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第6章 屈服准则与本构方程

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13本构方程

13本构方程

3） 塑性变形时可认为体积不变，即应变球张 量为零，泊松比ν= 0.5。 4） 全量应变主轴与应力主轴不一定重合。 由于塑性应力应变关系与加载路线或加载的历 史有关。因此，离开加载路线来建立应力与全 量塑性应变之间的普遍关系是不可能的，一般 只能建立应力与应变增量之间的关系，仅在简 单加载下，才可以建立全量关系。 所谓简单加载，是指在加载过程中各应力分量 按同一比例增加，应力主轴方向固定不变。如 图2b中，由原点O 到F 点的直线所表示的就是 简单加载。
一、列维-密塞斯（Levy-Mises）理论
式中， dλ是瞬时的非负比例系数，在加载的不同瞬间是变 化的，在卸载时dλ= 0 。式 称为Levy-Mises 方 程。由于 ，所以上式与广义虎克定律式形式上相 似，也可以写成比例形式和差比形式：
或
一、列维-密塞斯（Levy-Mises）理论
经推导得出 联立以上两式可知，Levy-Mises 方程还可以写成广义表达式
第一节 弹性应力应变关系
单向应力状态下线弹性阶段的应力应变关系服从虎克定律。将其推广 到一般应力状态下的各向同性材料，就是广义虎克定律，即
式中， E 是弹性模量(MPa)；ν 是泊松比；G 是剪切模量(MPa)。 三个弹性常数E 、ν 、G 之间有如下关系: 将式（17-1）的 εx 、εy 、εz相加整理后得:
所以，可以把小变形全量理论看成是广义虎克定律在小塑 性变形中的推广。
例 试确定下图两端封闭的受内压p 的薄壁圆筒，产生塑性 变形时，圆筒的周向、径向和轴向应变的比例（设径向应 力可以忽略，即按 求解）
解: 在上例中已求出圆筒的各应力分量为
其平均应力为 则应力偏量的分量为
由列维－密塞斯方程 得
所以 这是平面变形状态。

第六章屈服条件

第六章屈服条件

第六章 屈服条件§6.1应力空间与屈服条件弹性力学只研究物体在弹性范围内的变形规律；塑性力学的研究范围扩展到塑性变形阶段，研究材料在塑性变形情况下力与变形之间的关系。

材料在塑性变形时其内力应该满足一定的条件—屈服条件。

屈服条件是求解塑性力学问题所必需的补充方程。

屈服条件是塑性力学中的重要概念之一。

正确理解屈服条件的有关概念，对于分析和解决塑性力学问题是至关重要的。

在单向拉伸时，标志材料进入塑性状态的是应力达到材料的屈服极限s σ。

对于具有明显屈服极限的材料，s σ可以在拉伸曲线上找到。

而对于没有明显屈服极限的材料，则按规定用取对应于残余应变2.0=ε％时的应力作为材料的s σ。

但对于复杂应力状态，问题就复杂多了，因为一点的应力状态是由六个应力分量确定的，显然不应选取海六个应力分量中的某一个作为判断材料是否进入塑性状态的判据。

因此，在分析中需要引进应力空间和应变空间的概念。

所谓应力空间或应变空间就起以应力分量或应变分量为坐标轴所确定的空间。

任一点的应力状态或应变状态，可以通过变换用主应力或主应变来表示，由于其几何图形和数学表达式都比较简单，使用起来也非常方便，一般都采用主应力或主应变坐标系。

由主应力1σ、2σ和3σ所确定的应力状态，可以用应力空间中的一个点来表示。

在应力空间或应变空间中，每一个点都代表一个应力状态或一个应变状态。

应力或应变状态的变化，可以在相应空间中绘出一条相应的曲线，这样的曲线称为应力路径或应变路径。

根据不同路径所进行的实验，可以确定从弹性阶段进入塑性阶段的界限，即确定屈服点，这些屈服点连结起来后形成一个曲面，这样的曲面称为屈服面。

屈服面的数学表达式称为屈服函数。

对于理想塑性材料，这个曲面称为极限曲面，应力状态只能在这个曲面之内或在曲面之上。

在屈服面内的应力状态为弹性应力状态(弹塑性材料)或刚性状态(刚塑性材科)，而在屈服面上的应力状态则为塑性状态，即一旦应力状态到达屈服面之上，则认为材料已进入塑性状态了。

