弹性力学的求解方法和一般性原理

弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。

以下是对弹性力学主要知识点的总结。

一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。

2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。

3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。

4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。

5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。

二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。

2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。

3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。

三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。

2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。

3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。

四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。

通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。

五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。

对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。

六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。

2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。

七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。

极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。

八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。

2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。

弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。

确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。

材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。

材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。

而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。

在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。

在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。

弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。

所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。

弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。

满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。

在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。

需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。

对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。

可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。

弹性力学弹性系数与弹性力的计算弹性力学是研究固体物体在外力作用下发生形变后能够恢复原状的力学学科。

其中，弹性系数是评价物体材料抵抗形变的特性参数，而弹性力则是在物体发生形变时产生的恢复力。

本文将介绍弹性力学中弹性系数与弹性力的计算方法。

I. 弹性系数的定义与计算弹性系数是衡量材料抵抗形变的能力的物理量，常用的弹性系数包括弹性模量、剪切模量、泊松比等。

以下将介绍常见的弹性系数及其计算方法。

1. 弹性模量（Young's modulus）弹性模量是衡量材料在拉伸或压缩过程中抵抗形变的能力。

通常用符号E表示，计量单位为帕斯卡（Pa）。

弹性模量的计算公式如下：E = (F/A) / (ΔL/L)其中，F为施加在物体上的拉力或压力，A为物体的横截面积，ΔL 为物体形变后的长度变化，L为物体原始长度。

2. 剪切模量（Shear modulus）剪切模量是衡量材料抵抗剪切形变的能力。

通常用符号G表示，计量单位也为帕斯卡（Pa）。

剪切模量的计算公式如下：G = (τ/A) / (Δx/h)其中，τ为施加在物体上的切应力，A为物体的截面积，Δx为物体形变产生的相对位移，h为物体原始长度。

3. 泊松比（Poisson's ratio）泊松比是衡量材料在拉伸或压缩过程中横向收缩或膨胀的程度。

通常用符号ν表示，是一个无单位的物理量。

泊松比的计算公式如下：ν = - (ΔW/W) / (ΔL/L)其中，ΔW为物体在拉伸或压缩过程中横向变形，W为物体的初始宽度，ΔL为物体的纵向变形，L为物体的初始长度。

II. 弹性力的计算在弹性力学中，弹性力指的是物体在发生形变后恢复原状时产生的力。

根据胡克定律，弹性力与物体的形变程度成正比。

以下分别介绍不同形变情况下的弹性力计算方法。

1. 拉伸或压缩情况下的弹性力计算物体在拉伸或压缩过程中，弹性力与形变程度呈线性关系。

根据胡克定律，弹性力（F）等于弹性模量（E）与形变量（ΔL）的乘积。

圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家A.J.C.B.de 圣维南于1855年提出的。

其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的载荷所引起的物体中的应力，在离载荷作用区稍远的地方，基本上只同载荷的合力和合力矩有关；载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。

还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的载荷的合力和合力矩都等于零，则在远离载荷作用区的地方，应力就小得几乎等于零。

不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。

因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。

在弹性力学的边值问题中，严格地说在面力给定的边界条件及位移给定的边界条件应该是逐点满足的，但在数学上要给出完全满足边界条件的解答是非常困难的。

另一方面，工程中人们往往只知道作用于物体表面某一部分区域上的合力和合力矩，并不知道面力的具体分别形式。

因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。

这种等效将出带来数学上的某种近似，但人们在长期的实践中发现这种近似带来的误差是局部的，这是法国科学家圣维南首先提出的。

其要点有两处：一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系；二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。

一般对连续体而言，替换所造成显著影响的区域深度与小表面的直径有关。

圣维南原理在实用上和理论上都有重要意义。

在解决具体问题时，如果只关心远离载荷处的应力，就可视计算或实验的方便，改变载荷的分布情况，不过须保持它们的合力和合力矩等于原先给定的值。

圣维南原理是定性地说明弹性力学中一大批局部效应的第一个原理。

弹性力学的一般原理：圣维南原理：对于作用于物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。

弹性力学ppt课件•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧目录•一维问题分析与实例讲解•二维问题分析与实例讲解•三维问题分析与实例讲解•弹性力学在工程领域应用探讨01弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内力分布规律的科学。

研究对象弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。

弹性体基本假设与约束条件基本假设连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。

约束条件几何约束（物体形状和尺寸的限制）、物理约束（物体材料属性的限制）。

单位面积上的内力，表示物体内部的受力状态。

应力物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体的变形状态。

应变物体上某一点在外力作用下的位置变化。

位移应力与应变之间存在线性关系，位移是应变的积分。

关系应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律在弹性限度内，物体的应力与应变成正比，即σ=Eε，其中σ为应力，ε为应变，E为弹性模量。

