蒙特卡罗方法及应用实验讲义2016资料

计算机处理之蒙特卡罗方法及其应用【标题】蒙特卡罗方法及其应用【摘要】蒙特卡罗方法是一种随即抽样方法，建立一个与求解有关的概率模型或随即现象来求得所要研究的问题的解。

这种利用计算机进行模拟的抽样方法以其精度高，受限少等优点广泛应用于数理计算，工程技术，医药卫生等领域。

本文介绍蒙特卡罗方法的简要内容，起源，基本思路及应用优点，并简要介绍了一些蒙塔卡罗方法在相关医学方面的应用，并提出了一些今后发展与应用上的展望。

【关键词】蒙特卡罗方法基本内容应用【正文】一蒙特卡罗方法简介1 概述蒙特卡罗(Monte Carlo) 方法, 又称随机抽样法，统计试验法或随机模拟法。

是一种用计算机模拟随机现象,通过仿真试验,得到实验数据,再进行分析推断,得到某些现象的规律或某些问题的求解的方法。

蒙特卡罗方法的基本思想是,为了求解数学、物理、工程技术或生产管理等方面的问题,首先建立一个与求解有关的概率模型或随机过程,使它的参数等于所求问题的解,然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征,最后给出所求解的近似值。

概率统计是蒙特卡罗方法的理论基础,其手段是随机抽样或随机变量抽样。

对于那些难以进行的或条件不满足的试验而言,是一种极好的替代方法。

蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，很少受几何条件限制，收敛速度与问题的维数无关。

例如在许多工程、通讯、金融等技术问题中,所研究的控制过程往往不可避免地伴有随机因素,若要从理论上很好地揭示实际规律,必须把这些因素考虑进去。

理想化的方法是在相同条件下进行大量重复试验,采集试验数据,再对数据进行统计分析,得出其规律。

但是这样需要耗费大量的人力、物力、财力,尤其当一个试验周期很长,或是一个破坏性的试验时,通过试验采集数据几乎无法进行,此时蒙特卡罗方法就是最简单、经济、实用的方法。

因此它广泛应用在粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。

蒙特卡罗方法及应用一、本文概述《蒙特卡罗方法及应用》是一篇深入研究和探讨蒙特卡罗方法及其在多个领域中应用的重要性的文章。

蒙特卡罗方法，又称随机抽样或统计试验方法，是一种基于概率统计理论的数值计算方法。

它通过模拟随机过程，以大量的样本数据来估计求解问题的解，特别适用于处理复杂系统中的不确定性问题。

本文首先介绍了蒙特卡罗方法的基本原理和核心概念，包括随机变量的生成、概率分布的模拟以及随机过程的模拟等。

然后，文章详细阐述了蒙特卡罗方法在各种领域中的应用，如物理学、工程学、金融学、生物学等。

在这些领域中，蒙特卡罗方法被广泛应用于求解复杂系统的数学模型，预测和评估系统的性能，以及优化决策方案等。

本文还讨论了蒙特卡罗方法的优缺点，包括其计算效率高、适用范围广等优点，以及计算精度受样本数量影响、对随机性要求高等缺点。

文章还探讨了蒙特卡罗方法的未来发展趋势，包括与、大数据等前沿技术的结合，以及在新兴领域如量子计算中的应用等。

《蒙特卡罗方法及应用》这篇文章旨在全面介绍蒙特卡罗方法的基本原理、应用领域以及发展前景，为读者提供一个深入理解和学习蒙特卡罗方法的平台。

通过本文的阅读，读者可以更好地理解蒙特卡罗方法的本质和应用价值，为相关领域的研究和实践提供有益的参考和启示。

二、蒙特卡罗方法的基本原理蒙特卡罗方法，又称统计模拟方法或随机抽样技术，是一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。

