太阳影子定位

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二.问题分析 对于问题一： 影子的长度变化随着太阳高度角的变化而变化，且太阳高度角 与当地的经纬度， 日期和时间相关， 因此我们着手建立太阳高度角与三者的联系， 又因为，对于地面上的物体影子，其长度远远小于地球地表边缘线，而圆周上极 小的一段可以被看成是一段水平线，所以，假设 物体的影子所处的面是水平的。 则太阳高度角即为物体顶端和影子顶端的连线与地面水平线夹角。 对于问题二：要确定地点，即确定经纬度。而经纬度的变化影响太阳影长， 同时影长和日期时间密切相关， 则经纬度与太阳影长和日期时间有关。因为同时 确定经度和纬度会增加未知量个数，加大计算难度，所以，我们先确定经度，再 由经度、日期时间和太阳影子的投影坐标确定纬度。 由太阳影子的投影坐标确定影子长度，拟合时间（北京时间）和影长的函数 关系，找出最短影子（即函数的极值 H J ）及对应(极值点 T )的时间。 (HJ , T ) 表 示：A 地同一物体、同一日期下，影子长度最小时对应的北京时间为 T 。而 A 地 影子最短时应为当地的正午时间，所以可以求得 A 地与北京的时间差，从而得 出经度差，则可确定当地经度。拟合太阳影子的投影坐标 (x, y) 之间的一个二次 曲线。然后，根据影子最短时，影长与投影坐标关系，再构建一个函数。通过， 联立两个关系式，解出影子最短时的投影坐标。从而确定方位角，再得出太阳影 子高度角，最后由问题一的高度角公式和赤纬度计算方法得到纬度值。 对于问题三： 我们继续采用分部确定的方法， 即先确定经度， 然后确定纬度， 最后确定日期。其中，经度的确定方法同问题二。 根据太阳影子投影的坐标算出各时间点的影子长度，然后用 MATLAB 拟合 时间与影子长度的函数关系。 求出该函数的极值点和极值，即为影长最短时的时 间（北京时间） ，而当地的影长最短时应为当地的正午时间。参考文献 [5] ，给定 任意杆长 L ，最短影长为 H J ，高度角的余角等于该地所处的纬度。因为高度角 的余角等于该地所处的纬度， 所以纬度的余角等于该地该时的高度角， 则可由 (5) 式得出赤纬度，再由 (2) 式得到 N (表示以 1 月 1 日为第一天起的第 N 天)，即 可确定日期。

