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第六章 屈服准则

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五种常见的屈服准则

五种常见的屈服准则

五种常见的屈服准则及其优缺点、适用范围屈服准则表示在复杂应力状态下材料开始进入屈服的条件，它的作用是控制塑性变形的开始阶段。

屈服条件在主应力空间中为屈服方程。

一、几种常用的屈服准则五种常用的屈服准则，它们分别是Tresca准则，Von-Mises准则，Mnhr-Coulomb准则，Drucker Prager准则，Zienkiewicz-Pande准则。

其中后三种适用于混凝土和岩土材料的准则。

1. Tresca屈服准则当最大剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。

这就是Tresca屈服条件，也称为最大剪应力条件。

规定σ1≥σ2≥σ3时，上式可表示为：如果不知道σ1、σ2、σ3的大小顺序，则屈服条件可写为：换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。

或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。

所以Tresca屈服准则又称为最大切应力不变条件。

这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。

在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。

Tresca屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响。

2. Mises屈服准则当与物体中的一点应力状态对应的畸变能达到某一极限值时，该点便产生屈服，其表达式为：或其中，k为常数，可根据简单拉伸试验求得：或根据纯剪切试验来确定：它所代表的屈服面是一个以空间对角线为轴的圆柱体，在平面上屈服条件是一个圆。

这时有：换言之当等效应力达到定值时，材料质点发生屈服，该定值与应力状态无关。

或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料变形时的性质，而与应力状态无关。

Mises屈服准则的物理意义：当材料的单位体积形状改变的弹性能达到某一常数时，质点就发生屈服。

故Mises屈服准则又称为能量准则。

3. Mnhr Coulomb准则Tresca屈服条件和Mises屈服条件主要是对金属材料成立的两个屈服条件，但是这两个屈服条件如果简单地应用于岩土材料，会引起不可忽视的偏差。

第6章 屈服准则与本构方程

第6章 屈服准则与本构方程
3 UV 1 m ij m ij 2 2 m m
3(1 2 ) 2 m 2E
21
第一项只与偏张量有关，表示形状变化能：
' ' Uf 1 ij ij 2 1 4G
'ij 'ij
Principle of Metal Forming
41G '2 x '2 y '2 z 2( '2 xy '2 zy '2 zx）
３）加载瞬时应力与应变主轴重合 ４）塑性变形时体积不变，即 表达式：
d d ij ij
意义：应变增量与应力偏量成正比
类似于广义虎克定律的比例及差比表达式：
Principle of Metal Forming
其中dλ：
等效应变增量或 应变增量强度
26
Principle of Metal Forming
f ( ij ) C
C是与材料性质有关、与应力状态无关的常数。
1
基本概念
Bauschinger效应
Principle of Metal Forming
反向加载引起的屈服
应力降低的现象。
2
2.两个常用屈服准则
1 ）屈雷斯加（H.Tresca）屈服准则
1864年法国工程师H.Tresca提出： 意义：受力物体（质点）中切应力达到最大时，物体就发生屈服。 表达式：
适用于求解小应变及弹性回复和残余应力问题。 ２） Levy－Mises 理论和Prandtl-Reuss理论着重指出了应变增量与
应力偏量间的关系。
３） ４）
可反映复杂加载过程的积累作用。 上述理论仅适用于加载情况，卸载仍然服从虎克定律。

五种常见的屈服准则及其适用范围

五种常见的屈服准则及其适用范围

五种常见的屈服准则及其适用范围 屈服准则表示在复杂应力状态下材料开始进入屈服的条件，它的作用是控制塑性变形的开始阶段。

屈服条件在主应力空间中为屈服方程。

1.几种常用的屈服准则五种常用的屈服准则，它们分别是Tresca 准则，Von-Mises 准则 ，Mnhr- Coulomb 准则，Drucker Prager 准则，Zienkiewicz-Pande 准则。

其中后三种适用于混凝土和岩土材料的准则1.1 Tresca 屈服准则当最大剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。

这就是Tresca 屈服条件，也称为最大剪应力条件。

k =max τ规定时321σσσ≥≥，上式可表示为：k 2-31=σσ 如果不知道321、、σσσ的大小顺序，则屈服条件可写为:0]4)][(4)][(4)[(221322322221=------k k k σσσσσσ换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。

