2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小高组A卷)

故选：A.
+16）=100-16=84，
6.答案： B；
试题分析： 试题分析： 首先在 0 到 2016 这 2016 个数中，数字和最大的为 1999，其和是 1+9×3=28，
数字之和最小是 1；按其和的多少可以方程 28 组，并且根据多少依次编上号， 进而得出答案。
解：数字和是 1 的①号有 1、10、100、1000； 数字和是 2 的②号有 11、101、110、1001、1010、1100、2、20、200、2000； 数字和是 3 的③号有 111、1011、1101、1110、102、120、201、210、1002、··· ······ ······ 在这 28 个数中，除 1999 只有一个数外，其余每组都有 4 个或 4 个以上的数； 如果我们在这些数字和为 4 个或 4 个以上的数的各组中，每组取 4 个数，并且将 1999 也取上，这样共有数：27× 4+1=109（个）； 这样，在剩余的数中，任取一个，必然会从这个数相同组中取出的 4 个数的数字和相 等，即产生 5 个数字和相等的情况； 所以，n 的最小值等于：109+1=110； 故选：B.
10.答案： 4029；
试题分析： 试题分析： 由题意可知，题目要求剪出的小梯形，只在梯形的上底和下底以及底角作了要 求，并没有谈及梯形的高的事，可知，要分割的小梯形就是一横排。 因为题中的等腰梯形纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016，下底与上底 之间只相差 2016-2015=1，为了达到分割出的所有的小梯形的上底的和为 1， 且下底也只能比上底多 1， 如果设上底为 x，下底为 x+1，上、下底交错搭配，这样，两个小梯形搭配起来 就是一个小平行四边形，因为所有 x 的和为 1 知，平行四边形最多有 20151=2014（个），另外还有一个符合要求的等腰梯形，如下图：

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）一、选择题（每小题10分，共60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．算式的结算中含有（ ）个数字0． A.2017B.2016C.2015D.2014【答案】C【解析】 201622016201620152015(101)(102)101999...998000 (001)-=-⨯+=个个2．已知A B ,两地相距300米．甲、乙两人同时分别从,A B 两地出发，相向而行，在距A 地140米处相遇；如果乙每秒多行1米，则两人相遇处距B 地180米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米． A.325 B.425 C.3 D.135【答案】D【解析】设甲速1v 乙速2v121214073001408300180211803v v v v ⎧==⎪-⎪⎨-⎪==⎪+⎩解得12145165v v ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数，则这个七位数最大是（ ）A.9981733B.9884737C.9978137D.9871773【答案】B【解析】100111137=⨯⨯，ACD 前三位都不是11或13的倍数 9881376=⨯，8841368=⨯，8471177=⨯，4731143=⨯，7371167=⨯4．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（ ）种不同的排行．A.1152B.864C.576D.288 【答案】A【解析】123...728++++=，8的两边之和都是14有(1247)8(356),(1256)8(347),(1346)8(257),(2345)8(356)四种分法共有244!3!1152⨯⨯⨯=种排法5．在等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，AB =6，CD =14， AEC ∠是直角，CE CB =，则AE 2等于（ ）A.84B.80C.75D.64【答案】A【解析】AG BF h ==，10CG =，4CF =2222100AC AG CG h =+=+2222216CE BC BF CF h ==+=+22284AE AC CE =-=6．从自然数1，2，3，…，2015，2016中，任意取n 个不同的数，要求总能在这n 个不同的数中找到5个数，它们的数字和相等．那么n 的最小值等于（ ）A.109B.110C.111D.112【答案】B【解析】1到2016中，数字和最大28。

2016 个 2016 个
）个数字 0. D. 2014
A. 2017 B. 2016 C. 2015 【知识点】计算模块——多位数计算 【解析】 999 9 999 9 10
2016 个 2016 个

2016
1 10 2016 1
230 270 500 350 500 500 350 350 .
【答案】A 2. 如右图所示，韩梅家的左右两侧各摆了两盆花. 每 次，韩梅按照以下规则往家中搬一盆花: 先选择左 侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的. 要把所有花 搬到家里，共有（ ）种不同的搬花顺序. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【知识点】 计数模块——加法原理 【解析】 将图中花从左往右依次编号 1，2，3，4. 根据题目要求，有下列搬花方式： 2-1-3-4，2-3-4-1，2-3-1-4，3-4-2-4，3-2-1-4，3-2-4-1 共 6 种不同的搬花顺序. 【答案】B 3. 在桌面上，将一个边长为 1 的正六边形纸片与一个边长为 1 的正三角形纸片拼接，要求无 重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为（ ）. A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【知识点】 几何——平铺 【解析】如图所示，共有 5 个边.


