下载文档原格式
解析几何基础要点汇总
1. 基本概念
- 解析几何是研究空间中点、直线、平面的性质和相互关系的数学分支。
- 点是解析几何的基本元素，用坐标表示。
- 直线是由两个不同的点确定的，可以通过斜率和截距等方式表示。
- 平面是由三个不共线的点确定的，可以通过法向量和点法式方程表示。
2. 点的坐标表示
- 在二维空间中，点的坐标表示为 (x, y)。
- 在三维空间中，点的坐标表示为 (x, y, z)。
3. 直线的方程
- 一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
- 斜截式方程：y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为截距。
- 点斜式方程：y - y1 = m(x - x1)，其中 (x1, y1) 为直线上的一点，m 为斜率。
4. 平面的方程
- 一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C、D 为常数。
- 点法式方程：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0，其中 (x0, y0, z0) 为平面上的一点，(A, B, C) 为平面的法向量。
5. 相关性质和定理
- 两点间距离公式：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 -
z1)^2)。
- 点到直线的距离公式：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。
- 点到平面的距离公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)。
以上是解析几何的基础要点汇总，希望对您的学习有所帮助。
【教材】中等职业教育规划教材《数学》第二册
【教学目标】
知识目标：1.理解直线的法向量的概念以及法向量与方向向量的关系；
2.根据条件，熟练地求出直线的方程。
能力目标：通过布置课前任务来培养学生的自学能力；通过让学生讨论、讲解来训练学生的语言表达能力和逻辑思维能力；通过让学生解决生活或专业中与数学相关的问题来培养学生的分析问题、解决问题的能力。
情感目标：通过让学生解决一些生活或专业中的问题，让学生感悟数学的实用性；通过小组活动，培养学生的团队精神；通过让学生解决一系列层层深入的问题，培养学生积极探索勇于创新的精神。
【教学重点】理解掌握直线的点法式方程。
【教学难点】法向量与方向向量的关系。
【突破难点的关键】通过多媒体演示、类比举例等手段让抽象的概念具体化。
【教学方法】探究式问题教学法。
此法就是把学习问题与学生的学习活动相结合，教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，从而使学生独立地、创造性地完成学习任务。
【教具】多媒体投影仪，实物投影仪。
例2 求下列过点。
1. 点斜式方程经过定点()00,M x y且斜率为k的直线方程为()00y y k x x−=−，叫做直线的点斜式方程. 2. 斜截式方程将点斜式方程中的定点选成直线与y轴的交点()0,b，那么方程改写成y kx b=+，其中数值b称为该直线在y轴上的截距.注：（1）当0k≠时，它表示y是x的一次函数，函数图像即为我们讨论的直线;（2）当0k=时，直线与x轴平行或重合，其方程为y b=；（3）如果直线与y轴平行或重合，直线方程为x a=，a为直线在x轴上的截距.3. 两点式方程经过直线上两点()11,M x y、()22,N x y，并且不与任一坐标轴平行或重合的直线l，有12x x≠，12y y≠，用点斜式表示直线为()211121y yy y x xx x−−=−−，整理可得两个坐标对称的形式：112121y y x xy y x x−−=−−，即为直线的两点式方程.4. 直线的一般式方程方程0ax by c++=（,a b不同时为零）可表示平面直角坐标系内的一条直线，即为直线的一般式方程.5. 点法式方程（1）直线的法向量：与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量，如(),n a b=是直线0ax by c++=的一个法向量.（2）已知直线l上的一点()00,M x y和直线l的一个法向量(),n a b=，直线方程可以表示为()()00a x xb y y−+−=即为直线的点法式方程.第14讲直线方程知识梳理题型一、点斜式【例1】过点(5,2)P 且斜率为1−的直线的点斜式方程为________. 【难度】★【例2】经过点(3,2)−，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是 ． 【难度】★【例3】若过点()30−，的直线1l 的倾斜角是直线2:330l x y a −+=倾斜角的两倍，则直线1l 的方程为 ．【难度】★【例4】直线l 经过点()3,1，且直线l 的一个方向向量为()2,23−−，若直线l 与x 轴交于点(),0a ，则a = . 【难度】★★【例5】已知直线l 经过点(2,1)，且和直线330x y −−=的夹角等于30°，则直线l 的方程是_________． 【难度】★★【例6】直线4380x y −−=的倾斜角的角平分线所在的直线的方程是________． 