华南理工大学2012概率论试题

设事件 A {取出的两个球都是白球} ，则事件 A 包含的样本点总数为 k C52 ， 故
P( A)
k C52 0.357 n C82
例 4 一批产品工 200 个，其中有 6 个废品，求： （1）这批产品的废品率； （2） 任取 3 个恰有 1 个废品的概率； （3）任取 3 个全是废品的概率. 解
一个事件的概率为 0， 这个事件未必是不可能事件； 因此 C 项正确.反例如
下 ： 随 机 地 向 [0,1] 区 间 内 投 点 ， 令 x 表 示 点 的 坐 标 ， 设
A { 0 x 1 / 2 B} , { 1 x /， 2则 A B 1{ }x 1 / 2， } 由 几 何 概 率可 知 ，
1 2k 2 1 2k 2 2k 2 Cn Cn 1 (C2 ) n22 k 2 Cn 1 2k 2k C2 n C2 n
率总是在区间（0,1）上的一个确定的常数 p 附近波动，并且稳定于 p ，则称 p 为 事件 A 的概率，记为 P( A) .即
P( A) p
14.古典概率定义 古典概率定义 在古典概型中，如果基本事件的总数 所包含的样本点个数为 r （ r n ） ，则定义事件 A 的概率 P( A) 为 r / n .即
第一种情况：不放回抽样
1 1 样 本 空 间 的 基 本 事 件 总 数 为 n C6 C5 30 . 事 件 A 的 基 本 事 件 数 为 1 1 1 1 k A C4 C3 4 3 12 .事件 B 基本事件数为 k B C2 C1 2 1 2 .
（1） （2）由于 P( B)
例 6 从 n 双不同型号的鞋子中任取 2k (2k n) 只，试求下列事件的概率： （1） （2） B ={恰有一对鞋子} . A ={没有成对的鞋子}； 解

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷A 卷1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 可使用计算器，解答就答在试卷上； ．考试形式：闭卷；本试卷共八大题，满分100分。

考试时间120分钟。

5. 本试卷的七、八大题，有不同学分的要求，请小心阅题。

标准正态分布的分布函数值：99.0)33.2(=Φ（10分）甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n 次。

求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。

（14分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。

三、（试求：(1) a ；(2) P （X+Y<1）；(3) E(XY)四、（15分）设的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他020,10)(),(y x y x A y x f求：(1) A ；(2) E(X), cov(X,Y)，X 和Y 的相关系数；(3)(X,Y)落入区域},10{2x y x D ≥≤≤=的概率。

五、（12分）某学院有1000名学生，每人有80％的概率去大礼堂听讲座，问礼堂至少要有多少座位才能以99％的概率保证去听讲座的同学有座位？六、（10分）设随机变量ξ与η独立，并有相同的分布),(2σa N 。

试证：()[]πσηξ+=a E ,max七1、（2学分做）（12分）设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧>=⎩⎨⎧≤≤=-.,0)(.0,101)(其他其他y e y f x x f yY X已知X,Y 的函数⎩⎨⎧>≤==.0,1),(Y X Y X Y X g Z试求EZ ，DZ 。

八1、（2学分做）（12分）设随机变量),(ηξ在单位园(){}1|,22≤+=y x y x D 上服从均匀分布，求：⑴ ),(ηξ的联合概率密度),(y x ϕ； ⑵ 边际密度函数)(x ξϕ，)(y ηϕ； ⑶ ξ与η是否相关，是否独立？。

二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。

一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。

三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。

假设过关人中有96%是非危险人物。

问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。

六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。

决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。

设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。

（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。

九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。

ac cov( X , Y ) ac DX DY
XY
4. 设两个随机变量 , ， E 2, E 4, D 4, D 9, 0.5 ，求
E (3 2 2 2 3) 。
解
E (3 2 2 2 3) 3E ( 2 ) 2 E ( ) E ( 2 ) 3 ＝3 D ( E ) 2 2cov( , ) EE D ( E ) 2 3 68
＝max( , ) 的分布函数 F ( z ) 等于
A． max{F ( z ), F ( z )} B. F ( z ) F ( z )
（ B ）
1 C． [ F ( z ) F ( z )] 2 二. 填空：
已知 ～ N (0 ,1) ,
1 3
D. F ( z ) F ( z ) F ( z ) F ( z )
B. 独立的充分条件，但不是必要条件 D. 不相关的充分条件，但不是必要条件 ）
3.
对于任意两个随机变量 X 和 Y ，若 E ( XY ) E ( X ) E (Y ) ，则 （B A） D( XY ) D( X ) D(Y ) C） X 和 Y 独立
B） D( X Y ) D( X ) D(Y ) D） X 和 Y 不独立0.25 0.15
0.15 0.2 0.15
1.05 E 0 .5 E 0.25 E max( , ) _______, 1.2 E ______, ____, sin ( ) _______, 2
0.36 Dmax( , ) _______ 。
三. 计算题： 1. 已知二维随机变量 ( , ) 的联合概率分布为