10 2016 10 2016 2 10 2016 1
10 2016 （ 10 2016 2） 1
1000 0 999 98 1
2016 个 2015个
999 98000 01
A 选项中 998 显然不能被 11 整除，由 99+8 4=131,13+1 4=17，显然 17 不能 被 13 整除，从而 998 也不能被 13 整除. B 选项中 988 显然不能被 11 整除，由 98+8 4=130，显然 130 能被 13 整除，从而 988 能被 13 整除； 884 显然不能被 11 整除，由 88+4 4=104，10+4 4=26，显然 26 能被 13 整除，从而 884 能被 13 整除； 847 中，8+7-4=11，显然能被 11 整除； 473 中，4+3-7=0，显然能被 11 整除； 737 中，7+7-3=11，显然能被 11 整除. C 选项中 997 显然不能被 11 整除，由 99+7 4=127，12+7 4=30，显然 30 不能被 13 整除，从而 997 也不能被 13 整除. D 选项中 987 显然不能被 11 整除，由 98+7 4=126， 12+6 4=36，显然 36 不能被 13 整除，从而 987 也不能被 13 整除. 【答案】B 4. 将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么 共有（ A. 1152 ）种不同的排法. B. 864 C. 576 D.288

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10分）算式×的结果中含有（）个数字0．A．2017B．2016C．2015D．2014 2．（10分）已知A，B两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A，B两地出发，相向而行，在距A地140米处相遇；如果乙每秒多行1米，则两人相遇处距B地180米．那么乙原来的速度是每秒（）米．A．2B．2C．3D．33．（10分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数，则这个七位数最大是（）A．9981733B．9884737C．9978137D．9871773 4．（10分）将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法．A．1152B．864C．576D．2885．（10分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB=6，CD=14，∠AEC是直角，CE=CB，则AE2等于（）A．84B．80C．75D．646．（10分）从自然数1，2，3，…，2015，2016中，任意取n个不同的数，要求总能在这n个不同的数中找到5个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（）A．109B．110C．111D．112二、填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对．8．（10分）如图，O，P，M是线段AB上的三个点，AO=AB，BP=AB，M是AB的中点，且OM=2，那么PM 长为．9．（10分）设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是．10．（10分）有一个等腰梯形的纸片，上底长度为2015，下底长度为2016，用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出个同样的等腰梯形．2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10分）算式×的结果中含有（）个数字0．A．2017B．2016C．2015D．2014【分析】把变形为﹣1，然后根据乘法的分配律拆分，再进一步解答即可．【解答】解：×=（﹣1）×=×﹣=﹣个位0减9不够减，需要连续退位，个位数得1，所以数字0的个数是：2016﹣1=2015（个）故选：C．【点评】本题考查了数字问题，难点是把算式变形出含数字“0”的形式；本题也可以从最简单的算式入手，找规律，然后根据规律再回到问题中解答．2．（10分）已知A，B两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A，B两地出发，相向而行，在距A地140米处相遇；如果乙每秒多行1米，则两人相遇处距B地180米．那么乙原来的速度是每秒（）米．A．2B．2C．3D．3【分析】本题是典型的利用正反比例解行程问题．首先根据不变量判断正反比．两次相遇过程中两人的时间相同路程比等于速度比．两次过程中甲的速度没变．通分比较乙的．即可解决问题．【解答】解：第一次相遇过程中甲乙两人的路程之比为140：（300﹣140）=7：8，时间相同路程比就是速度比．第二次相遇过程中的路程比是（300﹣180）：180=2：3，速度比也是2：3．在两次相遇问题中甲的速度是保持不变的，通分得，第一次速度比：7：8=14：16．第二次速度比2：3=14：21．速度从16份增加到21份速度增加每秒1米，即1÷（21﹣16）=．乙原来的速度是16×=3.2米/秒．故选：D．【点评】本题的关键是找到在两次相遇过程中的不变量，甲的速度是不变的时间，判断是正比，再将速度通分到甲的份数相同，乙的前后进行比较即可求解问题解决．3．（10分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数，则这个七位数最大是（）A．9981733B．9884737C．9978137D．9871773【分析】首先根据最大的3位数是11或是13的倍数开始．然后每次向后边推一位数字找出最大的倍数即可．【解答】解：在7位数中，首先分析前三位数字，最大的11的倍数是990，最大13的倍数是988，因为0不能做首位．所以7位数中不能含有数字0，11倍数的第二大数字是979小于988．所以前三位数字是988．第4位根据如果是11的倍数数字就是880．如果是13的倍数就是884．最大是884．第5位根据如果是11的倍数数字就是847，如果是13的倍数就是845．最大是847．第6位根据如果是11的倍数数字就是473，如果是13的倍数在470﹣479没有13的倍数．所以是473第7位根据如果是11的倍数是737，如果是13的倍数没有符合的数字．所以这个7位数是9884737．故选：B．【点评】本题考察是整除特性的理解，突破口是开始的三位数字988，然后根据整除找到最大的满足条件的数字即可．4．