[考研]华南理工大学：概率论习题
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概率论例题
例1.设某班车起点站上车人数
X 服从参数为 （＞0）的泊松分布，并且中途不再有人上
车。
而车上每位乘客在中途下车的概率为
p （0 p 1）,且中途下车与否相互独立，以 Y 表
示在中途下车的人数。
试求（1） （ X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。
k
e 解：X 可能的取值是 0, 1, 2,…..,k ,…，n , ... P{X=k}= —
k!
Y 可能的取值是0, 1, 2,…，r ,…，k
P{x =k, y = r }=P{x=k}P{y=r/x=k}=
当 r>k 时，P{x=k, y=r}=0,
Y 的边缘分布
2
例2.设服从N （ 0, 1 ）,求 的分布密度。
解因为只取非负值，所以当 y 0时，
F （y ） P （ y ） P （ 2
y ） 0
r=0,1,2,…,k
P{Y= r }= P{x
k 0
k, y r} = P{x k}P{ y r /x
k 0
k
k}
=k" Ckrprqkr
=e (P)r
1 k(k 1) r
k!
=e ( p)「+
r! k
r
(k r)!(rq)kr =e (p)r Z rq
P)r e r!
rp
r = 0, 1,2,
验证Y 的分布律
P{ y r} = 1 ?
r 0
F (y) P( y) P( 2
y) P( 5
5)
U
1 du du .u
所以
血混合在一起进行检验 ，如果这混合血液呈阴性反应 ，就说明k 个人的血都呈阴性反应
，
这
样，k 个人的血就只需验一次•若呈阳性，则再对这k 个人的血液分别进行化验 •这样，k 个人
的血总共要化验是 k 1次•假设每个人化验呈阳性的概率为
P ，且这些人的试验反应是相互
独立的•试说明当p 较小时，选取适当的k ，按第二种方法可以减少化验的次数 .并说明k 取什
么值时最适宜.
设以
k
个人为一组时，组内每人化验的次数为 X ，则X 是一个随机变量，其分布律为
P(X ]) q k
, P(X
k
k
k 1
)
k
1 q .
X 的数学期望为
E(X) 1 k k q
(1 7)(1 q k
) k
k
1 q
1 k .
N 个人平均需化验的次数为
k
N(1 q k
1、
).由此可知，
k
只要选择 k 使 1 q k
辛1
则N 个人平均需化验的次数
N .当 p 固定时，我们选取k 使得L 1 q k -小于1且取
k
到最小值，这时就能得到最好的分组方法
1
例如，p 0.1,则q 0.9,当k 4时，L 1 q k
—取到最小值.此时得到最好的分
t 2
(t)dt
y 1
e 2dt
y
Jdt
例3. 行・(i) F (y)
2
1 .
2 e
,u
dU ，
1
y 1
2 2
2
e y
(y)
在一个人数很多的团体中普查某种疾病
将每个人的血分别去验，这就需验N 次.(ii)按k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的 ，为此要抽验N 个人的血，可以用两种方法进
解
各人的血呈阴性反应的概率为
q k
率为
q ，k 个人的混合血呈阳性反应的概率为
1 p .因而k 个人的混合血呈阴性反应的概
k
1- q .
k 组方法.若N 1000,此时以k 4分组,则按第二方案平均只需化验
1000(1 0.94-) 594(次).
4
这样平均来说，可以减少40%的工作量.
例4.按规定，某车站每天8: 00-9: 00, 9: 00-10 : 00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立.其规律为
一旅客& 20到车站，求他候车时间的数学期望.
解设旅客的候车时间为X (以分计).X的分布律为
在上表中，例如
1 3
P{X 70} P(AB) P(A)P(B) ,
6 6
其中A为事件“第一班车在& 10到站”，B为“第二班车在9：30到站”.候车时间的数
学期望为
3 2 1 3 2
E(X) 10 +30 + 50 + 70 + 90 =27.22 (分).
6 6 36 36 36
例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.记使用寿命为X (以年计)，
规定：
X <1 , 一台付款1500元；1 X < 2 ,一台付款2000元；
2 X <3,一台付款2500元；X 3，一台付款3000元.
设寿命X服从指数分布，概率密度为
0 , x<0
试求该商店对上述家电收费(Y兀)的数学期望. 解先
求出寿命X落在各个时间区间的概率，即有
1 1
P{X <1} — e x/10dx。
10
0.1
1 e 0.0952,
f(x) 丄e话x 0 10
2 1 x
P{1 X < 2} e 10dx
1 10
0.2
e e
0.3 0.0861,
P{2 X < 3}
2丄
e x/1°dx e 0.2 e 0.3
0.0779,
2
10
台收费
Y
的分
布
律
为
得即平均一台收费 元口
X,Y 不大于z 等价与X 和Y 不大于z ，故有 P M < z P X < 乙Y W z .
又由于X 和Y 相互独立，得到 M max X,Y 的分布函数为
F max z P M < z P X < 乙 Y W z
即有
率密度为
0 , x <0,
解 X k (k 1,2)的分布函数为
x
F(x) 1 e ，x 0,
0,x W 0.
由第三章§ 5(5.8)式N
min(X^X ?)的分布函数为
因而N 的概率密度为
P{X 3}
0.3
e
0.07408.
及N min X,Y 的分布 设X,Y 是两个相互独立的随机变量 , F X x 和F Y y .现在来求M max X,Y 及N min X,Y 的
例 6 M max X ,Y 它们的分布函数分别为 分布函数.
由于M max
F
max z F
类似地，可得到 z P N < z X
z F Y z .
N min X,Y 1 P N z
的分布函数为
1 P X z,Y
F min Z
1 1 F X z
1 F Y z
例7.有2个相互独立工作的电子装置
,它们的寿命 X k
(k 1,2)服从同一指数分布,其概
f(x)
丄el x
0,
0.
若将这2个电子装置串联联接组成整机
,求整机寿命 (以小时计)N 的数学期望.
F min (x) 1 [1 F(x)]
1 e , x 0 0, x < 0
2x 2x/ .
e dx
例8• —民航机场的送客车载有 20位旅客，自机场开出，旅客有10个站可以下车。
如果到达 一个车站没有人下车则不停车。
以
X 表示停车的次数，求 EX （设每位旅客在各个车站下车
是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。
易知X X 1 x 2川 X 10.现在来求E （X ）.
-
9
按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为
，因此20位旅客都不在第i 站下车的概
10
9
9
率为（一 ）20
,在第i 站有人下车的概率为1 - （一）20
，也就是
10
10
P{X i 0} R ）20,P{X i 1
1 U ）20,i 1,2,川,10.
10 10 111
由此
2x
于是N 的数学期望为
f min (X) 2 °
0, x < 0
E(N) Xf min ( X)dX
解引人随机变量
X i
0,在第i 站没有人下
车,
1,2川,10.
E(X i) 1 (190)20,i 1,2,川10. 进而E(X) E(X1 X2 川X10)
E(XJ Eg) |||E(X10)
10[1 ( —)20] 8.784(次).
10。