本构方程

本构方程

本构方程(constitutive equation)，反映物质宏观性质的数学模型。

又称本构关系(constitutive relations) 。

简介通常把应力和应变率，或应力张量与应变张量之间的函数关系称为本构方程归纳宏观实验结果，建立有关物质的本构关系是连续介质力学和流变学的重要研究课题。

最熟知的本构关系有胡克定律(Hooke's law)、牛顿粘性定律（见粘度）、理想气体状态方程、热传导方程等。

建立本构关系时，为保证理论的正确性，须遵循一定的公理，即所谓本构公理。

例如纯力学物质的本构公理有三：确定性公理(物体中的物质点在时刻t的应力状态由物体中各物质点的运动历史唯一确定）、局部作用公理（物体中的物质点的应力状态与离开该物质点有限距离的其他物质点的运动无关）和客观性公理（物质的力学性质与观察者无关）。

若考虑更复杂的情况，本构公理的数目就相应增多。

求解连续介质动力学初边值问题，本构关系是不可少的；否则就无法把握所研究连续介质的特殊性，在数学上表现为控制方程不封闭，其解不能唯一确定。

建立物质的本构关系是流变学的重要任务，可通过实验方法、连续介质力学方法和统计力学的有机结合来完成。

然而，尚未找到一个普适的本构关系，需根据研究对象和流动形态选用合适的本构关系。

理性力学除对本构关系进行极为一般的研究外，还对弹性物质、粘性物质、塑性物质、粘弹性物质、粘塑性物质、弹塑性物质以及热和力耦合、电磁和力耦合、热和力以及电磁耦合等物质的本构关系进行具体研究。

本构方程十分复杂，适合研究生以上学历、对科学有积极探究精神的人进行研究其性质。

对普通生活暂时无太大的价值。

正文连续介质力学中描述特定物质性质的方程。

它建立了特定连续介质的运动学量、动力学量、热力学状态之间的某些相互关系。

本构关系随所考虑的具体介质和运动条件而变。

质量、动量、能量守恒律对所有物质都适用，连续介质力学以各种微分方程，如连续方程、运动方程、平衡方程等为主要研究手段。

第五章：屈服准则与塑性应力应变关系

第五章：屈服准则与塑性应力应变关系

第五章：屈服准则和塑性应力应变关系
5.6 增量理论 1
2 将Levy_Mises方程方程代入：
( 1 2 )2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 s
' 2 d 2 / d
1' d 1 / d
3' d 3 / d
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
屈服函数表现出几何图形，对了解其性质和两种屈服准 则的比较有积极作用。 屈服函数是一曲面，首先看二维应力，即： 3 0
Mises屈服函数：
2 12 1 2 2 s2
为一椭圆。 Treasca屈服函数：
1 2 s 2 3 s 3 1 s
' d ij ij d
1、应力应变主轴仍然重合 在弹性理论中已经证明，在弹性阶段，应力主轴与应变主轴重合，现 在增加部分仍然重合，所以，以上Levy_Mises方程塑性变形后，应变和与 应力主轴仍然重合。 2、 Levy_Mises方程代表物理方程 反映了应力应变关系，所以是一物理方程，代表6个方程，但是未知函 数增加了一个。 3、仍然需要用屈服方程
3
半径：
纯剪
单向拉伸
1
2 s 3
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系
5.5 后继屈服表面
塑性力学中最大的困难是

Cs Bs As 0
C F O A D B G
应力与应变不存在一一对应关 系，问题的求解不但与当前的 状态（应力、应变）有关，还 与历史有关。 如图所示，载荷从0开始加 载，在OA阶段，属于线性弹性 阶段，用弹性理论计算，如果 继续加载，则进入塑性阶段，A 点满足： f ( ) As

