三角函数式的化简和证明

顺德大良总校 顺德大良一分校 顺德大良北区分校 顺德大良新桂分校 顺德容桂分校 顺德容桂体育路分校 顺德龙江分校 顺德北滘分校 顺德乐从分校 顺德勒流分校 南海桂城分校 南海黄岐分校 南海大沥分校 禅城丽雅苑分校 禅城金澜分校 一、 基础知识：1、诱导公式sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin2、 两角和与差的三角函数公式：⑴ sin()_____________________αβ±=； ⑵ cos()____________________αβ±= ； ⑶ tan()_____________αβ±= 3、二倍角公式；⑴ cos 2__________α= __________= __________= ⑵sin 2__________θ= ⑶tan 2____________θ= 4、公式的变形应用：⑴ 降次公式：2cos _______α=， 2sin _________α=；22cos _______α=， 22sin _________α=；sin cos _______θθ=⑵ 升幂公式：1cos 2______;α-= 1cos 2_______α+= ⑶ 常用变形公式：13sin _______22x x += ； sin cos _______x x +=；31cos _______22x x -=； sin cos _______x x -=； tan tan __________________αβ+=⑷ 常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋( )；α＝2βα+＋______； α＝(α＋β)－ ＝(α－β)＋2βα+＝(α－2β)－( )； ()(_____)4x π-+＝2π5、和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+6、积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb =21[sin(a+b)-sin(a-b)]7、主要方法与思路：⑴．分析思路上，主要有三看： 、 、 ； ⑵．主要方法上：函数名称的变换（ 、 ）、角的变换（ ）、1的变换等方面；二．两角和与差的三角函数(1)公式不但要会正用，还要会逆用． 例6 计算：．(2)公式的变形应用要熟悉．熟记：tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan α·tan β)，它体现了两个角正切的和与积的关系．分析(1)中涉及80°与70°的正切和与积，(2)中涉及α+β与α的正切差与积，所以都用正切和角公式的变形公式．(3)角的变换要能灵活应用，如α=(α+β)-β，β=α-(α-β)，2α=(α+β)+(α-β)等．分析因为β=(α+β)-α，所以求cosβ用余弦两个角差的公式．分析因为2β=(α+β)-(α-β)，所以例10已知3sinβ=sin(2α+β)，则tan(α+β)=2tanα．证明将已知变形：3sin(α+β-α)=sin(α+β+α) 3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα．等式两边同时除以cos(α+β)·cosα，即得tan(α+β)=2tanα．4．倍角公式，半角公式(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确．如已知sinα，cosα，tanα求cos2α时，应分别选择cos2α=1-(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法．对sin3α，cos3α的公式应记住．(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法．正在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，例11求值：(4)先把sin10°·sin50°·sin70°化成余弦，得cos20°·cos40°·cos80°，由于20°，40°，80°顺序为2倍的关系，联想到正弦的2倍角公式，分析使用1±cosα的升幂公式，便于开方．(2)5sin2θ-3sinθ·cosθ+2cos2θ．分析由已知得tanθ=-4．(2)原式可以加一个分母sin2θ+cos2θ，这样分子、分母同时除以cos2还可以这样研究：将sin2θ、cos2θ降幂，使用万能公式．原式=5·5．和差化积、积化和差公式这两组公式现在不要求记忆，但要会使用．(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式．(3)对下列关系式要熟记：例14将下列各式化积：(1)1-sin2α-cos2α；(2)sin5x·sin4x-sin3x·sin2x-sin8x·sinx；分析对(1)，题中有1±cosα时，通常都用升幂公式．对(2)、(3)，先将乘积化和差，再和差化积．例15求值：(1)cos2A+cos2(60°+A)+cos2(60°-A)；(1)分析可以用余弦的两角和、差公式展开计算；若先降幂，再化积更简单．(1)cos(α-β)；(2)sin(α+β)-2cos(α+β)．解(1)将已知的两式平方相加，得(2)将已知的两式化积并相除，得评述对sinα±sinβ=a，cosα±cosβ=b这样两个式子通常的用法是，如(1)，两式平方相加；如(2)，两式化积并相除．这两种用法要掌握．。

第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。

【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。

练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。

2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。

【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。

练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。

这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。

“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。

这往往用到倍、半角公式。

三角函数的化简公式三角函数是数学中常见的一类函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在数学的计算和分析中，经常需要对三角函数进行化简和简化，以便更方便地进行运算和推导。

