下载文档原格式
平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：0a b b a a b =-⇔=-⇔+=向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA uu u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r .（ 222222||,||a x y a a x y =+==+r r r 。
） 零向量：长度为0的向量。
a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =r r ，则a b =r r 。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =u u u r u u u r，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。
（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。
（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r。
其中正确的是_______2.已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|3|a b +u u r r ＝_____2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接连端点． ⑵平行四边形法则的特点：起点相同连对角．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r rr r r ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r．⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++rr ． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--rr ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r． 【例题】（1）①AB BC CD ++=u u u ru u u ru u u r___；②AB AD DC --=u u u ru u u ru u u r____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r_____（2）若形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r＝_____4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr．①a a λλ=r r ；②当0λ>时，a λr的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr的方向与a r 的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r；③()a b a b λλλ+=+r r r r ．⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r．【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______5、向量共线定理：向量()0a a ≠rr r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．设()11,a x y =r，()22,b x y =r ，（0b ≠r r ）22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 。
必修4-平面向量知识点总结平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量是既有大小又有方向的量，用有向线段来表示。
需要注意的是，向量可以平移，因此不能简单地将向量等同于有向线段。
举例1：已知A(1,2)，B(4,2)，将向量AB按照向量a=(-1,3)平移后得到的向量是(3,0)。
2.零向量是长度为0的向量，记作0.零向量的方向是任意的。
3.单位向量是长度为1的向量。
与AB共线的单位向量是±AB/|AB|。
4.相等向量是长度相等且方向相同的两个向量。
相等向量具有传递性。
5.平行向量（也叫共线向量）是方向相同或相反的非零向量a、b。
记作a∥b。
需要注意的是，零向量和任何向量都是平行的。
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的概念。
两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性（因为有例外）；④三点A、B、C共线⇔ AB、AC共线。
6.相反向量是长度相等方向相反的向量。
a的相反向量记作-a。
举例2：以下命题中，正确的是(4)和(5)。
1) 若|a|=|b|，则a=b。
2) 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
3) 若AB=DC，则ABCD是平行四边形。
4) 若ABCD是平行四边形，则AB=DC。
5) 若a=b，b=c，则a=c。
6) 若a//b，b//c，则a//c。
二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB。
需要注意的是，起点在前，终点在后。
2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a、b、c 等。
3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j为基底，那么平面内的任一向量a都可以表示为a=x*i+y*j=(x,y)。
(x,y)称为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示。
需要注意的是，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
高中数学必修 4 知识点总结平面向量知点一 .向量的基本看法与基本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b, c ⋯⋯来表示，或用有向段的起点与uuur uuurxi yj ( x, y)点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a；坐表示法 a向uuur量的大小即向量的模（度），作 | AB | 即向量的大小，作｜a｜向量不可以比大小，但向量的模能够比大小．②零向量：度 0 的向量，0，其方向是随意的，0与随意愿量平行零向量 a ＝0｜r ra ｜＝0因为0的方向是随意的，且定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共）的中必看清楚能否有“非零向量” 个条件．（注意与 0 的区）③ 位向量：模 1 个位度的向量向量 a0位向量｜ a0｜＝1④平行向量（共向量）：方向同样或相反的非零向量随意一平行向量都能够移到同一直上方向同样或相反的向量，称平行向量作a∥ b因为向量能够行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量能够平移到同向来上，故平行向量也称共向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个因素，起点能够随意取，在必划分清楚共向量中的“共” 与几何中的“共”、的含，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一的．⑤相等向量：度相等且方向同样的向量相等向量平移后能够重合， a b 大x1x2小相等，方向同样(x1, y1 )(x2 , y2 )y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuurAB a, BC b ，a+ b = AB BC =AC（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法足交律与合律；向量加法有“三角形法”与“平行四形法”：（1）用平行四形法，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法的特色是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法例；当两向量是首尾连结时，用三角形法例．向量加法的三角形法例可推行至多个向量相加：uuur AB uuurBCuuurCD LuuurPQuuurQRuuurAR ，但这时一定“首尾相连”．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做记作 a ,零向量的相反向量还是零向量a 的相反向量对于相反向量有：（ i）( a)= a；(ii) a +( a )=( a )+ a =0；(iii) 若a、b是互为相反向量，则 a = b , b= a , a +b= 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与 b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与 a 的方向同样；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是随意的②数乘向量知足互换律、联合律与分派律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：假如e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数 1 , 2 使：a1e1 2 e2 ，此中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底7特别注意 :（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有差别，向量平行是向量相等的必需条件（3）向量平行与直线平行有差别，直线平行不包含共线（即重合），而向量平行则包含共线（重合）的状况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细地点没关，只与其相对地点有关学习本章主要建立数形转变和联合的看法，以数代形，以形观数，用代数的运算办理几何问题，特别是办理向量的有关地点关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量能否垂直等 因为向量是一新的工具，它常常会与三角函数、数列、不等式、解几等联合起来进行综合考察，是知识的交汇点例 1 给出以下命题：① 若 | r r r ra | ＝ |b | ，则 a = b ；② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则uuur uuur AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；r rr rr r ③ 若 a = b ， b = c ，则 a = c ，rrrrr r④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ；r r r r r r⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a //c，此中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不必定同样．uuur uuur uuur uuur uuur uuur ② 正确．∵AB DC ，∴ | AB| |DC |且 AB// DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCDuuuruuur uuur uuur 为平行四边形，则，AB//DC 且|AB| |DC |，uuur uuur所以， AB DC ．③ 正确．∵r r r ra =b ，∴ a ， b 的长度相等且方向同样；r r r r 又 b ＝ c ，∴ b ， c 的长度相等且方向同样，r r r r ∴ a ， c 的长度相等且方向同样，故 a ＝ c ．