高考理科数学仿真试卷

2023届陕西省部分名校高三下学期高考仿真模拟理科数学试卷(word版)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 在等差数列中，，则的公差（）A．B．3C．D．4(★★★) 4. 若实数满足约束条件，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★) 5. 已知随机变量X的分布列为：m则（）A．2B．C．D．1(★★★) 6. 函数在区间上的图象大致是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★) 8. 已知直线是函数（）图象的一条对称轴，则在上的值域为（）A．B．C．D．(★★) 9. 等比数列的各项均为正数，且，则（）A．8B．6C．4D．3(★★★) 10. 设，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，平面内一点满足是等边三角形，线段与双曲线交于点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 12. 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，平面P AD⊥底面ABCD，，，，，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为（）A．26πB．27πC．28πD．29π二、填空题(★★) 13. 已知向量，，若，则 ______ .(★★) 14. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ______ cm.(★★) 15. 2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 ___________ 种.(★★★★) 16. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为 ______ ．三、解答题(★★★) 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.(1)求的值；(2)若，求的面积.(★★★) 18. 赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量（单位：ng/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量（单位：粒），得到的数据如下表：赤霉素含量10后天生长的优2质数量(1)求关于的线性回归方程；(2)利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.(★★★) 19. 如图，在直三棱柱中，，，，D，E分别是棱，的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.(★★★) 20. 已知函数．(1)设．①求曲线在点处的切线方程．②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．(★★★) 21. 已知椭圆，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．(1)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB的面积．(2)试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线与极轴相交于，两点.(1)求曲线的极坐标方程及点的极坐标；(2)若直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于，两点，求的面积. (★★) 23. 已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.。

高考仿真考试 数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}{}23,3,2,4,3A a B a a AB ==+=，则A B = （ ）A ．{}3,5B ．{}3,4C ．{}9,3-D ．{}9,3,4-2. 复数z 满足i 1z =为虚数单位），则z = （ ）A ．iB iC ．iD ．i - 3. 已知向量,a b ，且23,a a =与b 的夹角为(),36a ab π⊥-，则b =（ ）A ．6B ．．12 D ． 4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且52515,2S a a =-+=-，则公差d = （ ） A ．5 B ．4 C. 3 D ．2 5. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（ ）A ．5B ．4 C. 3 D ．2 6. 某公司在2012-2016年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a =+，依此估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为 （ ）A ．4.5亿元B ．4.4亿元 C. 4.3亿元 D ．4.2亿元 7. 已知 1.2352,log 6,log 10a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b << C. a b c << D ．a c b <<8. 若,x y 满足30300x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为12-，则k 的值为（ ）A ．12 B ．12- C.14- D ．149. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．323 B ．163 C. 83 D ．4310. 设函数()9sin 20,48f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为()123123,,x x x x x x <<，则1232x x x ++的值为（ ）A ．32π B ．54π C.π D ．34π11. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，14,6AB AA ==，若,E F 分别是棱11,BB CC 上的点，且1111,3BE B E C F CC ==，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A．6．1012. 设函数()3236222x x f x e x x x ae x ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，若不等式()0f x ≤在[)2,-+∞上有解，则实数a 的最小值为（ ） A ．312e -- B ．3142e -- C. 322e -- D ．11e-- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若()5234501234512x a a x a x a x a x a x -=+++++，则32a a = ． 14. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3422a a ==，则4S = ．15. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题: “今有人持金出五关，前二关而税一，次关而三税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤. 问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的1,56关所收税金之和，恰好重1斤. 问原本持金多少? ” 若将題中“5关所收税金之和恰好重1斤，问原本持金多少? ”改成““假设这个人原本持金为x ，按此規律通过第8关” ，则第8关需收税金为 x ． 16. 