该方法通过模拟随机过程，求解数学、物理、工程以及金融等领域的问题。

蒙特卡罗方法的基本原理可以概括为以下几点：随机抽样：蒙特卡罗方法的核心思想是通过随机抽样来获取问题的数值解。

它根据问题的概率模型，在概率空间中进行随机抽样，以获得问题的近似解。

这种随机抽样可以是简单的均匀抽样，也可以是复杂的概率分布抽样。

大数定律：蒙特卡罗方法基于大数定律，即当试验次数足够多时，相对频率趋于概率。

通过大量的随机抽样，蒙特卡罗方法可以得到问题的近似解，并且随着抽样次数的增加，这个近似解会逐渐接近真实解。

蒙特卡罗算法及简单应用蒙特卡罗算法是一种基于统计的计算方法，主要用于估计数学、物理和工程领域中难以直接求解的问题。

它通过随机采样和统计分析的方法，可以近似地得到问题的解或概率分布。

蒙特卡罗算法的核心思想是利用随机性来代替确定性，通过重复进行大量的随机实验，从而得到问题的近似解。

蒙特卡罗算法的主要步骤如下：1. 定义问题：将问题转化为数学模型，并明确待求解的量。

2. 随机采样：根据问题的特点，选择合适的随机采样方法，生成一系列的随机样本。

3. 计算估计值：根据随机样本计算待求解量的统计量，如均值、方差等。

4. 得到结果：根据统计量得出问题的近似解或概率分布，并根据需求进行分析和应用。

蒙特卡罗算法的简单应用非常广泛，下面以两个例子来说明。

1. 计算圆周率π的近似值：假设有一个边长为2的正方形，并在其中画一个半径为1的圆，那么这个圆的面积就是π/4。

现在我们需要通过蒙特卡罗算法估计圆周率的近似值。

步骤如下：1. 在正方形内随机生成大量的点。

2. 统计落在圆内的点的个数。

3. 通过统计量计算圆的面积，进而估计π的值。

这里的关键在于随机点的生成和统计量的计算，通过重复进行大量的实验，我们可以得到π的近似值。

2. 金融风险评估：蒙特卡罗算法可以用于金融领域中的风险评估。

以股票投资为例，我们希望知道在不同的投资策略下，投资组合的收益和风险的分布情况。

假设我们有若干个股票的历史数据，包括每日的收益率和波动率。

利用蒙特卡罗算法可以模拟出若干个未来的可能情景，然后根据投资策略计算每个情景下的投资组合收益和波动率，最终得到收益和风险的概率分布。

通过分析这些分布，投资者可以评估不同策略的风险和回报情况，制定合理的投资决策。

蒙特卡罗算法不仅可以应用于上述两个简单问题，还可以应用于复杂的问题，如模拟核反应堆的裂变过程、计算复杂的多维积分和求解偏微分方程等。

蒙特卡罗算法的优点是适用于求解各种类型的问题，无论是确定性问题还是概率性问题，只要问题可以建模为数学模型，并且可以通过随机采样进行估计，就可以使用蒙特卡罗算法进行求解。

蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method）又称几何表面积法，是用来解决统计及数值分析问题的一种算法。

蒙特卡洛方法利用了随机数，其特点是算法简单，可以解决复杂的统计问题，并得到较好的结果。

蒙特卡洛方法可以被认为是统计学中一种具体的模拟技术，可以通过模拟仿真的方式来估算一个问题的可能解。

它首先利用穷举或随机的方法获得随机变量的统计数据，然后针对该统计数据利用数理统计学的方法获得解决问题的推断性结果，例如积分、概率等。

蒙特卡洛方法在计算机科学中的应用非常广泛，可以用来模拟统计物理、金融工程、统计数据反演、运行时参数优化以及系统可靠性计算等问题，因此广泛被用于许多不同的领域。

蒙特卡洛方法的基本思想是：将一个难以解决的复杂问题，通过把它分解成多个简单的子问题，再用数学方法求解这些子问题，最后综合这些简单问题的结果得到整个问题的解。

蒙特卡洛方法的这种思路，也称作“积分”，即将一个复杂的问题，分解成若干小问题，求解它们的结果，再综合起来，得到整体的结果。

蒙特卡洛方法以蒙特卡罗游戏为基础，用统计学的方法对游戏进行建模。

蒙特卡罗方法详细讲解下面将详细介绍蒙特卡罗方法的几个重要步骤：1.问题建模：首先需要将实际问题转化为数学模型，明确需要求解的数值或概率。

例如，计算圆周率π的值可以将问题建模为在单位正方形内随机生成点，并计算落入圆内的点的比例。

2.随机数生成：通过随机数生成器产生均匀分布的随机数，这些数将作为样本用于模拟和统计分析。

随机数的质量对结果的准确性有着重要影响，因此需要选择合适的随机数生成器。

3.样本模拟：根据问题的需要，利用随机数生成的样本进行模拟。

模拟的过程可以是简单的数学计算，也可以是复杂的物理模拟。

例如，在金融领域，可以使用蒙特卡罗方法对期权的价格进行模拟计算。

4.统计分析：对模拟得到的样本进行统计分析，以得到问题的结果。

常见的统计分析包括计算样本均值、方差、协方差等。

通过统计分析可以估计出结果的概率、置信区间等。

5.结果评估：评估模拟得到的结果的准确性和可靠性。

通常可以通过增加样本数量来提高结果的准确性，也可以通过统计分析来评估结果的可靠性。

1.金融建模：蒙特卡罗方法可以用于模拟股票价格的随机波动，并计算期权的价格和风险价值。

模拟得到的结果可以帮助金融机构进行风险管理和决策分析。

2.污染传输模拟：蒙特卡罗方法可以用于模拟大气中的污染物传输路径和浓度分布，帮助环境科学家评估污染物的扩散范围和健康风险。

3.工程优化：蒙特卡罗方法可以用于优化设计参数和优化方案的评估。

通过进行大量的模拟计算，可以找到最优的设计方案和最小化的成本。

总之，蒙特卡罗方法是一种基于随机模拟和统计分析的强大计算工具。

它的优势在于处理复杂问题的能力和适用性广泛，但需要合理的问题建模、高质量的随机数生成和准确的统计分析。

通过蒙特卡罗方法，我们可以得到数值和概率分布的估计结果，并对结果的可靠性进行评估。

马尔可夫链蒙特卡罗方法1. 简介马尔可夫链蒙特卡罗方法（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）是一种基于马尔可夫链的随机模拟方法，用于解决概率统计中的问题。

