第2讲统计与统计案例抽样方法［学生用书P58]自主练透夯实双基1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取．适用范围:总体由差异明显的几部分组成．[题组通关］1．某县老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师 1 800青年教师 1 600合计 4 300A.90BC．180 D.300C［解析］设该样本中的老年教师人数为x,由题意及分层抽样的特点得错误!＝错误!，故x＝180.2．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号,…,153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．[解析] 设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15＋x＝126，所以x＝6.[答案］63．利用随机数表法对一个容量为500，编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本,选取方法是从随机数表第12行第5列、第6列、第7列数字开始由左到右依次选取三个数字(下面摘取了随机数表中的第11行至第12行)，根据下表，读出的第3个数是________．18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 0526 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71[解析] 最先读到的数据的编号是389，向右读下一个数是775,775大于499，故舍去，再下一个数是841，舍去，再下一个数是607，舍去，再下一个数是449，再下一个数是983，舍去，再下一个数是114.故读出的第3个数是114.［答案] 114解决抽样问题的方法（1）解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量与总体容量的比值．（2)在系统抽样的过程中,要注意分段间隔，需要抽取n个个体,样本就需要分成n个组,则分段间隔即为错误!(N 为样本容量）,首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．用样本估计总体［学生用书P58］高频考点多维探明1．统计中的四个数字特征（1）众数：在样本数据中,出现次数最多的那个数据．（2）中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数．(3）平均数：样本数据的算术平均数，即x＝1n(x1＋x2＋…＋x n）．(4)方差与标准差方差：s2＝错误!［(x1－错误!)2＋(x2－错误!）2＋…＋(x n－错误!）2］．标准差：s＝错误!。
题型专题(七) 统计与统计案例抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用于不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量与总体容量的比值．[题组练透]1．(2016·兰州模拟)为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人、60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n ＝( )A ．13B ．12C ．10D ．9 解析：选A 由分层抽样可得n120＋80＋60×60＝3，解得n ＝13，选A.2．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( )A ．13B ．17C ．19D ．21解析：选C 从56名学生中抽取4人，用系统抽样方法，则分段间隔为14，若第一段抽出的号码为5，则其他段抽取的号码分别为：19，33，47.3．(2016·兰州模拟)采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1，2，…，1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：选A 根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d ＝1 00050＝20的等差数列{a n }，∴通项公式a n ＝8＋20(n －1)＝20n －12，令751≤20n －12≤1 000，得76320≤n ≤2535，又∵n ∈N *，∴39≤n ≤50，∴做问卷C 的共有12人，故选A.[技法融会]解决抽样问题的策略(1)随机抽样的方法有三种，其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当总体中的个体数量较多且差别不大时要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样．(2)在系数抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取n 个个体，样本就需要分成n 个组，则分段间隔即为Nn(N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体.1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者的含义： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．[题组练透]1．(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140解析：选D 由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.2．(2016·湖南东部六校联考)如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为________．解析：把10场比赛的所得分数按顺序排列：5，8，9，12，14，16，16，19，21，24，中间两个为14与16，故中位数为14＋162＝15.答案：153．(2016·江苏高考)已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．解析：5个数的平均数x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，所以它们的方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.14．(2015·湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________． 解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a ＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3.(2)区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 000 [技法融会]1．方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算． (2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大． 2．(易错提醒)混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．1．回归分析方程y ^＝b ^x ＋a ^称为线性回归方程，其中b ^＝错误!，错误!＝y －错误!x ；(错误!