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第四章矩阵力学基础(Ⅱ)——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示 (1) 坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。
以一维的x 坐标为例。
算符xˆ本征方程是)()(ˆx x x x x x'-'='-δδ (4-1-1) 本征函数是).(x x '-δ量子态)(x 'ψ总可按x 的本征函数系展开，得dxx x x x )()()('-='⎰δϕϕ （4.1.2）展开系数必)(x ϕ就是该量子态在x 表象的表示，即波函数。
(2) 动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。
选x 为自变量，动量算符的本征函数是平面波。
以动量算符x pˆ为例，其本征态为： x p ip x x ex2121=/)()(πϕ (4 .1 .3)将量子态)(x ϕ按)(x xp ϕ展开==⎰x p x dp x p C x x )()()(ψϕxx x p i dp p C ex )()(/⎰2121π (4 .1 .4)C(p x )就是动量表象中的波函数。
这正是第二章中已熟知的结果。
动量表象也可以用动量为自变量表示。
在P x 表象中，粒子具有确定动量分量P x 的波函数是以P x 为自变量的函数)()(ˆx x x x x x p p p p p p'-'='-δδ （4.1.5） 在动量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2)式的方式给出。
(3) 任意表象设有某一线性厄米算符Q ˆ。
为叙述方便起见，假定算符Q ˆ具有分立本征值谱。
它的本征方程为)()(ˆr u Q r u Q nn n = (4.1.6) 将波函数),(t r ϕ按Q ˆ算符的正交归一本征函数系)}({r u展开∑=nn n r u t a t r )()(),(ϕ （4.1.7）展开系数{a n (t)}就是波函数必),(t rϕ在Q 表象中的表示。
第三章 矩阵力学基础(І)――力学量和算符一、概念与名词解释1. 希尔伯特空间2. 希尔伯特空间中矢量的内积3. 转置算符、复共轭算符、厄米共轭算符、厄米算符、幺正算符4. 不确定性定理5. 维里定理二、计算1. 计算对易关系],Lˆ[νμ，其中μ、ν =x,y,z. 2. 设λ是一个小量，求算符1)B ˆAˆ(-λ-按λ的幂展开式. 3. 求在x 表象中的算符⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x p 1ˆ.以及在p x 表象中的算符⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x 1ˆ. 4. 利用不确定性原理估算氢原子基态能量.5. 一维运动的粒子处在0),()0x (0)0x (Axe )x (x >λ⎩⎨⎧<≥=ϕλ-求<(Δx)2>，<(Δp)2>.6. 粒子处在Y lm 态，求：(1) L x 和L y 的平均值<L x >，<L y >；(2) <(ΔL x )2>，<(ΔL y )2>.7. 线谐振子处于基态)x 21exp(-(x)22απα=φ，计算<(Δx)2>·<(Δp)2>，其中./ μω=α8. 设体系处于φ=C 1Y 11+C 2Y 10态，且|C 1|2+|C 2|2=1，求：(1) 力学量z L ˆ的可能值和平均值；(2) 力学量2Lˆ的本征值； (3) 力学量L x 和L y 的可能值.9. 设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量L 2得到的值是6ħ2，测量力学量L z 得到的值是- ħ，求测量L x 和L y 可能得到的值.10. 设体系的哈密顿算符为,/2I L ˆ)/2I L ˆL ˆ(Hˆ22z 12y 2x ++=求其能量本征值. 11. 求在Hˆ的本征态中，对易子]A ˆ,H ˆ[的平均值.A ˆ为任意算符. 12. 在t=0时氢原子的波函数为]32[2,0)r (1-21211210100φ+φ+φ+φ=φ(1) 求体系能量的平均值；(2) 求在t 时刻体系处在l=1,m=1态的概率；(3) 求在t=0时，电子处在d=10-10cm 范围内的概率；(4) 假定做一次测量后发现L 2=2ħ2，L x = ħ，求测量后的瞬间体系的波函数.13. 