（10分）将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法．A．1152B．864C．576D．288【分析】首先求出1，2，3，4，5，6，7的和是28，判断出8的两边各数之和都是14；然后分4种情况：（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时；（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，3，4，6时；（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时；（4）8的一边是1，2，4，7，另一边是3，5，6时；求出每种情况下各有多少种不同的排法，即可求出共有多少种不同的排法．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7=288的两边各数之和是：28÷2=14（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时，不同的排法一共有：（3×2×1）×（4×3×2×1）×2=6×24×2=288（种）（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，3，4，6时，不同的排法一共有288种．（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时，不同的排法一共有288种．（4）8的一边是1，2，4，7，另一边是3，5，6时，不同的排法一共有288种．因为288×4=1152（种），所以共有1152种不同的排法．答：共有1152种不同的排法．故选：A．【点评】此题主要考查了排列组合问题，考查了乘法原理的应用，要熟练掌握，注意不能多数、漏数．5．（10分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB=6，CD=14，∠AEC是直角，CE=CB，则AE2等于（）A．84B．80C．75D．64【分析】如图，连接AC，过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥CD于点G，构建直角△AFC和直角△BGC，结合勾股定理求得AE2的值．【解答】解：如图，连接AC，过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥CD于点G，则AF=BG，AB=FG=6，DF=CG=4．在直角△AFC中，AC2=AF2+FC2=AF2+102=AF2+100，在直角△BGC中，BC2=BG2+GC2=AF2+42=AF2+16，又∵CE=CB，∠AEC=90°，∴AE2=AC2﹣EC2=AF2+100﹣（AF2+16）=84，即AE2=84．故选：A．【点评】本题考查了等腰梯形的性质，勾股定理的应用．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理来求AE2的值．6．（10分）从自然数1，2，3，…，2015，2016中，任意取n个不同的数，要求总能在这n个不同的数中找到5个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（）A．109B．110C．111D．112【分析】首先确定题中要求的是每一个数字中的数字和120的数字和就是3，那么找到最大的就是1999的是28，最小的是1的情况共有几个数字满足情况．都至多选出4个．再选一个就是满足条件的．【解答】解：依题意可知：1﹣2019中最大的数字和是1999数字和为28．数字和最小的为1共有1，10，100，1000共四个．数字和为27的有999，1899，1998，1989共四个．数字和为2﹣26的都超过5个数．那么只要2﹣26的数字和中挑出4个数字，在把数字和为1，27，28的都算上，再来一个就是5个数字了满足情况了．27×4+1+1=110．故选：B．【点评】本题考查是最倒霉的情况，想要找出5个满足条件的，那么就都给最多4个满足条件，再给一个就是满足条件的共最小是110个数字问题解决．二、填空题填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有12对．【分析】假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，据此分解质因数2016=25×32×7，然后解答即可．【解答】解：假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，有题意可得：x2﹣y2=2016，因式分解：（x+y）（x﹣y）=2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，2016=25×32×7，2016因数的个数：（1+5）×（2+1）×（1+1）=36（个），共有因数36÷2=18对因数，其中奇因数有：（2+1）×2=6对，所以偶数有：18﹣6=12对，即，满足上述条件的所有正方形共有12对．故答案为：12．【点评】本题考查了约数个数的定理和奇偶性问题，关键是得到2016的约数的个数，难点是去掉几个奇因数；本题还可以根据x+y与x﹣y都是偶数，它们的积至少含有4这个偶数，所以2016÷4=504，然后确定504的约数是24个，即12对即可．8．（10分）如图，O，P，M是线段AB上的三个点，AO=AB，BP=AB，M是AB的中点，且OM=2，那么PM 长为．【分析】如果想求出PM那么必须找到和OM的关系，在这些线段中都和AB进行的比较，可以转换为OM，PM和AB的关系即可求解．【解答】解：依题意可知：PM=AM﹣AP=AB﹣（AB﹣BP）=AB﹣AB=AB．OM=MB﹣OB=AB﹣（AB﹣AO）=AB﹣AB=AB=2∴AB=PM=故答案为：【点评】本题的关键是找到如果想求出PM需要转换成求线段AB，再用OM求出AB，都转换成和AB的关系那么问题解决．9．（10分）设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是225．【分析】小于1000的最大P型平方数，33的平方数是1089，这个数需要小于33的平方的平方数．q﹣2和q+2的差是4．只要找到数字相差4的不超过33的质数组合即可．【解答】解：小于33的质数有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2等数字差是4的两个质数有19和23最大．21﹣2=19，21+2=23.21×21=441．故答案为：441．【点评】本题关键在于找到q﹣2和q+2的差是4的质数，而且小于33的质数．要注意找到的是这两个质数，题中要找的是一个平方数441，不是21．10．（10分）有一个等腰梯形的纸片，上底长度为2015，下底长度为2016，用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出4029个同样的等腰梯形．【分析】由于等腰梯形的纸片，上底长度为2015，下底长度为2016，它们上下底的长度相差1，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则剪出的梯形的下底长度约大于2016﹣2015=1，依此即可求解．【解答】解：（2015﹣1）×2+1=2014×2+1=4028+1=4029（个）答：最多可以剪出4029个同样的等腰梯形．故答案为：4029．【点评】考查了图形划分，本题理解剪出的梯形的下底长度约大于2016﹣2015=1是解题的关键．。