，错误!)称为样本点的中心．2．独立性检验K 2＝（a ＋b ＋c ＋d ）（ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），若k 0>3.841，则有95%的把握认为两个事件有关； 若k 0>6.635，则有99%的把握认为两个事件有关． [题组练透]1．(2016·河南八市联考)为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：开业天数 10 20 30 40 50销售额/天(万元) 6275 81 89根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.67x ＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( )A ．67B ．68C ．68.3D ．71解析：选B 设表中模糊看不清的数据为m .因为x ＝10＋20＋30＋40＋505＝30，又样本点的中心(x ，y )在回归直线y ^＝0.67x ＋54.9上，所以y ＝m ＋3075＝0.67×30＋54.9，得m ＝68，故选B.2．(2016·重庆模拟)为了判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应用独立性检验算得K2的观测值为5，又已知P (K 2≥3.841)＝0.05，P (K 2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是( )A ．有95%的把握认为“X 和Y 有关系”B ．有95%的把握认为“X 和Y 没有关系”C ．有99%的把握认为“X 和Y 有关系”D ．有99%的把握认为“X 和Y 没有关系”解析：选A 依题意，K 2＝5，且P (K 2≥3.841)＝0.05.因此有95%的把握认为“X 和Y 有关系”，选A.[技法融会]1．求回归直线方程的关键(1)正确理解b ^，a ^的计算公式并能准确地进行运算．(2)根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．2．独立性检验的关键(1)根据2×2列联表准确计算K 2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表． (2)K 2的观测值k 0越大，对应假设事件H 0成立的概率越小，H 0不成立的概率越大.一、选择题1．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计4 300A.90 B ．100 C ．180 D ．300解析：选C 设该样本中的老年教师人数为x ，由题意及分层抽样的特点得x 900＝3201 600，故x ＝180.2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，8解析：选C 由于甲组的中位数是15，可得x ＝5，由于乙组数据的平均数为16.8，得y ＝8.3．(2016·山西四校联考)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：选B ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是150.3＝50.4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 解析：选B 由题意知，x －＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y －＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．5．(2016·贵州模拟)一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为( )A ．13B ．12C ．11.52 D.1009解析：选D 由频率分布直方图可得第一组的频率是0.08，第二组的频率是0.32，第三组的频率是0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋0.10.36×4＝1009，选项D正确．6．某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额．先将该月的全部销售发票的存根进行了编号：1，2，3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．若从编号为1，2，3，…，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、……，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根，其编号不可能是( )A ．13B ．17C ．19D ．23解析：选D 因为第一组的编号为1，2，3，…，10，所以根据系统抽样的定义可知第二组的编号为11，12，13，…，20，故第2张已编号的发票存根的编号不可能为23.7．(2016·山西质检)某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)，据此估计此次考试成绩的众数是( )A ．100B ．110C ．115D ．120解析：选C 分析频率分布折线图可知众数为115.8．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A 营区，从301到495在B 营区，从496到600在C 营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26，16，8B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，9解析：选B 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此A 营区被抽中的人数是25.令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此B 营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知，选B.9．(2016·南昌一模)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，得到4组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)．根据收集到的数据可知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝160，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝0.75x ＋62，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4的值为( )A ．75B ．155.4C ．368D ．466.2解析：选C 由x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝160，得x ＝40，代入回归直线方程y ^＝0.75x ＋62，得y ＝92，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝368.10．在某次测量中得到的A 样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．平均数B ．标准差C ．众数D ．