一电子处在一维谐振子的基态，使得m,10]x [x--102=><求激发该电子到第一激发态所需的能量. 四、证明1. 若算符B ˆAˆ、满足1A ˆB ˆB ˆA ˆ=-，求证： (1) 23322B ˆ3A ˆB ˆB ˆA ˆ ,B ˆ2A ˆB ˆB ˆAˆ=-=- (2) 用数学归纳法证明：1n n n B ˆn A ˆB ˆB ˆAˆ-=- 2. 若算符B ˆAˆ、满足对易关系式0]]B ˆ,A ˆ[,A ˆ[=，求证： ].B ˆ,A ˆ[B ˆ)A ˆex p(B ˆ)Aˆex p(λ+=λ-λ 3. 若算符L ˆe 满足⋯++⋯+++=)!n /(L ˆ)2/(L ˆL ˆ1e n 2L ˆ！，直接通过对易关系证明：⋯++++=-)!3/(]]]a ˆ,L ˆ[,L ˆ[,L ˆ[)!2/(]]a ˆ,L ˆ[,L ˆ[]a ˆ,L ˆ[a ˆae e L ˆL ˆ4. 设[x,p]=i ћ，f(x)是x 的可微函数，证明：.p ' f i - ]fp [p, (6) ; p ' pf i - pf(x )p][p, (5);' f p i - f(x )]p [p, (4) ; fp 2i ]f(x )p [x , (3);pf)(fp i pf(x )p][x , (2) ; pf 2i f(x )]p [x , (1)222222 ====+==5. 证明：].)p ˆL ˆ()L ˆp ˆ[(i L ˆp p L ˆ];)r L ˆ()L ˆr [(i L ˆx x L ˆ;p ˆi 2L ˆp ˆp ˆL ˆ;r i 2L ˆr r L ˆx x 2x x 2x x 22 ⨯-⨯=-⨯-⨯=-=⨯+⨯=⨯+⨯6. Lˆ 是粒子的角动量，F 是另一力学量，证明： ).p F F r (i ]F ,Lˆ[p r ⨯∇-∇⨯-= 7. 设)r (f是只与空间坐标有关的力学量，证明：22)f (2]]f ,[,f [∇-=∇8. 证明算符∑+=∞=0m ,n n m m n m ,n ,2/)P ˆx x P ˆ(A O ˆ(A n,m 为实数)是厄米算符. 9. 定义算符,i 2/)U ˆU ˆ(B ˆ;2/)U ˆU ˆ(Aˆ++-=+=式中算符U ˆ是幺正算符.证明B ˆAˆ、皆为厄米算符，并且满足.0]B ˆ,A ˆ[;1B ˆA ˆ22==+ 10. 证明：(1) 在任意一维归一化的实束缚态φn (x)上，/2i pˆx >=<； (2) 若哈密顿算符H ˆ的本征值为E n 、本征矢φn (x)为实的束缚态，则有./2x )E (E 22n nk k n μ=-∑11. 设哈密顿算符H ˆ的本征解为E n 和)r (nφ，对任意的线性厄米算符A ˆ，证明下式成立：0)r (]A ˆ,H ˆ[)r (d n *n=φτφ⎰ 12. 证明在zL ˆ的本征态下，<L x >=<L y >=0.进而证明角动量沿任意方向n 的分量nL ˆ的平均值为m ħcos θ，其中θ为n 与z 轴的夹角，n 为任意方向单位矢量.13. 证明空间转动不变性对应角动量守恒.14. 若算符Aˆ与哈密顿算符H ˆ皆不显含时间，试证 >>=<<]H ˆ],H ˆ,A ˆ[[A dt d -22215. 证明>+<μ>=<x )p ˆp ˆ(x 1x dt d x x 2 16. 若算符B ˆAˆ、为守恒量，证明他们的对易子]B ˆ,A ˆ[也是守恒量. 17. 粒子处于宽度为a 的一维非对称无限深方势阱中，在其第n 个本征态下，证明)/126/n -(1a )x (x -2222π>=><<五、综合题1. 质量为m 的自由粒子作一维运动.在t=0时的归一化波函数是高斯波包，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡><><π=><φ221/422x x 41-exp )x (21)x (x,0, (1) 求；221/22p -p p)(><><≡>∆<(2) 证明在t>0时，粒子的概率密度满足222222)/m t )p (x (x ,0,t)(x ,>∆<+><φ=φ (3) 用不确定性原理解释(1)和(2)的结果.2. 考虑一质量为m 的粒子在一维势场U(x)=U 0(x/a)2n 中运动，其中n 是正整数，U 0>0，定性讨论能量本征值的分布和相应的本征函数的宇称.用不确定性原理估计基态能量的数量级，并讨论n=1和n →∞两种特殊情况.3. 在t=0时，处在谐振子势U=kx 2/2中的一粒子的波函数是[]2x)/2(H sin x)(H cos Ae (x,0)20/2x)-(2αβ+αβ=φα 其中β和A 是实常数，,/mk 22 =α且厄米多项式归一化条件是/2n!2dx x)]([H e n 2-n x -22⋅π=α⎰∞∞α (1) 写出φ(x,t)；(2) 求在φ(x,t)态中测量粒子的能量的可能值和相对概率；(3) 求t=0时的<x>，并问<x>是否随时间t 变化？