工程材料的本构方程

工程材料的本构方程

工程材料本构方程读书报告目录摘要............................................................ - 1 -Abstract........................................................ - 2 -1绪论.......................................................... - 2 -1.1工程材料本构理论的发展示概况............................ - 2 -1.2连续介质力学的基本方程.................................. - 3 -1.3应力分析................................................ - 5 -1.3.1应力状态和应力张量................................ - 5 -1.3.2应力张量的分解.................................... - 6 -1.3.3应力空间、应力路径................................ - 8 -1.4应变分析................................................ - 8 -1.4.1应变状态和应变张量................................ - 8 -1.4.2应变张量的分解.................................... - 9 -1.4.3应变率张量....................................... - 10 -1.4.4应变增量张量..................................... - 11 -2工程材料的强度和变形特征..................................... - 12 -2.1概述.................................................. - 12 -2.2金属的强度和变形特征................................... - 12 -2.2.1基本试验......................................... - 12 -2.2.2简化模型......................................... - 14 -2.3土的强度和变形特性..................................... - 15 -2.3.1应力-应变曲线.................................... - 15 -2.3.2土体变形的组成部分............................... - 16 -2.3.3土体变形影响因素................................. - 17 -2.4混凝土的强度和变形特性................................. - 18 -2.4.1单向应力下的变形性质............................. - 18 -2.4.2复合应力下的变形性质............................. - 19 -2.4.3其他条件下的变形性质............................. - 19 -3弹性模型..................................................... - 21 -3.1概述.................................................. - 21 -3.2线性弹性模型........................................... - 21 -3.3非线性弹性模型理论..................................... - 22 -3.3.1 Cauchy弹性模型.................................. - 22 -3.3.2超弹性模型....................................... - 22 -3.3.3次弹性模型....................................... - 23 -3.4土的非线性弹性模型举例................................. - 23 -3.4.1 E-K非线性弹性模型............................... - 23 -3.4.2正常固结粘土四参数非线性弹性方程................. - 25 -3.4.3一个土的K-G非线性弹性模型....................... - 26 -3.4.4考虑球张量和偏张量交叉影响的非线性弹性模型....... - 26 -3.5混凝土的非线性弹性模型举例............................. - 27 -3.5.1 K-G非线性弹性模型............................... - 27 -3.5.2混凝土的正交各向异性弹性模型..................... - 28 -3.6破坏准则............................................... - 28 -3.6.1概述............................................. - 28 -3.6.2最大主应力准则................................... - 28 -3.6.3 Tresca准则...................................... - 29 -3.6.4 von Mises准则................................... - 29 -3.6.5 Mohr-Coulomb准则................................ - 29 -4弹塑性模型................................................... - 30 -4.1弹塑性模型............................................. - 30 -4.1.1屈服条件的概念................................... - 30 -4.1.2理想弹塑性材料的加载和卸载准则................... - 30 -4.1.3加工硬化材料的加载和卸载准则..................... - 31 -4.1.4 Drucker公设和Илъюшин公设................. - 31 -4.1.5塑性位势理论和流动规则........................... - 32 -4.1.6加工硬化规律..................................... - 32 -4.2理想弹塑性模型......................................... - 33 -4.2.1理想弹塑性本构方程的一般表达式................... - 33 -4.2.2 Prandtl-Reuss模型............................... - 34 -4.2.3 Drucker-Prager模型.............................. - 34 -4.2.4 Mohr-Coulomb模型................................ - 34 -4.2.5 Willam-Warnke模型............................... - 35 -4.3加工硬化弹塑性本构方程的一般表达式..................... - 36 -4.4土的加工硬化弹塑性模型举例............................. - 36 -4.4.1临界状态模型及其发展............................. - 36 -4.4.2 Lade-Duncan(1975)弹塑性模型...................... - 37 -4.5混凝土的加工硬化弹塑性模型举例......................... - 38 -4.5.1混合硬化von Mises模型........................... - 38 -4.5.2等向硬化三参数模型............................... - 39 -5粘弹塑性模型................................................. - 40 -5.1粘弹性模型理论......................................... - 40 -5.1.1材料的蠕变与应力松弛现象......................... - 40 -5.1.2粘弹性积分型本构方程............................. - 41 -5.1.3粘弹性微分型本构方程............................. - 41 -5.2线性粘弹性模型......................................... - 41 -5.2.1 Maxwell模型..................................... - 41 -5.2.2 Voigt模型....................................... - 42 -5.2.3标准线性模型..................................... - 42 -5.2.4加载-卸载响应.................................... - 43 -5.2.5广义Burgers模型................................. - 44 -5.3非线性粘弹性模型....................................... - 45 -5.3.1本构理论中的形变描述............................. - 45 -5.3.2单积分型本构模型................................. - 45 -5.4粘塑性模型............................................. - 46 -5.4.1粘塑性特性的某些实验资料......................... - 46 -5.4.2粘塑性模型理论................................... - 47 -5.5岩土粘塑性模型......................................... - 49 -参考文献....................................................... - 50 -摘要工程中常见材料的宏观本构行为是本课程研究的内容。