r rr r r r r r ④ 不正确．当 a // b 且方向相反时，即便 | a |=| b | ，也不可以获得 a =b ，故 | a |=| b | r r r r 且 a // b 不是 a =b 的充要条件，而是必需不充足条件．r r⑤ 不正确．考虑 b = 0 这类特别状况．综上所述，正确命题的序号是②③．评论：本例主要复习向量的基本看法．向量的基本看法许多，因此简单忘记．为此，复习一方面要建立优秀的知识构造， 另一方面要擅长与物理中、 生活中的模型进行类比和联想．例 2 设 A 、B 、 C 、 D 、 O 是平面上的随意五点，试化简：uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ① AB BC CD ，② DB AC BD ③OAOCOBCO解：①原式 = uuur uuur uuur uuur uuur uuur( AB BC ) CD AC CD AD ②原式 = uuur uuur uuur r uuur uuur ( DBBD) AC 0 AC AC③原式=uuur (OBuuurOA)uuur ( OC uuurCO)uuurAB uuur(OCuuurCO) uuurAB ruuurAB例 3 设非零向量rrrrrrrrrra 、b 不共线，c =k a + b ，d = a +k b(k R)，若 c ∥ d ，试求 kr r解：∵ c ∥ d∴由向量共线的充要条件得：r r (λ R) c =λ d r r r rr r r 即 k a +b =λ( a +k b ) ∴ (k λ ) a + (1 λ k) b = 0r r又∵ a 、 b 不共线∴由平面向量的基本定理k 0 k11 k二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示： r r在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、y 轴方向同样的两个单位向量 i , j作为基底 由平面向量的基本定理知， 该平面内的任一直量 r r r rr a 可表示成 a xi yj ，因为 a 与r rr 数对 (x,y)是一一对应的，所以把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，此中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标同样，坐标同样的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细地点没关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算：(1) rx 1, y 1 rr rx 1 x 2 , y 1 y 2若 a ,bx 2 , y 2 ，则 a b uuur(2) 若 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 ，则 ABx 2 x 1 , y 2 y 1 (3) r r x, y)若 a =(x,y)，则 a =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0若 a,b，则 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r r x 1 x 2 y 1 y 2若 a,b，则 a br r y 1 y 2 0若 a b ，则 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算 类型向 1 平行四边形法例 r rx,y 21 y)2a bb a量 2 三角形法例a b (x 1的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向 三角形法例r ra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur减ABBA法uuur uuur uuurOB OA AB 向a 是一个向量 ,a( x, y)(a)() a量 知足 :的>0 时, a 与 a 同向 ;()aaa 乘<0 时, a 与 a 异向 ;法=0 时,a = 0( a b ) a ba ∥ bab向 a ? b 是一个数r rx 1x 2 y 1y 2a ?b b ? a量a?b的a0 或 b 0时 ,( a) ba ( b)(a b)数???量 a?b =0(ab) ?ca ?cb ?c积a 0且b 0 时 ,a 2 | a |2 , |a | x 2 y 2a?b |a||b|cos a,b| a ? b | | a || b | r r r r r r r r r r例 1 已知向量 a (1,2), b (x,1), u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，务实数 x 的值r r r r r r r r解：因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b ， v 2a br 2( x,1) (2 x 1,4) r 2(1,2) ( x,1) (2 x,3)所以 u (1,2) ， vr r又因为 u // v所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0 ，即 10x 5解得 x12AC 和 OB （ O 为坐标原点）交例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线点 P 的坐标uuur uuur(x 4, y)解：设 P(x, y) ，则 OP ( x, y), AP因为 P 是 AC 与OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上，也在直线 OB 上uuur uuur uuur uuur即得 OP // OB, AP // ACuuur uuur由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) 得， AC ( 2,6), OB (4, 4)6( x 4) 2 y 0得方程组4x 4 y 0x 3解之得y 3故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 三．平面向量的数目积1 两个向量的数目积：r rrrr r 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a ·b =︱ a ︱ ·︱ b ︱ cosr r r r叫做 a 与 b 的数目积（或内积） 规定 0 a 0r r rr r2 = a b向量的投影： ︱ b ︱ cos r ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射| a |影3 数目积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系： r r r 2 r 2 a aa | a |5 乘法公式建立：r r r r r 2 r 2 r a b a b a bar r 2 r 2r r r 2 r a ba2a b b a2 r 2b ；2 r rr 22a bb6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： rrr r a b b a②对实数的联合律建立： r r r r r r Ra ba b a b③分派律建立：r r r r r r r rr r a bc a cb cca b特别注意 ：（ 1）联合律不建立： r r rr r r；a b ca b cr r r rr r（2）消去律不建立 a ba c不可以获得 b crr不可以获得r r r r （3） a b =0a = 0 或b =07 两个向量的数目积的坐标运算：rrrr已知两个向量a ( x 1 , y 1),b ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b = x 1x 2 y 1 y 2rr uuur ruuur r8 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB=（ 000）叫做向量r r180 a 与b的夹角r rr rx1 x2y1 y2cos= cosa ?b=a, b r r2222? ba x1y1x2y2当且仅当两个非零向量r r r r r a 与b同方向时，θ=00，当且仅当 a 与b反方向时θ=1800，同时0与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r900r r r r9 垂直：假如a与b的夹角为则称 a 与b垂直，记作 a ⊥b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20平面向量数目积的性质例 1判断以下各命题正确与否：r r r0 ；（1）0 a0 ；（2）0 ar r r r r r r（3）若a0, a b a c ，则 b c ；r r r r r r r r⑷若 a b a c ，则 b c当且仅当 a0 时建立；r r r r r r r r r（5）( a b )c a(b c ) 对随意 a,b , c 向量都建立；（6）对随意愿量r r2r2 a，有 a a解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸ 错；⑹对例 2 已知两单位向量r r120，若r r r r r r r r a 与b的夹角为c2a b, d3b a ，试求c 与d的夹角解：由题意，r r r r0，a b 1 ，且a与 b 的夹角为 120r r r r01，所以， a b a b cos1202r r r r r r r r2r r r 227 ，Q c c c(2 a b) (2 a b)4a4a b b r7 ，cr13同理可得dr r r r r r r r r 2r217，而 c d(2a b ) (3b a)7a b3b2a2 rr设为 c 与d的夹角，则 cos2 171317 91 arccos17917 182182评论：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例 3r4,3 r1,2 rr r r r r的已知 a， b， mab , n2a b ，按以下条件务实数值r r r r r r（ 1） m n ；（ 2） m // n ； (3) m nr r r4,32 r r r 7,8解： m a b, n 2a br r 47 3 28 052（ 1） m n；r r9483 27 01 ；（ 2） m// n2r r 423 227 28 25 2488 0(3) mn2 2 115评论：此例展现了向量在座标形式下的基本运算。
平面向量复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向 ； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是： )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有 ；（5）平行向量（也叫 ）：方向 或 的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作： ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是 。
例：命题：（1）若a b =r r ，则a b =r r 。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。
（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。
（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r 。
其中正确的是_______；2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=r r r ，称(),x y 为向量的坐标，＝ 叫做向量的坐标表示。