已知抛物线21,,16y x A B =是该抛物线上两点，且24AB =，则线段AB 的中点P 离x 轴最近时点的纵坐标为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设ABC ∆中的内角,,A B C 的边分别为,,a b c，若2sin c B A ==.（1）若3C π=,求,a b 的值；（2）若1cos 4C =,求ABC ∆的面积. 18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面111A B C 内的射影点为11A B 的中点1,,90O AC BC AA ACB ==∠=.（1）求证:AB ⊥ 平面1OCC ； （2）求二面角1A CC B --的正弦值.19. 近几年电子商务蓬勃发展，在2017年的“年货节”期间，一网络购物平台推销了,,A B C 三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了,,A B C 三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对,,A B C 三种商品的抢购成功的概率分别为()1,,4a b a b > ，已知三件商品都被抢购成功的概率为124，至少有一件商品被抢购成功的概率为34.（1）求,a b 的值；（2）若购物平台准备对抢购成功的,,A B C 三件商品进行优惠减免活动，A 商品抢购成功减免2百元，B 商品抢购成功减免4百元，C 商品抢购成功减免6百元，求该名网购者获得减免的总金额(单位:百元)的分布列和数学期望.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，由椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形，它的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动点()(),0B m n mn ≠在椭圆C上，点(0,A ，直线AB 交x 轴于点D ，点'B 为点B 关于x 轴的对称点，直线'AB 交x 轴于点E ，若在y 轴上存在点()0,G t ，使得OGD OEG ∠=∠，求点G 的坐标.21. 已知函数()22ln 311f x x x x =--.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()()()232131f x a x a x ≤-+-+恒成立，求整数a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为2cos 218ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为6πθ=，曲线12,C C 相交于,A B 两点.（1）求,A B 两点的极坐标；（2）曲线1C与直线22(12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数) 分别相交于,M N 两点，求线段MN 的长度. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a a =-+.（1）当3a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()()()23,R,5g x x x f x g x =-∀∈+≥，求a 的取值范围.高考仿真考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: DACBC 6-10:BDCCA 11-12：DB二、填空题13. 2- 14.634 15.17216.8 三、解答题17. 解：(1)3C π=,由正弦定理知sin 2sin B A =即2b a =，当c =可得2222cos c a b ab C =+-，即2221242a a a =+-，解得2,4a b ==.(2)由1cos 4C =得sin 4C =，又2b a =，由余弦定理可得22222222cos 44c a b ab C a a a a =+-=+-=，即2c a =，因为c =a b ==11sin 2244ABC S ab C ∆===. 18. 解：(1)点C 在平面111A B C 内的射影点为11A B 的中点O ，111111,,CO A B AC BC AC C B ∴⊥=∴=，O 为11A B 的中点，111111,,C O A B C O CO O A B ∴⊥=∴⊥平面111,,CC O A B AB AB ∴⊥平面1CC O .(2) 建立如图所示的空间直角坐标系，设1AC =，则111,2CC C O ==，1,2COC CO π∠=∴==，则()()()1110,0,0,,,,1,0,0,0,1,0222C C A B ⎛-- ⎝⎭，()()1112,,,1,0,0,0,1,0222CC CA CB ⎛⎫∴=--== ⎪⎝⎭，设平面1ACC 的法向量为(),,n x y z =，则有11100,22200n CA x y z nCC x ⎧⎧=+-=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪⎩=⎩，不妨令y =，则()0,2,1n =，同理得平面1BCC 的法向量为()2,0,1m =，设二面角1A CC B --的平面角为θ，1cos 333n m n mθ⨯∴===， sin 3θ∴===.19. 解：(1)由题意，得()()1142413111144ab a b ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪----=⎪⎪⎝⎭⎩，因为a b >，解得1213a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.(2) 由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X （单位：百元），则X 的值可以为0,2,4,6,8,10,12，而()()123112310;223442344P X P X ==⨯⨯===⨯⨯=；()()123112111354;6234823423424P X P X ==⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯=；()()()1211111111118;10;12234122342423424P X P X P X ==⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯=，所以X 分布列为：于是有()1123024681012448241224246E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20. 解：(1)因为212342a cc c=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以4,a b==C的方程为2211612x y+=.(2)设()()12,0,,0D xE x，由,,A D B1=1x=；同理，由,',A B E三点共线得2x= . 又因为OGD OEG∠=∠，则tan tanOEG OEG∠=∠，所以OD OGOG OE=，即2O G O D O E=，又2n-<且0n≠，所以2222212121212m mtn n==--.由于2211612m n+=，所以()2222222161212121611612121212nm ntn n n-⎛⎫==⨯-==⎪---⎝⎭，所以4t=±，点G的坐标为()0,4±.21. 解：(1)因为()()()2'611,'115,114f x x f fx=--=-=-，所以切线方程为()14151y x+=--，即151y x=-+.