工程塑性力学-屈服准则

工程塑性力学-屈服准则

Mohr-Coulomb 准则
Drucker-Prager 准则
Rankine 准则
1876 年，Rankine提出：一点的最大主应力 达到拉伸强度时，材料发生拉伸破坏。 用于确定脆性材料是否会发生拉伸破坏。 可用来判断混凝土拉伸开裂的起因。 屈服面：拉伸破坏面
1
max(1 , 2 , 3 ) ft ft 由简单拉伸试验确定。
2
那么Tresca准则变为：
xx yy 2 xy k 2
2
即

xx
yy 4
2 2 xy
2 s
上式分别代入yy = -s , 0, s，得到xx-xy 平面 上的屈服轨迹。
xy
xx
Mises 屈服准则
轴向拉伸试验：
1 s , 2 3 0
1 3 s , 2 0
s k 2
k s
纯剪试验：薄壁圆筒扭转试验
1 s s 2
s 与 s 均可由试验测定，常用钢材的试验 结果与上式不完全符合，说明Tresca屈服准则 是近似正确的。
Tresca准则是分段线性的，简化计算；适用 于主方向已知且不变的情况下；
Mises 、 Tresca 准则分别对应于材料力学中 的第三、第四强度理论。
例3：闭端薄壁圆筒受内压 p 的作用，理想 塑性材料，屈服极限为s = 245 GPa。 用Mises、Tresca准则求最大许可的内压 p。 解：首先确定危险 点的应力状态（远离 封头的筒身位置）：
Drucker-Prager 准则
1952 年提出，是对 Mises 准则的修正，它考 虑了静水压力对屈服的影响：

弹塑性力学-15 屈服理论


S
等倾线
L P
2
一点的应力矢量 OP 1e1 2e2 3e3
15.1 屈服理论分析
2. 屈服条件的一般形式
3 QL
OP 1e1 2e2 3e3
P
n
1 3
e1
1 3
e2
1 3 e3
平面 o S
2
1
OQ OP n
1 3
(1
2
3
)
15.1 屈服理论分析
3. 屈服条件的一般形式
ij
0
ABCA
对整个循环，附加应力
( ij
0 ij
)d
p ij
0
在弹性变形上做功为零 ABCA
AB ( ij
0 ij
)d
p ij
BC
( ij
0 ij
)d
p ij
CA ( ij
0 ij
)d
p ij
0
15.1 屈服理论分析
6. Drucker公设
AB ( ij
0 ij
)d
p ij
BC ( ij
4
xy s
2
1
均为
x s
2
3
xy s
2
1
椭圆
15.2 经典屈服准则
3. 屈服准则的验证 M
P
薄壁圆筒承受拉扭
M P
Mises准 则更好！
xy / s
0.6
Mises准则
0.4 铜 0.2 软钢 Tresca准则
铝
0 0.2 0.4 0.6 0.8 x / s
塑性屈服理论
15.1 屈服理论分析 15.2 经典屈服准则 15.3 后继屈服与硬化

4_板料本构理论与屈服准则

FASTAMP
专业钣金成形快速仿真软件FASTAMP 增量理论本构方程
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件全量形变理论本构方程
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
全量形变理论本构方程
⎦
⎣
090
FASTAMP 各向同性屈服准则
FASTAMP FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
材料的J2随动强化本构关系
K εσ=FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
板料各向异性
FASTAMP 各向异性参数R 定义FASTAMP 各向异性系数ΔR
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件Barlat_Lian 屈服准则
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
Barlat 六参量正交各向异性屈服准则
6
FASTAMP 各种屈服准则比较
FASTAMP J2流动理论
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
Barlat_Lian 屈服准则
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件Barlat 六参量正交各向异性屈服准则
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件。

