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直线的两点式方程公式例题解析直线是几何学中的重要概念，也是数学中常见的研究对象。
在解析几何中，我们经常需要确定直线的方程，以便进行进一步的计算和分析。
直线的两点式方程公式是一种常用的表示方法，本文将以例题的形式，深入解析直线的两点式方程公式的应用。
例题1已知直线 L 过点 A(2, 3) 和点 B(4, 5)，求直线 L 的两点式方程。
解析：直线的两点式方程公式可以表示为：(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 分别是直线上的两个已知点的坐标。
根据题目中的已知信息，我们可以得到：(x - 2)/(4 - 2) = (y - 3)/(5 - 3)化简得到直线 L 的两点式方程：(x - 2)/2 = (y - 3)/2进一步整理得到：x - y = 1所以，直线 L 的两点式方程为x - y = 1。
例题2已知直线 L 过点 A(-1, 2) 和点 B(3, -4)，求直线 L 的两点式方程。
解析：同样地，我们可以利用直线的两点式方程公式求解。
根据题目中的已知信息，我们可以得到：(x - (-1))/(3 - (-1)) = (y - 2)/(-4 - 2)化简得到直线 L 的两点式方程：(x + 1)/4 = (y - 2)/(-6)进一步整理得到：3(x + 1) = -2(y - 2)展开化简后得到直线 L 的两点式方程：3x + 3 = -2y + 4整理得到：3x + 2y = 1所以，直线 L 的两点式方程为3x + 2y = 1。
通过以上两个例题的解析，我们可以发现，利用直线的两点式方程公式可以方便地求解直线的方程。
通过已知的两个点的坐标，我们可以确定直线的两点式方程，进而进行后续的计算和分析。
在实际应用中，直线的两点式方程公式可用于描述直线的性质、确定直线的位置和方向等。
它是解析几何中的重要工具，对于深入理解和研究直线的性质具有重要意义。
8.2直线方程——点法式和一般式8.2 直线方程——点法式和一般式达标要求1．理解直线法向量的概念。
2．掌握直线的点法式方程，会求直线方程。
3．掌握直线的一般式方程，理解直线的一般式方程的系数和斜率和截距的关系．基础回顾一、直线的点法式方程1、直线的法向量：与直线l 垂直的非零向量，叫做直线l 的法向量，通常用n 表示。
法向量，不是唯一的．若) , (B A n =是直线的一个法向量，则) , 0( R t t tn ∈≠也是这条直线的一个法向量．2、直线的点法式方程：过点) , (00y x P 且法向量) , (B A n =的直线方程为：0)()(00=-+-y y B x x A ．若直线的法向量为) , (B A n =，则向量) , (A B v -=或) ,(A B v -=就是直线的一个方向向量．二、直线方程的一般式1、方程0=++C By Ax （A ，B 不全为零）叫做直线的一般式方程．此方程可表示任何直线，直线方程的其他形式都可以化为一般式方程．2、向量) , (B A n =为直线0=++C By Ax 的一个法向量，向量) ,(A B v -=或) , (A B v -=是这条直线的一个方向向量，直线的斜率)0( ≠-=B BA k ．典型例题例题1 根据下列条件求直线方程．(1) 过直线01=++y x 与03=--y x 的交点，且法向量是)2 , 5(-=n ．(2) 已知两点)2 , 5(-A ，)6 , 3(A ，求线段AB 的垂直平分线方程．【分析】根据不同的条件，选择不同的方程形式．解：（1）?=--=++0301y x y x 解得：-==21y x ，即交点为)2 , 1(- 由点法式方程得：0)2(2)1(5=+--y x ．整理得所求直线方程为：0925=--y x ．（2）因为所求直线的法向量)8 , 2(-==AB n ，设线段AB 的中点为) , ( y x C ，则4235=+=x ，2262=+-=y ．所以中点C 的坐标是)2 , 4(．所求直线的点法式方程为0)2(8)4(2=-+--y x ，整理得所求直线方程为： 044=+-y x 。
直线的“点法式”方程及其应用举例陕西省三原县南郊中学 李晓燕 郑克强（邮编：713800）先看看以下一段文字[1]：在本章讨论直线的一些问题中，我们已经应用了向量的有关知识．实际上，可以更多地应用向量解决有关直线的问题．下面作初步的介绍．1、向量与直线方程……如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量．如图2，设直线l 有法向量(,)n A B = ，且经过点000(,)P x y ，则点(,)P x y 在直线l 上的充要条件是0P P n ⊥ ．因为000(,)P P x x y y =-- ，(,)n A B = 且0P P n ⊥ 的充要条件是0P P 与n 的数量积为0，于是，得到直线l 的方程00()()0A x x B y y -+-=．这个方程由直线l上一点000(,)P x y 及直线l 的法向量n 确定，称为直线l 的点法式方程．如果直线有一般式方程0Ax By C ++=且0A ≠，则可得此直线的点法式方程：()(0)0C A x B y A ++-=．这是经过点(,0)C A-，且法向量(,)n A B = 的直线方程．所以(,)n A B = 是直线0Ax By C ++=的法向量．由于法向量可以从直线的一般式方程中直接得到，应用法向量在解决某些直线问题中比较便捷。
设(,)v B A =- ，则v 与n 的数量积()0v n B A A B ⋅=-⨯+⨯= ，所以v n ⊥ ．从而(,)v B A =- 是直线0Ax By C ++=的方向向量．2、向量与直线间的位置关系设直线1l 和2l 的方程分别是1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，那么，111(,)n A B = 和222(,)n A B = 分别是直线1l 和2l 的法向量．如果1l ∥2l ，则1n ∥2n ，所以12210A B A B -=．由此可知，12210A B A B -=是直线1l ∥2l 的必要条件．如果12l l ⊥，则12n n ⊥ ，反过来也对．而12n n ⊥ 的充要条件是120n n ⋅= ，即12120A A B B +=．所以，直线12l l ⊥的充要条件是12120A A B B +=下面考虑两条直线的夹角．设直线1l 和2l 的夹角为α，两条直线的法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-．所以cos cos αθ=cos θ=∴ cos α=由此式可以求得两条直线的夹角．从上述文字叙述中，我们至少获取了以下信息：1.什么是直线的点法式方程？直线一般式方程220(0,)Ax By C A B ++=+≠下同的几何意义是什么．2.直线点法式方程在研究两条直线的位置关系，例如两条直线的平行的必要条件、两条直线垂直的充要条件以及两相交直线的夹角公式等等有重要应用．实际上，采用向量方法研究有关直线及其方程问题时，还有一个优点，就是避免了采用斜率研究直线及其方程，所引起的比较复杂的讨论问题。
