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华东理工大学概率论与数理统计作业簿(第五册)学院______________ 专业_______________ 班级 ________________学号____________ 姓名_____________ 任课教师 ____________第十九次作业一.填空题：1.在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下：1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28 用矩估计法得到这批垫圈的数学期望“的估计值//=_x = l .257 —,标准差cr的估计值$= s”_[ = 0.037_。
二.计算题：1.设总体X服从泊松分布P(2), (X】，X»…,X”)为样本，分别用矩估计法和极大似然法求参数2的估计量/。
解：矩估计法，因为X ~ P(2),所以总体平均值EX = 2 ,一 1 n_ 1 n而样本平均值x所以2 = x=-yx,；n ,=i n ,=i极大似然法，设(X],X2,…,X”)的一组观测值为(“2,…,X”)，似然函数L(2) = FT P(x = X,.) = FT —取对数，得In 厶(2) = -nA. + (x; In 2 - In x;!),i=l令气◎_” + ]£廿0,解得：i = l£x.=-；da2幺n幺故＜9的极大似然估计量为：i = x o^)=fl/(x,) = ^flx,^ i=l i=l2. 设总体歹服从几何分布P(X =x) = p(l-pY-1 (x = l,2,…),(X”X2,…,X”)为 X 的样本。
(1) 求未知参数p 的矩法估计；(2)求未知参数p 的极大似然估计。
解： ⑴由于g 〜Ge(p),因此砖=丄，由矩法原则可知E^ = X,故p-X. PX(2) 设样本(X 1,X 2,---,X n )的一组观测值为01，勺,…,x”),由于总体为离散型, 因此似然函数 L(p) = Y[P(X i =x .) = p n (l-p^X!~n ,Z = 1取对数，得In L(p) = nlnp + (工二%, -njln(l-p),上式两端关于p 求导，令di"厶(卩)=工+工日兀—”=0, dp p 1-p 解上式，得丄+ ― p =~^ O p 1- p X3. 设总体总体X 的密度函数为/Xx) JP + D 汽其中<9>-1是0, 其他未知参数，(X],X2,…，X”)是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求 9的估计量。
件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数X 的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解 (1)X 的可能值为0,1,2,3,所以X 的概率分布为()()333360,1,2,3k kC C P X k k C -=== 即 X 0 1 2 3P120 920 920 120因此199130123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (2)设A ={从乙箱中任取一件产品是次品},根据全概率公式有(){}{}30191921310202062062064k P A P X k P A X k =====⨯+⨯+⨯+⨯=∑三、（12）某保险公司对一种电视机进行保险，现有9000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费5元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内:（１）亏本的概率；（２）获利不少于10000元的概率。
解 101,2,,9000i i i i ξ⎧⎨⎩=第台电视机坏设＝第台电视机正常9000900011{1}0.001{0}0.9990.0010.00099999i i i i iii i P P E D E D ξξξξξξ=========≈∑∑保险公司亏，则电视机坏的台数: >9000*5/2000=22.5900090009000122.51(4.5)0i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫>=>=-Φ≈⎨⎬⎩⎭⎪⎭∑∑∑ 保险公司获利不少于10000元，则电视机坏的台数:<(9000*5-10000)/2000=17.5900090009000117.5(2.83)(3)(2)(2)(2.832)0.97720.021450.830.99532i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫<=<=Φ⎨⎬⎩⎭⎪⎭Φ-Φ=Φ+-=+⨯=-∑∑∑四、（15分)设二维随机变量(),X Y 的概率分布为 YX -1 0 1-1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.21 0 0.1 c其中a 、b 、c 为常数，且X 的数学期望0.2EX =- ,{}000.5P Y X ≤≤= ,记Z X Y =+.求: (1) a 、b 、c 的值; (2)Z 的概率分布律; (3){}P X Z =.解 (1)由概率分布的性质可知, 0.61a b c +++=,即0.4a b c ++=. 由0.2EX =-,可得0.1a c -+=-.再由{}{}{}0,00.1000.500.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,解得0.3a b +=.解以上关于a 、b 、c 的三个方程可得, 0.2,0.1,0.1a b c ===. (2)Z 的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-={}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-={}{}{}{}01,11,10,00.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==-+==={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+=== {}{}21,10.1P Z P X Y =====所以Z 的概率分布为Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) {}{}000.10.10.10.2P X Z P Y b ====++=+=.