辽宁省2023—2024学年度上学期期中阶段测试高三年级数学试卷（答案在最后）考试时间120分钟试题满分150分命题人：高三数学组校对人：高三数学组第Ⅰ卷（选择题）一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,5}B =，则()U A B ⋂=ð（）A.{2}B.{2,3} C.{3}D.{1,3}2.若2:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件3.幂函数f （x ）的图象过点124⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则f （x ）的一个单调递减区间是（）A.（0，+∞）B.[0，+∞）C.（﹣∞，0]D.（﹣∞，0）4.欧拉公式i e cos i sin x x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，i3eπ-的共轭复数为（）A.1i 22+ B.1i 22-C.1i 22-+ D.1i 22--5.已知角α终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A.1B.75 C.95D.1356.在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，2AB =，1AD =，E 为AB 的中点，若BF BC λ= ，且AF D E ⊥，则λ=（）A.1-B.12C.1D.27.已知函数()e 1e 1x x f x -=+，若对任意的正数a 、b ，满足()()220f a f b +-=，则21a b +的最小值为（）A.2B.4C.6D.88.在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()2b a ac =+，则b ca+的取值范围为（）A.()1,5 B.)1,5C.()2+ D.)2+二、多选题．本大题共4小题，每小题5分，甚20分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，下列说法正确的是（）A.m 、n 是异面直线，若//m α，//m β，//n α，//n β，则//αβB.若//αβ，//m α，则//m βC.若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D.若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥10.关于函数()32sin 3π4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.由()()120f x f x ==，可得12x x -必是2π3的整数倍B.()π2cos 34f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭C.()f x 图像可由2sin 3y x =向右平移3π4个单位得到D.()f x 在5π,1212π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数11.《九章算术》是我国古代数学中的经典，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在阳马P ABCD -中，侧棱PD⊥底面ABCD ，且PD CD a ==，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE ．以下结论正确的有（）A .DE ／／平面PABB.四面体EBCD 是鳖臑C.若阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，则124V V =D.若四面体EBCD 的外接球的体积为332a，则CD =．12.定义在R 上的函数()f x 满足：()21f x +为奇函数，且()()448f x f x x =-+-，则（）A.()f x 的图象关于()1,0对称B.4是()f x 的一个周期C.()20234048f = D.()10132024f =第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13.函数()3ln 2xf x =+的导函数()f x '=______．14.已知动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD （不含端点）上．设11D PD Bλ=，若APC ∠为钝角，则实数λ的值为______．15.如图是两个直角三角形板拼成的平面图形，其中90BAD BCD ∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，30BDC ∠=︒，1BC =，则AC BD ⋅=______．16.在正三棱锥-P ABC 中，E 、F 分别是PA 、AB 的中点，90CEF ∠= ．若1AB =，则三棱锥E ABC -的外接球的表面积为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且113a =，113n n n a a n++=.（1）证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 前n 项的和n S .18.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos a c BC b-=，（1）求角B 的大小；（2）若3a =，c =sin C 的值.19.某职称考试有A ，B 两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率均为12；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为23；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为34．（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.20.直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形,90ACB ∠=︒，2AC BC ==，,D E 分别为11,CC A B 的中点且E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G .