三角函数表达式的计算机自动化简

三角函数式化简孙小龙所谓三角函数化简，就是灵活运用公式，对复杂的三角函数式进行变形，从而得到较为简单的三角函数式以便于进行问题讨论，所以三角函数式的化简是研究复杂三角函数式的基础。

下面我们一起深入探究如何进行三角函数式化简。

方法引导三角函数式化简通常是最让人头疼的一类题型，因为化简没有明确的方向，很难继续进行。

其实化简只要遵守“三看”原则，即能顺利化简。

一是看角，二是看名，三是看式子的结构和特征。

（1） 看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；如倍角关系、半角关系、互余关系、互补关系等；（2） 看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化；（3） 看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形应用这些公式。

另外，根据式子的特点，还可以使用辅助角公式。

了解了化简原则之后，下面我们开始化简了。

例一 化简f(x)=2cosxsin(x+3π)－3sin 2x+sinxcosx分析：首先先看角，式子中的角度不统一，所以首要任务是统一角度，根据式子的结构特点和π3的特殊性，可以运用两角和的正弦公式将式子展开f (x )=2cos x sin(x +3π)-3sin2x +sin x cos x−−−−−→用三角公式展开2cos x (sin x cos3π+cos x sin 3π)-3sin2x +sin x cos x= 2sin x cos x +3cos2x -3sin 2x第一步化简完成后，再次观察式子的结构特点，每一个单项式都是二次的，所以再运用降幂公式把式子变为一次式2sin x cos x +3cos2x -3sin2x −−−−→降幂公式sin2x +3cos2x继续运用辅助角公式进行彻底化简sin2x +3cos2x −−−−→辅助角公式2sin(2x +3π).例二 化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 分析：我们还是先从角度入手，分子上角度统一，分母角度不统一，但仔细观察发现分母中两个角呈互余关系，再看函数名的特点，我们可以运用诱导公式进行化简;分子上仔细观察结构，提出12，可以得到完全平方式42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+诱导公式及完全平方式→ 12(4cos x−4cos x+1)242cot(π4+x)sin （π4+x ）2=（2cos x−12）24sin(π4+x)cos(π4+x) 统一角度后，分析式子的结构特点，运用降幂公式进行化简 （2cos x−12）24sin(π4+x)cos(π4+x)降幂公式→ 2cos 2x22sin(π2+2x)=2cos 2x 22cos 2x= 12cos 2x 我们可以通过两个例题发现化简题目中透露出来的隐藏信息，这就是三角函数式化简要求 最终形式：正弦型函数（通常情况） 化简方法： 1、切割化弦； 2、降幂公式；3、用三角公式转化出现特殊角；4、 异角化同角；5、异名化同名；6、高次化低次；7、辅助角公式；8、分解因式。

三角函数的化简公式三角函数是数学中常见的一类函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在数学的计算和分析中，经常需要对三角函数进行化简和简化，以便更方便地进行运算和推导。

本文将介绍三角函数的一些常见的化简公式。

1. 正弦函数的化简公式正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，其常用的化简公式包括：（1）正弦函数的和差化简公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)（2）正弦函数的倍角化简公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)（3）正弦函数的平方化简公式：sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2（4）正弦函数的和差的平方化简公式：sin^2(x ± y) = (1 - cos(2x ± 2y))/22. 余弦函数的化简公式余弦函数也是三角函数中常用的函数之一，其常用的化简公式包括：（1）余弦函数的和差化简公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)（2）余弦函数的倍角化简公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)（3）余弦函数的平方化简公式：cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2（4）余弦函数的和差的平方化简公式：cos^2(x ± y) = (1 + cos(2x ± 2y))/23. 正切函数的化简公式正切函数是三角函数中与正弦函数和余弦函数密切相关的函数，其常用的化简公式包括：（1）正切函数的和差化简公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))（2）正切函数的倍角化简公式：tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))（3）正切函数的平方化简公式：tan^2(x) = (1 - cos(2x))/(1 + cos(2x))（4）正切函数的和差的平方化简公式：tan^2(x ± y) = ((1 - tan(x)tan(y))/(1 + tan(x)tan(y)))^2综上所述，三角函数的化简公式包括了正弦函数、余弦函数和正切函数的常见变换和简化形式。

三角函数辅助角公式化简三角函数辅助角公式是解决三角函数运算中相关角的问题的重要工具。

通过辅助角公式的运用，可以将一些复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，使得计算更加便捷和高效。

本文将从基本的辅助角公式开始，逐步介绍其运用和推导过程，并通过具体的例子进行说明，以帮助理解和掌握辅助角公式的应用。

首先，我们来介绍一些基本的辅助角公式。

在三角函数中，我们常用的几个基本函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。

下面是它们的辅助角公式：1.正弦函数的辅助角公式：sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)2.余弦函数的辅助角公式：cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)3.正切函数的辅助角公式：tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))这些辅助角公式是我们解决三角函数运算中的关键。

通过运用这些公式，我们可以将一个复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，从而更方便地进行计算。

接下来，我们将通过一些具体的例子来说明辅助角公式的应用。

例1：化简sin(105°)我们知道sin(105°)可以表示为sin(60° + 45°)，然后根据正弦函数的辅助角公式sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)，可以得到：sin(105°) = sin(60°)cos(45°) + cos(60°)sin(45°)=√3/2*√2/2+1/2*√2/2=(√6+√2)/4所以，sin(105°)化简为(√6 + √2) / 4例2：化简cos(165°)同样地，我们知道cos(165°)可以表示为cos(180° - 15°)，然后根据余弦函数的辅助角公式cos(a - b) = cos(a)cos(b) +sin(a)sin(b)，可以得到：cos(165°) = cos(180°)cos(15°) + sin(180°)sin(15°)=-1*√3/4+0*1/4=-√3/4所以，cos(165°)化简为-√3/4通过这些例子，我们可以看到，通过辅助角公式的运用，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，使得计算更加高效和便捷。

题目高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值 高考要求三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍 重难点归纳1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决 快速阅读记忆：英语单词速记：/?id=330 更多资料下载：典型题例示范讲解例1不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟，计算易出错技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会解法一 sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二 设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21， x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41， 即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°41 例2设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值 命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题错解分析 考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等解 由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得f (a )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2(12a a a a a a∵f (a )=21, ∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)或 －22a －2a －1=21，解得a =－1(2,2)∈-，此时，y =2(cos x +21)2+21， 当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5例3已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值 命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识错解分析 在求f -－1(1)的值时易走弯路 技巧与方法 等价转化，逆向思维解 (1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2 (3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)=4π例4 已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________解法一 ∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β4π π＜α+β＜43π,∴54sin(),cos().135αβαβ-=+==- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=解法二 ∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=56)65406572(21=--学生巩固练习1 已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( )A21B －2 C34 D21或－2 2 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=______3 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________4 不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5 已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值6 已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ) 求)44(sin 42sin2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件7 如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积8 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值参考答案1 解析 ∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0 tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0), 又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0 解得tan 2β+α=－2 答案 B2 解析 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54 则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯- 答案247 3 解析 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π36556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案6556 4 答案 2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解 2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－17 解 以OA 为x 轴 O 为原点，建立平面直角坐标系， 并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ 直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ 联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－2cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π) ∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π ∴21＜sin(2θ+6π)≤1∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为 AB 的中点，P (21,23)8 解 设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1 即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t x 232-t2max 0.5min 0.50.50.514248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M t t tt t M t y M M y t x ∴===≤=++====>∴======- 当且仅当即在时是减函数时此时 课前后备注。