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：（﹣）×÷﹣2.4=．2．（10分）如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？3．（10分）有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草；15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够头牛吃一天．4．（10分）如图所示，将一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC 所在平面上，折痕为DE．已知∠ABE=74°，∠DAB=70°，∠CEB=20°，那么CDA 等于．5．（10分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一圈的时间是70分钟．如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是分钟．6．（10分）如图，正方形ABCD的边长为5，E，F为正方形外两点，满足AE=CF=4，BE=DF=3，那么EF2=．7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为．8．（10分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，×，÷中的某两个．李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B=．二、解答下列各题（每题10分，共40分）9．（10分）计算：（++…+）+（++…+）+（++…+）+…+（+）+．10．（10分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每100元可得一张价值50元的代金券．这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用；每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案；如果不能，说明理由．11．（10分）如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为20，BD=2，EC=4，求三角形ABC的面积．12．（10分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数．三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是CD边的中点，E，F是BC 边上的两点，且BE═EF=FC．连接AE，DF分别交BM分别于H，G．求四边形EFGH的面积．14．（15分）现有如图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所示的5×5方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分．那么最少放几个“四连方”就不能再放了？2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：（﹣）×÷﹣2.4= 4.1．【分析】先从括号里算起，先化简，将原式进行巧算，最后求得原式结果．【解答】解：根据分析，原式=（﹣）×÷﹣2.4=（）×﹣2.4=（）×11×=（）×﹣2.4=﹣2.4=﹣2.4==﹣2.4=﹣2.4=﹣2.4=6.5﹣2.4=4.1故答案是：4.1．【点评】本题考查了分数的巧算，突破点是：利用分数的巧算，将分数化简，最后求得结果．2．（10分）如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有16个面；从下面看有16个面；从前面看有10个面；从后面看有10个面；从左面看有10个面；从右面看有10个面．由此即可解决问题．【解答】解：图中几何体露出的面有：10×4+16×2=72（个）所以这个几何体的表面积是：1×1×72=72（平方米）答：这个立体图形的表面积等于72平方米．【点评】此题考查了观察几何体的方法的灵活应用；应抓住这个几何体的表面积是露出的小正方体的面的面积之和是解决此类问题的关键．3．（10分）有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草；15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够5头牛吃一天．【分析】转换思想，将15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完转换成13头牛吃5天即可解决问题．【解答】解：依题意可知：10×8﹣（15+14+13+12+11）=15（份）．15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完可以转换成13头牛吃5天．15÷（8﹣5）=5（份）故答案为：5【点评】本题考查对牛吃草问题的理解和运用，关键问题是找到转换过程，问题解决．4．（10分）如图所示，将一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC 所在平面上，折痕为DE．已知∠ABE=74°，∠DAB=70°，∠CEB=20°，那么CDA 等于92°．【分析】在折叠前，可利用三角形内角和，求得∠C的度数，折叠后，利用三角形外角和以及四边形的内角和求得∠CDA．