五、(15分)设随机变量X 的概率密度为()110210 2 40 X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩当当其他令2Y X =,(),F x y 为二维随机变量(),X Y 的分布函数.求:(1)Y 的密度函数()Y f y ; (2) ()cov ,X Y ; (3) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解 (1)Y 的分布函数为(){}{}2Y F y P Y y P X y =≤=≤当0y ≤时, ()()0,0Y Y F y f y ==. 当01y <<时,(){{}{00Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=()Y f y =当14y ≤<时,(){}{11002Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =当4y ≥时,()()1,0Y Y F y f y ==. 所以Y 的概率密度为()01140 Y y f y y <<⎪=≤<⎪⎩当当其他(2) ()0210111244X EX xf x dx xdx xdx +∞-∞-==+=⎰⎰⎰()022211546X EY EX x f x dx x dx +∞-∞-====⎰⎰()023********248X EXY EX x f x dx x dx x dx +∞-∞-===+=⎰⎰⎰故 ()2cov ,3X Y EXY EX EY =-⋅=(3) 2111,4,4,4222F P X Y P X X ⎛⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤=≤-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭1111,22212224P X X P X P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤≤=-≤≤-=-≤≤-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭六、（2学分） (10分) 设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为12~0.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭而Y 的概率密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .解 设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式可知,U X Y =+的分布函数为(){}G u P X Y u =+≤{}{}0.310.72P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤={}{}0.3110.722P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 与Y 独立,得(){}{}()()0.310.720.310.72G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-因此,U 的概率密度为()()()()()()0.310.720.310.72g u G u F u F u f u f u '''===-+-=-+-七、（2学分）（10分）已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 设A {{抽到一名男性}；B {{抽到一名女性}；C {{抽到一名色盲患者}，由全概率公式得11()(|)()(|)()5%0.25% 2.625%22P C P C A P A P C B P B =+=⨯+⨯=1()()(|)5% 2.5%2P AC P A P C A ==⨯=由贝叶斯公式得()20(|)()21P AC P A C P C ==八、（2学分）(16分)（1）设()12,,, 2n X X X n ≥为独立同分布的随机变量，且均服从()0,1N ，记X =121n i i X n -=∑，() 1,2,,i i Y X X i n =-=. 求:{}10n P Y Y +≤.（2）袋中有a 只红球，b 只白球，c 只黑球。
华东理工大学概率论与数理统讣作业簿(第六册)学院 _______________ 专业 _______________班级________________学号 _______________ 姓名 _______________任课教师____________第十六次作业计算题：1 一批产品的不合格率为0.02,现从中任取40只进行检查，若发现两只或两 只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法拒收的概率：(1)用二项 分别作精确计算；(2)用泊松分布作近似计算。
解:设不合格得产品数为(1) >2) = 1-P(g = 0)-P(g = 1) = 1 -(O.98)40-4(0.02)(0.98)39 «0.1905.⑵利用二项分布列的泊松定理近似，得2 = ^,=40x0.02 = 0.8,> 2)«1 -严-0.W "1912.2作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互 独立的，都服从(-0.5,0.5)上的均匀分布。
现在有1200个数相加，问取整误差总 和的绝对值超过12的概率是多少？解 设各个加数的取整误差为$ (心1,2,…,1200 )。
因为§〜(,=12・・・,1200)。
设取整误差的总和为帀=土刍，因为77=1200数值很大，由定理知，这时近. — 0.5 + 0.5 t/(-0.5,0.5),所以 p = E& = --------------------------- = 0(0.5 + 0.5)2 12 1 12似有〃 =£勺〜r-1 其中，/?// = 1200x0 = 0 ,na 2 = 1200x 丄= 100 o 12所以，取整误差总和的绝对值超过12的概率为卩{| 〃| > 12 } = 1 — P{-12<;/<12}^1-①(12工\ _ ①(二］二《)ylna 2 yjna-2=1-①(皇2)_①(二二。