(2)令()()()()()22321312ln221g x f x a x a x x ax a x=-----=-+--，所以()()()222222'222ax a xg x ax ax x-+-+=-+-=，当0a≤时，因为0x>，所以()'0g x >，所以()g x 是()0,+∞上的递增函数，又因为()1221310g a a a =-+--=-+>，所以关于x 的不等式()()()232131f x a x a x ≤-+-+，不能恒成立，当0a >时，()()()21212222'a x x ax a x a g x x x ⎛⎫--+ ⎪-+--⎝⎭==，令()'0g x =，得1x a=，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，因此函数()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，故函数()g x 的最大值为11112ln 32ln 30g a a a a a ⎛⎫=+-=--≤ ⎪⎝⎭，令()12ln 3h a a a=--，则 ()h a 在()0,+∞上是减函数，因为()120h =-<，所以当1a ≥时，()0h a <，所以整数a的最小值为1.22. 解：(1)由2cos 2186ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2cos 183πρ=，所以236ρ=，即6ρ=±，所以,A B 两点的极坐标为6,,6,66A B ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或76,6B π⎛⎫⎪⎝⎭. (2)由曲线1C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2218x y -=，将直线212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2218x y -=,整理得2280t +-=，即121228t t t t +=-=-，所以MN =23. 解：（1）当3a =时，()6f x ≤等价于2336x -+≤，即233x -≤，解得03x ≤≤，所以解集为{}|03x x ≤≤.（2）当R x ∈时，()()2322323f x g x x a a x x a x a a a +=-++-≥-+-+=-+，所以当R x ∈时，()()5f x g x +≥等价于35a a -+≥，① 当3a ≤时，①等价于 35a a -+≥，无解 ；当3a >时，① 等价于 35a a -+≥，解得4a ≥，所以a 的取值范围是[)4,+∞.。

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。

高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，请只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．如图,已知R是实数集,集合A={x|lo g12(x-1)>0},B={x|2x-3x<0},则阴影部分表示的集合是A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(0,1] 2．已知复数z满足1+iz=(1-i)2,则复数z的虚部是A.-12B.12C.12i D.-12i3．设a=log32,b=log52,c=log23,则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b4．已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=√3,则向量a和向量b的数量积a·b= A.1 B.2 C.3 D.45．函数f(x)=x 2|x|e x的大致图象是A. B.C.D.6．我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为A.35B.710C.45D.9107．若l 1,l 2,l 3表示三条不同的直线,则下列命题正确的是A.l 1⊥l 2,l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B.l 1⊥l 2,l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1,l 2,l 3共面D.l 1,l 2,l 3共点⇒l 1,l 2,l 3共面8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2-9=4(S n -n ),数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为T n ,则T 10=A.13B.17C.235D.22510．已知椭圆C :x 2m+y 2m -4=1(m >4)的右焦点为F ,点A (-2,2)为椭圆C 内一点.若椭圆C 上存在一点P ,使得|PA |+|PF |=8,则m 的取值范围是A.(6+2√5,25]B.[9,25]C.(6+2√5,20]D.[3,5]11．已知定义在[0,π4]上的函数f (x )=sin(ωx -π6)(ω>0)的最大值为ω3,则正实数ω的取值个数最多为A.4B.3C.2D.112．已知三棱锥S-ABC 中,AB ⊥BC ,AB =BC =2,SA =SC =2√2,二面角B-AC-S 的大小为2π3,则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为A.124π9B.105π4C.105π9D.104π9第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．过点M(2,0)作函数f(x)=e x(x-6)的图象的切线,则切线的方程为. 14．已知在等比数列{a n}中,a n>0且a3+a4=a1+a2+3,记数列{a n}的前n项和为S n,则S6-S4的最小值为.15．某统计调查组从A,B两市各随机抽取了6个大型商品房小区调查空置房情况,并记录他们的调查结果,得到如图所示的茎叶图.已知A市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为82,B市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为77,则x-y=.16．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为Q,双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP,O为坐标原点.若△PQF为直角三角形,则该双曲线的离心率等于.三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(Ⅰ)求∠A;(Ⅱ)求AC边上的高.18．(本题12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,AB=AC,BC1⊥B1D.求证:(1)A1C∥平面ADB1;(2)平面A1BC1⊥平面ADB1.19．(本题12分)2018年11月27日~28日,2018“未来信息通信技术国际研讨会”在北京召开,本届大会以“5G应用生态与技术演进”为主题,全球5G大咖齐聚一堂,进行了深入探讨.为了给5G手机的用户提供更好的服务,我国的移动、联通、电信三大运营商想通过调查了解现有4G手机用户对传输速度的满意度,随机抽取了100名手机用户进行调查评分(满分100分,单位:分),其频数分布表如下所示.(1)作出频率分布直方图,并求这100名4G 手机用户评分的平均数(同一组中的评分用该组区间的中点值作代表);(2)以样本的频率作为概率,认为评分“不低于80分”为“满意度高”,现从所有4G 手机用户中随机抽取5名用户进行进一步访谈,用X 表示抽出的5名用户中“满意度高”的人数,求X 的分布列和数学期望.20．(本题12分)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32, 且过点A (2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2) 若P ,Q 是椭圆C 上的两个动点,且使∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴, 试判断直线PQ 的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,请说明理由.21．(本题12分)已知函数f (x )=e x -a ln(x -1).(其中常数e=2.718 28…是自然对数的底数) (1)若a ∈R ,求函数f (x )的极值点个数;(2)若函数f (x )在区间(1,1+e -a )上不单调,证明:1a +1a+1>a .请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。