（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求二面角B AD E --的平面角的余弦值．21.已知函数()()e22xf x ax x =-++．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线y x =平行，求该切线方程；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．22.已知函数()1ex f x ax -=-，(]0,1x ∈，()f x '为其导函数．函数()f x 在其定义域(]0,1内有零点0x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）设函数()()()()0g x f x m x f m '=--，求证：对任意的(]0,1m ∈且0m x ≠，()()00g m g x ⋅<．（3）求证：01x ≤．辽宁省2023—2024学年度上学期期中阶段测试高三年级数学试卷考试时间120分钟试题满分150分命题人：高三数学组校对人：高三数学组第Ⅰ卷（选择题）一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,5}B =，则()U A B ⋂=ð（）A.{2}B.{2,3} C.{3}D.{1,3}【答案】D 【解析】【分析】先求U C B ，再求交集即可.【详解】由题意可知：{}1,3,4U C B =，{}()1,3U A C B ⋂=故选：D.【点睛】本题考查集合的补运算、交运算，属基础题.2.若2:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先根据不等式成立的条件求出x 的取值范围，然后根据充分必要条件的判断原则即可选出答案.【详解】解：由题意得：由2(03x x x ++≥⇒≥-，所以2(0x x ++≥的定义域为[)3,∞-+，显然[)2,-+∞是[)3,∞-+的真子集，所以p 是q 的必要而不充分条件.故选：B3.幂函数f （x ）的图象过点124⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则f （x ）的一个单调递减区间是（）A.（0，+∞）B.[0，+∞）C.（﹣∞，0]D.（﹣∞，0）【答案】A 【解析】【分析】设()f x x α=,根据1(2)4f =,解出2α=-,根据幂函数的单调性可得答案.【详解】设()f x x α=,则1(2)4f =,即124α=,所以2α=-,所以2()f x x -=,所以2()f x x -=的递减区间为(0,)+∞,故选:A【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.4.欧拉公式i e cos i sin x x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，i 3eπ-的共轭复数为（）A.1i 22+ B.1i 22-C.1i 22-+ D.1i 22--【答案】A 【解析】【分析】直接计算得到1322z =-，再计算共轭复数得到答案.【详解】i 3ππ1cos isin 332e 2z π-⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎭=⎝⎭⎝= ，故13i 22z =+.故选：A.5.已知角α终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A.1B.75C.95D.135【答案】C【解析】【分析】先根据终边上的点求正弦值和余弦值，再根据二倍角正弦和余弦公式计算即可.【详解】角α终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,43sin ,cos ,55αα==-2224sin2=2sin cos ,cos2cos sin ,25257αααααα-==-=-189555+=+=.故选:C.6.在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，2AB =，1AD =，E 为AB 的中点，若BF BC λ= ，且AF D E ⊥，则λ=（）A.1-B.12C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】设向量,AB a AD b == ，根据题意得到12DE a b =- 和AF a b λ=+，结合AF D E ⊥，列出方程组，即可求解.【详解】如图所示，设向量,AB a AD b == ，则2,1a b == ，且2π,3a b = ，所以121()12a b ⋅=⨯⨯-=-由E 为AB 的中点，可得12DE AE AD a b =-=-，又由BF BC λ=，可得AF AB BF a b λ=+=+ ，因为AF D E ⊥，可得22111()()(1)222AF DE a b a b a a b bλλλ⋅=+⋅-=+-⋅-114(1)(1)1022λλ=⨯+-⨯--⨯=，解得2λ=.故选：D.7.已知函数()e 1e 1x x f x -=+，若对任意的正数a 、b ，满足()()220f a f b +-=，则21a b +的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性和奇偶性，可得出22a b +=，将代数式21a b +与()122a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得21a b+的最小值.【详解】对任意的x ∈R ，e 10x+>，所以，函数()e 1e 1x x f x -=+的定义域为R ，因为()()()()e e 1e 11e e 11ee e 1x xx xx xx x f x f x --------====-+++，即函数()f x 为奇函数，又因为()e 1221e 1e 1x x xf x +-==-++，且函数e 1xy =+在R 上为增函数，所以，函数()e 1e 1x x f x -=+在R 上为增函数，对任意的正数a 、b ，满足()()220f a f b +-=，则()()()2222f a f b f b =--=-，所以，22a b =-，即22a b +=，所以，()211211412444222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4220,0a bb a a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩时，即当112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，故21a b +的最小值为4.