或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。

所以Tresca 屈服准则又称为最大切应力不变条件。

这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。

在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。

Tresca 屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响。

1.2 Mises 屈服准则当与物体中的一点应力状态对应的畸变能达到某一极限值时，该点便产生屈服，其表达式为22k J =或22132322216)()()(k =-+-+-σσσσσσ其中， k 为常数，可根据简单拉伸试验求得3/222s k J σ==，或根据纯剪切试验来确定， 222s k J τ==它所代表的屈服面是一个以空间对角线为轴的圆柱体，在平面上屈服条件是一个圆。

这时有:const k J r ===222σ 换言之当等效应力达到定值时，材料质点发生屈服，该定值与应力状态无关。

屈服准则

屈服准则

或
f (1 2 ， 2 3 ， 3 1 ) C
二、屈雷斯加（H. Tresca）屈服准则
Tresca屈服准则：当变形体或质点中的最大切应力 达到某一定值时，材料就发生屈服。或者说，材料处于塑 性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取 决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。所以 Tresca屈服准则又称为最大切应力不变条件。
每一个式子表示两条互相平行且对称的直线，这些直
线在1-2平面上构成一个内接于Mises椭圆的六边形，这 就是平面应力状态的Tresca屈服轨迹，称为Tresca六边形。
任一平面应力状态（或两相应力状态）都可用1-2平
面上一点P表示，并可用矢量 OP来表示。
如P 点在屈服轨迹的里面，则处于弹性状态；
如P点在轨迹上，则处于塑性状态；
式中：C由单向拉伸实验确定为s 则Mises屈服准则可写成
1 2 2 2 3 2 3 1 2 2 S 2
或
3J2 s
表明只有应力偏张量第二不变量影响屈服。
式（16-19）边同乘以常数 1 ，则
6E
1
6E
1 2 2 2 3 2 3 1 2
1
3E
S
2
上式左端为变形体在三向应力作用下单位体积的弹性形变能。
2
3
s
2
该椭圆中心点在原点，对称轴与原坐标轴图16成-8 4两5向°应力，状态长的屈半服轨轴
为 2 s 为
， 。
短
半32轴s
为
，
与迹 原
坐标
轴
s
的
截
距
Tresca屈服轨迹：
将 3 0
代入Tresca屈服准则的表达式，得平面应

屈服准则

屈服准则
是否能同时满足？为什么？
Mises屈服准则 1913年，德国力学家Mises提出。
定义
当等效应力 达到某定值 C 时，材料即
产生屈服。 表达式
=C
对于单向拉伸
1 s
2 3 0
则有
=σ1= σs 即
C=σs
可以通过单向拉伸试验确定Mises屈服条件
C（临界等效应力）。
两种屈服准则的比较
这三个式子中有一个满足即进入塑性变形状 态。
对于单向拉伸
1 s
2 3 0
则Tresca屈服条件为：
max K
可以通过单向拉伸试验确定Tresca屈服条 件K（剪切屈服强度）。
思考：
Tresca屈服条件的三个式子 σ1- σ2 =±2K σ2- σ3 =±2K σ3- σ1 =±2K
屈服准则（塑性条件） 在不同应力状态下，变形体内某点进入塑性
状态并使塑性变形得以继续进行，各应力分量 与材料性能之间必须符合一定的关系，这种关 系称为屈服准则，一般表示为:
f( ij ) = C
式中C是与材料性质有关而与应力状态无关 的常数。
主应力状态下
f(1,2,3 )= C
讨论：
f( ij ) C f( ij ) C f( ij ) C
1 相同点 （1）都是与应力状态无关； （2）都与静水压力无关； （3）进入塑性状态，都为一固定常数。 2 不同点 （1）Mises屈服准则考虑中间主应力的影响； （2）Tresca屈服准则不考虑中间主应力的影 响。
质点处于弹性状态 质点处于塑性状态 在实际变形中不存在
屈服准则 变形体发生塑性变形时应力与材料性能之间
的关系。
两种主要屈服准则
■ Tresca屈服准则 ■ Mises屈服准则