高考理科数学仿真模拟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.己知复数z 满足（1－i ）z ＝2i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A.-1-i B.-1+i C.1+i D.1-i2.若集合M ＝{x |x>1}，N ＝{x ∈Z |0≤x≤4}，则(C R M)∩N ＝（ ） A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{2,3,4}3、已知甲袋中有3个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两个袋中随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（ ） A.31B.21 C.32 D.65 4、“0>>a b ”是“ba 11>”的（ ） A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要5.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（－3，1），则cos2θ＝（ ） A.53-B.53C.54-D.546.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A.8 B.16 C.32 D.647、在△ABC 中，AB=2，AC=3，332π=∠==BAC AC AB ，，，若BC BD 32=，则=⋅BD AD （ ） A.922 B.922-C.916D.98-8. 我国南北朝时期数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等，已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为( )A .1+p2B .13+p 6 C .1+2p D .13+2p39、将函数)20)(sin()(πϕϕϕω<>+=，x x f 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且21)(-=ωπf ，则当ω取最小值时，函数)(x f 的解析式为（ ） A.)62sin()(π+=x x f B.)62sin()(π-=x x fC.)64sin()(π+=x x fD.)64sin()(π-=x x f10、设A 、B 、C 、D 是同一个球面上四点，△ABC 是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D -ABC 体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ） A.π36 B.π64 C.π100 D.π144 11、若函数x e e x f x x 2sin )(+-=-，则满足0)()12(2>+-x f x f 的x 的取值范围为（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-211，B.()⎪⎭⎫⎝⎛∞+⋃-∞-，，211C.⎪⎭⎫⎝⎛-121，D.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，，121-12、已知21F F ，分别为双曲线16422=-y x 左、右两个焦点，M 是双曲线右支上一点且满足021=⋅MF MF ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为点N ，则N MF 1∆的面积为（ ） A.12B.212C.24D.224二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

普通高等招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类〔一〕本套试卷分第一卷〔选择题 一共60分〕和第二卷〔非选择题 一共90分〕，考试时间是是为120分钟，满分是为150分.第一卷〔选择题 一共60分〕考前须知：1.答第一卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.在考试完毕之后，监考人将本套试卷和答题卡一并收回. 参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么P 〔A +B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕 假如事件A 、B 互相HY ，那么P 〔A ·B 〕=P 〔A 〕·P 〔B 〕假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=k n C p k (1－p )n －k球的外表积公式S =4πR 2,其中R 表示球的半径 球的体积公式V =34πR 3,其中R 表示球的半径 一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕P 、Q 是两个非空集合，定义：P ×Q ={(a ,b )|a ∈P ,b ∈Q },假设P ={3,4,5},Q ={4,5,6,7}，那么P ×Q 中元素的个数是A.3B.4C.7解析: N =13C ·14C =12.答案: D2.在(2+3x +4x 2)5的展开式中，含x 项的系数是解析: N =15C ·3·24=240.答案: Cy =x 2－2x +n +1(－1≤x ≤3,n ∈N *)的最大值y max =a n ,最小值y min =b n ，且c n =b n 2－2a n ，那么数列{c n }解析: 易得a n =n +4,b n =n ,c n =n 2－2n －8,既不等差，也不等比. 答案: D4.f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π),其导函数f ′(x )的局部图象如下列图所示，那么A.f (x )=2sin(21x +4π) B.f (x )=4sin(2x +4π) C.f (x )=2sin(x +4π)D.f (x )=4sin(21x +43π)解析: 由题图知f ′(x )=2cos(21x +4π),f (x )=4sin(21x +4π). 答案: B5.某人的密码箱是由五个数字密码控制的，每位数字可在0到9这10个数字中选取，该人只记得箱子的密码1、3、5位均为0，而忘记了2、4位上的数字，可随意按下2、4位上的数字，那么他按对2、4位上的数字的概率为A.52B.51C.101D.1001解析: 第2、4位各有10种按键的方法，依等可能性事件的概率P =101×101=1001.答案: D6.A (－7,0)、B (7,0)、C (2，－12)，假设椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，那么此椭圆的另一焦点的轨迹是解析: 设另一焦点为P ，那么|AC |+|AP |=|BC |+|BP |，|BP |－|AP |=|AC |－|BC |<|AB |，故P 的轨迹为双曲线一支.答案: D7.A (1,7)、B (5,1)、C (2,1)、O (0,0)，且点P 在直线OC 上，那么当PA 、PB 取最小值时，∠APB 等于17174- 17174 1235-1235 解析: P 在直线OC 上，可设P (2x ,x ),∴PA ·PB =(1－2x )×(5－2x )+(7－x )×(1－x )=5(x －2)2－8,PA ·PB 最小时P (4,2)，∴cos ∠APB =222222222211532641153+⨯+⨯--+++=－17174,∠APB =arccos(－17174).