【难度】★★题型二、斜截式（截距式）【例1】已知直线l 在x 轴上的截距是3，在y 轴上的截距是2−，则l 的方程是 ． 【难度】★例题分析【例2】已知直线l 在y 轴上的截距为4，倾斜角为α，且4sin 5α=，则直线l 的斜截式方程为 ． 【难度】★【例4】若直线过点()1,1且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有 条. 【难度】★★【例6】已知直线20ax y a +−+=在两坐标轴上的截距相等，则实数a = . 【难度】★★【例7】设直线l 的方程为(1)10a x y a +++−=，若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ． 【难度】★★题型三、两点式【难度】★【例2】瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中△ABC 各顶点的坐标分别为()0,0A ，()0,2B ，()4,0C ，则其“欧拉线”的方程为 . 【难度】★★【例3】△ABC 的顶点()()()3,4,1,4,3,6A B C −−，则BC 边上的中线所在的直线方程是 ． 【难度】★★题型四、一般式【例2】若0ax by c ++=表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件（ ） A ．0bc = B ．0a ≠C ．0bc =且0a ≠D ．0a ≠且0b c ==【难度】★【例3】若1122341,341x y x y +=+=，且12x x ≠，则经过()()1122,,A x y B x y 、的直线l 的一般方程为 . 【难度】★★【例4】若直线()10a x y a −−−=不通过第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(1,)+∞C ．()[),01,−∞+∞D ．0,1【难度】★★题型五、点法式【例1】若直线l 的方程为30x y −+=，则直线l 的一个法向量是_________. 【难度】★【例2】已知()2,3P 是直线l 上一点，且()1,2n =−是直线l 的一个法向量，则直线l 的方程为 ． 【难度】★【例3】已知直线l 与直线210x y +−=具有相同的法向量，且经过点(3,4)，则直线l 的方程为 ． 【难度】★★题型六、直线过定点【例2】已知直线():2130l ax a y a +−+−=，当a 变化时，直线l 总是经过定点，则定点坐标为 . 【难度】★【例3】设R m ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m −−+=交于点(,)P x y ，则|||PA PB ⋅的最大值 ．（两直线垂直则斜率乘积为1−） 【难度】★★【例1】直线223x ty t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.【难度】★★【例2】直线21y x =+关于直线y x =对称的直线方程为（ ） A ．310x y −+= B ．310x y −−=C ．210x y −−=D ．210x y −+=【难度】★★【例3】点(,)P x y 在第一象限内，且P 在直线:326l x y +=上移动，则xy 的最大值是____________. 【难度】★★【例4】直线:(12)(1)130l m x m y m +−+−−=分别交x 轴､y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为 . 【难度】★★【例5】如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点()1,0P 作直线AB 分别交OA ，OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线12y x =上时，则直线AB 的方程是 ． 【难度】★★模块二：直线方程综合问题~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~例题分析【例6】已知()()1,0,0,2A B −，直线:2230l x ay a −++=上存在点P ，满足5PA PB +=，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★★【例7】设直线l 的方程为(1)20(R)a x y a a +++−=∈. （1）求证：不论a 为何值，直线必过定点M ； （2）若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程. 【难度】★★1. 下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是4B ．直线1y x =+的横截距为1C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x −−=−− D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为23−【难度】★师生总结巩固练习4. 已知一直线经过点M （﹣3，4）和点N （2，6），则这条直线的方程为 ． 