【解答】解：根据分析，折叠前，由三角形内角和，∠C=180°﹣74°﹣70°=36°，折叠后，∠EOD=∠C+∠CEO=36°+20°=56°；∠BOD=180°﹣∠DOE=180°﹣56°=124°，∠CDA=360°﹣∠ABE﹣∠BAE﹣∠BOD=360°﹣70°﹣74°﹣124°=92°．故答案是：92°．【点评】本题考查了剪切和拼接，突破点是：利用折叠前三角形内角和，求得∠C的度数，折叠后，利用三角形外角和以及四边形的内角和求得∠CDA5．（10分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一圈的时间是70分钟．如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是126分钟．【分析】甲剩下的路程就是乙已走的路程，那么甲走25分钟路程与乙走45分钟的路程相同，两者的速度与时间成反比例；行完全程时，再根据速度比，求出乙行完全程的时间．【解答】解：70﹣45=25（分钟），甲走25分钟路程与乙走45分钟的路程相同，那么甲的速度：乙的速度=45：25，行完全程两者所用的时间比就是：25：45；乙走一圈用的时间是：70÷25×45=126（分）．答：乙走一圈的时间是126分钟．故答案为：126．【点评】本题的关键是根据两者的行走的路程相同，找出速度的比和时间的比，再根据甲的时间和时间的比求解．6．（10分）如图，正方形ABCD的边长为5，E，F为正方形外两点，满足AE=CF=4，BE=DF=3，那么EF2=98．【分析】可以将EA、FD、FC、EB分别延长这样就把图形扩展成一个大的正方形，再利用勾股定理，不难求得EF2．【解答】解：根据分析，如图：将EA、FD、FC、EB分别延长，这样就把图形扩展成一个大的正方形，∵AE=CF=4，BE=DF=3，∴CM=OA=DF=EB=3，BM=OD=CF=AE=4又∵DF2+CF2=CD2，AE2+EB2=AB2，OA2+OD2=AD2，CM2+BM2=BC2∴∠AEB=∠DFC=∠AOD=∠BMC=90°，∴EO=FO=3+4=7∴EF2=OE2+OF2=72+72=98故答案是：98【点评】本题考查了勾股定理，突破点是：利用正方形的边长和勾股定理，求得EF27．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为108．【分析】首先可将k个连续的正整数设出来，求其和，抓住k取最大进行求解．【解答】解：设k的连续整数分别是n+1，n+2，n+3，…，n+k，则和==，由于k最大，则n最小，且k＜2n+k+1，=2×38，即k×（2n+k+1）=22×38=（22×34）×34=35×（22×33），因此k的最大值为34=108．故答案为：108．【点评】本题的突破口在于能根据题目要求正确地将和的式子进行分解．8．（10分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，×，÷中的某两个．李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B=．【分析】可以根据已知，先根据表格中的数字规律求得□，○是哪个运算符号，然后再算A○B的结果．【解答】解：根据分析，由表格中的数字可得：□○1=13；2□2○1=5，⇒□○1=13；由2□2○1=5，可知2+2+1=5，2×2+1=5，若2+2+1=5，则++1=13不成立，故排除，所以2×2+1=5；综上，□为“×”，○为“+”，由表可知，A=2□○1=2×+1=；B=□2○1==，A○B=A+B=+=．故答案是：．【点评】本题考查了定义新运算，本题突破点是：根据表格中的数字规律，求得□和○的符号，再求A○B．二、解答下列各题（每题10分，共40分）9．（10分）计算：（++…+）+（++…+）+（++…+）+…+（+）+．【分析】先根据算式找规律，把同分母的分数合成一组，然后根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：（++…+）+（++…+）+（++…+）+…+（+）+=+（+）+（++）+…+（++…+）+（++…+）=+1++…++=+++…++==1015560【点评】本题考查了分数的巧算，关键是把分数分组，难点是利用高斯求和公式求出分子．10．（10分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每100元可得一张价值50元的代金券．这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用；每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案；如果不能，说明理由．【分析】此题首先看一下1550最多能得多少代金券，即1500÷2=750，而2300=1550+750刚好不多不少，也就是说，1550现金必须和所有能得到的750代金券全部消费掉才能买到价值2300的商品．怎样才能把代金券和现金一起消费掉？我们从最后一次消费考虑就不难得出结论了．经过分析，如果最后一次消费是100或150以上均无法买到价值2300的商品，原因是后面所换的代金券不能单独用，题目是要求代金券必须和现金一起用．由此推断，要想买到价值2300的商品，最后一次消费必须是50现金+50代金券（为什么是50代金券，而不是100代金券，也是题意要求，现金不少于支付商品价值的一半）由50元代金券可知上次消费的现金是100，而和同步用的代金券也必须是100，如是推理，请看如下所示：50+50（代金券）100+100（代金券）200+200（代金券）400+400（代金券）800左边是现金800+400+200+100+50=1550元，右边是代金券400+200+100+50=750元，这样能买到的商品价值是1550+750=2300元，故能买到．据此解答即可．【解答】解：根据题意可知：（1）由于最后一次购买东西换的代金券是不能使用的，因为有1500元的钱需要换750元的购物券，到最后一次最多可以用50元现金；（2）为了尽可能多的使用代金券，每次尽量用到一半的代金券，每一次的代金券由上一次购物获得；（3）第一次只能用现金．这样最后一次用50元现金和50元代金券；倒数第二次用100元现金和100元代金券；倒数第三次用200元现金和200元代金券；倒数第四次用400元现金和400元代金券；倒数第五次用800元现金．满足条件的答案为：第一次用800元现金；第二次用400元现金和400元代金券；第三次用200元现金和200元代金券；第四次用100元现金和100元代金券；第五次用50元现金和50元代金券．总共：800+400+400+200+200+100+100+50+50=2300（元）所以用不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品．