第章屈服准则与本构方程

第章屈服准则与本构方程

等双向应力 平面应力或应变 单向应力 纯剪切应力
8
Principle of Metal Forming
2. ）主应力空间的屈服表面 (1) Von.Mises屈服表面
9
Principle of Metal Forming
Mises 圆柱面： 半径： 中心线：等倾线
(2) H.Tresca屈服表面 Tresca六棱柱面： 内接Mises 圆柱面的正 六棱柱面
Prandtl-Reuss在 Levy－Mises 理论的基础上考虑了弹性变形，即：
Principle of Metal Forming
简记为： 由广义虎 克定律微分得：
则有：
弹性应 变部分
塑性应
变部分
29
Prandtl-Reuss理论的特点：
１） Levy－Mises 理论是Prandtl-Reuss理论 不考虑了弹性变形的特 殊形式。前者仅适用于大应变，无法求弹性回复及残余应力问题；后者 适用于求解小应变及弹性回复和残余应力问题。
2 ） 米塞斯（Von.Mises）屈服准则
1913年德国力学家Von.Mises从纯数学角度提出： 意义：受力物体（质点）的等效应力达到屈服值时即进入塑性状态。 表达式：
实验值
主应力表达式：
单向拉伸屈服应力
4
Principle of Metal Forming
H.Tresca 、Von.Mises屈服准则的比较：
4 实验验证 Taylor、Quinney实验： 材料 Cu、Al、钢 方法 薄壁管扭转、轴拉 提问正剪应力表达式
主应力表达式：
屈服准则表达式：
T
M
M T
比较，如上图： 整体与Mises吻合最好 13

几种常见的屈服准则及其适用条件

几种常见的屈服准则及其适用条件屈服准则表示在复杂应力状态下材料开始进入屈服的条件，它的作用是控制塑性变形的开始阶段。

屈服条件在主应力空间中为屈服方程。

1.几种常用的屈服准则五种常用的屈服准则，它们分别是Tresca 准则，Von-Mises 准则 ，Mnhr- Coulomb 准则，Drucker Prager 准则，Zienkiewicz-Pande 准则。

其中后三种适用于混凝土和岩土材料的准则1.1 Tresca 屈服准则当最大剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。

这就是Tresca 屈服条件，也称为最大剪应力条件。

k =max τ规定时321σσσ≥≥，上式可表示为：k 2-31=σσ 如果不知道321、、σσσ的大小顺序，则屈服条件可写为:换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。

或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。

所以Tresca 屈服准则又称为最大切应力不变条件。

这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。

在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。

Tresca 屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响。

1.2 Mises 屈服准则当与物体中的一点应力状态对应的畸变能达到某一极限值时，该点便产生屈服，其表达式为22k J =或22132322216)()()(k =-+-+-σσσσσσ其中， k 为常数，可根据简单拉伸试验求得3/222s k J σ==，或根据纯剪切试验来确定，222s k J τ==它所代表的屈服面是一个以空间对角线为轴的圆柱体，在平面上屈服条件是一个圆。

这时有:const k J r ===222σ 换言之当等效应力达到定值时，材料质点发生屈服，该定值与应力状态无关。

或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料变形时的性质，而与应力状态无关。

3-4-1 屈服准则的概念


J 2
1 6
1
2
2
2
3 2
3
1
2
C
常数Ｃ与应力状态无关，可用单向应力状态求得
金属塑性成形原理
对于单向拉伸 1 s 2 3 0
将上式代入得:
C
1 3
2 s
如在纯剪切应力状态，屈服时：
y
τ1
1 1 2 1
τ1
1 K xy 1 1 3 K
O
将其代入， 得： C K 2
不同点： 屈雷斯加屈服准则：未考虑中间应力，当三个主应力大小顺序未知时，使用 不方便； 米塞斯屈服准则：考虑中间应力，使用方便
金属塑性成形原理
一、屈服准则的基本概念
1.屈服准则
屈服应力：质点处于单向应力状态，只要单向应力达到材料的屈服点，则该点由 弹性变形状态进入塑性变形状态临界的应力。
塑性条件 或屈服条件：多向应力状态下变形体某点进入塑性状态并使塑性变形 继续进行所必须满足的力学条件。
f ( ij ) C
f( ij ) C
f( ij ) C
质点处于弹性状态 质点处于塑性状态
应力分量的函数 与材料性质有关的常数 f( ij ) C
在实际变形中不存在
屈服准则是求解塑性成形问题必要的补充方程
质点屈服---部分区域屈服---整体屈服
金属塑性成形原理
2.有关材料性质的一些基本概念
材料模型：
“连续”： 材料中没有空隙裂缝； “均质”： 各质点性能相同； “各向同性”：材料在各个方向的性能都一样； “各向异性”： 材料在各个方向的性能不同； 理想弹性材料：弹性变形时应力与应变完全成线性关系的材料； 理想塑性材料：塑性变形时不产生硬化的材料； 硬化材料： 在塑性变形时要产生硬化的材料； 弹—塑性材料：材料在塑性变形之前和过程中，存在弹性变形的材料； 刚塑性材料： 在塑性变形之前，材料象刚体一样不产生弹性变形.

