =，20μs τ=，10V E =，11200T s fμ==，41210f ππΩ== 频谱图为从频谱图看出，可选出5、20、80kHz 的频率分量。
3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数，并大致画出频谱图。
图 题3-3解： ()f t 在一个周期（0，T 1）内的表达式为： 11()()Ef t t T T =-- 111110011111()()(1,2,3)2T T jn tjn t n E jE F f t e dt t T e dt n T T T n π-Ω-Ω==--=-=±±±⎰⎰11010011111()()2T T E E F f t dt t T dt T T T ==--=⎰⎰傅氏级数为：n c12(kHz)f 5205010015080111122()22244j t j t j t j tE jE jE jE jE f t e e e e ππππΩ-ΩΩ-Ω=-+-+-(1,2,3)2n E F n n π==±±± (0)2(0)2n n n πϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩频谱图为：3-4 求图题3-4 所示半波余弦信号的傅里叶级数，若10 V E =, 10 kHz f =，大致画出幅度谱。
图 题3-4解：由于()f t是偶函数，所以展开式中只有余弦分量，故傅氏级数中0n b =，另由图可知()f t 有直流分量， ()f t 在一个周期（2T -，2T）内的表达式为： 111cos 4()04T E t t f t T t ⎧Ω<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 其中：112T πΩ=11112401112411()cos T T T T E a f t dt E tdt T T π--==Ω=⎰⎰ nF 2Eπ6E π10E π1Ω13Ω15Ω1-Ω13-Ω15-Ω4E π12Ω14Ω8E π2E12-Ω14-Ω2π-2πnϕ15-Ω13-Ω1-Ω1Ω13Ω15Ω12Ω12-Ω14-Ω14Ω111111241112422()cos T Tjn tjn t T T n n a c f t e dt E te dtT T -Ω-Ω--===Ω⋅⎰⎰211sin sin 2122cos 3,5,71112n n E E n n n n n πππππ+-⎡⎤⎢⎥=+=-=⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦111211122()2T j t T E a c f t e dt T -Ω-===⎰所以，()f t 的三角形式的傅里叶级数为：11122()cos cos 2cos 42315EE E E f t t t t πππ=+Ω+Ω-Ω+3-6 利用信号()f t 的对称性，定性判断图题3-6中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
nc 1ΩΩ2E23E π215E π-12Ω13Ω14Ω15Ω16Ω17Ω18Ω19Ω110ΩEπ图 题3-6解： (a) ()f t 为偶函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的余弦分量。
(b) ()f t 为奇函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的正弦分量。
(c) ()f t 为偶谐函数，而且若将直流分量（1/2）去除后为奇函数，所以傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的正弦分量。
(d) ()f t 为奇函数，傅氏级数中只包含正弦分量。
(e) ()f t 为偶函数及偶谐函数，傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的余弦分量。
(f) ()f t 为奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波分量。
3-7 已知周期函数()f t 前四分之一周期的波形如图题3-7所示。
根据下列各种情况的要求画出()f t 在一个周期(0t T <<)的波形。
（1）()f t 是偶函数，只含有直流分量和偶次谐波分量； （2）()f t 是偶函数，只含有奇次谐波分量；（3）()f t 是偶函数，含有直流分量、偶次和奇次谐波分量。
解：（1）由()()f t f t -=画出()f t 在,04T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的波形，由()f t 在,04T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的波形及()f t 是偶谐函数，它在,42T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的波形与它在,04T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的波形相同，它在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的波形与它在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的波形相同。
根据上述分析可画出()f t 在[]0,T 内的波形。
按上述类似的方法可画出（2）和（3）。
（2）（3） t()f t4T 02TTt()f t4T 02TTt()f tTT T3T图 题3-73-8 求图题3-8 所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。