答案: AP 从O 点出发，按逆时针方向沿周长为L 的图形运动一周，O 、P 两点连线的间隔 y 与点P 走过的路程x 的函数关系如下列图，那么点P 所走的图形是xyOl l -2OOOOPPPPA B C D解析: 由题图知，所走的道路为轴对称图形，排除D ；对于A 、B 来讲，开场的一段对应的x 、y 应相等，亦排除；故只有C 可选.答案: CP —ABCD 的底面边长为3，高为22，M 是P A 的中点，那么直线BM 与PC 所成的角等于A BCDOMP° ° °°解析: 设PO ⊥平面ABCD 于O ，MO21PC =22,BO =26,BO ⊥平面P AC ,∴t an ∠BMO =2226=3,∠BMO =60°.答案: C x 2+θtan x －θsin 1=0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ,a 2)、B (b ,b 2)的直线与圆x 2+y 2=1的位置关系是θ值的变化而变化解析: a +b =－θtan 1,ab =－θsin 1,l AB :y =(b +a )(x －2b a +)+222b a +.圆心O (0,0)到其间隔 为d =22222)(1|2)(2|b a b a b a +++-+=θθ2tan 11|sin 1|+=1.故相切.答案: Bf (x )=ax 3+bx 2+cx +d 在x =1和x =－1处都有极值，且f (－1)=－1,f (0)=0，那么a ,c 的值依次是A.－21,－23B.－21,23C.21,－23 D.21,23解析: f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,又⎩⎨⎧=-=-,0)0(,1)1(f f f ′(－1)=f ′(1)=0,可解得a =－21,c =23.答案: Bx 2+(4+i)x +(4+a i)=0(a ∈R)有实根b ，那么a +b i 等于 A.2+2iB.2－2iC.－2+2iD.－2－2i解析: 整理得(x +2)2+(x +a ⎩⎨⎧=+=+.0,02a x x ∴a =2,b =x =－2.答案: B普通高等招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类〔一〕第二卷 〔非选择题 一共90分〕考前须知：1.第二卷一共6页，用钢笔或者圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的工程填写上清楚.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.把答案填在题中横线上〕13.βαsin sin 3=βαcos cos 3=m ,那么实数m 的取值范围是___________.解析: m 2=ββα2266cos sin cos sin ++a =sin 6α+cos 6α=1－43sin 22α.故m 2∈［41,1］.又sin α≠0, cos α≠0,故m 2∈［41,1). 答案: (－1,－21]∪［21,1) 14.如下列图，A (31,32)、B (2,－1),点(x ,y )在△AOB 的区域上取值时，目的函数z =3x －y的最大值是___________.y2,-1)12解析: l :y =3x －z ,k OA =2,故当l 过B 点时z 最大，z max =3x －y =3×2－(－1)=7. 答案: 7ξ的概率为P (ξ=k )=λk (0<λ<1,且k =1,2,3,…),那么λ=___________.解析: ∞→n lim (λ+λ2+…+λn )=∞→n lim (λλλ--+11n )=1,0<λ<1,λλ-1=1,λ=21. 答案:2116.如下列图，ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，一共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，那么与AC 平行且长度为22的向量个数是___________.ABCD解析: N =14C ×2的正方形有4个,向量考虑方向，故4×2=8(个). 答案: 8三、解答题〔本大题一一共6小题，一共74分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.(本小题满分是12分) f (x )=x 2+bx +c (b <0,c ∈R).(1)当f (x )在指定定义域［0,1］内的值域也是［0,1］时，求b 、c 的值； (2)当b =－2时，假设不等式xx f )(>0对任意x ≥3恒成立，试务实数c 的取值范围. 解：(1)依题意有f (0)=c ∈［0,1］， ① f (1)=1+b +c ∈［0,1］,②由①得－(c +1)∈［－2,－1］.由②得0<－2b ≤1,从而f (－2b)=0, 3分进而有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤==-1221,1)0(,0)2(b f b f 或者⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-<==-.2120,1)1(,0)2(b f b f解得⎩⎨⎧=-=,1,2c b 故所求的b 、c 值分别为－2,1.6分(2)∵b =－2, ∴f (x )=x 2－2x +c . 又∵xx f )(>0在x ≥3时恒成立， ∴f (x )>0在x ≥3时恒成立. 而f ′(x )=2x －2, ∴当x ≥3时f ′(x )>0.∴f ′(x )在［3,+∞)上递增. ∴f (3)>0,c >－3.12分18.(本小题满分是12分)A 、B 两个箱子中分别装有标号为0,1，2的三种卡片，每种卡片的张数如下表所示：从A 箱中取2张卡片，B 箱中取1张卡片，一共3张卡片，用ξ表示取出的3张卡片中的标号数之积.(1)求随机变量ξ的概率分布； (2)求随机变量ξ的数学期望. 解：(1)依题意ξ的取值有0,2,4,8.P (ξ=0)=1512C C ×1+1513C C ×262426C C C -=2519; 3分P (ξ=2)=261311C C C ⨯×1511C C =251; P (ξ=4)=2623C C ×1511C C +261311C C C ⨯×1512C C =253; P (ξ=8)=2623C C ×1512C C =252.7分ξ的分布列为 9分(2)E ξ=0×2519+2×251+4×253+8×252=56.12分19.(本小题满分是12分)给出等腰梯形数表的前五行如下：0 1 00 1 1 1 00 1 2 3 2 1 00 1 3 6 7 6 3 1 00 1 4 1016191610410(1)根据前五行的规律依次写出第6行、第7行的数； (2)试求出第n 行中所有数之和S n .解：(1)第6行：0,1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,0. 第7行：0,1,6,21,50,90,126,141,126,90,50,21,6,1,0.(2)数列规律为：第一行为0,1,0,从第二行开场的每个数都是其上三个数之和(假设其上无数以0计).∴S 1=1,S n +1=3S n ，故{S n }为以1为首项，3为公比的等比数列，故S n =3n －1(n ∈N *).12分 20.(本小题满分是12分)f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R 都满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ). (1)求f (0)、f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论；(3)假设f (2)=2,v n =nf n )2( (n ∈N *)，求数列{v n 2}的前n 项和S n .解：(1)令a =b =0,得f (0)=0·f (0)+0·f (0)=0. 令a =b =1,得f (1)=1·f (1)+1·f (1), ∴f (1)=0.4分(2)令a =b =－1,得f (1)=f ［(－1)·(－1)］=－f (－1)－f (－1)=－2f (－1), ∴fa =－1,b =x ,得f (－x )=f (－1·x )=－1·f (x )+x ·f (－1)=－f (x )+0=－f (x ).∴f (x )是奇函数.8分(3)当ab ≠0时，b a b a f ⋅⋅)(=b b f )(+aa f )(. 