高中数学必修 4 知识点总结平面向量知点一 .向量的基本概念与基本运算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b, c ⋯⋯来表示，或用有向段的起点与uuur uuurxi yj ( x, y)点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a；坐表示法 a向uuur量的大小即向量的模（度），作 | AB | 即向量的大小，作｜a｜向量不能比大小，但向量的模可以比大小．②零向量：度 0 的向量，0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量 a ＝0｜r ra ｜＝0由于0的方向是任意的，且定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共）的中必看清楚是否有“非零向量” 个条件．（注意与 0 的区）③ 位向量：模 1 个位度的向量向量 a0位向量｜ a0｜＝1④平行向量（共向量）：方向相同或相反的非零向量任意一平行向量都可以移到同一直上方向相同或相反的向量，称平行向量作a∥ b由于向量可以行任意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量可以平移到同一直上，故平行向量也称共向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意取，在必区分清楚共向量中的“共” 与几何中的“共”、的含，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一的．⑤相等向量：度相等且方向相同的向量相等向量平移后可以重合， a b 大x1x2小相等，方向相同(x1, y1 )(x2 , y2 )y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuurAB a, BC b ，a+ b = AB BC =AC（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法足交律与合律；向量加法有“三角形法”与“平行四形法”：（1）用平行四形法，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：uuur AB uuurBCuuurCD LuuurPQuuurQRuuurAR ，但这时必须“首尾相连”．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量a 的相反向量关于相反向量有：（ i）( a)= a；(ii) a +( a )=( a )+ a =0；(iii) 若a、b是互为相反向量，则 a = b , b= a , a +b= 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与 b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：如果e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1 , 2 使：a1e1 2 e2 ，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意 :（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例 1 给出下列命题：① 若 | r r r ra | ＝ |b | ，则 a = b ；② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则uuur uuur AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；r rr rr r ③ 若 a = b ， b = c ，则 a = c ，rrrrr r④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ；r r r r r r⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a //c，其中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．uuur uuur uuur uuur uuur uuur ② 正确．∵AB DC ，∴ | AB| |DC |且 AB// DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCDuuuruuur uuur uuur 为平行四边形，则，AB//DC 且|AB| |DC |，uuur uuur因此， AB DC ．③ 正确．∵r r r ra =b ，∴ a ， b 的长度相等且方向相同；r r r r 又 b ＝ c ，∴ b ， c 的长度相等且方向相同，r r r r ∴ a ， c 的长度相等且方向相同，故 a ＝ c ．r rr r r r r r ④ 不正确．当 a // b 且方向相反时，即使 | a |=| b | ，也不能得到 a =b ，故 | a |=| b |r r r r 且 a // b 不是 a =b 的充要条件，而是必要不充分条件．r r⑤ 不正确．考虑 b = 0 这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构， 另一方面要善于与物理中、 生活中的模型进行类比和联想．例 2 设 A 、B 、 C 、 D 、 O 是平面上的任意五点，试化简：uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ① AB BC CD ，② DB AC BD ③OAOCOBCO解：①原式 = uuur uuur uuur uuur uuur uuur( AB BC ) CD AC CD AD ②原式 = uuur uuur uuur r uuur uuur ( DBBD) AC 0 AC AC③原式=uuur (OBuuurOA)uuur ( OC uuurCO)uuurAB uuur(OCuuurCO) uuurAB ruuurAB例 3 设非零向量rrrrrrrrrra 、b 不共线，c =k a + b ，d = a +k b(k R)，若 c ∥ d ，试求 kr r解：∵ c ∥ d∴由向量共线的充要条件得：r r (λ R) c =λ d r r r rr r r 即 k a +b =λ( a +k b ) ∴ (k λ ) a + (1 λ k) b = 0r r又∵ a 、 b 不共线∴由平面向量的基本定理k 0 k11 k二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示： r r在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j作为基底 由平面向量的基本定理知， 该平面内的任一向量 r r r rr a 可表示成 a xi yj ，由于 a 与r rr 数对 (x,y)是一一对应的，因此把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算：(1) rx 1, y 1 rr rx 1 x 2 , y 1 y 2若 a ,bx 2 , y 2 ，则 a b uuur(2) 若 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 ，则 ABx 2 x 1 , y 2 y 1 (3) r r x, y)若 a =(x,y)，则 a =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0若 a,b，则 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r r x 1 x 2 y 1 y 2若 a,b，则 a br r y 1 y 2 0若 a b ，则 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算 类型向 1 平行四边形法则 r rx,y 21 y)2a bb a量 2 三角形法则a b (x 1的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向 三角形法则r ra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur减ABBA法uuur uuur uuurOB OA AB 向a 是一个向量 ,a( x, y)(a)() a量 满足 :的>0 时, a 与 a 同向 ;()aaa 乘<0 时, a 与 a 异向 ;法=0 时,a = 0( a b ) a ba ∥ bab向 a ? b 是一个数r rx 1x 2 y 1y 2a ?b b ? a量a?b的a0 或 b 0时 ,( a) ba ( b)(a b)数???量 a?b =0(ab) ?ca ?cb ?c积a 0且b 0 时 ,a 2 | a |2 , |a | x 2 y 2a?b |a||b|cos a,b| a ? b | | a || b | r r r r r r r r r r例 1 已知向量 a (1,2), b (x,1), u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，求实数 x 的值r r r r r r r r解：因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b ， v 2a br 2( x,1) (2 x 1,4) r 2(1,2) ( x,1) (2 x,3)所以 u (1,2) ， vr r又因为 u // v所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0 ，即 10x 5解得 x12AC 和 OB （ O 为坐标原点）交例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线点 P 的坐标uuur uuur(x 4, y)解：设 P(x, y) ，则 OP ( x, y), AP因为 P 是 AC 与OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上，也在直线 OB 上uuur uuur uuur uuur即得 OP // OB, AP // ACuuur uuur由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) 得， AC ( 2,6), OB (4, 4)6( x 4) 2 y 0得方程组4x 4 y 0x 3解之得y 3故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 三．