当前位置：文档之家 › 高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)

高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)

  • 格式：pdf
  • 大小：441.58 KB
  • 文档页数：7

A. e1 e2 和 e1 e2 B. 3e1 2e2和 4e2 6e1 C. e1 3e2和 e2 3e1 D. e2和e2 e1
2. 已知 a (3, 4) ，能与 a 构成基底的是（
）
34
43
34
4
A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( 1, )
55
55
55
3
题型 8. 结合三角函数求向量坐标
ab 0
x1x2 y1 y2 0
（ 5）若 AB CD ，则 A、 B、 C、 D 四点构成平行四边形。 （ 6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。 （ 7）若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。
（ 8）若 ma mb ，则 a b 。
1
（ 9）若 ma na ，则 m n 。源自ab|a | |b|
14. 平行与垂直： a / /b a b x1 y2 x2 y1 ； a b
题型 1. 基本概念判断正误 ： （ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （ 2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是 AB CD 。
3
3. 已知 A(1,0) ， B(0,1) ， C (2,5) ，求 cos BAC 。 题型 11. 求向量的模 1. 已知 | a | 3,| b | 4 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，求（ 1） | a b | ，（ 2） | 2a 3b |。
a b， a b。
10. 共线定理 ： a b a / /b 。当
0 时， a与b 同向；当
0 时， a与b 反向。
11. 基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12. 向量的模： 若 a ( x, y) ，则 | a |
2
2
2
2
x y ，a |a| ，|a b |
2
(a b)
13. 数量积与夹角公式： a b | a | | b | cos ； cos
（ 10）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。 （ 11）若 a b | a | | b | ，则 a / /b 。
（ 12）若 | a b | | a b | ，则 a b 。
题型 2. 向量的加减运算
1. 设 a 表示“向东走 8km” , b 表示“向北走 6km” , 则 | a b |
。
2. 已知 PQ ( 3, 5) ， P(3,7) ，则点 Q 的坐标是
。
3. 若物体受三个力 F1 (1,2) , F2 ( 2,3) , F3 ( 1, 4) , 则合力的坐标为
。
2
4. 已知 a ( 3,4) ， b (5,2) ，求 a b ， a b ， 3a 2b 。
5. 已知 A(1,2), B(3, 2) , 向量 a (x 2, x 3 y 2) 与 AB 相等，求 x, y 的值。
6. 已知 AB (2,3) ， BC (m, n) ， CD ( 1,4) ，则 DA
。
7. 已知 O 是坐标原点， A(2, 1), B( 4,8) ，且 AB 3 BC 0 ，求 OC 的坐标。
题型 7. 判断两个向量能否作为一组基底 1. 已知 e1, e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
。
2. 化简 ( AB MB ) ( BO BC ) OM
。
3. 已知 | OA | 5 , | OB | 3 , 则 | AB | 的最大值和最小值分别为
、
。
4. 已知 AC为 AB与 AD 的和向量，且 AC a, BD b ，则 AB
， AD
。
5. 已知点 C 在线段 AB 上，且 AC 题型 3. 向量的数乘运算
《数学》必会基础题型——《平面向量》
【基本概念与公式】
【任何时候写向量时都要带箭头】
1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：
AB 或 a 。
2. 向量的模 ：向量的大小（或长度） ，记作： | AB | 或 | a |。
3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。若 e 是单位向量，则 | e | 1。
4. 零向量 ：长度为 0 的向量。记作： 0 。【 0 方向是任意的，且与任意向量平行】
1
（ 3） (a b ) b ，（ 4 ） (2 a b ) (a 3b ) 。
2
2. 已知 a (2, 6), b ( 8,10) ，求（ 1） | a |,| b | ，（ 2） a b ，（ 3） a (2a b ) ， （ 4） (2 a b ) (a 3b) 。
题型 10. 求向量的夹角 1. 已知 | a | 8,| b | 3 ， a b 12 ，求 a 与 b 的夹角。 2. 已知 a ( 3,1), b ( 2 3,2) ，求 a 与 b 的夹角。
3
AB , 则 AC
5
BC ， AB
BC 。
1. 计算：（ 1） 3(a b) 2( a b)
（ 2） 2(2 a 5b 3c ) 3( 2a 3b 2c)
2. 已知 a (1, 4), b ( 3,8) ，则 3a 题型 4. 作图法球向量的和 已知向量 a,b ，如下图，请做出向量
1 b
2 1
3a b和 2a
2
。
3
b。
2
a
b 题型 5. 根据图形由已知向量求未知向量 1. 已知在 ABC 中， D 是 BC 的中点，请用向量 AB，AC 表示 AD 。
2. 在平行四边形 ABCD 中，已知 AC a, BD b ，求 AB和 AD 。
题型 6. 向量的坐标运算
1. 已知 AB (4,5) ， A(2,3) ，则点 B 的坐标是
5. 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的向量。 6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。
7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。 8. 三角形法则：
AB BA 。
AB BC AC ； AB BC CD DE AE ； AB AC CB （指向被减数） 9. 平行四边形法则 ：
以 a,b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为
1. 已知 O 是坐标原点，点 A 在第二象限， | OA | 2 ， xOA 150 ，求 OA 的坐标。
2. 已知 O 是原点，点 A 在第一象限， | OA | 4 3 ， xOA 60 ，求 OA 的坐标。
题型 9. 求数量积 1. 已知 | a | 3,| b | 4 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，求（ 1） a b ，（ 2） a ( a b ) ，