【难度】★7. 若直线:20l ax y a +−−=在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2或1 D ．－1或2【难度】★★8. 平面直角坐标系中，已知直线l 过点()0,4，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l 的方程为 ． 【难度】★★9. 直线l 过点(2,1)−，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是 ． 【难度】★★11. 动直线()()():2130R l m x m y m m −++−=∈过定点M ，则M 的坐标为 . 【难度】★★13. 在△ABC 中，顶点A 的坐标为(3,3)，C ∠的平分线所在直线的方程为1:210l x y −+=，且边AC 上的中线所在直线的方程为2:560l x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求边BC 所在直线的一般式方程． 【难度】★★1. 已知直线l 过定点()2,1P −，且交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B ，点O 为坐标原点．（1）若AOB 的面积为4，求直线l 的方程； （2）求OA OB +的最小值，并求此时直线l 的方程； （3）求PA PB ⋅的最小值，并求此时直线l 的方程． 【难度】★★★能力提升。
大一解析几何第一章知识点解析解析几何是大学数学中的一门重要学科，它以坐标系和代数方法为基础，研究几何图形的性质和关系。
在大一的解析几何课程中，第一章主要介绍了直线、平面及其相关基本概念和性质。
本文将对这些知识点进行解析。
一、直线的方程在解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。
直线的方程可以用多种形式表示，其中最常见的形式是一般式方程和截距式方程。
一般式方程: Ax + By + C = 0其中A、B、C是实数且A和B不同时为0。
在一般式方程中，A表示直线的斜率，B表示直线的斜率的相反数。
截距式方程: x/a + y/b = 1其中a和b是实数且不同时为0。
截距式方程通过直线在x轴和y轴上的截距来表示直线的方程。
二、直线之间的关系在解析几何中，直线之间的关系是解题的关键。
直线之间的三种基本关系是相交、平行和重合。
相交: 当两条直线有一个交点时，它们相交。
平行: 当两条直线没有交点且永远不会相交时，它们平行。
重合: 当两条直线完全重合时，它们重合。
三、直线与平面的关系直线与平面的关系也是解析几何中的重要内容。
直线可以与平面相交、平行或者包含在平面中。
相交: 当直线与平面有一个交点时，它们相交。
平行: 当直线与平面没有交点且永远不会相交时，它们平行。
包含: 当直线的所有点都在平面上时，它被包含在平面中。
四、平面的方程平面是解析几何中的另一个重要几何图形。
平面的方程可以用多种形式表示，其中最常见的形式是一般式方程和点法式方程。
一般式方程: Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C和D是实数且A、B和C不同时为0。
在一般式方程中，A、B和C表示平面的法向量。
点法式方程: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0其中A、B、C是实数且A、B和C不同时为0，(x₀, y₀, z₀)是平面上的一点。
在点法式方程中，A、B和C表示平面的法向量，(x₀, y₀, z₀)表示平面上的一个点。
直线的点法式方程
点法式方程是u(x-x0)+v(y-y0)=0。
可以表示所有直线方程式u(x-x0)+v(y-y0)=0（u,v不全为零），高中数学中直线方程之一，(x-x0)·u=(y-y0)·v，且u，v不全为零的方程，称为点法向式方程，该方程可以表示所有直线。
平面π上任意一点的坐标都满足这个方程。
而坐标满足方程的点都在π上，于是这个方程就是过点且与向量垂直的平面π的方程，称为平面的点法式方程。
点法式方程的特点
一张平面π可以由π上任意一点和垂直于π的任意一个向量完全确定。
垂直于π的任意向量称为π的法向量。
点法向式就是由直线上一点的坐标和与这条直线的法向量确定的（x0,y0）为直线上一点，｛u,v}为直线的法向向量。
数学技巧篇30点直线平面之间距离的计算方法直线和平面的距离是解析几何中的一个重要概念。
在三维空间中，直线和平面可以有不同的位置关系，包括直线与平面相交、直线在平面上、直线平行于平面等。
本文将介绍几种常见的计算直线与平面之间距离的方法。
1.点法式计算法点法式是一种表示平面的方法，用平面上一点和垂直于平面的法向量共同确定一个平面。
根据点法式，平面方程可表示为Ax+By+Cz+D=0，其中(A,B,C)是法向量的坐标。
直线与平面的距离可以用直线上一点到平面的距离来表示。
设直线上一点为P(x1,y1,z1)，直线的方向向量为V(a,b,c)。
则直线到平面的距离可以通过公式d=，Ax1+By1+Cz1+D，/√(A^2+B^2+C^2)计算。
2.两平面夹角计算法对于两平面夹角α，可以用两平面的法向量之间的夹角来表示。
设两平面的法向量分别为(A1,B1,C1)和(A2,B2,C2)。