本文将介绍三角函数的一些常见的化简公式。

1. 正弦函数的化简公式正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，其常用的化简公式包括：（1）正弦函数的和差化简公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)（2）正弦函数的倍角化简公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)（3）正弦函数的平方化简公式：sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2（4）正弦函数的和差的平方化简公式：sin^2(x ± y) = (1 - cos(2x ± 2y))/22. 余弦函数的化简公式余弦函数也是三角函数中常用的函数之一，其常用的化简公式包括：（1）余弦函数的和差化简公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)（2）余弦函数的倍角化简公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)（3）余弦函数的平方化简公式：cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2（4）余弦函数的和差的平方化简公式：cos^2(x ± y) = (1 + cos(2x ± 2y))/23. 正切函数的化简公式正切函数是三角函数中与正弦函数和余弦函数密切相关的函数，其常用的化简公式包括：（1）正切函数的和差化简公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))（2）正切函数的倍角化简公式：tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))（3）正切函数的平方化简公式：tan^2(x) = (1 - cos(2x))/(1 + cos(2x))（4）正切函数的和差的平方化简公式：tan^2(x ± y) = ((1 - tan(x)tan(y))/(1 + tan(x)tan(y)))^2综上所述，三角函数的化简公式包括了正弦函数、余弦函数和正切函数的常见变换和简化形式。

数学部分•知识结构与拓展高一使用2021年6月解：原式=化简三甬函懿述的\f3sin12°—3cos12°2sin12°cos12°(2cos212°—1)2^3sin(12°—60°)4V3o當用冇法■廖庆伟三角函数式的化简的常用方法有：直用公式，变用公式，化切为弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次等。

下面举例分析，供大家学习与参考。

一、直用公式例1设函数/(rc)=sin 兀7C—sin48°评注：先化切为弦，再利用倍角公式进行转化，最后逆用两角差的正弦公式即可求值。

四、异名化同名例4已知tan0=2,则sin20+sin Ceos0—2cos2^._h亠sin20+sin^cos0一2cos'。

解：原式sin2+cos2tan20+tan Q—2_4+2—2_4tar?e十1=4+1=T°评注：先把分母用sir?。

+cos2。

代换，再把分子、分母同除以cos20即得结果。

五、异角化同角例5函数(乞)=cos(2z+詈)+sin2gTT2cos2—+1,则/X h)的最小正周期为的最大值为解：因为函数/(rc)=sin于工一解：因为jf(；r)=cos2^ccos——sin2h•-|-cos晋:r=sin7T7T，故函数/(工)sin令+—c；s2j*_欝鈕，所以函数的最小正周期为丁=弐=8。

T评注：直接利用差角公式、二倍角的余弦公式即可得到结果。

二、变用公式例2当函数夕=sin工—</3"cos h(0W 鼻V2tc)取得最大值时,jc____o解：由》=sin jc一43cos h2(cos守sin工一sin专cos町—2sin h—訂，可知当'7Tsin=1时，此函数取得最大值。

又0W h V2jt,所以rr=警o评注：三角函数公式既可正用，也可变用，变用公式是三角恒等变换的难点。

三角函数的化简、求值与证明(3)主化锐：当已知角是90 到360内的角时，可利用180,270,360ααα--- 的诱导公式把这个角的三角函数值化为0 到90 内的角.二． 两角和与差的三角函数公式1. 两角和与差的正弦公式：()sin αβ±=______________.变形式：()()sin sin αβαβ++-=_______()();sin sin αβαβ+--=_______；2.两角和与差的余弦公式：()cos αβ±=__________________变形式：()()cos cos αβαβ++-=_____________；()()cos cos αβαβ+--=__________；3．两角和与差的正切公式：()tan αβ±=___________())2k k Z παβαβπ+≠+∈（、、.变形式：tan tan αβ±=_________________.【例1】计算：2(sincos )tan()643πππ++-=【例2】已知tan α=sin()cos()()sin()sin()n n n n n αααα+π-π∈+π+-πZ 的值.【例3】函数()cos()sin(),22xx f x x =-+π-∈R . (1)求()f x 的最小正周期有最大值； (2)求)(x f 在[0,)π上的减区间.【例4】若[0,2α∈π]sin co s αα=+，则α的取值范围是（ ） A.(0,)2π B.(,)2ππ C.(,)23ππ D.(,2)23ππ【例5】已知关于x 的方程221)0x x m -++=的两根为s i nc o s θθ、，其中(0,2)θπ∈．（1）求m 的值；（2）求sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值．【例6】已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=. (1)求sin cos x x -的值；(2)求sin 22cos21tan x x x++的值.针对性训练1、已知θ是第三象限角，且4459sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ） A、3 B、3- C 、23 D 、23- 2、函数22y sin x x =- （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π3、tan70cos10201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－24、已知46sin (4)4m m mαα-=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。

三角函数的化简与证明三角函数是数学中的重要概念之一，它在解析几何、物理学、工程学等领域中有广泛应用。

在使用三角函数时，我们经常面临的一个问题就是如何将复杂的三角函数化简为简单形式，或者证明两个三角函数之间的等式。

本文将探讨三角函数的化简和证明方法。

一、三角函数的化简1. 三角恒等式三角恒等式是三角函数化简的基础。

它是一种等式关系，使得两个或多个三角函数能够互相转化。

下面是一些常见的三角恒等式：- 余弦函数的平方加正弦函数的平方等于1：$cos^2θ + sin^2θ = 1$- 2倍角公式：$cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ$- 倍角公式：$sin(2θ) = 2sinθcosθ$- 三角和差公式等通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数化简为简单的形式，便于计算和理解。