它通过从一个马尔可夫链中采样来估计目标分布的性质，是一种重要的数值计算工具。

在许多实际问题中，我们希望从某个复杂的分布中采样，但由于该分布不易直接抽样，或者其概率密度函数无法明确表达，因此需要借助MCMC方法来进行近似采样。

MCMC方法基于马尔可夫链的性质，通过在状态空间中进行随机游走，并根据转移概率进行状态转移，最终收敛到目标分布。

这种随机游走能够在整个状态空间内探索，并通过长时间运行而收敛到平稳分布。

2. 马尔可夫链马尔可夫链是一种离散时间随机过程，在给定当前状态下，未来状态只依赖于当前状态而不依赖于过去状态。

换句话说，它满足无后效性。

马尔可夫链由状态空间和转移概率组成。

状态空间是所有可能的状态的集合，转移概率描述了从一个状态到另一个状态的概率。

马尔可夫链可以用矩阵形式表示，称为转移矩阵。

转移矩阵的元素表示从一个状态到另一个状态的概率。

3. 蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法是一种基于随机采样的数值计算方法，通过大量重复实验来估计目标分布或计算某个数学期望。

蒙特卡罗方法基于大数定律，当样本数量足够大时，样本均值将收敛于真实值。

它不需要对目标分布进行任何假设，适用于各种问题。

蒙特卡罗方法在统计学、物理学、金融学等领域有广泛应用。

它可以用于求解高维积分、模拟随机过程、优化问题等。

4. 马尔可夫链蒙特卡罗方法马尔可夫链蒙特卡罗方法结合了马尔可夫链和蒙特卡罗方法的优点，用于从复杂分布中进行采样和估计。

马尔可夫链蒙特卡罗方法的基本思想是构建一个满足某个平稳分布的马尔可夫链，通过从该马尔可夫链中采样来近似得到目标分布。

具体步骤如下：1.选择一个初始状态。

2.根据转移概率进行状态转移，得到下一个状态。

3.重复上述步骤，直到达到一定的采样次数或满足收敛条件。

蒙特卡罗方法及应用蒙特卡罗方法是一种基于概率统计的数值计算方法，它在许多实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍如何在没有明确思路的情况下，使用蒙特卡罗方法来解决实际问题，并概述其基本原理、实现步骤、优缺点及应用实例。

当遇到一些复杂的问题，比如在无法列出方程求解的数学问题，或者在需要大量计算的概率统计问题中，我们可能会感到无从下手。

此时，蒙特卡罗方法提供了一种有效的解决方案。

通过使用随机数和概率模型，我们可以对问题进行模拟，并从模拟结果中得出结论。

蒙特卡罗方法的基本原理是利用随机数生成器，产生一组符合特定概率分布的随机数，然后通过这组随机数对问题进行模拟。

具体实现步骤包括：首先，确定问题的概率模型；其次，使用随机数生成器生成一组随机数；然后，通过模拟大量可能情况，得到问题的近似解；最后，对模拟结果进行统计分析，得出结论。

蒙特卡罗方法的优点在于，它可以在一定程度上解决难以列出方程的问题，提供一种可行的计算方法。

此外，蒙特卡罗方法可以处理多维度的问题，并且可以给出近似解，具有一定的鲁棒性。

然而，蒙特卡罗方法也存在一些缺点，比如模拟次数过多可能会导致计算效率低下，而且有时难以确定问题的概率模型。

蒙特卡罗方法在概率领域有广泛的应用，比如在期权定价、估计数学期望、计算积分等领域。

以估计数学期望为例，我们可以通过蒙特卡罗方法生成一组符合特定概率分布的随机数，并计算这些随机数的平均值来估计数学期望。

总之，蒙特卡罗方法为我们提供了一种有效的数值计算方法，可以在没有明确思路的情况下解决许多实际问题。

通过了解蒙特卡罗方法的基本原理、实现步骤、优缺点及应用实例，我们可以更好地理解并应用这种方法。

在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的概率模型和随机数生成器，以得到更精确的结果。

我们也需要注意蒙特卡罗方法的局限性，例如在处理高维度问题时可能会出现计算效率低下的问题。

针对这些问题，我们可以尝试使用一些优化技巧或者和其他计算方法结合使用，以提高计算效率。

蒙特卡罗方法及应用实验讲义东华理工大学核工系2016.8实验一 蒙特卡罗方法基本思想一、实验目的1、了解蒙特卡罗方法方法的基本思想；2、掌握蒙特卡罗方法计算面积、体积的方法；3、掌握由已知分布的随机抽样方法。

二、实验原理Monte Carlo 方法，又称统计模拟方法或计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”进行数值模拟的方法，一种采用统计抽样理论近似求解物理或数学问题的方法。

如待求量可以表述成某些特征量的期望值、某些事件出现的概率或两者的函数形式，那么可采用蒙特卡罗方法求解。

在求解某些特征量的期望值或某些事件出现的概率时，必须构建合符实际的数学模型。

例如采用蒙特卡罗方法计算某函数所围面积时，构建的数学模型是构造一已知面积的可均匀抽样区域，在该区域投点，由伯努利定理大数定理可知，进入待求区域投点的频率依概率1收敛于该事件出现的概率（面积之比）。

由已知分布的随机抽样方法指的是由已知分布的总体中抽取简单子样。

具体方法很多，详见教材第三章。

三、实验内容1、安装所需计算工具（MATLAB 、fortran 、C++等）；2、学习使用rand(m,n)、unifrnd(a,b,m,n)函数3、求解下列问题：3.0、蒲丰氏投针求圆周率。

3.1、给定曲线y =2 – x 2 和曲线y 3 = x 2，曲线的交点为：P 1( – 1，1 )、P 2( 1，1 )。

曲线围成平面有限区域，用蒙特卡罗方法计算区域面积；3.2、计算1z z ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩所围体积其中{(,,)|11,11,02}x y z x y z Ω=-≤≤-≤≤≤≤。