平面向量的数量积1 两个向量的数量积：r rrrr r 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a ·b =︱ a ︱ ·︱ b ︱ cosr r r r叫做 a 与 b 的数量积（或内积） 规定 0 a 0r r rr r2 = a b向量的投影： ︱ b ︱ cos r ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射| a |影3 数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系： r r r 2 r 2 a aa | a |5 乘法公式成立：r r r r r 2 r 2 r a b a b a bar r 2 r 2r r r 2 r a ba2a b b a2 r 2b ；2 r rr 22a bb6 平面向量数量积的运算律：①交换律成立： rrr r a b b a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r rr r a bc a cb cca b特别注意 ：（ 1）结合律不成立： r r rr r r；a b c a b cr rr r r r （2）消去律不成立 a ba c 不能得到b crr不能得到 r r r r（3） a b =0a = 0 或b =07 两个向量的数量积的坐标运算：rrrr已知两个向量a ( x 1 , y 1),b ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b = x 1x 2 y 1 y 2rr uuur ruuur r8 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB=（ 000）叫做向量r r180 a 与b的夹角r rr rx1 x2y1 y2cos= cosa ?b=a, b r r2222? ba x1y1x2y2当且仅当两个非零向量r r r r r a 与b同方向时，θ=00，当且仅当 a 与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r900r r r r9 垂直：如果a与b的夹角为则称 a 与b垂直，记作 a ⊥b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20平面向量数量积的性质例 1判断下列各命题正确与否：r r r0 ；（1）0 a0 ；（2）0 ar r r r r r r（3）若a0, a b a c ，则 b c ；r r r r r r r r⑷若 a b a c ，则 b c当且仅当 a0 时成立；r r r r r r r r r（5）( a b )c a(b c ) 对任意 a,b , c 向量都成立；（6）对任意向量r r2r2 a，有 a a解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸ 错；⑹对例 2 已知两单位向量r r120，若r r r r r r r r a 与b的夹角为c2a b, d3b a ，试求c 与d的夹角解：由题意，r r r r0，a b 1 ，且a与 b 的夹角为 120r r r r01，所以， a b a b cos1202r r r r r r r r2r r r 227 ，Q c c c(2 a b) (2 a b)4a4a b b r7 ，cr13同理可得dr r r r r r r r r 2r217，而 c d(2a b ) (3b a)7a b3b2a2 rr设为 c 与d的夹角，则 cos2 171317 91 arccos17917 182182点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例 3r4,3 r1,2 rr r r r r的已知 a， b， mab , n2a b ，按下列条件求实数值r r r r r r（ 1） m n ；（ 2） m // n ； (3) m nr r r4,32 r r r 7,8解： m a b, n 2a br r 47 3 28 052（ 1） m n；r r9483 27 01 ；（ 2） m// n2r r 423 227 28 25 2488 0(3) mn2 2 115点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。
数学必修四第二章平面向量知识点第二章平面向量1. 平面向量的概念：平面上具有大小和方向的箭头。
2. 向量的表示：向量通常用小写字母加上一个箭头表示，如a→。
3. 平行向量：具有相同或相反的方向的向量。
4. 向量的加法：向量a→与向量b→相加得到向量c→，其坐标分别相加，即c→ = a→ + b→。
5. 向量的减法：向量a→与向量b→相减得到向量c→，其坐标分别相减，即c→ = a→ - b→。
6. 向量的数量积：向量a→与向量b→的数量积，用a·b表示，满足a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a→和向量b→的模，θ为两个向量夹角的大小。
7. 向量的数量积的性质：具有交换律、结合律和分配律。
8. 向量的夹角：向量a→与向量b→的夹角可以通过向量的数量积来计算夹角的余弦值。
9. 向量的夹角的性质：两个向量夹角为0°，当且仅当它们是同一向量或其中一个向量是另一个向量的相反向量。
10. 向量的共线与垂直：两个向量共线，当且仅当它们的夹角为0°或180°；两个向量垂直，当且仅当它们的数量积为0。
11. 平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示，即向量a→可以表示为(a,b)。
12. 平面向量的数量积的坐标表示：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积为a1b1 + a2b2。
13. 向量的数量积与坐标表示的关系：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积等于它们的坐标相乘的和。
14. 平移向量：平面上的一点A沿着一条向量a→移动到另一点B，其位置关系可以用带箭头的线段→AB表示，这条线段就是向量a→。
15. 平面向量的模运算：给定向量a→(a1, a2)，有|a→| = √(a1^2 + a2^2)。
这些是数学必修四第二章平面向量的核心知识点。
高一必修四第二章《平面向量》重要知识点及重要题型1、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连、⑵平行四边形法则的特点：共起点2、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向是减向量终点指向被减向量终点、如图：其中是减向量，是被减向量3、向量加减坐标运算：设，，，，⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③、若，则，（终点坐标减去起点坐标）①；②；③、，①、②当与同向时，；当与反向时，；或、③、，、则、①；②；③、、向量共线定理：1、向量与共线（），当且仅当有唯一一个实数，使、2、若，，向量共线判断方法：2设，，以上两种方法都可以判断两向量平行、两向量垂直：，，即⑶三角形不等式：（以下）（其中当）例：中，若,则是矩形。
特别注意的点：对角线相等的平行四边形是矩形投影：中点坐标公式：典型例题集1、以下说法错误的是（）A、零向量与任一非零向量平行B、零向量与单位向量的模不相等C、平行向量方向相同D、平行向量一定是共线向量2、下列四式不能化简为的是（）A、B、C、D、3、已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）A、B、C、D、4、已知、均为单位向量,它们的夹角为60,那么|+3| =（）A、B、C、D、45、已知ABCDEF是正六边形，且＝，＝，则＝（）（A）（B）（C）＋（D）6、设，为不共线向量，＝+2,＝－4－,＝－5－3,则下列关系式中正确的是（）（A）＝（B）＝2 （C）＝－（D）＝－27、设与是不共线的非零向量，且k＋与＋k共线，则k的值是（）（A）1 （B）－1 （C）（D）任意不为零的实数8、已知向量＝（3,4），＝（sinα，cosα），且∥，则tanα等于( )A、B、C、D、9、已知且与平行，则( )(A)(B)(C)1 (D)210、若是非零向量，且=1），=（，k），且∥，则实数k的值为( )13、在四边形ABCD中，＝，且＝0，则四边形ABCD是（）（A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形14、已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为（）（A）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）15、已知＝（1，2），＝（－2，3），且k+与－k垂直，则k ＝（）（A）（B）（C）（D）16、若平面向量和互相平行，其中、则（）A、或0；B、；C、2或；D、或、17、下面给出的关系式中正确的个数是（）① ②③④⑤(A)0 (B)1 (C)2 (D)318、已知向量若时，∥；时，，则A、B、C、D、二、填空题(5分5=25分):1、若Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为、2、已知，则、3、已知向量，且，则的坐标是_________________、4、ΔABC中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C点坐标为________________5、若有以下命题：① 两个相等向量的模相等；② 若和都是单位向量，则；③ 相等的两个向量一定是共线向量；④ ，，则；⑤ ②；⑥ 两个非零向量的和可以是零。
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型（经典）一,向量重要结论（1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=，22||a a a a ?==（2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos ||||a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。
（4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -=（5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y +=（6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥?（7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y +（8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影（9）、向量：既有大小又有方向的量。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率；（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.（6）给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7）给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角。
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)1.向量重要结论1) 向量的数量积定义为：$a\cdot b=|a||b|\cos\theta$，规定$a\cdot a=a^2=|a|^2$。
2) 向量夹角公式为：若向量$a$和$b$夹角为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{a\cdot b}{|a||b|}$。
3) 向量共线的充要条件为：向量$b$与非零向量$a$共线当且仅当存在唯一的$\lambda\in\mathbb{R}$，使$b=\lambda a$。
4) 两向量平行的充要条件为：向量$a=(x_1,y_1)$和$b=(x_2,y_2)$平行当且仅当$x_1y_2-x_2y_1=0$。
5) 两向量垂直的充要条件为：向量$a$和$b$垂直当且仅当$a\cdot b=0$，即$x_1x_2+y_1y_2=0$。
6) 向量不等式为：$|a|+|b|\geq|a+b|$，$|a||b|\geq|a\cdot b|$。
7) 向量的坐标运算为：若向量$a=(x_1,y_1)$和$b=(x_2,y_2)$，则$a\cdot b=x_1x_2+y_1y_2$。
8) 向量的投影为：设向量$b$在向量$a$方向上的投影为$p$，则$|p|=|b|\cos\theta$，其中$\theta$为$b$和$a$的夹角，$|a|$为向量$a$的模。
9) 向量既有大小又有方向，不能比较大小，但模可以比较大小。
相等向量长度相等且方向相同。
10) 零向量长度为0，记为$\vec{0}$，其方向是任意的，与任意向量平行。
11) 单位向量模为1的向量，向量$a$为单位向量当且仅当$|a|=1$。
12) 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
1.已知A、B、C三点共线，且α+β=1，使OC=αOA+βOB。
求OP。
答：OP=OA+λOB，其中λ=β/(1-α)。