图 题3-8解法一：按定义求22()()cosj tj tF j f t edt E t e dt ττπτ∞-Ω-Ω-∞-Ω==⋅⎰⎰ 由于()f t 是偶函数，所以220220()cos cos 2cos cos cos()cos()Sa()Sa()22222Sa +Sa 2222F j E t tdt E t tdtE E t t dt E E ττττππττππττπτπτττπττπτττ-Ω=Ω=ΩΩΩ⎡⎤⎡⎤=+Ω+-Ω=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=Ω+Ω- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 化简得：2cos 22()1E F j ττπτπΩ⎛⎫ ⎪⎝⎭Ω=⋅⎡⎤Ω⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 解法二：利用卷积定理求 设：12()cos,()()()22f t t f t E u t u t πτττ⎡⎤==+--⎢⎥⎣⎦则 12()()()f t f t f t =⋅，于是121()()()2F j F j F j πΩ=Ω*Ω 而1()()()F j πππδδττ⎡⎤Ω=Ω++Ω-⎢⎥⎣⎦，2()Sa 2F j E ττΩ⎛⎫Ω=⎪⎝⎭故1()()()Sa 22F j E ππτπδδτπττ⎧Ω⎫⎡⎤⎛⎫Ω=Ω++Ω-*⎨⎬⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎩⎭Sa +Sa 2222E E τπττπτττ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=Ω+Ω- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()F j Ω的频谱是将矩形脉冲的频谱Sa 2E ττΩ⎛⎫⎪⎝⎭分别向左、右移动πτ（幅度乘以12）后叠加的结果。
3-10 求图题3-10所示(j )F Ω的傅里叶逆变换()f t 。
图 题3-10解：（a ）00()()j t F j Ae ΩΩ=-Ω<Ω<Ω00000()()011()22()j t j t t j t t j t A f t Ae e d e e j t t ππΩΩ+Ω-+ΩΩ-Ω⎡⎤=Ω=-⎣⎦+⎰[]000Sa ()A t t πΩ=Ω+（b ）2020(0)()(0)j jAe F j Ae ππ-⎧-Ω<Ω<⎪Ω=⎨⎪<Ω<Ω⎩0000002201()sin Sa 222j j j t j tA t t f t Ae e d Ae e d ππππΩ-ΩΩ-Ω⎡⎤ΩΩΩ=Ω+Ω=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ )(Ωj F τππ3τπ-π3-Ωπ5π5-πτ/2E 2/τE0(cos 1)At tπ=Ω-3-13 求函数c Sa()t Ω的傅里叶变换。
解：利用对偶性求因为()Sa()2EG t E τττΩ↔，所以 Sa()2()2()2t E EG EG ττττππ↔-Ω=Ω 2Sa()()2t G ττπτ↔Ω令2cτΩ=，则 2Sa()()c c ct G πΩΩ↔ΩΩ即：F[][]Sa()()()c c c ct u u πΩ=Ω+Ω-Ω-ΩΩ3-15 对图题3-15所示波形，若已知[]11()(j )f t F Ω=，利用傅里叶变换的性质求图中2()f t ,3()f t 和4()f t 的傅里叶变换。
图 题3-15解：已知F []11()()f t F j =Ω21()()f t f t T =+，∴ 21()()j T F j F j e ΩΩ=Ω⋅ 31()()f t f t =-， ∴ 31()()F j F j Ω=-Ω413()[()]()f t f t T f t T =--=- ∴ 41()()j T F j F j e -ΩΩ=-Ω3-21 已知三角脉冲信号1()f t 如图题3-21(a)所示。
试利用有关性质求图题3-21(b)中的2()f t =10cos 2f t t τΩ⎛⎫- ⎪⎝⎭的傅里叶变换2(j )F Ω。
图 题3-21解：设F []211()()Sa 24E f tF j ττΩ⎛⎫=Ω=⎪⎝⎭则F 21112()()()2j f t F j eF j ττΩ-⎡⎤-=Ω=Ω⎢⎥⎣⎦而F []2()f t =F [][]{}101201201()cos ()()22f t t F j F j τ⎡⎤-Ω=Ω+Ω+Ω-Ω⎢⎥⎣⎦=[][]0000()()22101022002221()()2Sa Sa 444j jj j jF j e F j eE e ee ττττττττΩ+ΩΩ-Ω--ΩΩΩ--⎧⎫=Ω+Ω+Ω-Ω⎨⎬⎩⎭⎡⎤Ω+ΩΩ-Ω⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦3-23 利用傅里叶变换的微分与积分特性，求图题3-23所示信号的傅里叶变换。
图 题3-23解：（3）[]33()()4(1)(2)df t t u t u t dtϕ==--- 323()4Sa 2j j e -ΩΩ⎛⎫ΦΩ= ⎪⎝⎭33()3,()1f f ∞=-∞=-[]3323334Sa ()2()()()()2()j j F j f f e j j πδπδ-ΩΩ⎛⎫⎪ΦΩ⎝⎭Ω=+∞+-∞Ω=+ΩΩΩ3-25 若已知[]()(j )f t F Ω=，利用傅里叶变换的性质求下列信号的傅里叶变换。
（2）(2)()t f t -（4）d ()d f t tt（5）(1)f t -解：（2）F [](2)()t f t -=F []()()2()2()dF j tf t f t jF j d Ω-=-ΩΩ（4）F []()()()()d j F j df t dF j tj F j dt d d ΩΩΩ⎡⎤⎡⎤==-Ω+Ω⎢⎥⎢⎥ΩΩ⎣⎦⎣⎦（5）F [](1)f t -=F []{}(1)()j f t F j e -Ω--=-Ω3-29 根据附录B 中给出的频谱公式，粗略地估计图题3-29所示各脉冲的频带宽度fB (图中时间单位为s μ)。