【点评】本题为复杂的统筹方法问题，需要全面考虑．11．（10分）如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为20，BD=2，EC=4，求三角形ABC的面积．【分析】可以利用等积变形，将△DEF向B点平移，△DEF的形状大小不变，平移后△DEF的DF与AB重合，此时等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF 之间的面积仍不变，而此时EC的长从原来的4变成了6，此时不难计算出三角形ABC的面积．【解答】解：根据分析，利用等积变形，将△DEF向B点平移，△DEF的形状大小不变，平移后△DEF的DF与AB重合，此时等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF 之间的面积仍不变，而此时EC的长从原来的4变成了6，如图所示：过E作EG⊥AC交AC于G，Rt△EGC中，不难得知，EG=GC=，又∵等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为20，即梯形ACEF 的面积为20，∴（EF+AC）×EG×=（EF+AG+GC）×EG×=（2×EF+3）×3×=20⇒EF=，则BF=，△BEF的面积=BF×EF==，三角形ABC的面积=△BEF的面积+20==．故答案是：．【点评】本题考查了三角形的面积，突破点是：利用等积变形，平移后三角形的面积不变，形状不变，再利用面积公式算得三角形ABC的面积．12．（10分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数．【分析】五位数的最大数，根据被11整除的特征，奇数位上的数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，因此五位数不能被11整除，可以先确定万位上的数字，再逐个确定其它数字【解答】解：根据分析，设此五位数为，最大的五位数，则a=9，若此五位数为90000，显然不能被11整除，故符合题意的最大的五位数必大于90000，若b=9，则划去后为99，能被11整除，故b≠9，若b=8，则划去后为98，不能被11整除，∴b=8，若c=9或8，则划去8再划去后，为99，不和题意，划去再划去9后为88，不合题意，∴c=7，划去若干数字后不能被11整除，若d=9，8，或7，均不合题意，d=6时划去若干数后不能被11整除，∴d=6若e=9，8，7或6，均不合题意，故e=5，综上所述，此五位数为：98765【点评】本题考查了被11整除的特征，本题突破点是：根据11整除的特征，需要逆向思维算出哪些数不能被11整除，求出最大值三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是CD边的中点，E，F是BC 边上的两点，且BE═EF=FC．连接AE，DF分别交BM分别于H，G．求四边形EFGH的面积．【分析】过M做MQ平行BC交DF于Q，过E作EP平行AB交BM于P，利用线段之间的比例关系，求得三角形之间的面积之比，最后求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如图，过M做MQ平行BC交DF于Q，过E作EP平行AB交BM于P，∵M为CD中点，所以QM：PC=1：2，∴QM：BF=1：4，所以GM：GB=1：4，∴BG：BM=4：5；又因为BF：BC=2：3，；∵E为BC边上三等分点，所以EP：CM=1：3，∴EP：AB=1：6，∴BH：HP=6：1，∴BH：HM=6：15=2：5，BH：BG=2：7，又∵GM：GB=1：4，∴BH：BG=5：14，∴，∴．故答案是：．【点评】本题考查了三角形的面积，突破点是：利用比例关系，求得三角形的面积比，从而最后求得阴影部分的面积．14．（15分）现有如图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所示的5×5方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分．那么最少放几个“四连方”就不能再放了？【分析】此题与常规填充题不同的是，本题要求放置几个“四连方”之后，没有空间再放置任何一个“四连方”．【解答】解：本题需要尽可能“不合理”利用空间，使用尽可能少的“四连方”占据空间，使余下的空白方格不能容下任何一个“四连方”，如下图所示，放入3个之后，再没有空间放任何一个“四连方”，而如果只放2个的话，还余下25﹣2×4=17块，必然会存在连续的空间可以放下“四连方”．所以：最少放3个“四连方”就不能再放了．【点评】要尽可能“不合理”利用空间，就使被放置的“四连方”分隔的空白部分尽量大又不能连成4块．。

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）2016 年第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 B 卷）一、填空题（每题 10 分，共 80 分） 1．（10 分）计算：（﹣）﹣2.4= ． 2．（10 分）如图，有 30 个棱长为 1 米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？ 3．（10 分）有一片草场，10 头牛 8 天可以吃完草场上的草； 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完．那么草场上每天长出来的草够头牛吃一天． 4．（10 分）如图所示，将一个三角形纸片 ABC 折叠，使得点 C 落在三角形 ABC所在平面上，折痕为 DE．已知ABE=74，DAB=70，CEB=20，那么 CDA等于． 5．（10 分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟．如果在出发后第 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是分钟． 6．（10 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 5，E，F 为正方形外两点，满足 AE=CF=4，BE=DF=3，那么 EF 2 = ．7．（10 分）如果 23 8 能表示成 k 个连续正整数的和，则 k 的最大值为． 8．（10 分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，，中的某两个．