4、对以下已知分布进行随机抽样：4.1、()()[]23321,0,12f x x x x =+-∈； 4.2、()()()[]11,1,21E f x f x x E k E =⋅∈+ 其中()()()()()2123221111211411ln 212221E x f x E x x x x E k E E E E E ⎧+-⎛⎫=+-+⎪ ⎪⋅⎝⎭⎪⎨+⎡⎤⎪=-⋅+++-⎢⎥⎪+⎣⎦⎩。

蒙特卡罗方法及其应用蒙特卡罗方法是一种通过重复随机抽样来求解问题的方法。

它的名字来源于摩纳哥蒙特卡罗市的赌场，因为在赌场中，需要通过大量的随机试验来估计赌徒的胜率。

蒙特卡罗方法的基本思想是，通过生成大量的随机样本，使用统计学方法对样本进行分析，从而得到问题的近似解。

它主要包括以下几个步骤：1. 定义问题：明确需要求解的问题，确定问题的数学表达式或模型。

2. 生成随机样本：根据问题的特点，设计合适的随机抽样方法，生成符合问题要求的随机样本。

3. 计算统计量：基于生成的随机样本，计算问题的统计量，如均值、方差、概率等。

4. 利用统计量估计问题答案：通过统计量的分析，对问题的答案进行估计。

5. 改进和迭代：根据问题的性质和要求，不断改进和优化模型，重新生成随机样本，再次计算统计量和估计问题答案。

蒙特卡罗方法在很多领域和问题中都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 数值积分：蒙特卡罗方法可以通过对随机样本的抽样，估计积分的值。

当被积函数无法求解复杂或高维的积分时，蒙特卡罗方法是一种有效的数值积分方法。

它在金融计算、物理模拟和图像处理等领域有广泛的应用。

2. 概率和统计：蒙特卡罗方法可以用来估计复杂的概率分布，通过对随机样本的抽样来逼近真实分布。

它在金融风险评估、信号处理和信道建模等领域中被广泛应用。

3. 优化问题：蒙特卡罗方法可以用来求解优化问题，通过随机抽样和模拟实验来搜索最优解。

例如，在机器学习中，可以使用蒙特卡罗方法来求解最优化策略或参数。

4. 随机模拟：蒙特卡罗方法可以用来模拟复杂的系统和过程，通过对随机变量的抽样来模拟系统的行为。

例如，在物理学中，可以使用蒙特卡罗方法来模拟粒子的运动轨迹；在经济学中，可以使用蒙特卡罗方法来模拟市场走势。

蒙特卡罗方法有许多优点，例如它可以处理复杂的问题，对于缺乏解析解的情况非常适用。

它还可以通过增加样本量来提高精确度，对于大规模问题有较好的可扩展性。

然而，蒙特卡罗方法也存在一些问题和局限性，例如对于高维问题，随机抽样通常需要大量的样本才能获得较好的结果；同时，蒙特卡罗方法的计算速度较慢，对于实时性要求较高的问题可能不适用。

蒙特卡罗模拟的原理和应用1. 蒙特卡罗模拟的概念蒙特卡罗模拟是一种使用随机数和概率统计方法来解决具有随机性问题的模拟方法。

它是通过在一定范围内生成随机数，然后根据概率统计来模拟和计算某种情况发生的可能性。

2. 蒙特卡罗模拟的原理蒙特卡罗模拟的原理基于随机数的生成和概率统计的原理。

它通过生成大量的随机数，然后根据某种概率统计来计算模拟结果。

其基本步骤如下： - 设定问题的数学模型 - 生成随机数 - 根据随机数和概率统计计算模拟结果 - 重复上述步骤多次，计算模拟结果的平均值或概率分布3. 蒙特卡罗模拟的应用蒙特卡罗模拟在各个领域都有广泛的应用，下面列举了几个常见的应用场景：3.1 蒙特卡罗模拟在金融领域的应用•金融风险评估：通过蒙特卡罗模拟，可以模拟不同投资组合的风险和回报，帮助投资者评估风险并做出决策。

