理论力学课件 接上,,加刚体平面运动动力学方程

正常转动，赝张量的变换多出一个负号。
对于张量，可定义如下运算：
1）相等。
设A和B为两个同阶张量，如果它们的所有分量相等，
即
A ... B ... ，则称它们相等，记为A = B.
2）加法。
两个同阶张量A和B的和定义为 C ...＝A ...＋B ... 它仍为一个张量，记为 C＝A＋B

L
a

L
a AL L )(a L
a L
a

B L
L

)

a L aa L a AL L BL L (a a )
a L aa L a ( AL L BL L )
nr nr nr nr
1）转动前： rr 2）转动nr 后：rr nr rr
3）再rr 转动nr rrnr后nr：rr nr rr
不计二阶微量，则有
rr rr nr rr nrrr
交换转动次序，则有
rr rr nrrr nr rr 已知对线位移，有 rr rr rr rr 可得 nr rr nrrr nrrr nr rr
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 欧勒角 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
§3.7 刚体的平面平行运动 §3.8 刚体绕固定点的运动 §3.9 重刚体绕固定点转动的解 §3.10 拉莫尔进动
§3.1 刚体运动的分析
1. 描写刚体位置的独立变量
将两个矢量Av和Bv按顺序并在一起，不作任何运算
得到的量称为并矢，记为
vv AB

A
B ev ev

2024年3月15日
1. 轮C作平面运动，
C1为其速度瞬心，C。
2. BD作平面运动，
C2为其速度瞬心，BD。
3. AB作平面运动，
C3为其速度瞬心，AB。
43
平面图形在任一瞬时的运动可以 视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬 心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若点C 为速度瞬心，则任意一点A的速
度大小为 vA AC ω 方向A C，指
16
车轮的运动分解
车轮的平面运动可以看成 是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成．
车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
2024年3月15日
17
2024年3月15日
18
转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
aB cos 300 aBnA
式中
aBnA
AB
2 AB
15 3 ( 2 )2 20 3 2cm/s2
3
3
aB aBnA / cos 300
40 2cm/s2
3
aB 8 2cm/s2
R9
2024年3月15日
64
例2. 已知 : OA = r AB = l、ω
求: vc、ac 解： 各联接点速度如图.
将 vB vA vBA 在AB连线上投影
vBA AB
有 [vB ]AB [vA ]AB
基点法投影式.
或 vB cos vA cos
2024年3月15日
53
结 论：S上任意两点的速度在这两点
连线上投影相等. 意 义：刚体上两点距离不变. 注 意：仅在两点连线上成立.

刚体运动的基本方程
我们可以利用牛顿运动定律和刚体平衡的条件，推导出描述刚体运动的基本 方程。
刚体的旋转运动
刚体的旋转运动大小和方向都与作用力矩有关。通过研究刚体的转动定律，我们可以了解刚体的旋转运 动规律。
刚体的转动惯量
刚体的转动惯量是衡量刚体对旋转运动的惯性大小的物理量。它与刚体的质 量分布和轴线的位置有关。
理论力学经典课件-第四 章 刚体的平面运动
在这一章中，我们将对刚体的平面运动进行详细的介绍。内容包括刚体的定 义和特性、平面运动概述、自由度、基本方程以及旋转运动。让我们一起探 索刚体运动的奥秘！
刚体的定义和特性
刚体是指在运动或静止过程中形状不变的物体。它具有固定的质量和几何形状，不受外力的影响而发生 形变。刚体的特性使得我们能够研究它们的平面运动。
பைடு நூலகம்
刚体的平动与转动的动力学方 程
刚体同时进行平动和转动时，动力学方程描述了刚体受力和受力矩的关系， 以及刚体的运动状态。
刚体的平面运动概述
1
平动
刚体在平面内做直线运动，所有点的速度矢量相等。
2
转动
刚体绕固定轴进行旋转运动，相对于轴线各点的运动速度不同。
3
平动与转动的组合
刚体可以同时进行平动和转动，例如滚动。
刚体的自由度
平动自由度
在平面上，刚体有3个平动自由度，可以在x 轴、y轴和绕z轴的转动自由度。
转动自由度
刚体有3个转动自由度，分别对应绕x轴、y 轴和z轴的转动。