故选：B.8.在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()2b a ac =+，则b ca+的取值范围为（）A.()1,5B.)1,5C.()2+D.)2+【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简得出2B A =，利用ABC 为锐角三角形求出角A 的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出()22cos 2cos 1b c A A a+=+-，利用二次函数的基本性质可求得b ca+的取值范围.【详解】由余弦定理可得22222cos a ac b a c ac B +==+-，整理可得2cos a c a B =-，由正弦定理可得()sin sin 2sin cos sin 2sin cos A C A B A B A B=-=+-()sin cos cos sin 2cos sin sin cos cos sin sin A B A B B A B A B A B A =+-=-=-，因为B 、π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ22B A -<-<，因为正弦函数sin y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以，A B A =-，所以，2B A =，则ππ3C B A A =--=-，因为ABC 为锐角三角形，则π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得ππ64A <<2cos A <<，所以，sin sin sin 2sin 32sin cos sin cos 2cos sin 2sin sin sin b c B C A A A A A A A Aa A A A+++++===()()222sin 2cos 2cos 12cos 2cos 2cos 1sin A A A A A A A+-+==+-，令2cos t A =∈，则函数21y t t =+-在上为增函数，故())22cos 2cos 12b c A A a+=+-∈+，故选：D.二、多选题．本大题共4小题，每小题5分，甚20分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，下列说法正确的是（）A.m 、n 是异面直线，若//m α，//m β，//n α，//n β，则//αβB.若//αβ，//m α，则//m βC.若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D.若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥【答案】AD 【解析】【分析】利用线面平行的性质、面面平行的性质可判断A 选项；利用线面、面面的位置关系可直接判断BC 选项；利用线面平行的性质、面面垂直的判定定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，在直线m 上取一点O ，过点O 作直线n '，使得//n n '，过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，如下图所示：因为//n α，γ⊂n ，a αγ⋂=，则//a n ，又因为//n n '，则//a n '，因为n α'⊄，a α⊂，则//n α'，设直线m 、n '确定平面ϕ，因为//m α，m n O '= ，m 、n ϕ'⊂，所以，//αϕ，同理可证//βϕ，故//αβ，A 对；对于B 选项，若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，B 错；对于C 选项，若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则α、β相交（不一定垂直）或平行，C 错；对于D 选项，因为m α⊥，//m n ，则n α⊥，过直线n 作平面γ，使得b βγ= ，如下图所示：因为//n β，n γ⊂，b βγ= ，则//b n ，因为n α⊥，则b α⊥，又因为b β⊂，所以，αβ⊥，D 对.故选：AD.10.关于函数()32sin 3π4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.由()()120f x f x ==，可得12x x -必是2π3的整数倍B.()π2cos 34f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭C.()f x 图像可由2sin 3y x =向右平移3π4个单位得到D.()f x 在5π,1212π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合正弦型函数的图象与性质，结合三角函数的诱导公式和图象变换，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由()()120f x f x ==，即1233sin(3π)sin(3π)044x x -=-=，解得12333ππ,3ππ,Z,Z 44x k x m k m -=-=∈∈，则1233()π,Z,Z x x k m k m -=-∈∈，所以12()π,Z,Z 3k m x x k m --=∈∈，所以A 不正确；对于B 中，由函数()33ππ2sin(3π)2cos[(3π)2cos(3)4424f x x x x =-=--+=--，所以B 正确；对于C 中，将函数2sin 3y x =的图象向右平移3π4个单位，得到()3π9ππ2sin[3(2sin(32sin(3)444f x x x x =-=-=-，所以C 不正确；对于D 中，由π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得π5π3,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3πππ3,422x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质，可得函数()f x 在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为单调递增函数，所以D 正确.