4. 考虑一维对称势阱中的粒子，熟知，在这种情形下至少有一个能级.现在在给定势阱深度U 0的情况下，减少势阱宽度a 是使满足不等式a 2<<ħ2/mU 0，初看起来，束缚在势阱中的粒子的空间位置将越来越精确(Δx~a)，然而在任何情况下，动量的不确定度Δp 应限制在数量级0mU 内，于是有不等式 <<≤∆∆a mU x p 0，这个结果显然和不确定性原理矛盾.试指出上述论证中的错误，并求出粒子坐标和动量不确定度的乘积.5. 一粒子的波函数是φ=k(x+y+2z)e -αr ，式中,z y x r 222++=k 和α是实常数，求：(1) 粒子的角动量是多少？(2) 角动量z 分量的平均值；(3) 若角动量的z 分量L z 被测量，问测得L z =+ ħ的概率是多少？(4) 发现粒子在θ,φ方向上d Ω立体角内的概率是多少？θ,φ是通常球坐标中的方向角.六、思考题1. 量力力学参量与经典物理的力学量有何区别?2. 经典物理中的理论力学、电动力学、统计力学有哪些主要物理量？3. 量子力学的算符概念和H ˆ，p ˆ，ti ∂∂ 首先是谁引进的？4. 量子力学的基本算符是什么?为什么?5. 算符的定义是什么?跟数学的算子有何区别?6. 量子力学算符的基本性质是什么?7. 算符的对易关系有什么物理意义?为什么?8. 量子力学算符原理是什么?9. 量子力学的力学量取值与经典物理力学量有何区别?10. 为什么说量子力学算符必须是厄米算符?为什么?11. 为什么说薛定谔定态方程是能量本征方程?12. 构造算符的基本法则是什么?[包括算符函数]13. 算符的对易关系算式有哪几个是最重要的?14. 为什么算符本征值有哪点跟经典力学是不同?15. 算符本征值在宏观实验测量中有无实验意义?如果没有,那么解算本征值还有什么意义?16. 力学量的宏观测量值跟本征值有何联系?为什么?17. 为什么算符本征值只能单次实验测量?18. 量子力学算符作用在任意状态上得到的数值是唯一的么?19. 算符本征函数性质是什么?20. 为什么本征函数系列可以构造数学函数空间?这个函数空间是完全的么?21. 同一个状态中的两个算符有什么关系?哪一个是量子力学的特点?22. 写出你知道的算符表达式?23. 量子力学力学量的测不准原理是什么?谁发现的?24. 为什么说测不准原理是量子力学的重大发现?25. 写出能量与时间的测不准关系,并说明原因。
矩阵力学在量子力学中的应用量子力学是一门探究微观世界的科学，描述了微观粒子的行为规律。
而矩阵力学是量子力学的一种数学表述方法，它通过矩阵运算来描述量子系统的性质和演化。
本文将介绍矩阵力学在量子力学中的应用，从波函数、算符和观测量等方面展开论述。
首先，我们来讨论矩阵力学在波函数中的应用。
波函数是量子力学中描述微观粒子状态的重要概念，而矩阵力学提供了一种便捷的波函数表示方法。
在矩阵力学中，波函数被表示为一个列矩阵，其中的每一个元素代表粒子处于相应状态的概率幅。
通过矩阵运算，可以求解系统的波函数演化，计算各个状态的概率分布。
其次，矩阵力学在算符表示中也发挥着重要的作用。
在量子力学中，算符描述了物理量的性质和测量结果。
矩阵力学将算符表示为一个矩阵，它通过和波函数的矩阵相乘来实现对量子态的变换和观测。
例如，位置算符可以表示为一个无穷维的矩阵，通过与波函数矩阵相乘，可以得到粒子在不同位置的概率分布。
矩阵力学的算符表示方法不仅简化了计算，而且具有准确和一致性的优势。
另外，观测量是量子力学中的核心概念之一，矩阵力学提供了观测量的数学表述方法。
观测量在矩阵力学中用厄米矩阵表示，而其本征值对应了可能的测量结果。
通过矩阵对角化，可以得到观测量的本征矢量，这些矢量描述了测量结果的基态。
观测量的本征值和本征矢量可以用于求解系统的态矢演化和测量结果的统计性质。
除了以上提到的应用，矩阵力学在量子力学中还有其他重要的应用。
例如，矩阵力学可以描述多粒子系统的混合态。
多粒子系统的波函数可以用一个大矩阵表示，通过矩阵运算可以求解系统的演化和观测。
此外，矩阵力学还可以用于处理相互作用体系，例如描述原子核和电子的相互作用。
通过将相互作用哈密顿量表示为一个矩阵，可以解析求解体系的性质和相应的态矢演化。
综上所述，矩阵力学在量子力学中的应用十分广泛。
它提供了一种便捷和准确的描述量子系统的数学方法，可以用于求解波函数演化、描述算符性质和求解观测结果等问题。
海森堡的矩阵力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述海森堡的矩阵力学是量子力学的重要分支之一，于1925年由德国物理学家维尔纳·海森堡提出。