•期权定价：蒙特卡罗模拟可以用来计算期权的合理价格，根据大量模拟结果计算期望收益或期望损失。

3.2 蒙特卡罗模拟在工程领域的应用•结构设计：通过蒙特卡罗模拟可以对结构的安全性进行评估，模拟不同参数下的结构响应，并根据概率统计计算结构的可靠性。

•制造过程优化：蒙特卡罗模拟可以根据制造参数和随机变量的分布，模拟不同制造过程的结果，并优化制造参数以提高产品质量。

3.3 蒙特卡罗模拟在医学领域的应用•生物统计学分析：蒙特卡罗模拟可以用来模拟不同的实验结果，根据实验数据和概率统计计算结果的可靠性。

•临床试验设计：通过蒙特卡罗模拟可以模拟不同的临床试验方案，评估试验效果和样本量大小。

4. 蒙特卡罗模拟的优缺点4.1 优点•可以模拟复杂的问题，不受问题的数学形式限制。

•可以处理概率和随机性问题，提供定量的结果。

•可以通过增加模拟次数提高结果的准确性。

4.2 缺点•需要大量的计算资源和时间。

•模拟结果的准确性受到模拟次数的影响，需要进行准确的收敛判断。

•对于复杂问题，难以确定合适的概率分布。

5. 总结蒙特卡罗模拟是一种基于随机数和概率统计的模拟方法，通过生成大量的随机数并根据概率分布计算模拟结果。

⼀⽂详解蒙特卡洛（MonteCarlo）法及其应⽤概述蒙特卡罗⽅法是⼀种计算⽅法。

原理是通过⼤量随机样本，去了解⼀个系统，进⽽得到所要计算的值。

它⾮常强⼤和灵活，⼜相当简单易懂，很容易实现。

对于许多问题来说，它往往是最简单的计算⽅法，有时甚⾄是唯⼀可⾏的⽅法。

它诞⽣于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。

π的计算第⼀个例⼦是，如何⽤蒙特卡罗⽅法计算圆周率π。

正⽅形内部有⼀个相切的圆，它们的⾯积之⽐是π/4。

现在，在这个正⽅形内部，随机产⽣10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中⼼点的距离，从⽽判断是否落在圆的内部。

如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的π/4，因此将这个⽐值乘以4，就是π的值。

通过R语⾔脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。

⽆意识统计学家法则（Law of the unconscious statistician）这是本⽂后续会⽤到的⼀个定理。

作为⼀个预备知识，我们⾸先来介绍⼀下它。

先来看⼀下维基百科上给出的解释。

In probability theory and statistics, the law of the unconscious statistician (sometimes abbreviated LOTUS) is a theorem used to calculate the 期望值 of a function of a 随机变量 when one knows the probability distribution of but one does not explicitly know the distribution of . The form of the law can depend on the form in which one states the probability distribution of the 随机变量 .If it is a discrete distribution and one knows its PMF function (but not ), then the 期望值 of iswhere the sum is over all possible values of .If it is a continuous distribution and one knows its PDF function (but not ), then the 期望值 of isLOTUS到底表达了⼀件什么事呢？它的意思是：已知随机变量的概率分布，但不知道的分布，此时⽤LOTUS公式能计算出函数的数学期望。