故选：BD.11.《九章算术》是我国古代数学中的经典，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在阳马P ABCD -中，侧棱PD⊥底面ABCD ，且PD CD a ==，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE ．以下结论正确的有（）A.DE ／／平面PABB.四面体EBCD 是鳖臑C.若阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，则124V V =D.若四面体EBCD 的外接球的体积为332a ，则CD =．【答案】BC 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A 选项；由线面垂直的判定定理得BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可判断B 选项；根据锥体体积公式可判断C 选项；由题可知四面体EBCD 外接球的半径为BM ，再由球体的体积公式即可判断.【详解】如图，取PB 中点F ，连接EF ，AF，因为E 是PC 的中点，所以//EF BC ，12EF BC =，因为底面ABCD 为长方形，所以//AD BC ，AD BC =，所以//EF AD ，12EF AB =，所以四边形ADEF 为梯形，所以直线DE 与AF相交，因为AF ⊂平面PAB ，所以直线DE 与平面PAB 相交，所以A 错误；因为PD⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，因为ABCD 为长方形，所以DC BC ⊥，因为PD PCD ⊂,DC PCD ⊂且PD DC D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，因为DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥，因为PD CD a ==，所以DE PC ⊥，又BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，且BC PC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ，所以四面体EBCD 四个面都是直角三角形，所以四面体EBCD 是鳖臑，所以B 正确；由题意可知PD 是阳马P ABCD -的高，所以113ABCD S PD V =⋅ ，因为E 是PC 的中点，所以12111111323224BCD ABCD V S V PD S PD =⋅=⨯⋅= ，所以C 正确；连接AC ，则AC 与BD 相交与点M ，连接EM ，则M 为四面体EBCD 外接球的球心，所以半径为BM ，若CD =，则22AD a =，所以62BD a ==，所以四面体EBCD 的体积334π1π32464V a a ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 错误.故选：BC12.定义在R 上的函数()f x 满足：()21f x +为奇函数，且()()448f x f x x =-+-，则（）A.()f x 的图象关于()1,0对称B.4是()f x 的一个周期C.()20234048f =D.()10132024f =【答案】AD 【解析】【分析】根据奇函数得到()()11f x f x +=--+，A 正确，计算()()40f f ≠，B 错误，构造()()2g x f x x =-，确定函数周期为4，且()12g =-，计算()20234044f =-，()10132024f =，得到答案.【详解】对选项A ：()21f x +为奇函数，()()2121f x f x +=--+，()()11f x f x +=--+，函数图象关于()1,0对称，正确；对选项B ：()()448f x f x x =-+-，()()408f f =-，即()()40f f ≠，错误；对选项C ：()()448f x f x x =-+-，则()()()4242f f x x x x --=--，设()()2g x f x x =-，故()()4g x g x =-，()()()()122112241x g x g x f x f x x ++-+=---++-+=-+，则()()42g x g x +-+=-，故()()24g x g x ++=-，()()244g x g x +++=-，则()()4g x g x =+，()g x 为周期为4的周期函数，()10f =，则()12g =-，()()()2023312g g g ===-，故()()202320234046220464044f g =+=-+=，错误；对选项D ：()()101321g g =-=，()()410132026201013026222f g -+==+=，正确；故选：AD【点睛】关键点睛：本题考查了函数的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，确定新函数的周期再计算函数值是解题的关系，此技巧需要熟练掌握.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13.函数()3ln 2xf x =+的导函数()f x '=______．【答案】3ln 3x 【解析】【分析】直接求导得到答案.【详解】()3ln 2xf x =+，()3ln 3xf x '=.故答案为：3ln 3x 14.已知动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD （不含端点）上．设11D PD Bλ=，若APC ∠为钝角，则实数λ的值为______．【答案】1(,1)3【解析】【分析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点(,,)P x y z ，根据11D P D Bλ=，得到(,,1)P λλλ-，结合0PA PC ⋅<，即可求解.