下载文档原格式
第四章矩阵力学基础(Ⅱ)——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示 (1) 坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。
以一维的x 坐标为例。
算符xˆ本征方程是)()(ˆx x x x x x'-'='-δδ (4-1-1) 本征函数是).(x x '-δ量子态)(x 'ψ总可按x 的本征函数系展开，得dxx x x x )()()('-='⎰δϕϕ （4.1.2）展开系数必)(x ϕ就是该量子态在x 表象的表示，即波函数。
(2) 动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。
选x 为自变量，动量算符的本征函数是平面波。
以动量算符x pˆ为例，其本征态为： x p ip x x ex2121=/)()(πϕ (4 .1 .3)将量子态)(x ϕ按)(x xp ϕ展开==⎰x p x dp x p C x x )()()(ψϕxx x p i dp p C ex )()(/⎰2121π (4 .1 .4)C(p x )就是动量表象中的波函数。
这正是第二章中已熟知的结果。
动量表象也可以用动量为自变量表示。
在P x 表象中，粒子具有确定动量分量P x 的波函数是以P x 为自变量的函数)()(ˆx x x x x x p p p p p p'-'='-δδ （4.1.5） 在动量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2)式的方式给出。
(3) 任意表象设有某一线性厄米算符Q ˆ。
为叙述方便起见，假定算符Q ˆ具有分立本征值谱。
它的本征方程为)()(ˆr u Q r u Q nn n = (4.1.6) 将波函数),(t r ϕ按Q ˆ算符的正交归一本征函数系)}({r u展开∑=nn n r u t a t r )()(),(ϕ （4.1.7）展开系数{a n (t)}就是波函数必),(t rϕ在Q 表象中的表示。
第三章 矩阵力学基础(І)――力学量和算符一、概念与名词解释1. 希尔伯特空间2. 希尔伯特空间中矢量的内积3. 转置算符、复共轭算符、厄米共轭算符、厄米算符、幺正算符4. 不确定性定理5. 维里定理二、计算1. 计算对易关系],Lˆ[νμ，其中μ、ν =x,y,z. 2. 设λ是一个小量，求算符1)B ˆAˆ(-λ-按λ的幂展开式. 3. 求在x 表象中的算符⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x p 1ˆ.以及在p x 表象中的算符⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x 1ˆ. 4. 利用不确定性原理估算氢原子基态能量.5. 一维运动的粒子处在0),()0x (0)0x (Axe )x (x >λ⎩⎨⎧<≥=ϕλ-求<(Δx)2>，<(Δp)2>.6. 粒子处在Y lm 态，求：(1) L x 和L y 的平均值<L x >，<L y >；(2) <(ΔL x )2>，<(ΔL y )2>.7. 线谐振子处于基态)x 21exp(-(x)22απα=φ，计算<(Δx)2>·<(Δp)2>，其中./ μω=α8. 设体系处于φ=C 1Y 11+C 2Y 10态，且|C 1|2+|C 2|2=1，求：(1) 力学量z L ˆ的可能值和平均值；(2) 力学量2Lˆ的本征值； (3) 力学量L x 和L y 的可能值.9. 设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量L 2得到的值是6ħ2，测量力学量L z 得到的值是- ħ，求测量L x 和L y 可能得到的值.10. 设体系的哈密顿算符为,/2I L ˆ)/2I L ˆL ˆ(Hˆ22z 12y 2x ++=求其能量本征值. 