f
赤纬角 时角 天数 当地时间 当下经度 杆的地理纬度 太阳高度角

H T
方位角 影长 极值点 极值 杆长 时差 经度差
N
w
HJ
L
t
Ed
wd h
E
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五.模型的建立与求解 5.1 问题一的模型建立与求解 5.1.1 模型分析 影子的长度变化随着太阳高度角的变化而变化， 且太阳高度角与当地的经纬 度，日期和时间相关，因此我们着手建立太阳高度角与三者的联系，又因为，对 于地面上的物体影子，其长度远远小于地球地表边缘线，而圆周上极小的一段可 以被看成是一段水平线，所以，假设 物体的影子所处的面是水平的。则太阳高 度角即为物体顶端和影子顶端的连线与地面水平线夹角。
关键词：经度 纬度 影子定位 穷举法
1
一.问题重述 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面， 通过太阳 影子定位技术解决以下问题： 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律， 并用所建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9 : 00 15 : 00 之间天安门广场 （北纬 39 度 54 分 36 秒，东京 116 度 23 分 29 秒） 3 米高的直杆的太阳影子长度的 变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确 定直杆所处的地点。将模型应用于附件 1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能 的地点。 3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据建立数学模型确 定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数 据，给出若干个可能的地点与日期。 4.附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计 出直杆的高度为 2 米，建立确定视频的拍摄地点的数学模型，并应用模型给出若 干个可能的拍摄地点， 如果拍摄日期未知， 能否根据视频确定出拍摄地点与日期。
23.45 sin(
其中， N 表示天数，以 1月 1日为 1。 （3）真太阳时
2* *(284 N) ) 365
（2）
真太阳时 [ 2 ] ：也称地方时。真太阳日分为 24 真太阳时。这个时间系统称为 真太阳时。真太阳时也称为视太阳时，简称视时。真太阳时即真太阳视圆面中心 的时角加 12 小时。即：真太阳时=平均太阳时+真平太阳时差。 本文只涉及了真太阳时和北京时间的换算，即: 地方时=北京时间-（ 120 -当时经度）× 4 分/度+时差，当所得值为负数时， 则加上 24 小时。 各地方也可以北京时间为根据而进行加减，得出地方时。 例如在东经 117 度，就加 12 分，若在东经 120 度之外则每一度减 4 分。 则有：
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示，称作赤经 ( ) 、 赤纬 ( ) 。赤纬就是天体的位置与天赤道位置的差，在天赤 道以北多少度就为正多少度，反之，在天赤道以南多少度为负多少度。赤纬的取 值为 90 度到 90 ，南天极的赤纬为 90 ，北天极的赤纬为 90 ，天赤道的赤纬 为 0 。 太阳赤纬角计算公式 [ 2 ] ：
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对于问题四： 由视频能够得到具体的日期和时间的取值范围，对视频每两分 钟截屏一次，利用 MATLAB，可以得到杆和影子的像素长。已知直杆实际高度为 2 米，根据：直杆实际高度/直杆像素高度=实际影长/像素影长，用 EXCEL 算出实 际影长。 再拟合时间（北京时间）和影长的函数关系，找出最短影子（即函数的极值
f 15 (w 12)
（1）
其中， f 表示时角， w 表示当地时间。 （2）赤纬度 赤纬角 [1] ：从天赤道沿着天体的时圈至天体的角度称为该天体的赤纬。以天 赤道为赤纬 0 ，向北为正，向南为负，分别从 0 到 90 。日赤纬的变化范围在
23.45 23.45 之间。 在第二赤道坐Hale Waihona Puke 系中，天体的位置根据规定用经纬度来表
H J ）及对应(极值点 T )的时间。 (HJ , T ) 表示： A 地同一物体、同一日期下，影
子长度最小时对应的北京时间为 T 。 而 A 地影子最短时应为当地的正午时间， 所 以可以求得 A 地与北京的时间差，从而得出经度差，最后确定当地经度。 利用真太阳时计算公式和时角计算公式得出时角， 根据求得的实际影长和实 际杆长， 求出各个时间所对应的太阳高度角， 由日期再用赤纬度计算公式得 赤纬度。最后用高度角公式可求得纬度。 三.问题假设 1、假设影子的变化不受地球自转和公转的影响。 2、假设影子所处的面是平面。 3、假设太阳光线不受大气折射的影响。 4、假设附件所给数据真实可靠。 四.符号说明 出
（6）
5.1.3 模型求解 由题可知，经度等于 E116.3334 ，纬度等于 N 39.9216 ，日期为 10 月 22 日， 则对于 (5) 式有如下运算： （1）太阳赤纬角
N 295 时，
23.45 sin(
（2）时角
2* *(284 N) ) 10.1486 365
α
δ
图 1 时角、赤纬角示意图
其中， 表示赤纬角， 表示时角 （1）时角 日升、日落，一天当中太阳高度会不断变化，太阳高度角也会经历由小到大 和由大到小的过程。我们取正午 12 点的时角为零度，每经过一小时，时角增加 （或减少） 15 度。 例如， 13 时的时角为 15 度，11 时的时角为 15 度。 则有：
w t (120 Ed ) 4 t
其中， Ed 表示当时经度 （4）太阳高度角
（3）
太阳高度角：简称，太阳高度(其实是角度)，是指太阳光的入射方向和地平 面之间的夹角。 太阳高度角随着地理经纬度、赤纬度和时时角的变化而变化。赤纬度（等于 太阳直射点纬度）用 表示，观测地地理纬度用 wd 表示，时角以 f 表示，有太 阳高度角的计算公式：
（N19, E111 ） （N 37, E111 ） ，山西 ，内蒙古 ( N 44， E111) ，马来西亚 ( N 2，E111)
对于问题三：首先，建立了太阳影子和时间的极值模型，运用穷举法通过 MATLAB 软件得到了当地的纬度。其次利用文献 [5] 中，高度角该地所处的纬度的 模型，即得出了高度角。第三，建立多元曲线模型。第四，求得赤纬角，进而换 算出日期。把附录 2 的数据代入两个模型，可以确定一个地点:（N31,E110）新 疆 4 月 10 日。把附录 3 的数据代入两个模型，可以确定四个地点:（N41,E110） 内蒙古 5 月 1 日， （N33,E110） 山西 7 月 8 日， （N30,E110） 湖北 8 月 1 日， （N19,E110） 海南 5 月 30 日。 对于问题四：对视频每两分钟截屏一次，利用 MATLAB，得到直杆和影子的 像素长。根据：直杆实际高度/直杆像素高度=实际影长/像素影长，用 EXCEL 算 出实际影长。采用问题二、问题三的方法，得到地点为: 内蒙古—呼和浩特。 （N 40.868，E110.883）
（7）
真太阳时：经度为 Ed 116.4 时， w t (120 Ed ) 4 t t 4.4 ，时差一 般取 10 。
7
时角：
f 15 (w 12) 15 (t 16.4)
（8）
（3）太阳高度 把 (7)(8) 的结果值代入 4 中，则有高度角为：
sin h sin wdsin cos wd cos cos f
（4）
又因为，正午的时候时角等于 0 度，所以，正午时的太阳高度可以表示为
6
sin h sin wdsin cos wd cos
再由两角差的余弦公式得，
sin h cos (wd )
（5）
5.1.2 建立模型 作出物体阴影几何示意图如下：