令g (x )=xx f )(,那么g (a ·b )=g (a )+g (b ), ∴g (a n )=ng (a ).∴f (a n )=a n ·g (a n )=n ·a n ·g (a )=n ·a n －1·f (a ).∴v n =n f n )2(-=(21)n －1·f (21).∵f (2)=2,f (1)=f (2·21)=2f (21)+21f (2)=0,∴f (21)=－41f (2)=－21,v n =(－21)·(21)n －1(n ∈N *).∴S n =211])21(1[21---n =(21)n －1. 12分21.(本小题满分是12分)如下列图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面为直角梯形，AB ∥CD 且∠ADC =90°，AD =1，CD =3，BC =2，AA 1=2，E 是CC 1的中点.1A (1)求A 1B 1与平面ABE 的间隔 ； (2)求二面角A —BE —C 的大小.解：以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系D —xyz .(1)A 1(1,0,2),A (1,0,0),E (0,3,1),过C 作CF ⊥AB 于F ，那么F (1,3,0),易得BF =2212-=3,B (1,23,0), ∴AB =(0,23,0),BE =(－1,－3,1). 设平面ABE 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BE n AB n ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=.03,032z y x y ∴⎩⎨⎧==.,0z x y 不妨令n =(1,0，1)，那么又∵1AA =(0,0,2)，A 1B 1到平面ABE 的间隔 d =||||1n AA n ⋅=2. 6分(2)B 1(1,23,2)，∴1BB =(0,0,2),CB =(1, 3,0).设平面BCE 的一个法向量为n ′=(x ′,y ′,z ′),易得⎪⎩⎪⎨⎧=''-='.0,3z y x 不妨令n ′=(－3,1,0),n 与n ′的夹角或者其补角即为所求，设为θ. 那么cos θ=||||||n n n n ''⋅=46,故二面角的大小为arccos 46. 12分22.(本小题满分是14分) 椭圆22a x +22by =1(a >b >0)与直线x +y －1=0相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点). (1)试问该椭圆是否过定点？(2)假设椭圆长轴长的取值范围是［5,6］，求椭圆离心率e 的取值范围. 解：(1)将x +y －1=0代入椭圆方程整理得(a 2+b 2)x 2－2a 2x +a 2(1－b 2)=0.设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),那么x 1+x 2=2222b a a +,x 1x 2=2222)1(b a b a +-,而y 1y 2=(1－x 1)(1－x 2), ∴y 1y 2=2222)1(b a a b +-. 又∵OA ⊥OB ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴2222)1(b a b a +-+2222)1(b a a b +-=0. ∴221a +221b =1.① ∴该椭圆过定点(±22,±22).6分 (2)将b 2=a 2－c 2代入①得2－e 2=2a 2(1－e 2).∴2a 2=2212e e --.而2a ∈［5,6］, ∴25≤2212e e --≤3. ∴31≤e 2≤21.而0<e <1,∴33≤e ≤22.故e 的取值范围为［33,22］.14分。

高考数学模拟考试数学(理)最新仿真试卷-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1高考数学模拟考试数学（理）最新仿真试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知U =R ，2{|230}=+->A x x x ，则U A =A.{|31}-<<x xB.{|31}-≤≤x xC.{|13}-<<x xD.{|13}-≤≤x x 2.已知复数z 在复平面上对应的点为(21)Z -，，则 A.12=-+z i B.||5=z C.z 2i =-- D.2-z 是纯虚数3.如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中，落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为 A.m n B.n m C.m n π D.n mπ4.执行如图所示的算法，则输出的结果是 A.1B ．54 C ．43D ．2 5.已知向量()1,2a =，(,22b t =，若向量b 在a 方向上的 3，则实数=t A.1- B.1 C.3 D.56.若公差为2的等差数列}{n a 的前9项和为981S =，则2018a = A.4033 B.4035 C.4037 D.40397.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A .6B .193 C .203 D .2238.设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边分别为s=0,n=2开始n=n+1n+1M=nM2s=s+log s Q?∈否是输出s结束1俯视图侧视图正视图112a b c 、、，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且3a =，那么ABC ∆外 接圆的半径为A ． 1B ．2 C. 2 D ．49.已知定义在[1,25]a a --上的偶函数()f x 在[0,25]a -上单调递增，则函数()f x 的解析式不可能是A ．2()f x x a =+B ．||()x f x a =- C. ()a f x x = D ．()log (||2)a f x x =+ 10.5(2)x y z ++展开式中22x y z 项的系数为 A ．30 B ．40 C. 60 D ．12011.已知双曲线的两个焦点为()1100F -，、()2100F ，，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF =⋅，122MF MF ⋅=，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为 A ．3B ．13C ．12D ．112.如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切 于两点，函数()g x kx m =+，则函数()F x =()g x ()f x - A.有极小值，没有极大值B.有极大值，没有极小值 C.至少有两个极小值和一个极大值 D.至少有一个极小值和两个极大值第Ⅰ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知,x y 满足不等式组2211≥-⎧⎪≥⎨⎪≤⎩y x x y ,则4z y x =-的最小值是 ．14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = ．15.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张．甲说：我摸到卡片的标号是10和12； 乙说：我摸到卡片的标号是6和11； 丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是 ．16.在四面体ABCD 中，4DA DB DC ===，,DA DB DA DC ⊥⊥，且DA 与平面ABC 所成角的余弦值为6，则该四面体外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到函数cos2y x =的图象.