下载文档原格式
与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值 注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一 直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等） （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
与圆有关的轨迹问题
例1：设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以 OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．
变式：已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当OP ＝OM 时，求l 的方程及△POM 的面积．
例2：已知BC ＝2，且AB ＝2AC ，求点A 的轨迹．
变式1：若在ABC ∆中，BC ＝2，且AB ＝2AC ，求ABC ∆面积的最大值。
变式2：已知点 (5,0)A - ，直线OA 上（O 为坐标原点）是否存在定点
B （不同于A ），对圆229x y +=上的任意一点P ，使得PB PA
为一常数．
变式3：已知点(2,0),(4,0)A B -，圆22:(4)()16C x y b +++=，P 为圆 上的动点，若
PA PB 为定值，求实数b 的值．
变式4：已知圆)0,1(,1)4(:221Q y x C =++,过点P 作圆C 1的切线，切点为M ， 若PQ PM 2=，求P 点的轨迹方程。
高一数学复习考点知识讲解课件第3课时轨迹问题考点知识1.掌握定义法求圆的方程.2.掌握直接法求圆的方程.3理解相关的方法(代入法)求轨迹方程．一、定义法求轨迹方程例1已知圆x 2＋y 2＝1，点A (1,0)，△ABC 内接于圆，且∠BAC ＝60°，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点D 的轨迹方程是() A ．x 2＋y 2＝12 B ．x 2＋y 2＝14 C ．x 2＋y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x <12D ．x 2＋y 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x <14答案D解析如图所示，因为∠BAC ＝60°，又因为圆周角等于圆心角的一半，所以∠BOC＝120°，又D为BC的中点，OB＝OC，所以∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，有OD＝12OB＝1 2，故中点D的轨迹方程是x2＋y2＝14，如图，由∠BAC的极限位置可得，x<14.反思感悟(1)当动点满足到定点距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程．(2)注意轨迹与轨迹方程不同．跟踪训练1长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB 的中点M的轨迹方程为__________．答案x2＋y2＝9解析设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以OM＝12AB＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．二、直接法求轨迹方程例2点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．解设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，PN＝BN.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.反思感悟直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y 之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型．(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．跟踪训练2点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点．求过点B的弦的中点T的轨迹方程．解设T(x，y)．因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.当斜率存在且不为0时，有k OT·k BT＝－1.即y x ·y －1x －1＝－1，整理得x 2＋y 2－x －y ＝0.当x ＝0或1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上． 故所求轨迹方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 三、代入法求轨迹方程例3已知动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1， ∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思感悟代入法求解曲线方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程．(4)化简、整理，得所求轨迹方程．其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”．跟踪训练3设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON (O 为坐标原点)为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程． 解如图所示，连接OP ，MN .设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，即所求点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．1．知识清单： (1)定义法求轨迹方程． (2)直接法求轨迹方程． (3)代入法求轨迹方程． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：将求轨迹方程与求轨迹弄混．1．若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为()A ．x 2＋y 2＝25(y ≠0)B ．x 2＋y 2＝25C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D ．(x －2)2＋y 2＝25 答案C解析线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12AB ＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．2．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是() A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案A解析设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，则点M 的轨迹方程是__________． 答案x 2＋y 2＝16 解析设M (x ，y )，则(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理可得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16.4．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________________． 答案x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0解析由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)，由于P在圆上，∴(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.课时对点练1．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是() A．x2＋y2＝4B．x2－y2＝4C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2－y2＝4(x≠±2)答案C解析设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故k MP·k NP＝－1.即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则M点的轨迹围成区域的面积为()A．πB．2πC．3πD．4π答案D解析以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，x2＋y2(x－3)2＋y2＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圆的面积为4π.3．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是()A．点B．直线C．线段D．圆答案D解析∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．4．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝9B．(x－1)2＋(y＋1)2＝9C．