屈服准则


7. 初始为各向异性与应力导致的各向异性。初始各向异性指岩土在天然沉积或地质
作用的过程中形成的材料各向力学性质的不同，例如天然黏土由于沉积作用在水 平竖直方向表现的不同力学性质。 8. 时间的相关性。即岩土具有流变特性或黏滞性，例如土体固结，围岩稳定性或强 度随时间变化等。下文评价略。
9. 数学函数连续。 10. 适用性好，相关系数易于测定。
屈服与破坏准则
一．评价标准
从岩土材料的屈服与破坏特性及试验的可操作性出发，评价标准如下：
1. 屈服与破坏函数不同，下文各评价结果中略。
图1-1 典型岩土应力-应变曲线
图1-2 屈服曲面、加载曲面和破坏曲面
2. 三个主应力或三个应力不变量都对屈服或破坏有影响。在弹性力学和传统塑性 理论中，只有应力偏量与塑性部分有关。但岩土试验表明，塑性变形既与应力偏 量有关，也与应力球张量有关，岩土的球应力与偏应力之间存在着交叉影响。
（c）
2. 评价结果
表2-1
C-M屈服破坏准则评价结果
三e-Pande 准则
1864年，法国工程师Tresca根据Coulomb对土力学的研究和他在金属挤压试验中得到的结果， 提出当材料的最大剪应力达到某一极限值kT时，材料产生屈服，即最大剪应力屈服准则。
g (30 ) 1 当 30 时； 3 sin 当 30 时。 g (30 ) K 3 sin 式中：K值代表三轴拉压强度之比。
dg ( ) 0 d

当 30 时；





Z-P准则在 平面上的屈服曲线光滑，且在 30 时与M-C准则 拟合。
1 3 c , 2 0 1 3 t , 2 0

6-2-屈服准则和本构关系和例题与习题

例题4.1：已知理想材料的变形体内某质点的应力状态，如下图所示，其中s σσ=（屈服应力）。

试分别采用Tresca 、Mises 和双剪应力屈服准则判别该点的变形状态。

解：由题图可见，三种应力状态均已转化为主应力状态。

于是可直接由图获得三个主应力值，然后再按三个屈服准则分别进行计算和判别。

（1）123,2σσσσσ=-==-根据Tresca 准则，13s σσσσ-==，表明该点已发生塑性屈服； 根据Mises 准则，等效应力()()222122331s 1()2σσσσσσσσ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦，所以也表明该点达到了塑性屈服状态；根据双剪应力准则，式（4-16），取1b =，则较大的两个主剪应力为：13131222sσσσττ-===因此屈服函数为：1312s f b ττσ=+=，表明该点发生塑性屈服。

（2）1230.5,0.5σσσσσ===-根据Tresca 准则，13s σσσσ-==，表明该点已发生塑性屈服； 根据Mises 准则，等效应力()()222122331s 1()2σσσσσσσσ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦，表明，该点已发生塑性屈服；根据双剪应力准则，式（4-16），取1b =，则较大的两个主剪应力为：13131222sσσσττ-===因此屈服函数为：1312s f b ττσ=+=，表明该点发生塑性屈服。

（3）123,1.5,2σσσσσσ=-=-=-根据Tresca 准则，13s σσσσ-==，表明该点已发生塑性屈服；0.5σ 例4.1（1）图 例4.1（3）图1.5σ 例4.1（2）图 0.5σ 0.5σ 0.5σ按Mises 准则，等效应力s 2s σσ==<，表明，该点尚未发生塑性屈服，仍处于弹性变形状态；根据双剪应力准则，式（4-16），取1b =，则较大的两个主剪应力为：121312,224ssσσσσττ-===因此屈服函数为：131234s s f b ττσσ=+=<，表明该点尚处于弹性变形状态。

