3.2 用频率估计概率

3.2用频率估计概率分层训练提分要义【基础题】1．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15．和0.45，则该袋子中的白色球可能有()A．6个B．16个C．18个D．24个2．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如表所示：有下面四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②④3．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．人数60 260 550 130 根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.874．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（）抽取件数50 100 150 200 500 800 1000 （件）合格频数48 98 144 193 489 784 981 A．12 B．24 C．1188 D．11765．为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（）A．0.25 B．0.3 C．25 D．306．如图为某一试验结果的频率随试验次数变化趋势图，则下列试验中不符合该图的是（）A．掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2B．掷一枚硬币，出现正面朝上C．从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球D．从分别标有数字l，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标记的数字不小于77．老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下：一组二组三组四组五组六组七组八组九组十组摸球的次数100 100 100 100 100 100 100 100 100 100摸到白球的次数41 39 40 43 38 39 46 41 42 38请你估计袋子中白球的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（）．类型健康亚健康不健康数据（人）32 7 1A．32 B．7 C．710D．459．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（）A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球10．如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（）A．20 B．30 C．40 D．6011．从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：线路/公交车用时的30≤t≤35 35≤t≤40 40≤t≤45 45≤t≤50 合计频数/公交车用时甲59 151 166 124 500乙50 50 122 278 500丙45 265 167 23 500早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能性最大．（）A．甲B．乙C．丙D．无法确定12．某位篮球爱好者进行了三轮投篮试验，结果如下表：轮数投球数命中数命中率第一轮10 8 0.8则他的投篮命中率为（）A．45B．23C．34D．不能确定13．为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x （cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm 的人数是（）A．28500 B．17100 C．10800 D．1500【中档题】14．一个不透明的袋子中装有4个白球和若干个黄球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，再放回，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到白球，则估计袋子中大约有黄球______个．15．某数学小组做抛掷一枚质地不均匀纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如表．则抛掷该纪念币正面朝上的概率约为_________．（精确到0.01）16．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____．17．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有6个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：根据列表，可以估计出n的值是____．【综合题】18．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？19．在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是（精确到0.01），黄球有个；（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．20．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．（1）请你估计箱子里白色小球的个数；（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．21．新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习．为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．0~20% 20%~50% 50%~80% 80%~100%录播 5 18 14 13 直播2152112（1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于50%的概率；（2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为3:5，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在20%以下的共有多少人？22．某超市经营某品牌的一种乳制品，根据往年销售经验，每天销售量与当天最高气温t （单位：C ︒）有关．为了制定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温、销售量与最高气温的关系得到下表： 最高气温t（单位：C ︒）天数每天销售量（瓶）20t < 15 240 2025t ≤< 30 300 25t ≥45500（1）估计超市今年六月份某一天这种乳制品的销售量不超过300瓶的概率； （2）估计超市这种乳制品今年六月份平均每天的销售量；（3）设进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，结合前三年六月份的销售数据，估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润．23．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下：（1）计算表中a，b的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率．（2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件．24．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．。

习题3.4 第2题
300个同学呢?
可有人说:“50个同学中,就很有可能有两 个同学的生日相同.”你同意这种说法吗?与同伴交 流。
调查全班同学,看看有无两个同学的生日 相同.
如果我们班50个同学中有两个同学的生日 相同,那么说明50个同学中有2个同学的生日相同的 概率是1吗?为什么?
如果我们班50个同学中没有2个同学的生 日相同,那么能说明50个同学中有两个同学的生日 相同的概率是0吗?为什么?
1.进入产生随机数的状态; 2.输入所产生随机数的范围; 3.按键得出随机数.
频率与概率间的关系： (1)概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映； (2)概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值， 所以可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到 事件发生的概率，二者不能等同． 注意： 用频率估计概率大小时， (1)试验要在相同条件下进行； (2)重复试验的次数要足够多．
在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与 概率，下列说法正确的是( )
A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接 近概率
做一做
（1）每个同学课外调查10个人的生日。 （2）从全班的调查结果中随机选取50个被调查人, 记录其中有无2个同学的生日相同. 每选取50个 被调查人的生日为一次试验，尽可能多次试验，并 将数据记录在下表中：
1．频率：在试验中，某事件发生的次数与总次数的比值． 2．用频率估计概率
①一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 m
n
稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P(A)＝p.
②试验的所有可能结果不是有限个或者可能出现的结果 发生的可能性不一定相等时，都可以通过统计频率来估计 概率．