必修四平面向量知识点与题型归纳梳理平面向量的基本概念与线性运算知识点1平面向量的线性运算运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)结合律：λ(μ a)＝λμa＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点2共线向量定理、平面向量基本定理及应用1．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三点并且在同一条直线上，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得________(如图所示)．三、题型分析(一) 关于平面向量的概念及其特殊向量的概念（零向量与单位向量）例1．给出下列四个命题：①若a b→→=，则a b=；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC = ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是a b →→=且//a b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB DC =，∴AB DC =且//AB DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB DC =且//AB DC 方向相同，因此AB DC =. ③正确.∵a b =，∴a b ，的长度相等且方向相同，又b c =，∴,b c 的长度相等且方向相同，∴,a c 的长度相等且方向相同，故a c =.④不正确.当//a b 且方向相反时，即使a b →→=，也不能得到a b =，故a b →→=且//a b 不是a b =的充要条件，而是必要不充分条件.【变式训练1】下列说法正确的是（ ）A ．AB CD ∥就是AB 所在的直线平行于CD 所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段D ．共线向量是在一条直线上的向量【解析】对于A ，若AB ∥CD ，则AB ，CD 的方向相同或相反，AB 所在的直线与CD 所在的直线平行或在同一直线上，故A 错误；对于B ，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B 错误；对于D ，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．故选：C ． 【变式训练2】下列说法正确的个数是（ ） ①两个有公共终点的向量是平行向量；②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④若a b =，b c =，则a c =. A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，不妨设a 为零向量，则a 与b 共线，这与a 与b 不共线矛盾，故③正确；a b =，则,a b 的长度相等且方向相同；bc =，则,b c 的长度相等且方向相同，所以,a c 的长度相等且方向相同，故a c =，④正确.故选：B 【变式训练3】下列说法正确的是（ ） A ．与向量(0)AB AB ≠共线的单位向量只有||ABAB B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 C ．向量AB 与向量BA 是两平行向量 D ．单位向量都相等 【解析】与向量()0AB AB ≠共线的单位向量有||ABAB ±，故A 项错误.因为零向量与任一向量平行，因此，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B 项错误.因为向量AB 与BA 方向相反，所以二者是平行向量，故C 项正确;单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D 项错误.故选：C (二) 平行向量与共线向量例2．梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M 、N 分别是BC 和AB 的中点，设AB a =，NM b =，则AD =______.【解析】因为M 、N 分别是BC 和AB 的中点，所以12NM AC =，NM AC ， 所以22AC NM b ==，因为AB CD ∥，2AB CD =，所以1122DC AB a ==，所以AD AC CD AC DC =+=-122a b =-+.故答案为：122a b -+.【变式训练1】．已知不共线的非零向量,a b ，若2a b -与2a b λ+平行，则实数λ的值为__________．【解析】因为2 a b -与2a b λ+平行，所以()22 a b k a b λ-=+所以212k k λ=⎧⎨=-⎩，解得：4λ=-【变式训练2】．已知OA a =，OB b =，若13OC a =，34OD b =，且AD 与BC 交于E 点，则OE=___________.(用a、b表示)【解析】因为,,D E A,三点共线,所以存在实数m使得3(1)(1)4 OE mOA m OD ma m b =+-=+-⨯; 又,,B E C三点共线, 所以存在实数n使得()(1)131OE nOB n OC nb n a=+-=+-⨯,()()113314m nm n⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-⨯=⎪⎩解得19m=，所以11314123999a bOE a b⎛⎫=+-⨯=+⎪⎝⎭，故填：1293a b+.:【变式训练3】．【2015·天津，14，中】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE→＝λBC→，DF→＝19λDC→，则AE→·AF→的最小值为________．【解析】如图，分别过C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，则AM＝BN＝12，∴CD＝MN＝1.∴AE→·AF→＝(AB→＋BE→)·(AB→＋BC→＋CF→)＝AB→2＋AB→·BC→＋AB→·CF→＋AB→·BE→＋BE→·BC→＋BE→·CF→＝1718＋29λ＋λ2≥1718＋219＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时等号成立，此时AE→·AF→有最小值2918.例3．已知平行四边形OABC中，若P是该平面上任意一点，则满足OP OA OBλμ=+（,λμ∈R）. （1）若P是BC的中点，求λμ+的值；（2）若A、B、P三点共线，求证：1λμ+=.【解析】（1）由题意,111222OP OB BP OB BC OB AO OB OA=+=+=+=-,又OP OA OB λμ=+,故1,12λμ=-=,即12λμ+=. （2）A 、B 、P 三点共线，设AP t AB =()t ∈R ,则()()1OP OA AP OA t AB OA t AO OB t OA tOB =+=+=++=-+, 又OP OA OB λμ=+,故1,t t λμ=-=,即1λμ+=.【变式训练1】．已知1e ，2e 不共线，若2211()()e e e k e k ++，试确定k 的值． 【解析】∵12e e ，不共线；∴120e ke +≠；又2211()()e e e k e k ++；∴存在实数λ，使1212ke e e k e λλ+=+；即1k k λλ=⎧⎨=⎩，解得1k =±.【变式训练2】．已知s 、t 是两个不平行的向量，AB s t =+，28BC s t =+，33CD s t =-，试判断A 、B 、D 的位置关系，并证明你的结论.【解析】由已知得()()()2833555BD BC CD s t s t s t s t =+=++-=+=+，又因为AB s t =+， 所以5BD AB =，所以//,BD AB 又BD AB B =⋂，所以A 、B 、D 三点在一条直线上.故得解.得322.k μμ=⎧⎨-=-⎩，解得324.3k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以43k =.(三) 向量的线性运算（三角形法则与平行四边行法则）例4．（2019·湖北高三月考（文））在ABC ∆中，,BD DC E =是AD 的中点，则EB( )A ．2133AB AC - B ．2133AB AC -+ C ．3144AB AC -+D ．3144AB AC【解析】在ABC ∆中，AD 为边BC 上的中线，E 为AD 的中点， 所以12EB AB AE AB AD =-=-，1131()2244AB AB AC AB AC -⨯+=-，故选D. 【变式训练1】．如图，在ABC △中，,,AD BE CF 分别是BC,CA,AB 边上的中线，G 是它们的交点，则下列等式中不正确的是（ ）A ．23BG BE =B ．12DG AG =C ．2CG FG =-D ．121332DA FC BC +=【解析】G 为三条中线的交点 G ∴为ABC ∆的重心23BG BE ∴=，22CG GF FG ==-，1122DG GA AG ==-，可知,A C 正确，B 错误 又121332DA FC DG GC DC BC +=+==，则D 正确，本题正确选项：B 【变式训练2】．已知D E F 、、分别是ABC △的边BC CA AB 、、的中点，且,BC a CA b ==，,AB c = 给出下列等式：①0;AD BE CF ++=②11;22CF a b =-+③11;22EF c b =-④12BE a b =+ 其中正确的等式是______（请将正确等式的序号填在横线上）．（6分）【解析】由题意，如图所示，因为,,BC a CA b AB c ===，且0a b c BC CA AB ++=++=①中，()11130222AD BE CF c a a b b a b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以是正确的；②中，由三角形法则，可得()11112222CF b c b a b a b =+=-+=-+，所以是正确的； ③中，因为,E F 是边,AB AC 的中点，则()1111122222EF CB a b c b c ==-=+=+，所以不正确； ④中，由三角形法则，可得12BE a b =+，所以是正确的，综上可知，正确命题的序号为①②④.(四) 向量的数乘与几何意义 例5．若12232PP PP =-，且212P P PP λ=，则λ等于（ ）A ．23B ．2C ．23-D ．2-【解析】因为12232PP PP =-，所以得到12232PP P P =，所以得到21223P P PP =，所以23λ=.故选：A. 【变式训练1】．若O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且4OA OB OC ++=0，那么（ ） A ．OD AO =- B ．2OD AO =- C ．2OD AO =D ．OD AO =【解析】如图，D 为BC 的中点，2,420,2OB OC OD OA OD OD AO ∴+=∴+=∴=. 故选C.【变式训练2】．如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则OA OC OE ++=（ ）A ．0B ．0C ．AED ．EA【解析】OA OC OB +=，OB OE =- 0OA OC OE OB OE ∴++=+=，本题正确选项：A四、迁移应用1．给出下列说法：①AB 和BA 的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④0=0；⑤AB CD >.其中正确说法的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】①正确，AB 与BA 是方向相反、模相等的两个向量; ②错误，方向不同包括共线反向的向量；③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；④错误，0是一个向量，而0为一个数，应为||0=0； ⑤错误，向量不能比较大小.只有①正确，故选B.2．（2019·上海市七宝中学高二月考）任意四边形ABCD 内有一点O 满足0OA OB OC OD +++=，则O 点的位置是（ ） A ．对角线的交点 B ．对边中点连线的交点C ．BD 的点 D ．AC 的中点【解析】如图,点E 、F 分别为AB 、CD 的中点,2OA OB OE ∴+=,2OC OD OF +=0OA OB OC OD +++=0OE OF ∴+=,易得E 、F 共线,故选：B3.（2018·全国高考真题（理））在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB（ ）A ．3144AB AC B ．1344AB AC C ．3144ABAC D ．