适用范围适用于大多数金属材料在常温、静载条件下的力学行为。

对于非金属材料、高温或动载条件下的情况，需考虑其他因素或修正虎克定律。

02弹性力学分析方法与技巧0102建立弹性力学基本方程根据问题的具体条件和假设，建立平衡方程、几何方程和物理方程。

选择适当的坐标系和坐标…针对问题的特点，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或柱坐标系，并进行必要的坐标系转换。

求解基本方程采用分离变量法、积分变换法、复变函数法等方法求解基本方程，得到位移、应力和应变的解析表达式。

确定边界条件和初始条件根据问题的实际情况，确定位移边界条件、应力边界条件以及初始条件。

验证解析解的正确性通过与其他方法（如数值法、实验法）的结果进行比较，验证解析解的正确性和有效性。

030405解析法求解思路及步骤将连续体离散化为有限个单元，通过节点连接各单元，建立单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，求解节点位移和单元应力。

•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧•一维问题求解方法与实例分析•二维问题求解方法与实例分析•三维问题求解方法与实例分析•弹性力学在工程中应用与拓展弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象弹性力学定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内部应力分布规律的科学。

研究对象弹性力学的研究对象主要是弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。

弹性体基本假设与约束条件基本假设弹性体在变形过程中，其内部各点之间保持连续性，且变形是微小的，即小变形假设。

约束条件弹性体的变形受到外部约束和内部约束的限制。

外部约束指物体边界上的限制条件，如固定端、铰链等；内部约束指物体内部的物理性质或化学性质引起的限制条件，如材料的不均匀性、各向异性等。

0102 03应力应力是单位面积上的内力，表示物体内部的力学状态。

在弹性力学中，应力分为正应力和剪应力。

应变应变是物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体形状的改变。

在弹性力学中，应变分为线应变和角应变。

位移关系位移是物体上某一点位置的改变。

在弹性力学中，位移与应变之间存在微分关系，即位移的一阶导数为应变。

应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律虎克定律是弹性力学的基本定律之一，它表述了应力与应变之间的线性关系。

对于各向同性材料，虎克定律可表示为σ=Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。

适用范围虎克定律适用于小变形条件下的线弹性问题。

对于大变形或非线性问题，需要考虑更复杂的本构关系。

此外，虎克定律还受到温度、加载速率等因素的影响，因此在实际应用中需要注意其适用范围和限制条件。

弹性力学分析方法与技巧ABDC建立问题的数学模型根据实际问题，确定弹性体的形状、尺寸、边界条件、外力作用等，建立相应的数学模型。

选择合适的坐标系根据问题的特点和求解的方便性，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系、柱坐标系等。

列出平衡方程根据弹性力学的基本方程，列出平衡方程，包括应力平衡方程、应变协调方程等。

弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理弹性力学是研究物质在外力作用下发生弹性变形的力学学科，其求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。

首先，弹性力学的求解方法主要包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。

材料本构方程是描述材料的力学性质和变形规律的方程。

根据材料的不同性质和变形特点，可以选用不同的本构方程。

常用的本构方程包括胡克定律、庞加莱-克莱葛尔方程等。

通过假设材料是各向同性、线弹性等，可以建立相应的本构方程。

边界条件是指在弹性力学问题中，给定的物体表面上的约束条件。

边界条件的建立是弹性力学问题求解的基础。

一般情况下，边界条件包括位移边界条件和力边界条件。

位移边界条件是指物体表面上的位移限制，力边界条件是指物体表面上的力的作用情况。

通过建立合理的边界条件，可以求解出问题的解。

解方程的方法包括解析方法和数值方法。

解析方法是指通过分析和计算得到方程的解析解，解析解有精确度高、可视化好的优点。

数值方法是指通过数值计算得到方程的数值解，数值解可以通过计算机程序进行求解，适用范围广。

其次，弹性力学的一般性原理是指弹性力学问题的基本原理和公式。

弹性力学的一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。

平衡原理是指物体在外力作用下的平衡条件。

根据平衡原理，可以通过力的平衡方程建立弹性力学问题的公式。

平衡方程可以通过平衡力的矢量和等于零来表示。

相容性原理是指物体在变形过程中的相容性条件。

根据相容性原理，物体在变形过程中，任意两个小变形都相容。

相容性原理可以用于控制弹性力学问题的求解范围。

构造方程是用来描述物体在外力作用下的变形状态的方程。

通过对变形量的定义和方程的建立，可以得到物体的变形状态和应变状况。

综上所述，弹性力学的求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。

求解方法包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。

一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。

弹性力学的求解方法和一般性原理的运用，能够帮助研究者解决复杂的弹性力学问题，进一步推动该学科的发展。

第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。

本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。

弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。

面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。

根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。

弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。

应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。

三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。

主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。

如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。

二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。

本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。

弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。

弹性力学的理论模型和计算方法弹性力学是研究物体在外力作用下的形变和应力分布规律的学科。

它在工程学、物理学、材料学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍弹性力学的理论模型和计算方法，帮助读者更好地理解和应用弹性力学的知识。