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3 UV 1 m ij m ij 2 2 m m
3(1 2 ) 2 m 2E
21
第一项只与偏张量有关，表示形状变化能：
' ' Uf 1 ij ij 2 1 4G
'ij 'ij
Principle of Metal Forming
41G '2 x '2 y '2 z 2( '2 xy '2 zy '2 zx）
３）加载瞬时应力与应变主轴重合 ４）塑性变形时体积不变，即 表达式：
d d ij ij
意义：应变增量与应力偏量成正比
类似于广义虎克定律的比例及差比表达式：
Principle of Metal Forming
其中dλ：
等效应变增量或 应变增量强度
26
Principle of Metal Forming
f ( ij ) C
C是与材料性质有关、与应力状态无关的常数。
1
基本概念
Bauschinger效应
Principle of Metal Forming
反向加载引起的屈服
应力降低的现象。
2
2.两个常用屈服准则
1 ）屈雷斯加（H.Tresca）屈服准则
1864年法国工程师H.Tresca提出： 意义：受力物体（质点）中切应力达到最大时，物体就发生屈服。 表达式：
适用于求解小应变及弹性回复和残余应力问题。 ２） Levy－Mises 理论和Prandtl-Reuss理论着重指出了应变增量与
应力偏量间的关系。
３） ４）
可反映复杂加载过程的积累作用。 上述理论仅适用于加载情况，卸载仍然服从虎克定律。
30
4 全量理论（形变理论）
增量理论虽严密而不实用，因从应变增量积分到全量并非易事。全 量理论就是在一定条件下直接确定全量应变的理论。Hencky于1924年、
Principle of Metal Forming
9
Principle of Metal Forming
Mises 圆柱面：
半径：
中心线：等倾线
(2) H.Tresca屈服表面 Tresca六棱柱面：
内接Mises 圆柱面的正
六棱柱面
10
３）Π平面上的屈服轨迹
Π平面定义：主应力空间中，通过坐标原点，并垂直 于等倾线的平面，其方程为：
为评价中间应力的影响，设： Lode参数 Mises准则 Tresca准则 则：
1 3 1 s
比较，如右图： μσ=±1 时 Mises 、Tresca重合
μσ=0 时 两者差别最大，误差15.5%
12
4 实验验证
Taylor、Quinney实验：
材料 Cu、Al、钢
方法 薄壁管扭转、轴拉 提问正剪应力表达式 屈服准则表达式： T M
18
广义虎克定律的张量表达式：
形状变化
体积变化
Principle of Metal Forming
广义虎克定律的比例及差比表达式：
又据等效应力表达式：
由差比表达式有：
19
将前式代入等效应力公式有：
Principle of Metal Forming
令： 则有复杂应力状态下应力强度与应变强度表达式：
第6章 屈服准则与本构方程
1.基本概念
在单向拉伸应力状态下判别材料是否屈服的标准就是材料质点的应力是否 达到屈服应力σs，应力σs ＝ σ就是单向拉伸情况下的屈服条件或屈服准则。对 于任意应力状态，当6个独立的应力分量符合一定条件时，质点进入塑性状态， 这种关系称为屈服准则。 可表示为：
Principle of Metal Forming
15
应变硬化材料的应力状态：
１．当：
f df d ij 0 ij
Principle of Metal Forming
加载、产生塑性流动变形、 应力状态由初始屈服表面向外移动。 ２．当：
df
f d ij 0 ij
卸载、产生弹性回复变形、应力状态由初始屈服表面向内移动。 ３．当：
分量表达式：
注意： Levy－Mises 方程仅适用于理想刚塑性材料，它只给出了应 变增量与应力偏量之间的关系。由于dεm ＝0，因而对应的应力球张量 不能唯一确定。故若已知应变增量，只能求得应力偏量，不能求出全应 力，反之亦然。
27
２．应力－应变速率方程
把Levy－Mises 方程对时间求导，即是应力－应变速率方程。 Saint-Venant于1870年提出，由于类似于牛顿粘性流动公式，故又称
Principle of Metal Forming
max
max min
2
C
实验值 剪切屈服强度
单向拉屈服应力
主应力表达式：
以上三个表达式满足其中之一即屈服。
另称：最大切应力不变条件
3
2 ） 米塞斯（Von.Mises）屈服准则
1913年德国力学家Von.Mises从纯数学角度提出： 意义：受力物体（质点）的等效应力达到屈服值时即进入塑性状态。 表达式：
E
上式表明：在弹性变形范围内，应力强度与弹性应变强度成正比，比例 系数仍为Ｅ。
20
弹性应变能
物体在外力作用下产生弹性变形，若物体保持平衡且无温度变 化，则外力所做的功将全部转换成弹性势能。 即：
Principle of Metal Forming
U1 2 ( ij ij )
引入偏、球张量，有：
Principle of Metal Forming
样就撇开了加载历史的影响。 １．Levy－Mises理论 Levy和Mises分别于1871和1913年建立了理想刚塑性材料的流动理论。 基本假设：
１）理想刚塑性
２）符合Mises屈服准则，即
s
d ij d ij
瞬时正常数，加载时变 化、卸载时为零 25
Principle of Metal Forming
OAC、比例、主轴 重合、力变对应
OBD(I)F、非比例、 主轴不重合、力变 不对应
OAC(E、J)F、非比 例、主轴不重合、 力变不对应
24
3 增量理论（流动理论）
描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系。 它针对加载过程中每一瞬间的应力状态所确定的该瞬间的应变增量，这
单拉、剪 其中：
全 量 形 式 虎 克 定 律
狭 义
一般应力
广 义
17
左式表明：物体弹性 变形时其单位体积的变化 率与平均应力成正比，说
Principle of Metal Forming
明应力球张量使物体产生
弹性体积改变。
前两式相减有：
偏 量 形 式 虎 克 定 律
即：
同理有：
或归纳为：
上式表明：应变偏张量与应力偏张量成正比，即物体的形状改变由应力 的偏张量引起。
Principle of Metal Forming
Saint-Venant塑性流动方程 。 表达式推导：
分量表达式：
28
３．Prandtl-Reuss理论
Prandtl-Reuss在 Levy－Mises 理论的基础上考虑了弹性变形，即：
Principle of Metal Forming
简记为：
由广义虎 克定律微分得： 则有：
弹性应 变部分
塑性应 变部分
29