合集下载

必修四平面向量知识点整理+例题+练习+问题详解

必修四平面向量知识点整理+例题+练习+问题详解

平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：0a b b a a b =-⇔=-⇔+=向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA uu u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r .（ 222222||,||a x y a a x y =+==+r r r 。

） 零向量：长度为0的向量。

a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =r r ，则a b =r r 。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =u u u r u u u r，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。

（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。

（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r。

其中正确的是_______2.已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|3|a b +u u r r ＝_____2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接连端点． ⑵平行四边形法则的特点：起点相同连对角．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r rr r r ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r．⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++rr ． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--rr ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r． 【例题】（1）①AB BC CD ++=u u u ru u u ru u u r___；②AB AD DC --=u u u ru u u ru u u r____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r_____（2）若形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r＝_____4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr．①a a λλ=r r ；②当0λ>时，a λr的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr的方向与a r 的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r；③()a b a b λλλ+=+r r r r ．⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r．【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______5、向量共线定理：向量()0a a ≠rr r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．设()11,a x y =r，()22,b x y =r ，（0b ≠r r ）22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 。

必修四平面向量知识点整理+例题+练习+问题详解

必修四平面向量知识点整理+例题+练习+问题详解

平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：0a b b a a b =-⇔=-⇔+=向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .（ 222222||,||a x y a a x y =+==+。