中位数解析：选B A 样本数据的平均数x ＝2756，B 样本数据的平均数x ′＝x －5.A 样本数据的方差s 2＝16[(42－x )2＋(43－x )2＋…＋(50－x )2]，B 样本数据的方差s ′2＝16[(42－x )2＋(43－x )2＋…＋(50－x )2]，∴A ，B 两样本的标准差相同．11．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：( ) A ．0.01 B ．0.025 C ．0.10 D ．0.05解析：选B K 2＝50×（18×15－8×9）226×24×27×23≈5.059>5.024，因为P (K 2>5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.12．(2016·开封模拟)下列说法错误的是( )A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好解析：选B 根据相关关系的概念知A 正确；当r >0时，r 越大，相关性越强，当r <0时，r 越大，相关性越弱，故B 不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好．二是R 2越大，拟合效果越好，所以R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好，C ，D 正确，故选B.二、填空题13．(2016·海口调研)如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86，86，90，91，93，93，93，96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是91＋932＝92.答案：93，9214．(2016·广州模拟)一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6.现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是________．解析：∵间隔为606＝10，∴在第5组中抽取的号码是3＋(5－1)×10＝43.答案：4315．(2016·湖北优质高中联考)某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表如下：气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量为________．解析：回归直线过(x ，y )，根据题意得x ＝18＋13＋10＋（－1）4＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，将(10，40)代入y ^＝－2x ＋a ^，解得a ^＝60，所以y ^＝－2x ＋60，当x ＝－4时，y ^＝(－2)× (－4)＋60＝68，所以用电量为68度．答案：68度16．为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y ，z ，依次构成等差数列，且4，y ，z ＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝4＋z ，y 2＝4×（z ＋4），即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2＋z2，y 2＝4z ＋16，解得z ＝12，或z ＝－4(舍去)，故y ＝8.所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为4，8，12.因为一共要抽取6个城市，所以抽样比为64＋8＋12＝14.故乙组城市应抽取的个数为8×14＝2.答案：2。
《计数原理与概率》高考复习指导一、考试说明：1．考试内容（1）分类计数原理与分步计数原理，排列与组合．（2）等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率．2．考试要求（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（3）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率．（4）了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率．（5）了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．二、高考试题分析排列与组合、概率与统计是高中数学的重要内容．一方面，这部分内容占用教学时数多达36课时，另一方面，这部分内容是进一步学习高等数学的基础知识，因此，它是高考数学命题的重要内容．从近三年全国高考数学（新材）试题来看，主要是考查排列与组合、概率与统计的基本概念、公式及基本技能、方法，以及分析问题和解决问题的能力．试题特点是基础和全面．题目类型有选择题、填空题、解答题，一般是两小（9分～10分）一大（12分），解答题通常是概率问题．试题难度多为低中档．为了支持高中数学课程的改革，高考数学命题对这部分将进一步重视，但题目数量、难度、题型将会保持稳定．例1．（1999年全国）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_______种（用数字作答）．[解析]A种植在左边第一垄时，B有3种不同的种植方法；A种植在左边第二垄时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄时，B只有一种种植方法．B在左边种植的情形与上述情形相同．故共有2(3＋2＋1)=12种不同的选垄方法．∴应填12.例2．（2003年新教材）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每一块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种（以数字作答）．[解析]将5块试验田从左到右依次看作甲、乙、丙、丁、戊，3种作物依次看作A、B、C，则3种作物都可以种植在甲试验田里，由于相邻的试验田不能种植同一种作物，从而可知在乙试验田里只能有两种作物．同理，在丙、丁、戊试验田里也只能有两种作物可以种植．由分步计数原理，不同的种植方法共有3×2×2×2=48种．∴应填：48例3．（2003年全国高考题）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽法有_______种．[解析]由于第1、2、3块两两相邻，我们先安排这三块，给第1、2、3块种花时分别有4、3、2种种法，所以共有4×3×2=24种不同种法．下面给第4块种花，若第4块与第6块同色，只有一种种植方法，则第5块只有2种种法，若第4块与第2块同色时，共有2×1=2种种法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块同色，则第6块有2种种植的方案，而第5块只有1种种法，共有2种不同的种植方法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块不同色，则第6块有1种种法，则第5块也有一种不同种法，所以第4块与第6块不同色时，有1种种法．综上共有24×(2＋2＋1)=120种不同的种植方法．例4．（2003年春季考试题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为A 、42B 、30C 、20D 、12[解析]将两个新节目插入5个固定顺序节目单有两种情况：（1）两个新节目相邻的插法种数为226A ；（2）两个节目不相邻的插法种数为26A ；由分类计数原理共有2226642A A +=种方法，选A.例5．（2004重庆）（本小题满分12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