矩阵力学是一种基于矩阵运算的数学框架，用于描述微观粒子的运动和性质。
与薛定谔的波动力学相比，海森堡的矩阵力学在历史上起到了重要的推动作用。
在经典力学中，力学量被描述为物体的属性，如质量、位置、速度等。
然而，在微观尺度下，如原子和亚原子尺度，经典力学的概念和理论无法很好地描述粒子的行为。
这就引出了量子力学的概念。
在量子力学中，力学量被描述为算符，它们对应于可观测量，如动量、能量和自旋等。
而在海森堡的矩阵力学中，这些算符被表示为矩阵。
通过对这些矩阵的运算，我们可以计算得到粒子在不同状态下的性质和运动规律。
海森堡的矩阵力学在物理学界引起了广泛的关注和研究。
它的提出不仅填补了经典力学与量子力学之间的差距，而且对于解释原子、分子、固体和核物理等领域的现象起到了至关重要的作用。
通过矩阵力学的方法，我们能够更加直观地理解量子体系，解释和预测实验结果。
值得注意的是，海森堡的矩阵力学并不是解释微观世界的唯一方法，与之并行发展的还有薛定谔的波动力学和狄拉克的相对论量子力学等。
这些不同的方法虽然在表述上有所不同，但是它们都是基于数学和实验的结合，都是为了描述和解释微观粒子的行为。
在本文中，我们将探讨海森堡的矩阵力学的基本原理、应用和发展，总结其对量子力学的贡献，并评价其在物理学中的意义。
同时，我们也将展望矩阵力学在未来的发展方向，以期进一步推动量子力学的研究和应用。
文章结构是指文章的整体框架和组织方式，它对于文章的清晰度和逻辑性非常重要。
在本篇长文中，文章结构可以按照以下方式组织：1. 引言1.1 概述在引言部分，我们可以简要介绍海森堡的矩阵力学的背景和意义，引起读者对该主题的兴趣。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇长文的各个部分进行概括性说明。
本文按照以下顺序展开内容：2. 正文2.1 海森堡的矩阵力学简介在这一部分，我们会详细介绍海森堡的矩阵力学的基本概念、理论框架以及其与经典力学和波动力学的关系。
偶尔在网上看到此篇文章，很受启发，转载过来共勉。
线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。
比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。
大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太无厘头了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。
这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。
对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。
长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。
一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。
这种情形在国内外皆然。
瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。
然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，这就带来了教学上的困难。
”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
第三章矩阵力学基础(I)—力学量和算符上一章，中我们系统地介绍了波动力学。
它的着眼点是波函数),(t x ψ。
薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数),(t x ψ猫述粒子的运动状态。
通过在波函数的运动方程中引入 的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。
在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。
它是海森伯（Heisenberg ）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。
着眼点是力学量和力学量的测量。
他们将力学量看成算符。
通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入r 和p 的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。