） 零向量：长度为0的向量。

a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接连端点． ⑵平行四边形法则的特点：起点相同连对角．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 【例题】（1）①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____； ③()()AB CD AC BD ---=_____（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____ 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，（0b ≠）22()(||||)a b a b ⇔⋅=。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如：AB 几何表示法 AB ,a；坐标表示法),(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模长度,记作|AB |即向量的大小,记作｜a｜向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a＝0⇔｜a｜＝ 由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．注意与0的区别 ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b行任意的平移即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a=大小相等,方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==,则a+b =AB BC +=AC1a a a=+=+00；2向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量2 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时,用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=,但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： i )(a --=a； ii a +a -=a -+a =0 ； iii 若a 、b是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差,记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量a 、b有共同起点 4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下：Ⅰa a⋅=λλ；Ⅱ当0>λ时,λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时,λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时,0=a λ,方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ,使得b =a λ 6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=,其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:1向量的加法与减法是互逆运算2相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件3向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线即重合,而向量平行则包括共线重合的情况4向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+,由于a 与数对x,y 是一一对应的,因此把x,y 叫做向量a 的坐标,记作a =x,y,其中x 叫作a 在x 轴上的坐标,y 叫做在y 轴上的坐标1相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量2向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若()()1122,,,a x y b x y ==,则()1212,a b x x y y ±=±± (2)若()()2211,,,y x B y x A ,则()2121,AB x x y y =-- (3)若a =x,y,则λa =λx, λy(4)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1221//0a b x y x y ⇔-= (5)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥,则02121=⋅+⋅y y x x3,数与向量的乘积,向量的数量内积及其各运算的坐标表示和性质12(a b x x +=+AB BC AC +=12(a b x x -=-)(b a b a-+=- AB BA =-OB OA AB -=a a)()(λμμλ=12a b x x •=+三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积或内积 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：1结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； 2消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅3a b ⋅=0不能得到a =0或b =0 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==,则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ001800≤≤θ叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,θ=00,当且仅当a 与b 反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：1共线向量就是在同一条直线上的向量.2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点. 3与已知向量共线的单位向量是唯一的. 4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =. 5若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形. 6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量. 7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线. 8若ma mb =,则a b =. 9若ma na =,则m n =.10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量. 11若||||a b a b ⋅=⋅,则//a b . 12若||||a b a b +=-,则a b ⊥. 题型2.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += .2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= .3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD为与的和向量,且,AC a BD b ==,则AB = ,AD = .5.已知点C 在线段AB 上,且35AC AB =,则AC = BC ,AB = BC . 题型3.向量的数乘运算1.计算：13()2()a b a b +-+= 22(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-,则132a b -= .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b ,如下图,请做出向量132a b +和322a b -.a b题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC ∆中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ，表示AD . 2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB =,(2,3)A ,则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ =--,(3,7)P ,则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a =-,(5,2)b =,求a b +,a b -,32a b -.5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等,求,x y 的值.6.已知(2,3)AB =,(,)BC m n =,(1,4)CD =-,则DA = .7.已知O 是坐标原点,(2,1),(4,8)A B --,且30AB BC +=,求OC 的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和2.已知(3,4)a =,能与a 构成基底的是A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55--D.4(1,)3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐标.2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1a b ⋅,2()a a b ⋅+,31()2a b b -⋅,4(2)(3)a b a b -⋅+.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,2a b ⋅,3(2)a a b ⋅+, 4(2)(3)a b a b -⋅+.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b ==,12a b ⋅=,求a 与b 的夹角.2.已知(3,1),(23,2)a b ==-,求a 与b 的夹角.3.已知(1,0)A ,(0,1)B ,(2,5)C ,求cos BAC ∠. 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1||a b +,2|23|a b -.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,5||a b +,61||2a b -.3.已知||1||2a b ==，,|32|3a b -=,求|3|a b +.题型12.求单位向量 与a 平行的单位向量：||a e a =± 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 .2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1//a b 2a b ⊥2.已知(1,2)a =,(3,2)b =-,1k 为何值时,向量ka b +与3a b -垂直 2k 为何值时,向量ka b +与3a b -平行3.已知a 是非零向量,a b a c ⋅=⋅,且b c ≠,求证：()a b c ⊥-.题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A -,(2,2)B ,(3,4)C ,求证：,,A B C 三点共线.2.设2(5),28,3()2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求证：A B D 、、三点共线. 3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A -,(8,1)B -,若点(21,2)C a a -+在直线AB 上,求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ,(3,4)A ,(1,2)B -,(1,1)C ,是否存在常数t ,使OA tOB OC +=成立题型15.判断多边形的形状1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ,(4,3)B ,(2,4)C ,(0,2)D ,证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A -,(6,3)B -,(0,5)C ,求证：ABC ∆是直角三角形.4.在平面直角坐标系内,(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a =,(2,1)b =,当k 为何值时,向量ka b -与3a b +平行2.已知(3,5)a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐标.3.已知a b 与同向,(1,2)b =,则10a b ⋅=,求a 的坐标.3.已知(1,2)a =,(3,1)b =,(5,4)c =,则c = a + b .4.已知(5,10)a =,(3,4)b =--,(5,0)c =,请将用向量,a b 表示向量c .5.已知(,3)a m =,(2,1)b =-,1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围； 2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围.6.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1a 与b 的夹角为钝角 2a 与b 的夹角为锐角7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A -,(3,4)B ,(2,1)D ,且//AB DC ,2AB CD =,求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ,(1,3)B -,(3,4)C ,求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30角,求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ,(0,0)B ,(,0)C c ,1若0AB AC ⋅=,求c 的值；2若5c =,求sin A 的值.备用1.已知||3,||4,||5a b a b ==+=,求||a b -和向量,a b 的夹角.2.已知x a b =+,2y a b =+,且||||1a b ==,a b ⊥,求,x y 的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b ==--,则(32)(25)a b a b +⋅-= .4.已知两向量(3,4),(2,1)a b ==-,求当a xb a b +-与垂直时的x 的值.5.已知两向量(1,3),(2,)a b λ==,a b 与的夹角θ为锐角,求λ的范围. 变式：若(,2),(3,5)a b λ==-,a b 与的夹角θ为钝角,求λ的取值范围. 选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=--,则c = A.1322a b -- B.1322a b -+ C.3122a b - D.3122a b -+ 2.排除法例：已知M 是ABC ∆的重心,则下列向量与AB 共线的是A.AM MB BC ++B.3AM AC +C.AB BC AC ++D.AM BM CM ++。

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳汇编

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳汇编

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。

记作： AB 或a 。

42. 向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。

4 ・3. 单位向量：长度为1的向量。

若e 是单位向量，则|e|=1。

II444. 零向量：长度为0的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。

7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。

AB =-BA 。

9. 平行四边形法则：以a,b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b ，a - b 。

10. 共线定理：a - b 二 a / /b 。

当二0 时，a 与b 同向；当.0 时，a 与b 反向。

11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12. 向量的模：若 a = （x, y ），则 | a| = x 2 y 2， a =| aa b13. 数量积与夹角公式： a b =| a | | b | co^ ； COST|a||b|14. 平行与垂直： a//b= a = ■ b= %y 2 = x 2y 1 ； a _ a b = 0= %x 2 y )y 2 = 0 题型1.基本概念判断正误（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3） 与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是（5）若AB =CD ，则A B 、C 、D 四点构成平行四边形。

AB BC =AC ； AB BC CD DE =AE ； AB - AC =CB （指向被减数）8.三角形法则:(7)若ma = mb，贝U a = b。

（6）若a与b共线，b与C共线，则a与C共线。

更多精品文档题型2.向量的加减运算 1.设a 表示"向东走8km" , b 表示"向北走 6km ” ,则| a ■ b |= 2•化简(AB MB) (BO BC) OM3.已知I OAI = 5 , |OB I = 3,则I AB I 的最大值和最小值分别为35.已知点C 在线段AB 上，且AC AB ,则AC 二—BC , AB =5—题型3.向量的数乘运算1.计算：2(2； 5【-3(?) 1斗2.已知 a = (1, -4), b 二(-3,8)，则 3a -一 b 二2题型4根据图形由已知向量求未知向量 1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量忑兀表示AD 。