蒙特卡罗方法Monte Carlo method 蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术,是一种随机模拟方法,以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法,是使用随机数或更常见的伪随机数来解决很多计算问题的方法;将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用电子计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解;为象征性地表明这一方法的概率统计特征,故借用赌城蒙特卡罗命名;蒙特卡罗方法的提出蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S．M．乌拉姆和J．冯·诺伊曼首先提出;数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩;在这之前,蒙特卡罗方法就已经存在;1777年,法国Buffon提出用投针实验的方法求圆周率∏;这被认为是蒙特卡罗方法的起源;蒙特卡罗方法的基本思想Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用;早在17世纪,人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”;19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π;本世纪40年代电子计算机的出现,特别是近年来高速电子计算机的出现,使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能;考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”,如何求出这个“图形”的面积呢Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点,有M个点落于“图形”内,则该“图形”的面积近似为M/N;可用民意测验来作一个不严格的比喻;民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见,而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者;其基本思想是一样的;科技计算中的问题比这要复杂得多;比如金融衍生产品期权、期货、掉期等的定价及交易风险估算,问题的维数即变量的个数可能高达数百甚至数千;对这类问题,难度随维数的增加呈指数增长,这就是所谓的“维数的灾难”Curse of Dimensionality,传统的数值方法难以对付即使使用速度最快的计算机;Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难,因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数;以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量;为提高方法的效率,科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧;另一类形式与Monte Carlo方法相似,但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”Quasi－Monte Carlo方法—近年来也获得迅速发展;我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例;这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列数学上称为Low Discrepancy Sequences代替Monte Carlo方法中的随机数序列;对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍,并可计算精确度;蒙特卡罗方法的基本原理由概率定义知,某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算,当样本容量足够大时,可以认为该事件的发生频率即为其概率;因此,可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样,然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式,确定结构是否失效,最后从中求得结构的失效概率;蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的;设有统计独立的随机变量Xii＝1,2,3,…,k,其对应的概率密度函数分别为fx1,fx2,…,fxk,功能函数式为Z＝gx1,x2,…,xk;首先根据各随机变量的相应分布,产生N组随机数x1,x2,…,xk值,计算功能函数值 Zi＝gx1,x2,…,xki＝1,2,…,N,若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0,则当N→∞时,根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率,可靠指标;从蒙特卡罗方法的思路可看出,该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难,不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态,只要模拟的次数足够多,就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标;特别在岩土体分析中,变异系数往往较大,与JC法计算的可靠指标相比,结果更为精确,并且由于思路简单易于编制程序;蒙特卡罗方法在数学中的应用通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题;对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题,蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法;一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分;蒙特卡罗方法的应用领域蒙特卡罗方法在金融工程学,宏观经济学,生物医学,计算物理学如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算等领域应用广泛;蒙特卡罗方法的工作过程在解决实际问题的时候应用蒙特·卡罗方法主要有两部分工作：1．用蒙特·卡罗方法模拟某一过程时,需要产生各种概率分布的随机变量;2．用统计方法把模型的数字特征估计出来,从而得到实际问题的数值解;蒙特卡罗方法分子模拟计算的步骤使用蒙特·卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：1．使用随机数发生器产生一个随机的分子构型;2．对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变,产生一个新的分子构型;3．计算新的分子构型的能量;4．比较新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化,判断是否接受该构型;·若新的分子构型能量低于原分子构型的能量,则接受新的构型,使用这个构型重复再做下一次迭代;·若新的分子构型能量高于原分子构型的能量,则计算玻尔兹曼因子,并产生一个随机数;若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子,则放弃这个构型,重新计算;若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子,则接受这个构型,使用这个构型重复再做下一次迭代;5．