O 45º
90º O1
wAB
vA AC
2lw
3 2l
2w
3
2
vB BC wAB lw
vD DC wAB
5 lw
2
例7 直杆AB与圆柱O相切于D点， 杆的A端以 vA 60 cm s 匀速向前滑 B
w AB C2
动，圆柱半径 r 10cm ，圆柱与地
面、圆柱与直杆之间均无滑动，如 图，求 60时圆柱的角速度。
2 3l
3
连杆BC作平面运动，瞬心在C2点，则
wBC
vB BC2
3rw
3l
vC CC2 wBC
3rw
3
vA
wA
O 30º
D 30º
C1
wAB
B
vB
C
vC
wBC
C2
例10 曲柄连杆机构中，在连杆AB上固连一块三角板ABD，如图
所示。机构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为w＝2rad/s，曲
柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1A⊥O1O2
因而垂直于图形S的任一条 直线A1A2必然作平动。 A1A2的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代。
A1
N
A
S
A2
M
刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。
9.1 刚体平面运动概述和运动分解
平面图形S在其平面上的位置完
y
全可由图形内任意线段O'M的位置来
确定，而要确定此线段的位置，只需
时，AB∥O1O2 ，且AD与AO1在同一直线上， =30º。试求三角板
ABD的角速度和点D的速度。

刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。

a
a2 t
an 2
R
2 4
tan at an 2
§6-４ 轮系的传动比
1. 齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线 沿轴线 滑动矢量
指向 右手螺旋定则
r
r
k
角加速度矢量
r
dr
d
r k
r
k
dt dt
2.绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度 v r 大小 rsin R v
方向 右手定则
加速度
ar dvr d r rr
ddtr
dt
rr
r dvB dt
r dvA dt
r aA
§6-2 刚体绕定轴的转动
1.定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚 体绕定轴转动，简称刚体的转动。
转轴 ：两点连线
转角： 单位:弧度(rad)
2.运动方程
f t
3.角速度和角加速度
角速度
d
dt
大小：ddt
方向：逆时针为正
角加速度
d
dt
d2
dt 2
& &&
匀速转动 匀变速转动
d 0
dt
0 t
d cont
dt

评估控制系统的性能。
鲁棒性分析
分析控制系统对参数变化和外部干扰的鲁棒 性表现。
05
刚体的平面运动的展望
刚体的平面运动的发展趋势
理论研究的深入
随着数学和物理学理论的不断发展，人们对刚体的平面运动的理 解将更加深入，这有助于推动相关领域的研究和应用。
航空航天领域
在航空航天领域，刚体的平面运动对于飞行器的姿态调整和机动性有着 至关重要的作用，未来随着空间探索的深入，其应用前景将更加广阔。
03
医疗器械
刚体的平面运动在医疗器械领域也有着广泛的应用，例如在手术机器人
中用于精确控制手术器械的动作，提高手术的精度和安全性。
刚体的平面运动的挑战与机遇
挑战
刚体的平面运动的研究和应用面临着 一些挑战，如精确控制、稳定性、复 杂环境下的适应性等问题，需要不断 探索和创新来解决。
自动化生产线
刚体的平面运动在自动化生产线中起到关键作用， 如传送带、机器人手臂等。
机械设备的维护和检修
刚体的平面运动在机械设备的维护和检修中也有应 用，如对机械设备进行定位和调整。
航空航天中的应用
飞机起降系统
刚体的平面运动在飞机起降系统中起 到关键作用，如飞机滑行、转向等。
航天器对接
航空航天器的制造和测试
刚体的平面运动的重要性
实际应用
刚体的平面运动在实际生活中广泛存 在，如机械设备的运作、车辆的行驶 等。
理论意义
刚体的平面运动是刚体运动的基础， 对于理解更复杂的刚体运动形式具有 重要意义。
刚体的平面运动的基本原理
平移原理
刚体在平面内沿直线进行平移时，其上任意一点都沿着该直线进行等距离的移 动。
旋转原理
详细描述
在实际的物理问题中，刚体往往不会只进行平动或转动，而是同时进行这两种运动。这种复杂的平面运动形式通 常包括椭圆运动、抛物线运动等。这种复杂的运动形式通常需要综合考虑平动和转动的共同作用，以确定刚体的 最终运动轨迹。