平面到原点的距离可以用公式d=，A1x1+B1y1+C1z1，/√(A1^2+B1^2+C1^2)和d=，A2x1+B2y1+C2z1，/√(A2^2+B2^2+C2^2)来计算，其中P(x1,y1,z1)是平面上一点。
3.向量法计算法向量法是一种比较直观的计算直线与平面距离的方法。
设直线L上一点为P(x1,y1,z1)，直线的方向向量为V(a,b,c)。
则过P点到L直线的垂线为Q。
连接Q点和L直线的垂线的交点为R，则直线到平面的距离可以用向量RP的模长来计算。
4.投影计算法将直线的方向向量投影到平面的法向量上，得到直线在平面上的投影向量。
设直线 L 的方向向量为 V(a, b, c)，平面的法向量为 N(A, B, C)。
则直线在平面上的投影向量为 V' = V - proj_N(V)，其中 proj_N(V) = (Aa + Bb + Cc)N / (A^2 + B^2 + C^2)。
直线到平面的距离可以用投影向量的模长来计算。
空间直角坐标系中的直线方程与平面方程的异同在空间直角坐标系中，我们常常需要研究直线和平面的性质和方程。
对于平面，我们熟知其方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是常数。
那么，直线方程与平面方程是否相同呢？下面将对它们的异同进行详细的剖析。
直线方程直线是空间中一条无限延伸的曲线，可以用参数方程、点斜式方程和标准式方程等形式描述。
参数方程直线的参数方程形式为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中，(x0, y0, z0)是直线上的一点，a、b和c是直线的方向比例系数，t为参数。
点斜式方程点斜式方程可以用直线上一点和直线的斜率来表示，形式为：(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c其中，(x0, y0, z0)是直线上的一点，a、b和c是直线的方向比例系数。
标准式方程标准式方程又称为对称式方程，形式为：(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c = t其中，(x0, y0, z0)是直线上的一点，a、b和c是直线的方向比例系数。
平面方程平面是空间中一条无限延伸的二维表面，可以用一般式方程、点法式方程和截距式方程等形式描述。
一般式方程一般式方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是常数，且A、B和C不同时为0。
点法式方程点法式方程可以用平面上一点和平面的法向量来表示，形式为：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0其中，(x0, y0, z0)是平面上的一点，(A, B, C)是平面的法向量。
截距式方程截距式方程可以用平面与坐标轴的交点坐标来表示，形式为：x / a + y / b + z / c = 1其中，a、b和c分别是平面与x轴、y轴和z轴的截距。
直线方程与平面方程的异同直线方程和平面方程在形式和描述方式上存在明显的差异。
空间解析几何中的方程与点的位置关系空间解析几何中，方程与点的位置关系是一个重要的问题。
通过方程的解析，我们可以确定点在空间中的具体位置。
本文将介绍几种常见的方程形式，并详细讨论每种方程与点的位置关系。
一、直线方程与点的位置关系在空间解析几何中，直线方程有多种形式，包括点向式、两点式、参数方程等。
不同的直线方程形式可以用来描述直线在空间中的不同位置。
以点向式为例，直线的方程可以表示为：A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0其中A、B、C为系数，(x₀, y₀, z₀)为已知点的坐标。
对于给定的点P(x, y, z)，应用直线方程，若方程等式成立，则点P在直线上；若方程等式不成立，则点P不在直线上。
二、平面方程与点的位置关系平面方程也有多种形式，包括一般式、点法式、截距式等。
平面方程可以用来描述平面在空间中的位置和性质。
以一般式为例，平面的方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C为系数，D为常数。
对于给定的点P(x, y, z)，应用平面方程，若方程等式成立，则点P在平面上；若方程等式不成立，则点P不在平面上。
三、球面方程与点的位置关系在空间解析几何中，球面是由平面旋转一定角度形成的。
球面方程用来描述点与球面的位置关系。
以球心为坐标原点(O, O, O)、半径为r 的球面为例，球面方程可以表示为：(x-x₀)² + (y-y₀)² + (z-z₀)² - r² = 0其中(x₀, y₀, z₀)为球心坐标。
对于给定的点P(x, y, z)，应用球面方程，若方程等式成立，则点P在球面上；若方程等式不成立，则点P 不在球面上。
四、圆锥曲线方程与点的位置关系圆锥曲线是空间解析几何中的重要概念，包括椭圆、抛物线和双曲线。
每种圆锥曲线都有特定的方程形式，用来描述点与曲线的位置关系。
以椭圆为例，椭圆的方程可以表示为：((x-x₀)²/a²) + ((y-y₀)²/b²) + ((z-z₀)²/c²) = 1其中(x₀, y₀, z₀)为椭圆中心坐标，a、b、c分别为椭圆在x、y、z 轴上的半长轴。