李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B= ．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分） 9．（10 分）计算：（ + ++ ）+（ + ++ ）+（ + ++ ）++（ + ）+ ． 10．（10 分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每 100 元可得一张价值50 元的代金券．这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用；每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过 1550 元的现金，她能买到价值 2300 元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案；如果不能，说明理由．11．（10 分）如图，等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DEF 之间的面积为20，BD=2，EC=4，求三角形 ABC 的面积． 12．（10 分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是 11 的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被 11 整除的数．三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13．（15 分）如图，正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 CD 边的中点，E，F 是 BC边上的两点，且 BE═EF=FC．连接 AE，DF 分别交 BM 分别于 H，G．求四边形EFGH 的面积． 14．（15 分）现有如图左边所示的四连方纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所示的 55 方格网上，放四连方，四连方可以翻转，四连方的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个四连方不能有重叠部分．那么最少放几个四连方就不能再放了？2016 年第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 B 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题 10 分，共 80 分） 1．（10 分）计算：（﹣）﹣2.4= 4.1 ．【分析】先从括号里算起，先化简，将原式进行巧算，最后求得原式结果．【解答】解：根据分析，原式=（﹣）﹣2.4 =（）﹣2.4 =（）11 =（）﹣2.4 = ﹣2.4 = ﹣2.4 = = ﹣2.4 = ﹣2.4 = ﹣2.4 =6.5﹣2.4 =4.1 故答案是：4.1．【点评】本题考查了分数的巧算，突破点是：利用分数的巧算，将分数化简，最后求得结果． 2．（10 分）如图，有 30 个棱长为 1 米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有16 个面；从下面看有 16 个面；从前面看有 10 个面；从后面看有 10 个面；从左面看有 10 个面；从右面看有 10 个面．由此即可解决问题．【解答】解：图中几何体露出的面有：104+162=72（个）所以这个几何体的表面积是：1172=72（平方米）答：这个立体图形的表面积等于 72 平方米．【点评】此题考查了观察几何体的方法的灵活应用；应抓住这个几何体的表面积是露出的小正方体的面的面积之和是解决此类问题的关键． 3．（10 分）有一片草场，10 头牛 8 天可以吃完草场上的草； 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够 5 头牛吃一天．【分析】转换思想，将 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完转换成 13 头牛吃 5 天即可解决问题．【解答】解：依题意可知： 108﹣（15+14+13+12+11）=15（份）． 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完可以转换成 13 头牛吃 5天． 15（8﹣5）=5（份）故答案为：5 【点评】本题考查对牛吃草问题的理解和运用，关键问题是找到转换过程，问题解决． 4．（10 分）如图所示，将一个三角形纸片 ABC 折叠，使得点 C 落在三角形 ABC所在平面上，折痕为 DE．已知ABE=74，DAB=70，CEB=20，那么 CDA等于 92 ．【分析】在折叠前，可利用三角形内角和，求得C 的度数，折叠后，利用三角形外角和以及四边形的内角和求得CDA．【解答】解：根据分析，折叠前，由三角形内角和，C=180﹣74﹣70=36，折叠后，EOD=C+CEO=36+20=56； BOD=180﹣DOE=180﹣56=124， CDA=360﹣ABE﹣BAE﹣BOD=360﹣70﹣74﹣124=92．故答案是：92．【点评】本题考查了剪切和拼接，突破点是：利用折叠前三角形内角和，求得C 的度数，折叠后，利用三角形外角和以及四边形的内角和求得CDA 5．（10 分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟．如果在出发后第 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是 126 分钟．【分析】甲剩下的路程就是乙已走的路程，那么甲走 25 分钟路程与乙走 45 分钟的路程相同，两者的速度与时间成反比例；行完全程时，再根据速度比，求出乙行完全程的时间．【解答】解：70﹣45=25（分钟），甲走 25 分钟路程与乙走 45 分钟的路程相同，那么甲的速度：乙的速度=45：25，行完全程两者所用的时间比就是：25：45；乙走一圈用的时间是：702545=126（分）．答：乙走一圈的时间是 126 分钟．故答案为：126．【点评】本题的关键是根据两者的行走的路程相同，找出速度的比和时间的比，再根据甲的时间和时间的比求解． 6．（10 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 5，E，F 为正方形外两点，满足 AE=CF=4，BE=DF=3，那么 EF 2 = 98 ．