1344ABAC 【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.4.（2019·广东高三学业考试）如图，ABC △中，,AB a AC b ==，4BC BD =，用,a b 表示AD ，正确的是( )A ．1434AD a b =+B ．5414AD a b =+ C ．3414AD a b =+D ．5414AD a b =-【解析】由BC 4BD =，可得()AC AB 4AD AB -=-，则31AD AB AC 44=+，即31AD a b 44=+. 故选C.5．（2018·全国高考真题（理））已知向量a,b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ） A ．4B ．3C ．2D ．0【解析】因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+=所以选B.6．（2019·安徽高三月考（理））平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60BAD ︒∠=，若AE AB AD λ=+，且DB AE ⊥，则λ的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】∵DB AB AD =-，DB AE ⊥，∴0DB AE ⋅=，即()()0AB AD AB AD λ-⋅+=，整理可得22(1)0AB AB AD AD λλ+-⋅-=， 即93(1)40λλ+--=，解得6λ=．7．（2019·山东高一期末）在ABC △中，点D 是BC 边上的靠近C 的三等分点，则AD =（ ）A ．1233AB AC + B ．2133AB AC - C ．2133AB AC +D ．1233AB AC -【解析】2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,选择A 故选：D.8．给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；③数轴用一个实数来表示向量AB ，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确； ④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确.故选：D. 9．（2019·江西高一期中）已知1e ，2e 不共线，若2211()()e e e k e k ++，试确定k 的值． 【解析】∵12e e ，不共线；∴120e ke +≠；又2211()()e e e k e k ++； ∴存在实数λ，使1212ke e e k e λλ+=+；即1k k λλ=⎧⎨=⎩，解得1k =±.10．设,a b 是不共线的两个非零向量.（1）若233OA a b OB a b OC a b =-=+=-，，，求证：A B C ，，三点共线；（2）若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值；（3）若232AB a b BC a b CD a kb =+=-=-，，，且A C D ，，三点共线，求实数k 的值. 【解析】证明：（1）22AB OB OA a b AC OC OA a b =-=+=-=--，，所以AC AB =-.又因为A 为公共点，所以A B C ，，三点共线. （2）设()82a kb ka b λλ+=+∈R ，，则82k k λλ=⎧⎨=⎩，，，解得42k λ=⎧⎨=⎩，或42k λ=-⎧⎨=-⎩，，实数k 的值为4±.（3）()()2332AC AB BC a b a b a b =+=++-=-， 因为A C D ，，三点共线，所以AC 与CD 共线.从而存在实数μ使AC CD μ=，即()322a b a kb μ-=-，得322.k μμ=⎧⎨-=-⎩，解得324.3k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以43k =.平面向量的坐标运算及其数量积(一) 平面向量的基本定理与坐标表示 知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ） A ．12(1,2),(2,4)e e == B ．12(3,1),(1,3)e e =-=- C ．12(2,1),(2,1)e e ==--D ．121(,0),(3,0)2e e ==【解析】对于A ，114220,e ⨯-⨯=∴与2e 共线，不能作为基底； 对于B ，()()1331180,e ⨯--⨯-=≠∴与2e 不共线，能作为基底； 对于C ，()()121120,e ⨯--⨯-=∴与2e 共线，不能作为基底；对于D ，110030,2e ⨯-⨯=∴与2e 共线，不能作为基底，故选B. （2）.（2019·江西高一期末（理））设12,e e 是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ） A ．21e e -与12e e - B ．1223e e +与1246e e -- C ．12e e +与12e e -D ．121128e e -+与1214e e - 【解析】由12,e e 是平面内的一组基底，所以1e 和2e 不共线，对应选项A ：21e e -()12e e =--，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项B ：1223e e +()121462e e =---，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项D ：121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C ：12e e +与12e e -不共线，能作为基底.故选：C ．（3）.（2019·内蒙古高三月考（理））在正方形ABCD 中，点O 为ABC ∆内切圆的圆心，若AO xAB yAD =+，则xy 的值为（ ）A ．221- B ．322- C ．214+ D ．212- 【解析】连OB 并延长到与AC 相交于点H ，设正方形ABCD 的边长为1，则122BH BD ==，设ABC ∆内切圆的半径为r ，则()22212BH OH OB r r r =+=+=+=，可得222r -=. 设ABC ∆内切圆在AB 边上的切点为E ，则()1AO AE EO r AB r AD =+=-+22222211222AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫--=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有22x =，212y =-，故22211222xy ⎛⎫-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D 【变式训练1】．（2011·北京高三开学考试（理））在平行四边形ABCD 中1AB e =，2AC e =，14NC AC =，12BM MC =，则MN = .（用12,e e 表示） 【答案】1225312e e -+【解析】如图：MN ＝CN －CM ＝CN ＋2BM ＝CN ＋23BC ＝－14AC ＋23(AC －AB )＝－214e ＋212()3e e -＝1225312e e -+.故本题答案为1225312e e -+. 【变式训练2】．（2019·全国高三月考（理））己知边长为2的正方形ABCD ，,E F 分别是边,BC CD 上的两个点，AE AF xAB y AD +=+，若3x y +=，则||EF 的最小值为_____________.【解析】以A 为原点，AB 所在的直线建立如图所示的平面直角坐标系， 则()()()()0,0,2,0,0,2,2,2A B D C ，设()()2,,,2E m F n()()2,0,0,2AB AD ==，()()2,,,2AE m AF n ==， 由AE AF xAB y AD +=+可得2222n x m y +=⎧⎨+=⎩，故2222n x m y =-⎧⎨=-⎩. ()()()()()()2222222242424222EF m n x y x x =-+-=-+-=-+-进一步化简可得22382420822EF x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当32x =时，EF 有最小值且为22. (二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． (4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2019·福建高三月考）已知(5,2),(4,3)a b =-=--，若230a b c -+=，则c 的坐标为（ ） A ．8(1,)3B ．138(,)33-C ．134(,)33D ．134(,)33-- 【解析】设(,)c x y =,因为230a b c -+=,所以(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=.所以(583,263)(0,0)x y ++-++=,所以1330,430x y +=+=, 解得:133x,43y =-.所以134(,)33c =--.故选D.（2）.（2019·湖南高一期末）已知()0,1A -，()0,3B ，则||AB =（ ） A ．2B ．10C ．4D ．210【解析】由题得AB =（0,4）所以2||0(31)4AB =++=．故选：C【变式训练1】.（2017·湖北高一期中（文））已知向量()1,2a =，向量()3,2b =-. （1）求向量2a b -的坐标； （2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -共线. 【解析】（1）()()()21,223,27,2a b -=--=-（2）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+，()()()21,223,27,2a b -=--=- ∵ka b +与2a b -共线，∴()()72223k k +=--∴12k =-【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知(3,4),(5,10)A B ---，O 为坐标原点. (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OC OA OB =+，求与OC 同向的单位向量的坐标． 【解析】（1）()8,6AB =-,()228610AB ∴=+-=.（2）()()()3,45,102,14OC OA OB =+=--+-=-,222(14)102OC =+-=,∴与OC 同向的单位向量272,1010OCn OC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭. (三) 平面向量的数量积 知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (3)cos θ＝a·b |a||b|. (4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）.（2019·陕西高二期中）平面向量a 与b 的夹角为60°，且30()a =，，1b =，则2a b +=（ ）AB C ．19D ．【解析】依题意2a b +=2244a a b b =+⋅+=故选：B.（2）.（2019·全国高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅= A ．-3 B ．-2 C ．2D ．3【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知a ，b ，c 均为单位向量，a 与b 的夹角为60，则()(2)c a c b +⋅-的最大值为( )A ．32B ．3C ．2D ．3【解析】设c 与2a b -的夹角为θ，因为222|2|443a b a a b b -=-⋅+=，|2|3a b -=，所以2()(2)(2)21|||2|cos 1c a c b cc a b a b c a b θ+⋅-=+⋅--⋅=+⋅--，所以()(2)3cos c a c b θ+⋅-=，所以max 3=，此时cos 1θ=.故选：B ．【变式训练2】.（2018·浙江高考真题）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）A ．