(Ⅰ)求()f π的值；(Ⅱ)求()f x 的单调递增区间.18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是长方形，22AD CD PD ===，5PA =，=120PDC ∠,点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上，且12AF =． （Ⅰ）平面PCD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D EF C --的余弦值.19.(本小题满分12分)某钢管生产车间生产一批钢管(大量），质检员从中抽出若干根对其直径（单位：mm ）进行测量，得出这批钢管的直径X 服从正态分布()65,4.84N ．当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73mm ，他立即要求停止生产，检查设备，（Ⅰ）请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；（Ⅱ）如果从该批钢管中随机抽取100根，设其直径满足在60.6mm 65mm -的根数为随机变量ξ，（i ）求随机变量ξ的数学期望； （ii ）求使()=P k ξ取最大值时的整数k 的值．附：若随机变量Z 服从正态分布2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9774-<<+=P Z μσμσ．20.(本小题满分12分) 已知函数()()ln 1axf x x a R x =-∈+. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明: ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭.21.(本小题满分12分)已知椭圆C ：22142x y +=的左右顶点分别为1A ，2A . （Ⅰ）求椭圆C 的长轴长与离心率；（Ⅱ）若过定点(1,0)-且不垂直于y 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点M .求证：当直线l 转动时，点M 在定直线上.请考生在22~23中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分12分)【选修4－4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,1x y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设l 与C 交于,P Q 两点，求POQ ∠．23.(本小题满分12分)【选修4-5: 不等式选讲】已知定义在R 上的函数x k x x f 22+-=.•∈N k .存在实数0x 使()20<x f 成立.（Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若21>m ，21>n 且求证()()10=+n f m f ，求证31619≥+n m .模拟数学答案（理科）一、选择题1.B2.D3.C4.A5.A6.B7.D8.A9.B 10.D 11.D 12.C 二、填空题13.5-14.n 13()2-15.8和9 16.48π三、解答题17.(Ⅰ)将函数cos2y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数cos4y x =的图象，再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到函数cos 4cos 4123y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，()cos 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………4分()cos 4cos 33f ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭……………………6分(Ⅱ)令2k 4x 2k 3ππ-π≤-≤π 解得111k x k 26212ππ-≤≤π+π ∴所求单调递增区间为111[k ,k ],k Z 26212ππ-π+π∈……………………12分 18.（1）65μ=， 2.2σ=，358.4μσ-=，371.6μσ+=，()733μσ∈++∞，，()()158.471.610.997471.60.001322-<≤-∴>===P X P X ， 此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理． …………4分（2）（i ）65μ=， 2.2σ=，260.6μσ-=， 由题意(22)0.9544(2)0.477222P X P X μσμσμσμ-<≤+-<<===(100,0.4772)B ξ∴，1000.477247.72E ξ∴=⨯=根…………8分（ii ）（100100()C 0.47720.5228kk k P k ξ-==⋅． 设()P X k =最大，则()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=+⎧⎨=≥=-⎩，即0.52280.477210010.47720.5228101k k kk ⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩，解得47.197248.1972k ≤≤．因为*k ∈N ，所以使()P X k =取最大值时的整数48k =． …………12分19.解：（Ⅰ）∵222AP PD AD =+，∴AD PD ⊥，又AD DC ⊥， ∴AD ⊥平面PCD ，-----3分 又AD ⊂平面ABCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ．………………6分 （Ⅱ）过点D 在平面PCD 内作CD 的垂线交PC 于点G ∵AD ⊥平面PCD ，DG PCD ⊂平面∴AD DG ⊥∴,,DA DC DG 两两垂直，分别以DA 、DC 、DG为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系…………6分113(0,0,0),(0,2,0),(1,,0),(0,,),22D C F E ∴113(1,,0),(0,,)22DF DE ==，设面DEF 的一个法向量1111(,,)n x y z =，则由00n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1111102102x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，不妨令13y =，则解得111,x z ==∴1(1,n =-. ……………………………………………………………8分33(1,,0),(0,222CF CE =-=-，设面CEF 的一个法向量2222(,,)n x y z =，则由00n CF n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得22223023022x y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨令22y =，则解得223,x z ==，∴2n =……………………………………………………………10分∴121212cos ,||||19n n nn n n ⋅<>===⋅……………………………11分 经观察二面角D FE C --的平面角为钝角，∴二面角D FE C --的余弦值为95- ………………………12分20.解：（Ⅰ）2221(1)(2)1'()(0)(1)(1)a x ax x a x f x x x x x x +-+-+=-=>++，2(2)4(4)a a a ∆=--=-；当4a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a >时，()f x在上单调递增，在上单调递减，在)+∞上单调递增；……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：4a >，且12122,1x x a x x +=-=，1221121212(1)(1)()()ln (1)(1)ax x ax x f x f x x x a x x +++∴+=-=-++，而12122222()()ln ln (2)2222212a ax x a a a f f a a -+---==-=---+， 1212()()2()ln 2()2222x x f x f x a af h a ++-∴-=-+=214'()(1)0222(2)ah a a a -∴=-=<--，得()h a 在(4,)+∞上为减函数，又(4)0h =，即()0h a <；则1212()()()22x x f x f x f ++<.