【详解】以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线分别为,x y 和z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点(,,)P x y z ，则1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D ，所以11(1,1,1),(,,1)D B D P x y z =-=-，因为11D PD Bλ=，可得11D P D B λ=uuu r uuu r ，可得(,,1)(1,1,1)x y z λ-=-，所以,,1x y z λλλ===-，即(,,1)P λλλ-，因为点P 与点B 不重合，所以180APC ∠≠ ，所以APC ∠为钝角，等价于cos 0APC ∠<，所以2(1,,1)(,1,1)3410PA PC λλλλλλλλ⋅=---⋅---=-+<，解得113λ<<，即实数λ的取值范围为1(,1)3.故答案为：1(,1)3.15.如图是两个直角三角形板拼成的平面图形，其中90BAD BCD ∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，30BDC ∠=︒，1BC =，则AC BD ⋅=______．【答案】1-【解析】【分析】先根据四点共圆得出同弧对的圆周角相等，再根据正弦定理得出边长，最后应用数量积公式及运算律计算即可.【详解】90BAD BCD ∠=∠=︒ ，A,B,C,D 四点共圆得出同弧对的圆周角相等360°,0°03CAD DB C BDC C AB ∠=∴∠=∠=∠=︒ 1,2,BC BD DC =∴=,42,5BD AB A B D A D ADB ∠==∴==︒∠,=,sin105°sin 30°2AC BC ABC AC +=,()AC BD AC AD AB⋅=⋅-cos 60°2cos30°2AC AD AC AB =⋅-⋅=-2216=1224--=-+=-+故答案为:1-.16.在正三棱锥-P ABC 中，E 、F 分别是PA 、AB 的中点，90CEF ∠= ．若1AB =，则三棱锥E ABC -的外接球的表面积为______．【答案】19π8【解析】【分析】取AC 的中点O ，连接OP 、OB ，推导出PA 、PB 、PC 两两垂直，以点P 为坐标点，PA 、PB 、PC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，三棱锥E ABC -的球心为(),,M x y z ，利用空间中两点间的距离公式可得出关于x 、y 、z 的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心M 的坐标，可求出三棱锥E ABC -的外接球的半径，再结合球体表面积公式可求得结果.【详解】取AC 的中点O ，连接OP 、OB ，如下图所示：因为三棱锥-P ABC 为正三棱锥，则PA PC PB ==，ABC 为等边三角形，又因为O 为AC 的中点，所以，OP AC ⊥，OB AC ⊥，因为OP OB O = ，OP 、OB ⊂平面OPB ，所以，AC ⊥平面OPB ，因为PB ⊂平面OPB ，所以，AC PB ⊥，因为E 、F 分别是PA 、AB 的中点，则//EF PB ，因为90CEF ∠= ，即EF CE ⊥，所以，PB CE ⊥，因为AC CE C = ，AC 、CE ⊂平面PAC ，所以，PB ⊥平面PAC ，因为PA 、PC ⊂平面PAC ，所以，PA PB ⊥，PB PC ⊥，因为三棱锥-P ABC 为正三棱锥，则PA PC ⊥，即PA 、PB 、PC 两两垂直，以点P 为坐标点，PA 、PB 、PC 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则2,0,04E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、2,0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、0,2B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭、20,0,2C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设球心为(),,M x y z ，则MA MEMA MB MA MC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，可得22222222222222222224222222x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧⎛⎫⎛⎪-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎪-++=+-+ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎪-++=++- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎩，解得888x y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，所以，三棱锥E ABC -的外接球半径为8R MA ==，因此，三棱锥E ABC -的外接球的表面积为223819π4π4π88R ⎛=⨯= ⎝⎭.故答案为：19π8.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且113a =，113n n n a a n++=.（1）证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 前n 项的和n S .【答案】（1）证明见解析，3n nn a =（2）323443n nn S +=-⋅【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义可证得结论成立，确定等比数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法可求得n S .