B ．1C ．D ．2 【解析】∵，，均为单位向量，且，，则0，∴•（）≥1．而2223﹣2•（）≤3﹣2＝1，故的最大值为 1，故选：B ．【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=【变式训练4】.（2019·浙江高一期中）已知,a b 为单位向量，12a b ⋅=. （1）求2a b +；（2）求2a b +与b 的夹角θ的余弦值；【解析】由题得22=4++4=5+4a b a b a b +⋅⋅由题得2a b +与b 的夹角θ的余弦值为(2)cos|2|||7a b b a b b θ+⋅====+故答案为：（1（2）7.(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)．设向量(1,2),(1,1)a b ==-，若向量a λb +与向量a 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．43B ．1C ．1-D ．5-【解析】由已知得(1,2)a b λλλ+=-+，向量a λb +与向量a 垂直，()0a b a λ∴+⋅=.即(1)1(2)20λλ-⨯++⨯=，解得5λ=-.故选D.(2)．（2019·河南高三月考（理））已知ABC ∆的重心G 恰好在以边AB 为直径的圆上，若8AC CB ⋅=-，则AB =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】设AB 的中点为M ，则2GA GB GM +=.因为ABC ∆的重心G 恰好在以边AB 为直径的圆上，所以0GA GB ⋅=且2.GC GM AC CB =-⋅()()AG GC CG GB =+⋅+2AG CG GC AG GB GC GB =⋅-+⋅+⋅2()GC GA GB GC =⋅+- 2222GC GM GC GC =⋅-=-22||8AB =-=-，解得||2AB =.【变式训练1】（2017·浙江高考真题）已知向量,a b 满足1,2a b ==，则++-a b a b 的最小值是___________，最大值是______.【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：2212212cos 54cos a b θθ-=+-⨯⨯⨯=-，()2212212cos 54cos a b πθθ+=+-⨯⨯⨯-=+，则： 54cos 54cos a b a b θθ++-=++-，令54cos 54cos y θθ=++-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈，据此可得：()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是25．【变式训练2】．（2017·江苏高考真题）在同一个平面内，向量,,OA OB OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α，且tan 7,OB α=与OC 的夹角为45，若(),OC mOA nOB m n R =+∈，则m n +=_________．【解析】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则1,0A ，由OC 2与OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=知，272cos sin αα== ，可得17,,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()cos 45,45B sin αα++，34,55B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+可得13173455,,,74555555m nm n n n⎧=-⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩57,44m n ==，3m n ∴+=，故答案为3. 四、迁移应用1.已知平面向量e b a ,,满足1|e |=，1=e a ，1-=e b ，,4||=-b a 则b a 的最小值_____________【解析】设)0,1(=e ，a ）（11,y x =，),(b 22y x =，由1=e a ，1-=e b 得：⎩⎨⎧-==1121x x,4||=-b a 所以16222=++b b a a 解得：3221±=y y ，b a =4)3(3211-2222221-±=±+-=+y y y y y ，故此b a 的最小值为-4.2．(2015·天津，14，中)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．【解析】 如图，分别过C ，D 作CN ⊥AB 于N ，DM ⊥AB 于M ，则AM ＝BN ＝12，∴CD ＝MN ＝1.∴AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AB →＋BC →＋CF →)＝AB →2＋AB →·BC →＋AB →·CF →＋AB →·BE →＋BE →·BC →＋BE →·CF → ＝1718＋29λ＋λ2≥1718＋219＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时等号成立，此时AE →·AF →有最小值2918. 3．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10【答案】因为PA →－PB →＝BA →，且PA →＋PB →＝2PD →，两式平方相加得2PA →2＋2PB →2＝BA →2＋4PD →2＝4CD →2＋4PC →2＝20PC →2，故|PA|2＋|PB|2|PC|2＝10.4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．【解析】 由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2， 代入数据得2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.【答案】 225．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．【解析】 ①以D 点为原点，DC ，DA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)．设E(x ，1)，那么DE →＝(x ，1)，CB →＝(0，1)，∴DE →·CB →＝1.②∵DC →＝(1，0)，∴DE →·DC →＝x. ∵正方形的边长为1，∴x 的最大值为1，故DE →·DC →的最大值为1.【答案】 1 1 6．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2，1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________． 【解析】因为点M ，N 分别在边BC 和CD 上，可设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝k ∈[0，1]，则AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AB →＋BC →＋CN →)＝(AB →＋kBC →)·(AB →＋BC →＋kCD →) ＝AB →2＋AB →·BC →＋kAB →·CD →＋kAB →·BC →＋kBC → 2＋k 2BC →·CD →＝4＋2×1×12－4k ＋2×1×12k ＋k －1×2×12k 2＝5－2k －k 2＝－(k ＋1)2＋6∈[2，5]，k ∈[0，1]．7.(1)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10(2)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________． 【解析】 (1)AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5，故选C.(2)方法一：由题意可知，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC →·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝1，则AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.① 因为|AD →|＝1，∠BAD ＝60°，所以AB →·AD →＝12|AB →|，因此①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1.解得|AB →|＝0(舍去)或12，所以AB 的长为12.方法二：以A 为原点，AB 为x 轴建立如图的直角坐标系，过D 作DM ⊥AB 于点M.由AD ＝1， ∠BAD ＝60°，可知AM ＝12，DM ＝32.设|AB|＝m(m ＞0)，则B(m ，0)．C ⎝⎛⎭⎫m ＋12，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32. 因为E 是CD 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫m 2＋12，32.所以BE →＝⎝⎛⎭⎫12－12m ，32，AC →＝⎝⎛⎭⎫m ＋12，32.由AC →·BE →＝1，可得⎝⎛⎭⎫m ＋12⎝⎛⎭⎫12－12m ＋34＝1，即2m 2－m ＝0，所以m ＝0(舍去)或12.故AB 的长为12. 8.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．【解析】以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0，0)，E(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，则AE →·BD →＝(1，2)·(－2，2)＝1×(－2)＋2×2＝2.9．已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上存在一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( ) A ．(－3，0) B ．(2，0) C ．(3，0) D ．(4，0)【答案】 C 设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1.此时点P 的坐标是(3，0)．10.已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△AOC 的面积为( ) A.25 B.12 C.310 D.65【答案】 A 由题设，得3OA →＋5OC →＝－4OB →，即9＋2×3×5OA →·OC →＋25＝16， ∴cos ∠AOC ＝－35，∴sin ∠AOC ＝45，S △AOC ＝12×1×1×45＝25.11.已知点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，则AO →·BC →＝________． 【解析】因为点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，所以AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →＝|AO →||AC →|cos 〈AO →，AC →〉－|AO →||AB →|·cos 〈AO →，AB →〉 ＝|AC →||AC →|×12－|AB →||AB →|×12＝6.12．(2015·福建福州一模，6)如图，设向量OA →＝(3，1)，OB →＝(1，3)，若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是( )【答案】 D 设C(x ，y)．∵OC →＝λOA →＋μOB →＝λ(3，1)＋μ(1，3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ＋μ，y ＝λ＋3μ，解得⎩⎨⎧λ＝3x－y8，μ＝3y －x 8.