11. 求在Hˆ的本征态中，对易子]A ˆ,H ˆ[的平均值.A ˆ为任意算符. 12. 在t=0时氢原子的波函数为]32[2,0)r (1-21211210100φ+φ+φ+φ=φ(1) 求体系能量的平均值；(2) 求在t 时刻体系处在l=1,m=1态的概率；(3) 求在t=0时，电子处在d=10-10cm 范围内的概率；(4) 假定做一次测量后发现L 2=2ħ2，L x = ħ，求测量后的瞬间体系的波函数.13. 一电子处在一维谐振子的基态，使得m,10]x [x--102=><求激发该电子到第一激发态所需的能量. 四、证明1. 若算符B ˆAˆ、满足1A ˆB ˆB ˆA ˆ=-，求证： (1) 23322B ˆ3A ˆB ˆB ˆA ˆ ,B ˆ2A ˆB ˆB ˆAˆ=-=- (2) 用数学归纳法证明：1n n n B ˆn A ˆB ˆB ˆAˆ-=- 2. 若算符B ˆAˆ、满足对易关系式0]]B ˆ,A ˆ[,A ˆ[=，求证： ].B ˆ,A ˆ[B ˆ)A ˆex p(B ˆ)Aˆex p(λ+=λ-λ 3. 若算符L ˆe 满足⋯++⋯+++=)!n /(L ˆ)2/(L ˆL ˆ1e n 2L ˆ！，直接通过对易关系证明：⋯++++=-)!3/(]]]a ˆ,L ˆ[,L ˆ[,L ˆ[)!2/(]]a ˆ,L ˆ[,L ˆ[]a ˆ,L ˆ[a ˆae e L ˆL ˆ4. 设[x,p]=i ћ，f(x)是x 的可微函数，证明：.p ' f i - ]fp [p, (6) ; p ' pf i - pf(x )p][p, (5);' f p i - f(x )]p [p, (4) ; fp 2i ]f(x )p [x , (3);pf)(fp i pf(x )p][x , (2) ; pf 2i f(x )]p [x , (1)222222 ====+==5. 证明：].)p ˆL ˆ()L ˆp ˆ[(i L ˆp p L ˆ];)r L ˆ()L ˆr [(i L ˆx x L ˆ;p ˆi 2L ˆp ˆp ˆL ˆ;r i 2L ˆr r L ˆx x 2x x 2x x 22 ⨯-⨯=-⨯-⨯=-=⨯+⨯=⨯+⨯6. Lˆ 是粒子的角动量，F 是另一力学量，证明： ).p F F r (i ]F ,Lˆ[p r ⨯∇-∇⨯-= 7. 设)r (f是只与空间坐标有关的力学量，证明：22)f (2]]f ,[,f [∇-=∇8. 证明算符∑+=∞=0m ,n n m m n m ,n ,2/)P ˆx x P ˆ(A O ˆ(A n,m 为实数)是厄米算符. 9. 定义算符,i 2/)U ˆU ˆ(B ˆ;2/)U ˆU ˆ(Aˆ++-=+=式中算符U ˆ是幺正算符.证明B ˆAˆ、皆为厄米算符，并且满足.0]B ˆ,A ˆ[;1B ˆA ˆ22==+ 10. 证明：(1) 在任意一维归一化的实束缚态φn (x)上，/2i pˆx >=<； (2) 若哈密顿算符H ˆ的本征值为E n 、本征矢φn (x)为实的束缚态，则有./2x )E (E 22n nk k n μ=-∑11. 设哈密顿算符H ˆ的本征解为E n 和)r (nφ，对任意的线性厄米算符A ˆ，证明下式成立：0)r (]A ˆ,H ˆ[)r (d n *n=φτφ⎰ 12. 证明在zL ˆ的本征态下，<L x >=<L y >=0.进而证明角动量沿任意方向n 的分量nL ˆ的平均值为m ħcos θ，其中θ为n 与z 轴的夹角，n 为任意方向单位矢量.13. 证明空间转动不变性对应角动量守恒.14. 若算符Aˆ与哈密顿算符H ˆ皆不显含时间，试证 >>=<<]H ˆ],H ˆ,A ˆ[[A dt d -22215. 证明>+<μ>=<x )p ˆp ˆ(x 1x dt d x x 2 16. 若算符B ˆAˆ、为守恒量，证明他们的对易子]B ˆ,A ˆ[也是守恒量. 17. 粒子处于宽度为a 的一维非对称无限深方势阱中，在其第n 个本征态下，证明)/126/n -(1a )x (x -2222π>=><<五、综合题1. 