【小问1详解】解：因为数列{}n a 满足113a =，113n n n a a n ++=，则1113n n a an n +=⋅+，且1113a =，所以，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项和公比均为13的等比数列，则1111333n n n a n -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，故3n nn a =.【小问2详解】解：1231233333n nnS =++++ ，①则231112133333n n n n nS +-=++++ ，②①-②得2311111121111123331333333322313n n n n n n n nn S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-==-⋅- ，所以，323443n n n S +=-⋅.18.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos a c BC b-=，（1）求角B 的大小；（2）若3a =，c =sin C 的值.【答案】（1）π4B =（2）5sin 5C =【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan B 的值，结合角B 的取值范围可得出角B 的值；（2）利用余弦定理求出b 的值，再利用正弦定理可求得sin C 的值.【小问1详解】解：因为sin cos a c B C b -=，由正弦定理可得sin sin sin cos sin A C BC B-=，所以，()sin sin sin sin cos sin sin cos C B A B C B C B C=-=+-sin cos cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+-=，因为B 、()0,πC ∈，所以，cos sin 0B B =>，则tan 1B =，故π4B =.【小问2详解】解：因为3a =，c =π4B =，由余弦定理可得22222cos 922352b ac ac B =+-=+-⨯=，则b =，由正弦定理可得sin sin b cB C=，所以，2sin 2sin 5c B C b===.19.某职称考试有A ，B 两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率均为12；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为23；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为34．（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）5372（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设该考生两年内可获得该职称的事件为A ，计算概率得到答案.（2）X 的可能取值为2，3，4，计算概率得到分布列，再计算数学期望即可.【小问1详解】设该考生两年内可获得该职称的事件为A ，()11112211353112122223322472P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】X 的可能取值为2，3，4.()1112224P X ==⨯=；()111312222P X ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭；()111411224P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；X 的分布列为：X234p141214数学期望为()1112343424E X =⨯+⨯+⨯=.20.直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形,90ACB ∠=︒，2AC BC ==，,D E 分别为11,CC A B 的中点且E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G .（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求二面角B AD E --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）取AB 的中点M ，证得//EM CD ，且EM CD =，得到四边形CDEM 为平行四边形，得出//DE CM ，结合线面平行的判定定理，即可证得//DE 平面ABC ；（2）因为90ACB ∠=︒，以C 为原点，建立空间直角坐标系，设12(0)CC a a =>，根据点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心，列出方程求得1a =，再求得平面ADE 和平面ABD 的一个法向量1(1,1,2)n =- 和2(1,1,2)n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点M ，分别连接,EM CM ，因为,E M 分别为1,A B AB 的中点，所以1//EM AA ，且112EM AA =，又因为1111//,AA CC AA CC =，且D 为1CC 的中点，所以//EM CD ，且EM CD =，所以四边形CDEM 为平行四边形，所以//DE CM ，因为DE ⊄平面ABC ，且CM ⊂平面ABC ，所以//DE 平面ABC .【小问2详解】解：因为90ACB ∠=︒，以C 为原点，以1,,CA CB CC 所在的直线分别为,x y 和z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设12(0)CC a a =>，且2AC BC ==，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,),(1,1,)A B D a E a ，因为G 为ABD △的重心，所以22(,,)333a G ，可得112(,,)333a GE = ，且(0,2,)BD a =- 又因为点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心，则211222(,,(0,2,)033333a a GE BD a ⋅=⋅-=-+= ，解得1a =，所以12CC =，可得(0,0,1),(1,1,1)D E ，又由向量(1,1,1),(1,1,0)AE DE =-= ，设平面ADE 的法向量为1(,,)n x y z = ，则1100n AE x y z n DE x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，可得1,2y z =-=，所以1(1,1,2)n =- ，因为EG ⊥平面ABD ，且112(,,333EG = ，所以平面ABD 的一个法向量2(1,1,2)n = ，可得1212122cos ,3n n n n n n ⋅== ，所以二面角B AD E --的平面角的余弦值23．.21.