这种量子化，通常称为正则量子化。
在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。
算符的运算归结为矩阵的运算。
本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—同样的作用。
§3. 1力学量的平均值在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。
一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数ψ后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
第四章 矩阵力学基础(II)――表象理论一、概念与名词解释1. 表象2. 幺正矩阵，幺正变换3. 占有数表象4. 薛定谔绘景，海森伯绘景二、计算1. 设厄米算符B ˆAˆ、满足,0A ˆB ˆB ˆA ˆ,1B A 22=+==求： (1) 在Aˆ表象中，算符B ˆA ˆ、的矩阵表示； (2) 在Bˆ表象中，算符B ˆA ˆ、的矩阵表示； (3) 在Aˆ表象中，算符B ˆ的本征值和本征函数； (4) 在Bˆ表象中，算符A ˆ的本征值和本征函数； (5) 由Aˆ表象到B ˆ表象的幺征变换矩阵S. 2. 求在动量表象中角动量L x 的矩阵元和L x 2的矩阵元.3. 设粒子处于宽度为a 的无限深方势阱中，求在能量表象中粒子的坐标和动量的矩阵表示.4. 在L z 表象中，求ϕ=ϕψ2sin C )(的矩阵表示.5. 已知在L 2和L z 的共同表象中，算符L x 和L y 的矩阵分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 i 0i 0i 0i 022L ;010********L y x 求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将L x 和L y 对角化.6. 在动量表象中，求处于一维均匀场V(x)= -Fx 中粒子的能量本征矢.7. 在动量表象中，求线谐振子哈密顿算符的矩阵元和能量本征值.8. 试将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 a a 0 exp 表示为2×2的矩阵，a 是个正的常数. 9. 已知波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛δδ=χβαsin e cos e i i ，计算它的极化矢量p ，并求能将χ旋转为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01态的转动矩阵U R . 10. 已知线谐振子满足能量本征方程n E n x 212p ˆn 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡μω+μ，计算矩阵元<m|x|n>，<m|x 2|n>，<m|x 3|n>，<m|x 4|n>.11. 处在三维空间体系的基矢分别为|u 1>、|u 2>和|u 3>.已知算符S ˆLˆ、分别满足u u S ˆ,u u S ˆ,u u S ˆu u L ˆ,0u L ˆu u L ˆ13223133211===-===,给出算符22S ˆL ˆS ˆLˆ及、、的矩阵表示.12. 处于三维空间体系的基矢分别为|u 1>、|u 2>和|u 3>.已知两个状态分别为.3/u i 3/u 2/u 2/u i 2/u 3113210+=φ++=φ,求此二状态的投影算符的矩阵表示.13. 在海森伯绘景中求线谐振子的坐标与动量算符.14. 求自由粒子坐标算符的海森伯表示.三、证明1. 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.2. 如果体系的哈密顿量不显含时间，证明下列求和规则./2m x )E -(E n 22m n m n ∑= 式中x 是坐标，E n 、E m 是相应于n 态和m 态的能量，求和对一切可能的状态进行.3. 设U 是幺正算符， iB.A )/2i]U -i[(U )/2U (U U +≡++≡++证明：(1) A 和B 均为厄米算符，且A 2+B 2=1；(2) [A,B]=0，因而A,B 可以同时对角化；(3) 设算符A 、B 的共同本征态为，B',A'本征值分别为，和B'A'则，，1U'iB'A'U'=+=因此可令，，)为实数(H'sinH'B'cosH'A'==从而有；’)itg -)/(1itg (1e U'/2H /2H 'iH '+== (4) 证明U 可表示为，)itg -)/(1itg (1e U H /2H /2iH +==H 厄米.4. 