1. 弹性力学的基本概念弹性力学研究物体在受力时的变形和应力，其中弹性变形指物体在外力作用下的恢复性形变，应力则是物体内部单元之间的相互作用力。

根据物体受力的不同方式，弹性力学可以分为静力学和动力学两个分支。

2. 弹性力学的理论模型在弹性力学中，最常用的理论模型是胡克定律。

胡克定律描述了物体的应力和应变之间的线性关系，即应力与应变成正比。

根据具体情况的不同，可以采用各种模型进行计算，如一维线弹性模型、平面应力和平面应变模型等。

3. 弹性力学的计算方法在实际应用中，针对不同的问题和受力情况，可以选择不同的计算方法来求解弹性力学的问题。

以下介绍几种常用的计算方法：a. 解析解法：从理论上解析得出物体的应力和应变分布规律，适用于简单几何形状和边界条件的情况。

b. 数值解法：通过建立有限元模型，利用数值方法求解弹性力学问题。

常用的数值解法有有限元法、有限差分法和边界元法等。

c. 实验方法：通过真实物体的实验测试来获取其力学性质，并反推计算应力和应变分布。

实验方法通常用于验证理论模型的正确性和精确度。

4. 弹性力学的应用领域弹性力学广泛应用于工程学和物理学等领域中。

在工程学中，弹性力学常用于结构设计和材料力学的分析，例如建筑物的承载能力计算和风力荷载分析等。

在物理学中，弹性力学被用于研究固体和流体的弹性性质，探究其力学行为和性能。

5. 弹性力学的发展趋势随着科技的不断发展和应用的深入，弹性力学的研究也在不断前进。

当前，弹性力学中的非线性、动态和复杂问题成为研究的热点。

同时，计算机技术和仿真方法的发展，为弹性力学的理论模型和计算方法提供了更多的工具和手段。

总结：弹性力学的理论模型和计算方法是研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律的重要内容。

弹性⼒学第五章第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理知识点弹性⼒学基本⽅程边界条件位移表⽰的平衡微分⽅程应⼒解法体⼒为常量时的变形协调⽅程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性⼒学基本求解⽅法位移解法位移边界条件变形协调⽅程混合解法应变能定理解的唯⼀性原理圣维南原理⼀、内容介绍通过弹性⼒学课程学习，我们已经推导和确定了弹性⼒学的基本⽅程和常⽤公式。

本章的任务是对弹性⼒学所涉及的基本⽅程作⼀总结，并且讨论具体地求解弹性⼒学问题的⽅法。

弹性⼒学问题的未知量有位移、应⼒和应变分量，共计15个，基本⽅程有平衡微分⽅程、⼏何⽅程和本构⽅程，也是15个。

⾯对这样⼀个庞⼤的⽅程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解⽅法。

根据这⼀要求，本章的主要任务有三个：⼀是综合弹性⼒学的基本⽅程，并按边界条件的性质将问题分类；⼆是根据问题性质，确定基本未知量，建⽴通过基本未知量描述的基本⽅程，得到基本解法。

弹性⼒学问题的基本解法主要是位移解法、应⼒解法和混合解法等。

应该注意的是对于应⼒解法，基本⽅程包括变形协调⽅程。

三是介绍涉及弹性⼒学求解⽅法的⼀些基本原理。

主要包括解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性⼒学问题解建⽴基础。

如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。

⼆、重点1、弹性⼒学的基本⽅程与边界条件分类；2、位移解法与位移表⽰的平衡微分⽅程；3、应⼒解法与应⼒表⽰的变形协调⽅程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性⼒学的基本⽅程及其边值问题学习思路:通过应⼒状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建⽴了⼀系列的弹性⼒学基本⽅程和边界条件。

本节的主要任务是将基本⽅程和边界条件作综合总结，并且对求解⽅法作初步介绍。

弹性⼒学问题具有15个基本未知量，基本⽅程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分⽅程。

弹性力学弹性力学简介elasticity弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。

它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。

绝对弹性体是不存在的。

物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

弹性力学的发展简史人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。

当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。

弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。

英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。

牛顿于1687年确立了力学三定律。

同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。

在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。

这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。

在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。

到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。

柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。

第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。

这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。

同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。

1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。