已知函数()()e 22x f x ax x =-++．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线y x =平行，求该切线方程；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）e 20x y --+=（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据平行得到()11f '=，计算得到答案.（2）根据()00f =得到()010f a '=-≥，再计算导函数，构造()()11ex x h x =-+，证明函数单调递增，计算最值得到证明.【小问1详解】()()e 22x f x ax x =-++，则()()e 21x f x ax a '=-++，切线与直线y x =平行，则()()e 2111f a a '=-++=，解得1a =，又()31e f =-+，则直线方程为：e 2y x =-+，即e 20x y --+=.【小问2详解】()()e 22x f x ax x =-++，()()e 21x f x ax a '=-++，()00f =，故()010f a '=-≥，故1a ≥，若1a <，则()010f a -'=<，则存在00t >使()00,t 上()0f x '<，函数()f x 单调递减，故()()000f t f <=，不成立；现证明1a ≥时，()0f x ≥在[)0,∞+上恒成立，()()()()()e 21e 12e e 12e e 11x x x x x x f x ax x a x a x '-+≥+==-++=+-+-+，设()()11e x x h x =-+，则()e 0x h x x '=≥在[)0,∞+上恒成立，故()h x 单调递增，即()()00h x h ≥=，故()0f x '≥在[)0,∞+上恒成立，函数()f x 单调递增，故()()00f x f ≥=，故[)1,a ∈+∞.【点睛】关键点睛：本题考查了切线方程，利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用必要性探路得到1a ≥，再放缩求导得到函数的单调性再计算最值，可以简化运算是解题的关键.22.已知函数()1e x f x ax -=-，(]0,1x ∈，()f x '为其导函数．函数()f x 在其定义域(]0,1内有零点0x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）设函数()()()()0g x f x m x f m '=--，求证：对任意的(]0,1m ∈且0m x ≠，()()00g m g x ⋅<．（3）求证：01x ≤．【答案】（1）[)1,+∞（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）取()0f x =，变换1e x a x-=，构造新函数，求导得到的单调区间，计算最值得到答案.（2）构造函数()()()()110ex x f x f a x x -=---，求导得到单调区间，计算最值得到()0g m >，构造函数()()()()0201e x x f x f a x x -=---，求导得到单调区间，计算最值得到()00g x <，得到答案.（3）根据001e x a x -=变换得到()0102e 10x x ---≤，构造函数()()12e 1x F x x -=--，求导得到单调区间，计算最值得到证明.【小问1详解】()1e 0x f x ax -=-=，则1e x a x-=，(]0,1x ∈，设()1e x h x x -=，()()121e 0x x h x x --'=≤在(]0,1上恒成立，函数()h x 单调递减，故()()min 11h x h ==，故1a ≥，即[)1,a ∈+∞；【小问2详解】()1e x f x ax -=-，()1e x f x a -'=-，()()()()10e x m a g x m x f -=---，()()()()01e m m m a g m x f -=---，()()()()0100e x g x m x f m a -=---，设()()()()110e x x f x f a x x -=---，则()()'110e x f x x x -=-，当01x x ≥>时，()'10f x >，()'1f x 单调递增；当00x x <<时，()'10f x <，()'1f x 单调递减；当0x x ≠时，()()1100f x f x >=恒成立，即()10f m >，故()0g m >；设()()()()0201e x x f x f a x x -=---，则()01'12e e x x f x --=-，当01x x ≥>时，()'20f x <，()'2f x 单调递减；当00x x <<时，()'20f x >，()'2f x 单调递增；当0x x ≠时，()()2200f x f x <=恒成立，即()20f m <，即()00g x <，故()()00g m g x ⋅<，得证；【小问3详解】001e x a x -=，要证01x ≤，即01x ≤-，(]00,1x ∈，故()20111x a -≤-，即2001112x a x ≤-+-，即0020012e x x x x -≥-，整理得到：()0102e10x x ---≤，设()()(]12e 1,0,1x F x x x -=--∈，则()()11e x F x x -=-'，()0F x '≥在(]0,1上恒成立，故函数()F x 单调递增，故()()10F x F ≤=，即()0102e10x x ---≤，即01x ≤.【点睛】关键点睛：本题考查了根据零点求参数范围，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，构造新函数，将题目转化为函数的最值问题是解题的关键，此方法是常考方法，需要熟练掌握.。