Prandtl-Reuss理论的特点：
１） Levy－Mises 理论是Prandtl-Reuss理论 不考虑了弹性变形的特
殊形式。前者仅适用于大应变，无法求弹性回复及残余应力问题；后者
Principle of Metal Forming
1 2 3 0
半径：
Principle of Metal Forming
2 s 3
Π面上σm＝0
主轴线上点单向应力状态
关于主轴线对称
11
4 ）中间主应力的影响和屈服条件的简化形式
若已知主应力大小顺序，则有屈雷斯加屈服条件：
Principle of Metal Forming
Principle of Metal Forming
塑性变形的特点：
１）非线性关系。 ２）塑性变形时可以认为体积不变，应力球张量为零。 ３）应力主轴与全量应变主轴不一定重合。 ４）变形不完全可逆、与应变历史有关。非单值对应。
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OBD、比例、主轴 重合、力变对应
OF′F、比例、主轴 重合、力变对应
' ' U1 ( )( ij ij m ij ) m ij 2 ' ' ' ' 1 ( ＋ ＋ ij ij ij m ij m ij m ij m ij ij ) 2
其中上式第三、四项为零。 第二项只与球张量有关，表示体积变化能。
Principle of Metal Forming
实验值
主应力表达式：
单向拉伸屈服应力
4
H.Tresca 、Von.Mises屈服准则的比较：
提出的出发点不同，表达式也不同，但当两个主应力相同时 者一致。前者基于实验，后者基于理论。 相同点： １） 表达式与坐标选择无关，左边都是不变量的函数。 ２） 三个主应力可任意转换而不影响屈服，同时认为拉应力 和压应力的作用相同。 ３） 各表达式均与应力球张量无关。
主应力表达式：
Principle of Metal Forming
M T
比较，如上图： 整体与Mises吻合最好
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两个屈服准则的比较：
１）一般韧性材料（如Cu、Al、Ni金属及其合金还有中碳钢）与Mises准 则条例较好；然而诸如退火软钢等材料又似乎与Tresca准则符合更好。而