次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？ 解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该 前锋罚篮命中的频率稳定在 0.8 左右，所以估计他这次 能罚中的概率约为 0.8.
例2 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖 坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或 废品，究竟发生哪种结果，在烧制前无法预知，所以这 是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是一个随机 事件，这个事件的概率称为“合格 品率”. 由于烧制结果不是等可能的， 我们常用“合格品”的频率作为 “合格品率”的估计值.
(3)这个试验说明了什么问题. 在图钉落地试验中，“钉帽着地”的频率随着试验次数 的增加，稳定在常数 56.5% 附近.
归纳总结
一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的 频率 m (这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是
n 在 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个 常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的 概率，即
P(A) = p.
练一练
判断正误
（1）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全
部是正面，则正面向上的概率是 1.
错误
（2）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5
附近.
正确
（3）设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取
1000 只灯泡，一定有 10 只次品.
错误
例1 某篮球队教练记录该队一名前锋练习罚篮的结果如下：
用样本(频率) 估计总体(概率)
统计思想
钉帽着地的频 率(%)
55
56.25
55
55
54
55
57 56.4 56.6 56
(2)根据上表画出的统计图表示“钉帽着地”的频率. 频率 70

3.2用频率估计概率一、选择题。

1. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（）A．5 B．6 C．7 D．82. 在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小闽同学统计了某一结果朝上的频率，绘出的统计图如图所示，则符合图中情况的可能是（）A．朝上的点数是6的概率B．朝上的点数是偶数的概率C．朝上的点数是小于4的概率 D．朝上的点数是3的倍数的概率3. 某同学为了估算瓶子中有多少颗豆子，首先从瓶中取出60颗并做上记号，接着将所有做好记号的豆子放回瓶中充分摇匀．当再从瓶中取出100颗豆子时，发现其中有12颗豆子标有记号，根据实验估计该瓶装有豆子大约（）A．800颗B．500颗C．300颗D．150颗4. 有一个只放满形状大小都一样的白色小球的不透明盒子，小刚想知道盒内有多少白球，于是小刚向这个盒中放了5个黑球（黑球的形状大小与白球一样），摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，则盒中白色小球的个数可能是（）A．16个B．20个C．24个D．25个5．在一个不透明的布袋中，装有除颜色外其他完全相同的红色、黄色的玻璃球共40个，小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色的频率稳定在45%，则口袋中黄色球的个数很可能是（）A．18B．20C．22D．246．某淘宝商家为“双11大促”提前进行了预热抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“10元优惠券”区域的统计数据如下表．若随机转动转盘一次，得到“10元优惠券”的概率为（精确到0.01）（）转动转盘的次数200600100016002000落在“10元优惠券”区域的次数64186300472602落在“10元优惠券”区域的频率0.3200.3100.3000.2950.301A．0.32B．0.31C．0.30D．0.297．一个不透明的口袋里装有除颜色外其余都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球个数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为( )A．60个B．50个C．40个D．30个8．做抛掷同一枚啤酒瓶盖的重复实验，经过统计得“凹面朝上”的频率为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒盖出现“凹面朝上”的概率为（）A．22% B．44% C．50% D．56%9．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7 10. 在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组11. 一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）A． B． C． D．12. 甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现点的概率B．从一个装有个白球和个红球（每个球除颜色外都相同）的袋子中任取一个球，取到红球的概率C．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率D．任意写一个正整数，它的绝对值大于的概率二、填空题。