，∵λ≥μ≥1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≥y ，x －3y ＋8≤0，故选D. 13．(2015·黑龙江伊春质检，6)已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，若(a ＋m b )⊥a ，则实数m 的值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D ．3【答案】 D ∵(a ＋m b )⊥a ，∴(a ＋m b )·a ＝0，∴|a |2＋m·|a |·|b |cos 120°＝0，即9＋m·3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，∴m ＝3.故选D.14．(2015·河南中原名校联考，4)已知不共线向量a ，b ，|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝1，则|a －b |＝( ) A. 3 B ．2 2 C.7 D.23【答案】由a·(b －a )＝1得a·b －a 2＝1，∴a·b ＝5. ∴|a －b|2＝a 2－2a·b ＋b 2＝4－2×5＋9＝3，∴|a －b|＝ 3.故选A. 15．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一个平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】对于①，因为a 与b 给定，所以a －b 一定存在，可表示为c ，即c ＝a －b ，故a ＝b ＋c 成立，①正确；对于②，因为b 与c 不共线，由平面向量基本定理可知②正确；对于③，以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定满足，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|a |，故④错，因此正确的有2个．故选B. 16．(2015·山西晋中十校联考，6)已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(a ，0)，(0，a)，其中常数a>0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t≤1)，则OA →·OP →的最大值为( )A ．aB ．2aC ．3aD ．a 2【答案】∵AP →＝tAB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t(OB →－OA →)＝(1－t)OA →＋tOB →＝(a －at ，at)，∴OA →·OP →＝a 2(1－t)，∵0≤t≤1，∴0≤OA →·OP →≤a 2. 17．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →2，则O 一定为△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】由OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2，得OA →2＋(OC →－OB →)2＝OB →2＋(OA →－OC →)2，∴OC →·OB →＝OA →·OC →，∴OC →·AB →＝0.∴O 在边AB 的高线上． 同理，O 在边AC ，BC 的高线上，则O 为△ABC 的垂心．故选C.18．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．【解析】方法一：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)， D(2，0)，E(2，1)，设F(x ，2)，∴AF →＝(x ，2)，AB →＝(2，0)，∴AB →·AF →＝2x ＝2，∴x ＝1， ∴F(1，2)，∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2. 方法二：AB →·AF →＝|AB →||AF →|cos ∠BAF ＝2，∴|AF →|cos ∠BAF ＝1，即|DF →|＝1， ∴|CF →|＝2－1，AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF →＝AB →·CF →＋BE →·BC →＝2×(2－1)×(－1)＋1×2×1＝ 2. 19．在三角形ABC 中，2AB =，1AC =，π2ACB ∠=，D 是线段BC 上一点，且12BD DC =，F 为线段AB 上一点．（1）设AB a =，AC b =，设AD xa yb =+，求x y -；. （2）求CF FA ⋅的取值范围；（3）若F 为线段AB 的中点，直线CF 与AD 相交于点M ，求CM AB ⋅． 【解析】（1）()222121333333AD AC CB AC AB AC AB AC a b =+=+-=+=+而AD xa yb =+23x ∴=，13y =13x y ∴-=．（2）在三角形ABC 中，2AB =，1AC =，π2ACB ∠=3CAB π∴∠=，3BC =()CF FA CA AF FA CA FA AF FA ∴⋅=+⋅=⋅+⋅① ，不妨设AF x =，[]0,2x ∈∴①式2211cos 32x x x x π⎛⎫=⨯⨯-=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2x ∈13,16CF FA ⎡⎤∴⋅∈-⎢⎥⎣⎦．（3）F 为线段AB 的中点111222CF CA AB CA CB ∴=+=+ 不妨设CM CF λ=22CM CA CB λλ∴=+122AM CM CA CA CB λλ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭,23AD CB CA =-，A 、M 、D 三点共线．AM AD μ∴=即21223CA CB CB CA λλμ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12223λμλμ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩45λ∴=2255CM CA CB ∴=+ ()222222455555CM AB CA CB CB CA CB CA ⎛⎫∴⋅=+⋅-=-= ⎪⎝⎭20．设向量1e ，2e ，是不共线的非零向量，且向量122a e e =-，123b e e =+． （1）证明：,a b 可以作为一组基底；（2）以,a b 为基底，求向量123c e e =-的分解式； （3）若1243e e a b λμ-=+，求λ，μ的值．【解析】（1）证明：若,a b 共线，则存在唯一的实数λ，使得λab ，即()121223e e e e λ-=+．由1e ，2e 不共线，得1,1,232,3λλλλ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩∴λ不存在，故,a b 不共线，可以作为一组基底．（2）设(,)c ma nb m n R =+∈，则()()121212323e e m e e n e e -=-++12()(23)m n e m n e =++-+．∵1e ，2e 不共线，∴3,2,2311,m n m m n n ⎧+==⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩∴2c a b =+．（3）由1243e e a b λμ-=+，得()()1212124323e e e e e e λμ-=-++12()(23)e e λμλμ=++-+．∵1e ，2e 共线，4,3,233 1.λμλλμμ⎧+==⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩,故所求λ，μ的值分别为3和1．平面向量的应用举例（一）平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.例1.（1）.【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-.故选A.（2）.【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知ABC △中，点M 是边BC 的中点，若点O 满足23OA OB OC ++=0，则A ．0OM BC ⋅=B ．0OM AB ⋅=C ．OM BC ∥D ．OM AB ∥【解析】由点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，由23OA OB OC++=0，可得OA OC++2（OB OC+）23OA OBOA+=-+4OM=0，即2（OA OB-）+12OM=0，可得AB=6OM，即OM∥AB，故选D．【名师点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．解答时，由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论．【变式训练1】．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF=A．3144AB AD+B．1344AB AD+C．12AB AD+D．3142AB AD+【解析】根据题意得：1()2AF AC AE=+，又AC AB AD=+，12AE AB=，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD=++=+.故选D.【变式训练2】．如图，在同一个平面内，向量OA、OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tan7α=，OB与OC的夹角为45︒，若(,)OC mOA nOB m n R=+∈，则m n+的值为____________．【解析】由tan7α=可得72sinα=，2cosαcos45cos2sin45sin0n mn mαα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩，即222272⎧+=⎪⎨⎪=⎪，解得5474mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以+3m n=．（二）平面向量的坐标运算（平行与垂直）：例2．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，若//a b ，则⋅a b 的值为A ．5B ．4C ．4-D ．5-【解析】∵向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，且//a b ，∴20m -=，即()1,2=-b ， ∴145⋅=--=-a b ，故选D.【变式训练】已知非零向量,m n 满足4=n m ，且()2⊥+m m n ，则,m n 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．π2D ．2π3【解析】∵4=n m ，且()2⊥+m m n ，∴()22222||cos ,0⋅+=+⋅=+=m m n m m n m m n m n ，且0,0≠≠m n ， ∴2||cos ,0+=m n m n ，∴21cos ,2=-=-mm n n ， 又0,π≤m n ，∴2π,3=m n ．故选D ．（三）平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用：①求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.例3．（1）.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-.由3(23),333y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.（2）..【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB ,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4 B ．3C ．2D ．1【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.。