(x＋1)2＋(y－1)2＝9D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝9答案B解析设圆心M 的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足P A ＝2PB ，则P 的轨迹为() A ．直线B ．线段 C ．圆D ．半圆 答案C解析设点P 的坐标为(x ，y )，∵A (－2,0)，B (1,0)，动点P 满足P A ＝2PB ，∴(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，两边平方得(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4. ∴P 的轨迹为圆．6.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，则线段AB 的端点B 的轨迹方程为()A ．(x －9)2＋(y －6)2＝4B ．(x －6)2＋(y －9)2＝4C ．(x ＋6)2＋(y ＋9)2＝4D ．(x ＋9)2＋(y ＋6)2＝4 答案A解析设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.7.已知圆O ：x 2＋y 2＝4及一点P (－1,0)，Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C ，则轨迹C 的方程为____________________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝1 解析设M (x ，y )，则Q (2x ＋1,2y )，因为Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x ＋1)2＋4y 2＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝1， 所以轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝1. 8．圆x 2＋y 2＝8内有一点P (2，－1)，AB 为过点P 的弦，则AB 的中点Q 的轨迹方程为______________．答案x 2＋y 2＋y －2x ＝0解析设AB 的中点为Q (x ，y )，则AB 的斜率为k ＝y ＋1x －2，又OQ ⊥AB ，所以k OQ ·k ＝－1，即y x ·y ＋1x －2＝－1，整理得x 2＋y 2＋y －2x ＝0， 所以点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＋y －2x ＝0.9．已知两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹方程．解以两定点A ，B 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系， 设A (－3,0)，B (3,0)，M (x ，y )，则MA 2＋MB 2＝26.∴(x ＋3)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝26.化简得M 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.10．已知圆(x ＋1)2＋y 2＝2上动点A ，x 轴上定点B (2,0)，将BA 延长到M ，使AM ＝BA ，求动点M 的轨迹方程．解设A (x 1，y 1)，M (x ，y )，∵AM ＝BA ，且M 在BA 的延长线上，∴A 为线段MB 的中点．由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x ＋22，y 1＝y 2，∵A 在圆上运动，将点A 的坐标代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝2， 化简得(x ＋4)2＋y 2＝8，∴点M 的轨迹方程为(x ＋4)2＋y 2＝8.11．等腰三角形ABC 中，若一腰的两个端点分别是A (4,2)，B (－2,0)，A 为顶点，则另一腰的一个端点C 的轨迹方程是()A ．x 2＋y 2－8x －4y ＝0B ．x 2＋y 2－8x －4y －20＝0(x ≠－2，x ≠10)C ．x 2＋y 2＋8x ＋4y －20＝0(x ≠－2，x ≠10)D ．x 2＋y 2－8x －4y ＋20＝0(x ≠－2，x ≠10)答案B解析设另一腰的一个端点C 的坐标为(x ，y )，由题设条件知(x －4)2＋(y －2)2＝40，x ≠10，x ≠－2.整理，得x 2＋y 2－8x －4y －20＝0(x ≠10，x ≠－2)．12．已知△ABC 的顶点A (0,0)，B (4,0)，且AC 边上的中线BD 的长为3，则顶点C 的轨迹方程是__________．答案(x －8)2＋y 2＝36(y ≠0)解析设C (x ，y )(y ≠0)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. ∵B (4,0)，且AC 边上的中线BD 长为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9， 即(x －8)2＋y 2＝36(y ≠0)．13．存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．现已知在平面直角坐标系中A (－2,0)，B (2,0)，动点P 满足P A ＝λPB (λ>0)，若点P 的轨迹为一条直线，则λ＝__________；若λ＝2，则点P 的轨迹方程为__________________．答案1x 2＋y 2－203x ＋4＝0解析设P (x ，y )，由P A ＝λPB ，可得(x ＋2)2＋y 2＝λ(x －2)2＋y 2，两边平方，整理得点P 的轨迹方程为(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋4(1＋λ2)x ＋4－4λ2＝0.若该方程表示直线，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ2＝0，1＋λ2≠0，解得λ＝1或λ＝－1(舍去)．若λ＝2，则点P 的轨迹方程为3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，即x 2＋y 2－203x ＋4＝0.14．已知△ABC 的边AB 的长为4，若BC 边上的中线为定长3，则顶点C 的轨迹方程为______________．答案(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)解析以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 的中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵AD ＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9.②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．15．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝4.在△ABD 中，∠ADB ＝120°，则CD 的取值范围是() A ．[27－2,27＋2] B ．(4,23＋2]C ．[27－2,23＋2]D ．[23－2,23＋2]答案C解析以点B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (23，0)，C (0,4)．设D (x ，y )，因为∠ADB ＝120°，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在直线AB 的下方．当点D 在直线AB 的上方时，直线BD 的斜率k 1＝y x ，直线AD 的斜率k 2＝y x －23. 由两直线的夹角公式可得tan120°＝－tan60°＝k 2－k 11＋k 2·k 1， 即－3＝y x －23－y x 1＋y x －23·y x，化简整理得(x －3)2＋(y ＋1)2＝4，可得点D 的轨迹是以点M (3，－1)为圆心，以r ＝2为半径的圆，且点D 在AB 的上方，所以是圆在AB 上方的劣弧部分，此时CD 的最短距离为CM －r ＝(3)2＋(4＋1)2－2＝27－2.当点D 在直线AB 的下方时，同理可得点D 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，此时点D 的轨迹是以点N (3，1)为圆心，以r ＝2为半径的圆，且点D 在AB 的下方，所以是圆在AB 下方的劣弧部分，此时CD 的最大距离为CN ＋r ＝(3)2＋(4－1)2＋2＝23＋2. 所以CD 的取值范围为[27－2,23＋2]．16．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l 1的方程为(1＋2m )x ＋(m －1)y －3m ＝0.若直线l 1过定点P ，点M ，N 在圆O 上，且PM ⊥PN ，Q 为线段MN 的中点，求点Q 的轨迹方程． 解直线l 1的方程为(1＋2m )x ＋(m －1)y －3m ＝0，即(x －y )＋m (2x ＋y －3)＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点P 的坐标为(1,1)．因为点M ，N 在圆O 上，且PM ⊥PN ，Q 为线段MN 的中点，则MN ＝2PQ ，设MN 的中点Q (x ，y )，则OM 2＝OQ 2＋MQ 2＝OQ 2＋PQ 2，即4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32，即为点Q 的轨迹方程．。