2. 其他化简方法除了三角恒等式，还有一些其他的化简方法。

例如，使用欧拉公式，将三角函数转化为复指数函数进行化简。

这个方法可以将三角函数的复杂计算转化为简单的指数函数计算，能够提高计算效率。

在实际问题中，我们还可以利用对称性、周期性等性质进行化简。

这需要根据具体问题进行分析和推导，找到合适的化简方法。

二、三角函数的证明1. 等式的证明证明三角函数之间的等式是数学中的重要问题。

通过证明三角函数之间的等式，可以建立它们之间的联系，拓宽我们对三角函数的理解。

在证明三角函数等式时，我们可以运用三角恒等式、代数运算、数学归纳法等方法。

具体的证明过程需要根据问题的要求和条件进行推导。

2. 不等式的证明除了等式的证明，我们还经常需要证明三角函数之间的不等式。

三角函数的不等式证明在数学分析和优化等领域中有广泛应用。

在证明三角函数不等式时，我们可以使用极限、导数、积分和数学归纳法等方法。

通过分析三角函数的性质和变化趋势，找到合适的不等式证明方法。

需要注意的是，在证明过程中，要严谨而准确地推导，避免出现漏洞和错误，确保证明的有效性和可靠性。

三角函数的化简与展开公式的推导三角函数是高中数学中的重要内容之一，它们在各个数学分支中都有广泛应用。

而化简与展开公式的推导对于解题和简化计算过程有着重要的作用。

本文将介绍三角函数的化简与展开公式的推导，并讨论其应用。

一、正弦函数的化简与展开公式推导1. 两倍角公式：正弦函数的化简与展开公式之一是两倍角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，sin2θ = sin(θ+θ) = sinθcosθ + cosθsinθ化简得到：sin2θ = 2sinθcosθ2. 半角公式：正弦函数的化简与展开公式之二是半角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，sin^2(θ/2) + cos^2(θ/2) = 1利用三角函数的化简公式sin2θ = 2sinθcosθ，有：sin^2(θ/2) = (1 - cosθ)/2cos^2(θ/2) = (1 + cosθ)/23. 和差化积公式：正弦函数的化简与展开公式之三是和差化积公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ化简得到：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ二、余弦函数的化简与展开公式推导1. 两倍角公式：余弦函数的化简与展开公式之一是两倍角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，cos2θ = cos^2θ - sin^2θ化简得到：cos2θ = 1 - 2sin^2θ2. 半角公式：余弦函数的化简与展开公式之二是半角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，sin^2(θ/2) + cos^2(θ/2) = 1利用三角函数的化简公式cos2θ = 1 - 2sin^2θ，有：cos^2(θ/2) = (1 + cosθ)/2sin^2(θ/2) = (1 - cosθ)/23. 和差化积公式：余弦函数的化简与展开公式之三是和差化积公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，cos(α±β) = cosαcosβ - sinαsinβ化简得到：cos(α±β) = cosαcosβ - sinαsinβ三、正切函数的化简与展开公式推导1. 两倍角公式：正切函数的化简与展开公式之一是两倍角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)化简得到：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)2. 半角公式：正切函数的化简与展开公式之二是半角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/(1 + cosθ))利用三角函数的化简公式sin^2(θ/2) = (1 - cosθ)/2和cos^2(θ/2) = (1 + cosθ)/2，有：tan(θ/2) = sin(θ/2)/cos(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/(1 + cosθ))3. 和差化积公式：正切函数的化简与展开公式之三是和差化积公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，tan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)化简得到：tan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)通过以上推导和化简公式，我们可以在解题和计算过程中更加方便地使用三角函数。

三角恒等式的化简与应用三角函数是高等数学中重要的概念之一，在数学和物理等学科中都有广泛的应用。

在解三角方程以及计算三角函数的值时，经常需要运用三角恒等式来进行化简和转化。

本文将探讨三角恒等式的化简方法，并介绍一些常见的应用场景。

一、三角恒等式的化简方法1. 倍角恒等式倍角恒等式是三角函数中常用的一种恒等式，可将一个角的函数值转化为其两倍角的函数值。

以下是常用的倍角恒等式：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θtan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)根据这些倍角恒等式，我们可以将复杂的三角函数表达式转化为简化形式，从而更方便地进行计算。

2. 三角和差恒等式三角和差恒等式能够将两个角的函数和差转化为函数乘积或商的形式。

以下是常见的三角和差恒等式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβtan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)通过利用这些三角和差恒等式，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为较简单的形式，以便进行计算。

3. 三角平方恒等式三角平方恒等式能够将三角函数的平方转化为其他三角函数的形式。

以下是常见的三角平方恒等式：1 - cos²θ = sin²θ1 - sin²θ = cos²θtan²θ + 1 = sec²θcot²θ + 1 = csc²θ通过运用这些三角平方恒等式，我们可以将复杂的三角函数表达式中的平方项转化为其他函数，从而简化计算步骤。

二、三角恒等式的应用场景1. 解三角方程在解三角方程时，我们常常需要通过转化和化简三角函数的表达式来得到等价的方程形式。