基本概念（2）：屈服准则

基本概念（2）：屈服准则本期，给大家介绍一下有限元计算中经常遇到的一个概念：屈服准则。

上期讲的屈服强度属于材料特性。

屈服准则是一个计算概念。

一、屈服准则的含义屈服准则表示在复杂应力状态下材料开始进入屈服的条件，它的作用是控制塑性变形的开始阶段。

屈服条件在主应力空间中为屈服方程。

物体力在外载荷(通常为外力)作用下发生的变形有二种形态：(1)弹性变形。

弹性变形是可逆的，当外载荷卸去后物体可以恢复到初始状态，物体中任何二个质点之间的距离都恢复到初始值，物体内无任何残余变形。

(2)塑性变形。

塑性变形是不可逆的，物体中任何二个质点之间的距离不可能全部恢复到初始值，从而使得变形永久地保留在物体中，一般说来，在外载荷的作用下，物体中的任一质点开始时都只发生弹性变形，但是随着外载荷的增大使得该质点处的应力张量达到某一临界值时，该质点才能发生塑性变形受力物体内质点处于单向应力状态时，只要单向应力大到材料的屈服点时，则该质点开始由弹性状态进入塑性状态，即处于屈服。

受力物体内质点处于多向应力状态时，必须同时考虑所有的应力分量。

在一定的变形条件（变形温度、变形速度等）下，只有当各应力分量之间符合一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服准则，也称塑性条件。

简而言之，屈服准则，就是将实际结构的多轴应力状态与材料试验的单轴屈服应力等效转换的方法。

二、常用的屈服准则1.Tresca屈服准则当材料的最大剪应力达到材料屈服强度时，这判断材料在多轴应力状态下发生屈服。

换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。

或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。

所以Tresca 屈服准则又称为最大切应力不变条件。

这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。

在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。

Tresca 屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响优点：当知道主应力的大小顺序，应用简单方便缺点：（1）没有考虑正应力和静水压力对屈服的影响。