质量为m 的自由粒子作一维运动.在t=0时的归一化波函数是高斯波包，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡><><π=><φ221/422x x 41-exp )x (21)x (x,0, (1) 求；221/22p -p p)(><><≡>∆<(2) 证明在t>0时，粒子的概率密度满足222222)/m t )p (x (x ,0,t)(x ,>∆<+><φ=φ (3) 用不确定性原理解释(1)和(2)的结果.2. 考虑一质量为m 的粒子在一维势场U(x)=U 0(x/a)2n 中运动，其中n 是正整数，U 0>0，定性讨论能量本征值的分布和相应的本征函数的宇称.用不确定性原理估计基态能量的数量级，并讨论n=1和n →∞两种特殊情况.3. 在t=0时，处在谐振子势U=kx 2/2中的一粒子的波函数是[]2x)/2(H sin x)(H cos Ae (x,0)20/2x)-(2αβ+αβ=φα 其中β和A 是实常数，,/mk 22 =α且厄米多项式归一化条件是/2n!2dx x)]([H e n 2-n x -22⋅π=α⎰∞∞α (1) 写出φ(x,t)；(2) 求在φ(x,t)态中测量粒子的能量的可能值和相对概率；(3) 求t=0时的<x>，并问<x>是否随时间t 变化？4. 考虑一维对称势阱中的粒子，熟知，在这种情形下至少有一个能级.现在在给定势阱深度U 0的情况下，减少势阱宽度a 是使满足不等式a 2<<ħ2/mU 0，初看起来，束缚在势阱中的粒子的空间位置将越来越精确(Δx~a)，然而在任何情况下，动量的不确定度Δp 应限制在数量级0mU 内，于是有不等式 <<≤∆∆a mU x p 0，这个结果显然和不确定性原理矛盾.试指出上述论证中的错误，并求出粒子坐标和动量不确定度的乘积.5. 一粒子的波函数是φ=k(x+y+2z)e -αr ，式中,z y x r 222++=k 和α是实常数，求：(1) 粒子的角动量是多少？(2) 角动量z 分量的平均值；(3) 若角动量的z 分量L z 被测量，问测得L z =+ ħ的概率是多少？(4) 发现粒子在θ,φ方向上d Ω立体角内的概率是多少？θ,φ是通常球坐标中的方向角.六、思考题1. 量力力学参量与经典物理的力学量有何区别?2. 经典物理中的理论力学、电动力学、统计力学有哪些主要物理量？3. 量子力学的算符概念和H ˆ，p ˆ，ti ∂∂ 首先是谁引进的？4. 量子力学的基本算符是什么?为什么?5. 算符的定义是什么?跟数学的算子有何区别?6. 量子力学算符的基本性质是什么?7. 算符的对易关系有什么物理意义?为什么?8. 量子力学算符原理是什么?9. 量子力学的力学量取值与经典物理力学量有何区别?10. 为什么说量子力学算符必须是厄米算符?为什么?11. 为什么说薛定谔定态方程是能量本征方程?12. 构造算符的基本法则是什么?[包括算符函数]13. 算符的对易关系算式有哪几个是最重要的?14. 为什么算符本征值有哪点跟经典力学是不同?15. 算符本征值在宏观实验测量中有无实验意义?如果没有,那么解算本征值还有什么意义?16. 力学量的宏观测量值跟本征值有何联系?为什么?17. 为什么算符本征值只能单次实验测量?18. 量子力学算符作用在任意状态上得到的数值是唯一的么?19. 算符本征函数性质是什么?20. 为什么本征函数系列可以构造数学函数空间?这个函数空间是完全的么?21. 同一个状态中的两个算符有什么关系?哪一个是量子力学的特点?22. 写出你知道的算符表达式?23. 量子力学力学量的测不准原理是什么?谁发现的?24. 为什么说测不准原理是量子力学的重大发现?25. 写出能量与时间的测不准关系,并说明原因。
矩阵力学在量子力学中的应用量子力学是一门探究微观世界的科学，描述了微观粒子的行为规律。
而矩阵力学是量子力学的一种数学表述方法，它通过矩阵运算来描述量子系统的性质和演化。