……………12分 21.解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22142x y +=,所以2,a b ===所以长轴长为24a =，离心率2c e a == …………………4分 （Ⅱ）方法1：证明：设直线:1PQ x ky =-联立221142x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230k y ky +--=设1122(,),(,)P x y Q x y 联立，则12122223,22k y y y y k k -+==++…………（1） 又121212:(2),:(2)22y y A P y x A Q y x x x =+=-+-联立得2112212112211221121221122()(1)(1)2()222()(1)(1)2()M x y x y y y ky y ky y y y x x y x y y y ky y ky y y y ++--+-+-==-++---++1212122323ky y y y y y -+=+ (2)由（1）得12122623()2kky y y y k -==-++…………（3） 将（3）代入（2）得121212121212233()32233M ky y y y y y y y x y y y y -+-+-+==++121262243y y y y --==-+所以点M 在定直线4x =-上 方法2：22.解法一：（1）由1,1,x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得l的普通方程为1x +=+1分又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以l的极坐标方程为()cos 1ρθθ=+ ........ 3分由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=， .................................................... 4分 所以C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．............................................................ 5分 （2）设,P Q 的极坐标分别为()()1122,,,ρθρθ，则12POQ θθ∠=- ..................... 6分由()cos 12cos ,ρθθρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去ρ得()2cos cos 1θθθ+=+ ........ 7分化为cos 22θθ=，即πsin 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭............................................. 8分因为π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，即ππ7π2+666θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ263θ+=，或π2π263θ+=， ........ 9分即12π,12π,4θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12π,4π,12θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以12π=6POQ θθ∠=-． ............................................. 10分解法2：（1）同解法一............................................................................................. 5分 （2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆．.............................................................................................................................. 6分将l的参数方程化为标准形式1,112x y t ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩(其中t '为参数)，代入C 的直角坐标方程为2220x y x +-=得，221112102t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得，20t t ''+=，解得0t '=或1t '=-． ............................................................ 8分 设,P Q 对应的参数分别为12,t t ''，则121PQ t t ''=-=．所以60PCQ ∠=︒，...... 9分 又因为O 是圆C 上的点，所以302PCQPOQ ∠∠==︒ .......................................... 10分 解法3：（1）同解法一............................................................................................. 5分 （2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆．.............................................................................................................................. 6分 又由①得l的普通方程为(10x -=，.................................................... 7分 则点C 到直线l的距离为2d =， .......................................................................... 8分所以1PQ ==，所以PCQ △是等边三角形，所以60PCQ ∠=︒， ....... 9分 又因为O 是圆C 上的点，所以302PCQPOQ ∠∠==︒…………………10分 23.解： 存在实数0x 使()20<x f 成立，()2min <∴x f=+-x k x 22 x k x 22+-x k x 22--≥k =，则()2min <=k x f解得22<<-k ，*∈N k ，1=∴k …………………5分 (II)证明：由（1）知，()x x x f 212+-=，21>m ，21>n ， ()=+-=∴m m m f 212m m 212+-14-=m ，同理，()14-=n n f ()()10==n f m f ，10244=-+∴n m ，即3=+n m=+∴n m 19()n m n m +⎪⎭⎫⎝⎛+1931⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n m m n 91031316921031=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥n m m n 当且仅当n m m n =9，又3=+n m ，得49=m ，43=n 时取等号.…………………10分。