72. 材料的屈服准则有哪些,如何选择？

72. 材料的屈服准则有哪些，如何选择？72、材料的屈服准则有哪些，如何选择？在材料力学和工程领域中，屈服准则是一个至关重要的概念。

它用于确定材料在受力情况下何时开始发生塑性变形，对于材料的设计、分析和应用具有重要意义。

那么，材料的屈服准则都有哪些？在实际应用中又该如何进行选择呢？常见的材料屈服准则主要包括以下几种：首先是 Tresca 屈服准则。

Tresca 准则认为，当材料中的最大剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服。

这个极限值通常是材料在简单拉伸试验中屈服应力的一半。

Tresca 屈服准则的数学表达式相对简单，在一些简单的受力情况下，计算较为方便。

其次是 von Mises 屈服准则。

与 Tresca 准则不同，von Mises 准则基于材料的畸变能。

它指出当材料的畸变能达到某一特定值时，材料发生屈服。

von Mises 屈服准则在数学形式上更为复杂，但在处理复杂应力状态时，具有更好的适用性和准确性。

还有 MohrCoulomb 屈服准则。

该准则主要适用于岩土等摩擦型材料。

它考虑了材料的内摩擦角和黏聚力等因素，能较好地描述岩土材料在剪切作用下的屈服行为。

此外，DruckerPrager 屈服准则是对 MohrCoulomb 准则的一种扩展和改进，使其在数值计算中更便于应用。

那么在实际工程中，如何选择合适的屈服准则呢？这需要综合考虑多个因素。

首先要考虑材料的类型。

不同的材料具有不同的力学性能和变形特点。

例如，金属材料通常更适合采用 von Mises 屈服准则，而岩土类材料则多采用 MohrCoulomb 或 DruckerPrager 屈服准则。

其次，受力状态也是一个重要的考量因素。

如果材料处于简单的单向或双向受力状态，Tresca 屈服准则可能就足够准确和简便。

但对于复杂的多向应力状态，von Mises 屈服准则往往能提供更可靠的结果。

再者，工程问题的复杂程度也会影响屈服准则的选择。

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ε
6.2 Tresca屈服准则 屈服准则
1864年，法国工程师屈雷斯加: 当材料中的最大切应力达到某一定值时，材料就屈服。即材料处于 塑性状态时，其最大切应力是一不变的定值， ——又称为最大切应力不 变条件:
τ max =
σ max − σ min
2
=C
C为材料性能常数，可通过单拉求得 :
材料单向拉伸时的应力 : K为材料屈服时的最大切应 力值，即剪切屈服强度
2
屈雷斯加屈服准则可写成：
2 σ x − σ y ) + 4τ xy = σ s2 = 4 K 2 ( 2
6.3 Mises屈服准则 屈服准则
1913年，德国力学家米塞斯： f( σ ij ) = C 与坐标的先择无关， 对于各向同性材料，屈服函数式 ' 与塑性变形与应力偏张量有关，且只与应力偏张量的第二不变量 I 有关。
2 2 2
与等效应力比较得 ：
2 1 2 2 2 2 2 σe = (σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 (τ xy + τ yz + τ zx ) = σ s 2
用主应力表示为 ：
1 2 2 2 σe = (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = σ s 2
第六章 屈服准则
本章主要内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 基本概念 屈雷斯加屈服准则 米塞斯屈服准则 屈服准则的几何描述 屈服准则的实验验证与比较 应变硬化材料的屈服准则
6.1 基本概念
金属变形：弹性 塑性 金属变形：弹性+塑性
一、屈服准则（塑性条件）： 屈服准则（塑性条件）： 在一定的变形条件下，当各应力 分量之间满足一定关系时，质点才开 始进入塑性状态，这种关系称为屈服 准则。
σ3 = σρ = p
p= 2t 3r + 6rt + 4t t p= σs r+t
2 2
1）按米塞斯屈服准则:
σs
2）按屈雷斯加屈服准则:
6.4 屈服准则的几何描述
屈服表面：屈服准则的数学表达式在主应力空间中的几何图形是一个封闭 的空间曲面称为屈服表面。 屈服轨迹：屈服准则在各种平面坐标系中的几何图形是一封闭曲线，称为 屈服轨迹。
则：
代入密赛斯屈服准则，得：
两种屈服准则的共同点： 两种屈服准则的共同点： 1. 屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变量的函数 ； 2. 三个主应力可以任意置换而不影响屈服，拉应力和压应力作用是一样的； 3. 各表达式都和应力球张量无关 。 两种屈服准则的不同点： 两种屈服准则的不同点： 1. 2. 屈雷斯加屈服准则未考虑中间应力使用不方便； 米塞斯屈服准则考虑中间应力使用方便。
N
σ
3
屈雷斯 加六角 柱面 密塞斯 圆柱面 H G F
0
I
1
J I K
L
E C D
σ
2
A
B C
1
σ
1
1、主应力空间的屈服表面
若变形体内一点的主应力为，则此点的应力状态可用主应 力坐标空间的一点Ｐ来表示：
P(σ 1 , σ 2 , σ 3 )
l=m=n=
1 3
引等倾线ON
uuur 2 1 2 PN = σ 12 + σ 2 + σ 32 − (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 2 3 1 = [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] 3 ON表示应力球张量，NP表示应力偏张量 = σ '12 + σ '2 2 + σ '32