本文将介绍矩阵力学在量子力学中的应用，从波函数、算符和观测量等方面展开论述。
首先，我们来讨论矩阵力学在波函数中的应用。
波函数是量子力学中描述微观粒子状态的重要概念，而矩阵力学提供了一种便捷的波函数表示方法。
在矩阵力学中，波函数被表示为一个列矩阵，其中的每一个元素代表粒子处于相应状态的概率幅。
通过矩阵运算，可以求解系统的波函数演化，计算各个状态的概率分布。
其次，矩阵力学在算符表示中也发挥着重要的作用。
在量子力学中，算符描述了物理量的性质和测量结果。
矩阵力学将算符表示为一个矩阵，它通过和波函数的矩阵相乘来实现对量子态的变换和观测。
例如，位置算符可以表示为一个无穷维的矩阵，通过与波函数矩阵相乘，可以得到粒子在不同位置的概率分布。
矩阵力学的算符表示方法不仅简化了计算，而且具有准确和一致性的优势。
另外，观测量是量子力学中的核心概念之一，矩阵力学提供了观测量的数学表述方法。
观测量在矩阵力学中用厄米矩阵表示，而其本征值对应了可能的测量结果。
通过矩阵对角化，可以得到观测量的本征矢量，这些矢量描述了测量结果的基态。
观测量的本征值和本征矢量可以用于求解系统的态矢演化和测量结果的统计性质。
除了以上提到的应用，矩阵力学在量子力学中还有其他重要的应用。
例如，矩阵力学可以描述多粒子系统的混合态。
多粒子系统的波函数可以用一个大矩阵表示，通过矩阵运算可以求解系统的演化和观测。
此外，矩阵力学还可以用于处理相互作用体系，例如描述原子核和电子的相互作用。
通过将相互作用哈密顿量表示为一个矩阵，可以解析求解体系的性质和相应的态矢演化。
综上所述，矩阵力学在量子力学中的应用十分广泛。
它提供了一种便捷和准确的描述量子系统的数学方法，可以用于求解波函数演化、描述算符性质和求解观测结果等问题。
海森堡的矩阵力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述海森堡的矩阵力学是量子力学的重要分支之一，于1925年由德国物理学家维尔纳·海森堡提出。
矩阵力学是一种基于矩阵运算的数学框架，用于描述微观粒子的运动和性质。
与薛定谔的波动力学相比，海森堡的矩阵力学在历史上起到了重要的推动作用。
在经典力学中，力学量被描述为物体的属性，如质量、位置、速度等。
然而，在微观尺度下，如原子和亚原子尺度，经典力学的概念和理论无法很好地描述粒子的行为。
这就引出了量子力学的概念。
在量子力学中，力学量被描述为算符，它们对应于可观测量，如动量、能量和自旋等。
而在海森堡的矩阵力学中，这些算符被表示为矩阵。
通过对这些矩阵的运算，我们可以计算得到粒子在不同状态下的性质和运动规律。
海森堡的矩阵力学在物理学界引起了广泛的关注和研究。
它的提出不仅填补了经典力学与量子力学之间的差距，而且对于解释原子、分子、固体和核物理等领域的现象起到了至关重要的作用。
通过矩阵力学的方法，我们能够更加直观地理解量子体系，解释和预测实验结果。
值得注意的是，海森堡的矩阵力学并不是解释微观世界的唯一方法，与之并行发展的还有薛定谔的波动力学和狄拉克的相对论量子力学等。
这些不同的方法虽然在表述上有所不同，但是它们都是基于数学和实验的结合，都是为了描述和解释微观粒子的行为。
在本文中，我们将探讨海森堡的矩阵力学的基本原理、应用和发展，总结其对量子力学的贡献，并评价其在物理学中的意义。
同时，我们也将展望矩阵力学在未来的发展方向，以期进一步推动量子力学的研究和应用。
文章结构是指文章的整体框架和组织方式，它对于文章的清晰度和逻辑性非常重要。
在本篇长文中，文章结构可以按照以下方式组织：1. 引言1.1 概述在引言部分，我们可以简要介绍海森堡的矩阵力学的背景和意义，引起读者对该主题的兴趣。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇长文的各个部分进行概括性说明。
本文按照以下顺序展开内容：2. 正文2.1 海森堡的矩阵力学简介在这一部分，我们会详细介绍海森堡的矩阵力学的基本概念、理论框架以及其与经典力学和波动力学的关系。