如此进行迭代计算,直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束;蒙特卡罗模型的发展运用从理论上来说,蒙特卡罗方法需要大量的实验;实验次数越多,所得到的结果才越精确;以上Buffon的投针实验为例、历史上的记录如下表1;从表中数据可以看到,一直到公元20世纪初期,尽管实验次数数以千计,利用蒙特卡罗方法所得到的圆周率∏值,还是达不到公元5世纪祖冲之的推算精度;这可能是传统蒙特卡罗方法长期得不到推广的主要原因;计算机技术的发展,使得蒙特卡罗方法在最近10年得到快速的普及;现代的蒙特卡罗方法,已经不必亲自动手做实验,而是借助计算机的高速运转能力,使得原本费时费力的实验过程,变成了快速和轻而易举的事情;它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题,也被项目管理人员经常使用;借助计算机技术,蒙特卡罗方法实现了两大优点：一是简单,省却了繁复的数学报导和演算过程,使得一般人也能够理解和掌握；二是快速;简单和快速,是蒙特卡罗方法在现代项目管理中获得应用的技术基础;蒙特卡罗方法有很强的适应性,问题的几何形状的复杂性对它的影响不大;该方法的收敛性是指概率意义下的收敛,因此问题维数的增加不会影响它的收敛速度,而且存贮单元也很省,这些是用该方法处理大型复杂问题时的优势;因此,随着电子计算机的发展和科学技术问题的日趋复杂,蒙特卡罗方法的应用也越来越广泛;它不仅较好地解决了多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题,而且在统计物理、核物理、真空技术、系统科学、信息科学、公用事业、地质、医学,可靠性及计算机科学等广泛的领域都得到成功的应用;项目管理中蒙特卡罗模拟方法的一般步骤项目管理中蒙特卡罗模拟方法的一般步骤是：1、对每一项活动,输入最小、最大和最可能估计数据,并为其选择一种合适的先验分布模型；2、计算机根据上述输入,利用给定的某种规则,快速实施充分大量的随机抽样；3、对随机抽样的数据进行必要的数学计算,求出结果；4、对求出的结果进行统计学处理,求出最小值、最大值以及数学期望值和单位标准偏差；5、根据求出的统计学处理数据,让计算机自动生成概率分布曲线和累积概率曲线通常是基于正态分布的概率累积S曲线；6、依据累积概率曲线进行项目风险分析;非权重蒙特卡罗积分非权重蒙特卡罗积分,也称确定性抽样,是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样,然后对被抽样点的函数值求平均,从而可以得到函数积分的近似值;此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理;当抽样点数为m时,使用此种方法所得近似解的统计误差恒为 1除于根号M,不随积分维数的改变而改变;因此当积分维度较高时,蒙特卡罗方法相对于其他数值解法更优;蒙特卡罗方法案例分析案例一：蒙特卡罗模型在投资项目决策中的开发应用1一、问题的提出随着社会主义市场经济体制的逐步完善、经济水平的逐步提高,我国社会经济活动日趋复杂,越来越多变,其影响越来越广泛,越来越深远,不确定性逐渐成为企业决策时所面临的主要难题;因此,如何在不确定条件下做出投资决策,就成为目前理论和实践工作者们广泛关注的一个核心课题;传统的投资评价理论——以净现值法NPV为代表的投资决策分析方法,其根本缺陷在于它们是事先对未来的现金流量做出估计,并假设其为不变或静态的状况,无法衡量不确定因素的影响,不能体现递延决策以应对所带来的管理弹性;所以,在不确定环境下的投资,用净现值法评估项目不能体现柔性投资安排决策所体现的价值,无助于项目在决策中回避风险;在多变的市场环境中,不确定性与竞争者的反应使实际收入与预期收入有所出入,所以净现值法NPV适用于常规项目,未来不确定性比较小的项目;为此理论界对未来投资环境不确定性大的项目提出了实物期权法,但在实践中应用的还是比较少;实物期权法的应用对企业决策者的综合素质要求比较高,对企业资源能力要求也比较高;但是实物期权法改变了我国管理者对战略投资的思维方式;基于以上的分析,我们得出这样的结论：传统的投资决策方法对风险项目和不确定性项目的评价有较多不完善之处,有必要对其改进；实物期权法理论上解决了传统决策方法对不确定性项目评价的不足,但其应用尚处于体系不成熟阶段,在实践中应用并不广泛;至此,引入蒙特卡罗模型的理论和其分析方法,此方法特别适用于参数波动性大,且服从某一概率分布的项目,例如地质勘察、气田开发等项目;蒙特卡罗模型是利用计算机进行数值计算的一类特殊风格的方法,它是把某一现实或抽象系统的某种特征或部分状态,用模拟模型的系统来代替或模仿,使所求问题的解正好是模拟模型的参数或特征量,再通过统计实验,求出模型参数或特征量的估计值,得出所求问题的近似解;目前评价不确定和风险项目多用敏感性分析和概率分析,但计算上较为复杂,尤其各因素变化可能出现概率的确定比较困难;蒙特卡罗模型解决了这方面的问题,各种因素出现的概率全部由软件自动给出,通过多次模拟,得出项目是否应该投资;该方法应用面广,适应性强;惠斯通Weston对美国1 000 家大公司所作的统计表明：在公司管理决策中,采用随机模拟方法的频率占29 % 以上,远大于其他数学方法的使用频率;特别,该方法算法简单,但计算量大,在模拟实际问题时,要求所建模型必须反复验证,这就离不开计算机技术的帮助,自然可利用任何一门高级语言来实现这种方法;通过一案例具体实现了基于Excel 的Monte Carlo 模拟系统,由于Microsof tExcel 电子表格软件强大的数据分析功能和友好的界面设计能力,使系统实现起来颇感轻松自如;二、理论和方法蒙特卡洛模拟早在四十年前就用于求解核物理方面的问题;当管理问题更为复杂时,传统的数学方法就难以进行了;模拟是将一个真实事物模型化,然后对该模型做各种实验,模拟也是一个通过实验和纠正误差来寻求最佳选择的数值性求解的过程;模拟作为一种有效的数值处理方法,计算量大;以前只是停留在理论探讨上,手工是无法完成的;在管理领域由于规律复杂随机因素多,很多问题难以用线性数学公式分析和解决,用模拟则有效得多;在新式的计算机普及后,用模拟技术来求解管理问题已成为可能;计算机模拟技术和其它方法相比有以下优点：1成本低、风险小,在产品未投产,实际生产未形成就可以对市场进行分析模拟,极大地减少费用和风险;2环境条件要求低,工作人员不需要高深的数学能力,完全依靠计算机进行,在硬件和软件日益降价的情况下,可以成为现实;3可信度高,常用的统计推理方法需要大量历史数据如平均数法、最小二乘法,对无历史资料的场合就无能为力如新产品,而且精度低;模拟的最大特点是借助一个随机数来模仿真实的现实,随机数的产生则由计算机来产生;称为伪随机数;即：Rn ＝ F r － 1 , r － 2 ,……r － k在以对象为中心的软件中, EXCEL 有一个RANE函数实现伪随机数功能;RANE实际上是一个会自动产生伪随机数的子程序;用产生的伪随机数模拟市场购买行为,得出产品销售量,在生产成本相对固定时进而推测出产品的利润;此方法不用编制复杂的程序,思路假设为,作为系统内部是可以控制的,即企业内部生产成本可以人为控制,但系统外部因素是不可控制的消费心理导致的消费行为,则生产与销售就会产生矛盾;生产量小于销售量,造成开工不足资源浪费；生产量大于销售量,造成产品积压,资金占用,同样形成资源的浪费;最好生产量等于销售量,则资源浪费最小,自然经济效益就最高,实际就是利润最大化;如果能科学地测算出在什么情况下利润最大,则这时的产量就是最佳产量,成本也就最低;这就是市场作为导向,以销定产的公认市场经济的准则;实际工作中,很多产品的消费是具有随机性的,主要是一些需求弹性大、价格弹性大、价格低、与日常生活有关的中、小商品,如副食品、日用消费品、玩具、轻工业产品;对企业而言利润较高的产品;从以上分析可以看出,蒙特卡洛模拟可以动态实现对产品利润的预测,从而对产品产量科学控制,实现资源优化,是一种较好的决策支持方法;三、蒙特卡罗模型在Excel 表中的应用某气田投资项目期投资、寿命期、残值以及各年的收入、支出,以及应付税金的税率、项目的资本成本等都是独立的随机变量,他们的概率密度函数如表1所示;表各变量对应概率密度函数表本案例用windowsXP 中的Excel2003 对该项目进行模拟如下：1在A32 单元格投资Yo 模拟：随机数输入：＝ RANDBETWEEN 0 ,99；在B32 单元格投资Yo模拟：投资输入：＝ VLOO KUP A32 , $C $3 ： $D$5 ,2；2在C32 单元格寿命N 模拟：随机数输入：＝RANDBETWEEN 0 ,99；在D32 单元格寿命N 模拟：寿命输入：＝ VLOO KUP C32 , $C $6 ： $D$8 ,2；3 E32 ,G32 , I32 , K32 ,M32 单元格分别输入：＝RANDBETWEEN 0 , 99； F32 ＝ VLOOPUP E32 ,$C $9 ： $D $11 , 2, H32 ＝ VLOOPUP G32 , $C$12 ： $D $14 ,2,J 32 ＝ VLOO KUP I32 , $C $15 ：$D $18 ,2,L32 ＝ VLOO KUP K32 , $C $19 ： $D$22 ,2,N32 ＝ VLOO KUPM32 , $C $23 ： $D $27 ,24 O32 ＝B32 － F32 / D32 , P32 ＝J 32 － L32 －O32 3 1 － H32/ 100＋ O32 ,Q32 ＝ PV N32/ 100 ,D32 ,－ P32－ B32 ；5 H3 ＝ AVERA GE Q32 , Q5031 , H4 ＝STDEV Q32 ,Q5031,H5 ＝ MAX Q32 , Q5031 , H6 ＝ MIN Q32 ,Q5031,H7 ＝ H4/ H3 ,H8 ＝ COUN TIF Q32 ：Q5031 ,“ < 0” / COUN TQ32 ,Q5031;在Excel 工具表中模拟5000次,结果输出见下表：表结果输出表1表结果输出表2表结果输出表3所得结果如下：表净现值模拟计算结果表表净现值概率分布统计表从分析结果得出,虽然此项目未来的不确定性很大,但由图可知,此气田开发项目服从正态分布,模拟5 000次的结果是净现值为负的概率为零,并且项目的期望净现值为952113 万元,说明项目值得开发;由以上的案例分析可知,基于蒙特卡罗模拟的风险分析,对于工程实际应用具有较强的参考价值;随机模拟5 000 次,如果仅靠人的大脑进行计算,这在现实世界中是不可能的,但考虑到系统决策支持功能,算法设计为由使用者自己设计方案,采用人机交互,这样可以发挥使用者的经验判断；系统实现模拟运算——系统对每一个设定的投资项目期投资、寿命期、残值以及各年的收入、支出,以及应付税金的税率、项目的资本成本等随机变量及他们的概率密度函数,通过蒙特卡罗模拟方法,得出了项目在不同概率发生的情况下净现值模拟计算结果;为人们解决不确定性项目的决策提供了简单的方法,节约了人们的工作量和时间;但是利用蒙特卡罗模型分析问题时,收集数据是非常关键的;。