证明矩阵的迹与表象的选择无关，即jjj i i i v A ˆv u A ˆu ∑∑= 5. 证明Tr(|u><u|)=<u|u>，Tr(|v><v|)=<v|v>.6. 已知S ˆ是幺正矩阵，B ˆA ˆ、为任意厄米矩阵，且A ˆ满足， a A ˆn n n φ=φ证明：.A ˆdet )S ˆA ˆS ˆdet( , A ˆT r )S ˆA ˆS ˆT r(]S ˆB ˆS ˆ,S ˆA ˆS ˆ[S ˆ]B ˆ,A ˆ[S ˆ , S ˆa S ˆ)S ˆA ˆS ˆ(n n n =+==φ=φ+++++++ 四、综合题1. 已知算符B ˆA ˆ、满足 A ˆA ˆB ˆ1A ˆA ˆA ˆA ˆ0A ˆ2，，，+++==+=证明 B ˆB ˆ2，=并在B 表象中求出Aˆ的矩阵表示. 2. 设算符C ˆB ˆA ˆ、、满足 .A ˆi B ˆC ˆC ˆBˆ 1C ˆB ˆA ˆ222====－，求证： 0A ˆC ˆC ˆA ˆA ˆB ˆB ˆA ˆ，=+=+并在A 表象中求出C ˆBˆ、的矩阵表示. 3. 已知体系的哈密顿算符Hˆ和力学量算符B ˆ的矩阵形式分别为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ω=01010 000 1b B ˆ;1- 0001- 0001H ˆ 其中b ，ω为实常数. 证明上述两算符都是厄米算符，并且互相对易. 求出它们的共同本征函数系.4. 一个线性谐振子处在一个空间均匀的外力场F(t)=C θ(t)e -λt 中，其中λ是正常数，θ(t)是阶梯函数.若振子在t=0时处于基态，计算在时刻t 振子处在量子数n 的|n>态的概率. 若C ＝(ħm λ3)1/2，m 是质量，计算这个跃迁概率随n 和随λ/ω的变化，其中ω是振子的自然振动概率.5. 一个质量为m 的粒子处在一维谐振子的势阱中，V 1=kx 2/2.(1) 粒子最初处在基态，弹性系数突然加倍(k →2k)，这样新的势阱是V 2=kx 2.现在测量粒子的能量，求发现粒子在新势阱V 2的基态的概率.(2) 弹性系数和(1)一样突然加倍，所以V 1突变为V 2.但是在新势阱中粒子的能量没有被测量.在经过t 时间后，弹性系数突然回到了初值.问t 等于多少时能使粒子态完全恢复到V 1的基态？6. 由下述三个纯态不相干混合而成的角动量为1的粒子体系，假定每个态都等概率.这三个态是：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=φ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=φ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=φ100 ; 010******* ; 001(3)(2)(1) (1) 求这个体系的密度矩阵ρ，并证明Tr ρ＝1；(2) 选ħ＝1，角动量为1的矩阵由题(二.5)的矩阵给出，求L x 、L y 、L z 的平均值.7. 讨论两个具有同样振动频率ω0的谐振子.它们的产生和湮没算符满足0]a ,[a 0,]a ,[a 1,]a ,[a 0]a ,[a 0,]a ,[a 1,]a ,[a 212122212111======++++++当将两个振子分开时，它们的哈密顿量分别为H 1=ħω0a 1+a 1，H 2=ħω0a2+a2，这里略去了零点能ħω0/2，令|n1,n2>是H1和H2具有相应本征值为n1ħω0和n2ħω0的共同本征函数.当两振子有相互作用后，体系哈密顿量∑=+++++=++ω+ω=21j i,jiji12212211a M aagaagaaaaaHg是正的实数.由于有g的耦合项，|n1,n2>不再是H的本征函数(1)使矩阵M ij对角化，求偶合体系所容许的能量.设体系在t=0是处在|n1=1,n2=0>态，求：(2)体系在t>0时的本征矢；(3)计算在t>0时，体系处在|n1=0,n2=1>态的概率.8. 求相干态随时间的变化仍然保持为相干态的条件？为澄清相位的贡献，试再用密度矩阵方法讨论这个问题.9. 讨论两个由同样的谐振子组成的体系：体系A中有半数振子处在基态，半数振子处在第一激发态；体系B中所有振子在t=0时均处在2]/1[+态，求：(1) 在t=0时，体系A和体系B的密度矩阵ρA和ρB；(2) 对于这两个体系，x的平均值<x>，p的平均值<p>是否随t变化？说明理由.。