π
平面:
1 OM = σ 1l + σ 2 m + σ 3 n = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 0 3
σ1 + σ 2 + σ 3 = 0
σ2
σ 2 ≥ σ1 ≥ σ 3
−σ 3
−σ1
σ 3 ≥ σ 2 ≥ σ1
σ 2 ≥ σ 3 ≥ σ1
o
p
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
σ3
σ 3 ≥ σ1 ≥ σ 2
σ 3 = 0 对于Mises 2 2 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = 2σ s2 = 6 K 2 σ
σ2
1 σs 2
σ2 = σs
D
' σ1
→ σ − σ 1σ 2 + σ = σ
2 1 2 2
' 1
2 s
' 2
E P F
C
σ1 = σ s
2
在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第2不 变量 I' 达到某一定值时，该点就进入塑性状态。
2
屈服函数为：
′ ′ f (σ ij )=J 2 = C
应力偏张量第二不变量为 ：
2 2 1 2 2 2 2 I 2 = (σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 (τ xy + τ yz + τ zx ) = C 6 '
2 2 2
即：
(
pr pr 2 pr pr − ) + ( )2 + ( )2 = 2σ s2 t 2t 2t t
……(c)
所以可求得： 所以可求得：
2 t p= σs 3r
……(d)
2）由屈雷斯加屈服准则
σ1 − σ 3 = σ s
所以可求得：
即
pr − 0 = σs t
t p = σs r
用同样的方法可以求出内表面开始屈服时的p值： 此时:
塑性材料试样拉伸时拉力与伸长量 之间的关系
f( σ x , σ y , σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx ) = C f( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = C f(I1 , I 2 , I 3 ) = C
' f(I 2 , I 3' ) = C
屈服准则与应力和材料有关，C是与 材料性质有关而与坐标系的常数. 屈服准则是求解塑性成形问题必要 的补充方程 。
σ1 Tresa六边形
' σ2
σ2
1 σs 2
C1
σ2 = σs
D
σ 2 = ±σ s σ 3 = ±σ s
}
σ1'
C
E P
σ1 = σ s
σ1 −σ 2 = −σ s
F
B
2 σs 3
G A
2σ s
σ1 = −σ s
H L
I J
K
σ 2 = −σ s
σ1 −σ 2Байду номын сангаас= σ s
3、π 平面上的屈服轨迹 在主应力空间中，通过坐标原点并垂直于等倾线ON的平面称为
用主应力表示 ： y 1 2 2 2 I ' 2 = (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + ( σ 3 − σ 1 ) = C 6 求C：
σ1 =τ1 σ 2 = −σ1
τ1 τ1 x τ L(0,τ1)
O
对于单向拉伸 ： Mises屈服准则：
σ1 = σ s σ 2 = σ 3 = 0
σ3 σ3
根据Mises屈服准则 σ e =σ s ，材料屈服。 P点屈服时：
P
N
2 σs 3
0
2 PN = σs 3
2 σs 3
σ1 σ1
主应力空间
σ2
且以N为圆心，以
的圆上的应力点，材料都屈服。
静水应力不影响屈服，所以，以ON为轴线，以 为半 径作一圆柱面，则此圆柱面上的点都满足米塞斯屈服准则，这个圆 柱面就称为主应力空间中的米塞斯屈服表面。
将坐标轴旋转45度:
σ1 −σ 2 = −σ s
B
σ 1 = σ cos 45 − σ sin 45
0 ' 2
' σ2 =σ2
} sin 45 + σ cos 45
0 ' 1 0
0
2 σs 3
G A
2σ s
σ1 =
1 ' (σ 1' − σ 2 ) 2
σ1 = −σ s
H L
1 ' σ2 = (σ 1' + σ 2 ) 2
σ max = σ 1 = σ s σ min = σ 2 = σ 3 = 0 σs σs τ max = = K C=
2 2
σ max − σ min = σ s = 2 K
设
σ1 > σ 2 > σ 3
σ 1 − σ 3 = 2K
如果不知主应力大小顺序，则屈雷斯加表达式为： 如果不知主应力大小顺序，则屈雷斯加表达式为：
这些特点对于各向同性理想塑性材料的屈服准则有普遍意义
例题： 例题：一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，壁厚为t，受内压力p的作用，试求 此圆筒产屈服时的内压力p。（设材料单向拉伸时的屈服应力为 ）
根据平衡条件可求得应力分量为：
2r
t
解：
σs
P z
pπ r pr σz = = >0 2π rt 2t p 2r pr σθ = = >0 2t t
2 σs 3
屈雷斯加六角柱面 N
σ3
密塞斯原柱面
I1
屈服表面的几何意义： 若主应力空间中的一 点应力状态矢量的端点 位于屈服表面，则该点 σ2 处于塑性状态； 若位于屈服表面内部， 则该点处于弹性状态。