蒙特卡罗方法及其应用蒙特卡罗方法是20世纪40年代提出的一种统计模拟方法，以蒙特卡罗赌城命名，因为那里以随机性闻名。

蒙特卡罗方法通过生成大量的随机样本，以此来解决问题。

它在数学、物理、工程、金融、计算机科学等领域有广泛的应用。

本文将介绍蒙特卡罗方法的基本原理、常见应用及优缺点。

1.定义问题的概率模型：将问题转化为概率模型，并定义相应的概率分布。

2.生成随机样本：利用随机数生成器生成符合概率分布的随机样本。

3.计算样本的函数值：将随机样本代入待求的函数，计算其函数值。

4.结果统计分析：利用大量的随机样本进行统计分析，得到问题的数值近似解。

1.数值积分：蒙特卡罗方法可以用来计算复杂的多维积分。

通过生成随机的样本点，并计算函数值，然后求取其均值，即可得到近似的积分值。

2.概率统计：蒙特卡罗方法可以用来估计随机事件的概率。

例如，可以通过生成大量的随机样本，计算事件发生的次数与总样本数的比值，得到近似概率估计。

3. 金融风险评估：蒙特卡罗方法可以用来评估金融产品的风险。

通过模拟资产价格的随机波动，计算投资组合的价值分布，以及不同市场条件下的风险指标，如价值-at-risk（VaR）等。

4.优化问题：蒙特卡罗方法可以用来解决优化问题。

例如，通过生成随机的样本点，并计算目标函数值，然后根据样本的统计信息，寻找最优解。

5.物理模拟：蒙特卡罗方法可以用来模拟物理过程，如粒子传输、能量传递等。

通过生成大量的随机样本，模拟微观过程的随机行为，可以得到宏观行为的统计结果。

1.灵活性：蒙特卡罗方法适用于各种复杂问题，无论问题的维度和复杂程度如何，都可以通过增加样本的数量来提高精度。

2.可并行计算：蒙特卡罗方法的运算过程可以并行计算，可以利用并行计算的优势提高计算效率。

3.建模简单：蒙特卡罗方法不需要对问题建立具体的数学模型，只需要定义问题的概率分布，较容易实现。

然而，蒙特卡罗方法也有一些缺点：1.计算效率低：蒙特卡罗方法通常需要生成大量的样本点，计算过程较为耗时，对于复杂问题可能需要很长的计算时间。

蒙特卡罗方法蒙特卡罗（Monte-Carlo ,简写为M-C ）方法属于计算数学的一个分支， 它是在二十世纪四十年代中期 为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的， 但它与一般计算方法有很大区别， 一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难， 而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。

因而蒙特卡罗方法在近十年来发展很快，特别是随着快速电子计算机的发展，蒙特卡罗方法得到了迅速发展与广泛应用。

蒙特卡罗方法也称随机抽样技术（Random Sampling Technique ）或统计试验方法（Method ofStatistical Test ）。

蒙特卡罗是欧洲摩纳哥国的一个重要城市， 以赌博著称。

蒙特卡罗方法是以概率论与数理统计学为基础的，是通过统计试验达到计算某个量的目的。

而赌博时，概率论是一种有力的手段。

所以，以蒙特 卡罗作为方法的名字，原因大概于此。

由于蒙特卡罗方法是利用一连串的随机数来求解问题的，因此求解随机过程，放射性衰变和布朗运动等问题，它是很有效的。

它除了在原子能工业广泛应用外，在物理、化学、地质、石油、线性规划、 计算机研制、计算机模拟试验、解决多体问题等领域中都有不同程度上的应用。

第一节. 蒙持卡罗方法的基本思想、特点及其局限性一、 蒙特卡罗方法的基本思想用下述三个例子，说明蒙特卡罗方法的基本思想。

例1产品合格率的计算 某工厂生产一批产品，其合格率表示是：为了确定合格率，应该检查这批产品的全部，确定其中合格的数目。

但是，由于产品数量多，检查全部 产品花费的代价大。

因此，通常采取抽取部分产品，在这部分产品中确定其合格的数目。

然后用这部分 产品的合格率F （部分产品合格率） 1 - ■ ™N （部分产品的总数）来代替所要计算的合格率 P 。

例如，检查某批产品，当被检查的产品长度介于 13. 60cm —13. 90cm 内时，则认为是合格的，否则是次品。

分别抽取5件，10件，60件，150件，600件，900件，1200件,1800件来检查，其情况如下表和图 20所示。