刚体的平面运动速度和加速度是描述 刚体在平面内运动的物理量，分别表 示刚体在单位时间内移动的距离和速 度的变化率。
刚体的平面运动速度和加速度对于分 析刚体的动力学特性和稳定性具有重 要意义。
刚体的平面运动速度和加速度可以通 过求解平面运动方程得到，也可以通 过测量或实验获得。
03
刚体的平面运动中的力与力矩
的转动惯量不同。
转动惯量的应用
在刚体的平面运动中，转动惯量 用于描述刚体的转动状态，是计 算角速度、角加速度等物理量的
基础。
04
刚体的平面运动的实例分析
滑轮的运动分析
滑轮的转动惯量
计算滑轮的转动惯量，了解其与刚体平面运动的关系。
滑轮的角速度和角加速度
分析滑轮的角速度和角加速度，理解刚体平面运动的动态特性。
4. 使用摄像机记录运动轨迹时，注意 调整拍摄角度和光线条件。
实验结果与数据分析
实验结果
通过摄像机记录的刚体运动轨迹，可以观察到刚体的平面运动规律。例如，当施加的外力矩恒定时，刚体会绕固 定点做圆周运动；当外力矩变化时，刚体的运动轨迹也会发生变化。
数据分析
根据实验结果，可以计算出刚体的运动轨迹方程、角速度、线速度等参数，并分析这些参数与外力矩之间的关系 。通过对比理论值与实验值，可以验证刚体平面运动的规律。同时，还可以分析实验误差产生的原因，提高实验 的精度和可靠性。
力对刚体平面运动的影响
力的定义
力是物体之间的相互作用，表示为矢量，具有大小和方向。
力的作用效果
力可以改变物体的运动状态，包括速度大小、方向和加速度大小 、方向。
力的分解与合成
力在平面内可以分解为水平和垂直两个分量，两个力等效于它们 的合力。
力矩对刚体平面运动的影响

刚体平动的实例分析
总结词
刚体平动的实例分析主要介绍了刚体在平面内沿某一方向做直线运动的情况，包 括匀速平动和加速平动。
详细描述
刚体平动的实例分析中，我们可以通过观察汽车在路面上行驶、火车在铁轨上飞 驰等实际现象，理解刚体平动的概念和特点。同时，通过分析匀速平动和加速平 动的动力学特征，可以深入了解刚体的平动运动规律。
03
刚体的平面运动的动力学
刚体的平动的动力学方程
平动的动力学方程：$F = ma$
描述刚体在平面内平动时的加速度和力之 间的关系。 适用于刚体在平面内直线运动或曲线运动 的情况。 考虑了刚体的质量对运动的影响。
刚体的定轴转动的动力学方程
定轴转动的动力学方程：$T = Ialpha$
描述刚体绕固定轴转动时的角加速度和力 矩之间的关系。 适用于分析刚体在平面内定轴转动的情况 。 考虑了刚体的转动惯量对运动的影响。
特点
刚体上任意一点的速度方 向都与该固定轴线平行， 且各点的速度大小相等。
应用
许多机械的运动可以简化 为刚体的定轴转动，如车
轮、电机转子等。
刚体的平面运动
定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动的运 动。
特点
刚体的运动轨迹是一个平面曲线，同时具 有平动和定轴转动的特征。
应用
许多复杂的机械运动可以简化为刚体的平 面运动，如曲柄连杆机构、凸轮机构等。
刚体的平面运动的运动学方程
平面运动定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动 。
运动学方程
解释
该方程描述了刚体在平面内既有平动 又有定轴转动的复杂运动，需要综合 考虑平动和定轴转动的运动学方程来 描述其运动轨迹。
需要将平动和定轴转动的运动学方程 结合起来，描述刚体在平面内的运动 轨迹。

一个球体在平面上做纯滚动，求其旋转角速度和运动轨迹。
THANKS
进行动力学分析
02
结合牛顿第二定律等动力学原理，对刚体在平面内的运动进行分析，得出速度、加速度等运动学参数。
刚体的平面运动定理的应用注意事项
03
需要充分理解刚体的平面运动定理，掌握其应用条件和限制，以确保分析的准确性和可靠性。
刚体的平面运动定理应用
04
刚体的平面运动问题解析
刚体的平面运动可以分为平移和纯滚动两种类型。
刚体的平面运动方程应用
将平面运动方程应用于实际问题中，解决刚体的平面运动问题。
刚体的平面运动问题
包括刚体的平动、转动、相对运动等问题，通过求解平面运动方程可以得到刚体的速度、加速度、角速度、角加速度等物理量。
03
刚体的平面运动定理
03
刚体的平面运动定理的应用场景
广泛应用于工程实际中，如机械、航空航天、船舶等领域。
平移是指刚体在平面内沿某一方向做等距移动，不发生旋转；纯滚动是指刚体与平面接触点处速度为零，刚体绕自身某一点做旋转运动。
刚体的平面运动问题还可以根据刚体的形状和运动条件进行分类，如定轴转动、定点转动等。
刚体的平面运动问题分类
通过建立刚体的平面运动方程，求解未知数，得到刚体的运动轨迹和运动参数。
解析法
刚体在平面内绕某一固定轴线作旋转运动，同时刚体的质心沿着与该轴线垂直的方向平移。
纯滚动
刚体在平面内沿着某一固定轴线作旋转运动，但质心不发生平移。
滑动
刚体的平面运动分类
在纯滚动中，刚体的质心相对于地面作平移运动，而刚体上任意一点相对于地面作圆周运动。
在滑动中，刚体的质心不发生平移，只发生绕固定轴线的旋转运动。