【分析】可以将 EA、FD、FC、EB 分别延长这样就把图形扩展成一个大的正方形，再利用勾股定理，不难求得 EF 2 ．【解答】解：根据分析，如图：将 EA、FD、FC、EB 分别延长，这样就把图形扩展成一个大的正方形，∵AE=CF=4，BE=DF=3， CM=OA=DF=EB=3，BM=OD=CF=AE=4 又∵DF 2 +CF 2 =CD 2 ，AE 2 +EB 2 =AB 2 ， OA 2 +OD 2 =AD 2 ，CM 2 +BM 2 =BC 2AEB=DFC=AOD=BMC=90， EO=FO=3+4=7 EF 2 =OE 2 +OF 2 =7 2 +7 2 =98 故答案是：98 【点评】本题考查了勾股定理，突破点是：利用正方形的边长和勾股定理，求得EF 2 7．（10 分）如果 23 8 能表示成 k 个连续正整数的和，则 k 的最大值为 108 ．【分析】首先可将 k 个连续的正整数设出来，求其和，抓住 k 取最大进行求解．【解答】解：设 k 的连续整数分别是 n+1，n+2，n+3，，n+k，则和= = ，由于 k 最大，则 n 最小，且 k＜2n+k+1， =23 8 ，即 k（2n+k+1）=2 2 3 8 =（2 2 3 4 ）3 4 =3 5 （2 2 3 3 ），因此 k 的最大值为 3 4 =108．故答案为：108．【点评】本题的突破口在于能根据题目要求正确地将和的式子进行分解．8．（10 分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，，中的某两个．李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B= ．【分析】可以根据已知，先根据表格中的数字规律求得□，○是哪个运算符号，然后再算A○B 的结果．【解答】解：根据分析，由表格中的数字可得：□○1=13；2□2○1=5，□○1=13；由 2□2○1=5，可知 2+2+1=5，22+1=5，若 2+2+1=5，则 + +1=13 不成立，故排除，所以 22+1=5；综上，□为，○为+，由表可知，A=2□○1=2 +1= ； B= □2○1= = ， A○B=A+B= + = ．故答案是：．【点评】本题考查了定义新运算，本题突破点是：根据表格中的数字规律，求得□和○的符号，再求 A○B．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分） 9．（10 分）计算：（ + ++ ）+（ + ++ ）+（ + ++ ）++（ + ）+ ．【分析】先根据算式找规律，把同分母的分数合成一组，然后根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：（ + ++ ）+（ + ++ ）+（ + ++ ）++（+ ）+ = +（ + ）+（ + + ）++（ + ++ ）+（ + ++ ） = +1+ ++ + = + + ++ + = =1015560 【点评】本题考查了分数的巧算，关键是把分数分组，难点是利用高斯求和公式求出分子． 10．（10 分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每 100 元可得一张价值50 元的代金券．这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用；每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过 1550 元的现金，她能买到价值 2300 元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案；如果不能，说明理由．【分析】此题首先看一下 1550 最多能得多少代金券，即 15002=750，而2300=1550+750 刚好不多不少，也就是说，1550 现金必须和所有能得到的 750代金券全部消费掉才能买到价值 2300 的商品．怎样才能把代金券和现金一起消费掉？我们从最后一次消费考虑就不难得出结论了．经过分析，如果最后一次消费是 100 或 150 以上均无法买到价值 2300 的商品，原因是后面所换的代金券不能单独用，题目是要求代金券必须和现金一起用．由此推断，要想买到价值2300 的商品，最后一次消费必须是 50 现金+50 代金券（为什么是50 代金券，而不是 100 代金券，也是题意要求，现金不少于支付商品价值的一半）由 50 元代金券可知上次消费的现金是 100，而和同步用的代金券也必须是 100，如是推理，请看如下所示：50+50（代金券） 100+100（代金券） 200+200（代金券） 400+400（代金券）800 左边是现金 800+400+200+100+50=1550 元，右边是代金券400+200+100+50=750元，这样能买到的商品价值是 1550+750=2300 元，故能买到．据此解答即可．【解答】解：根据题意可知：（1）由于最后一次购买东西换的代金券是不能使用的，因为有 1500 元的钱需要换 750 元的购物券，到最后一次最多可以用 50 元现金；（2）为了尽可能多的使用代金券，每次尽量用到一半的代金券，每一次的代金券由上一次购物获得；（3）第一次只能用现金．这样最后一次用 50 元现金和 50 元代金券；倒数第二次用 100 元现金和 100 元代金券；倒数第三次用 200 元现金和 200 元代金券；倒数第四次用 400 元现金和 400 元代金券；倒数第五次用 800 元现金．满足条件的答案为：第一次用 800 元现金；第二次用 400 元现金和 400 元代金券；第三次用 200 元现金和 200 元代金券；第四次用 100 元现金和100 元代金券；第五次用 50 元现金和 50 元代金券．总共：800+400+400+200+200+100+100+50+50=2300（元）所以用不超过 1550 元的现金，她能买到价值 2300 元的商品．【点评】本题为复杂的统筹方法问题，需要全面考虑． 11．（10 分）如图，等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DEF 之间的面积为20，BD=2，EC=4，求三角形 ABC 的面积．【分析】可以利用等积变形，将△DEF 向 B 点平移，△DEF 的形状大小不变，平移后△DEF 的 DF 与 AB 重合，此时等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DEF之间的面积仍不变，而此时EC 的长从原来的 4 变成了 6，此时不难计算出三角形 ABC 的面积．【解答】解：根据分析，利用等积变形，将△DEF 向 B 点平移，△DEF 的形状大小不变，平移后△DEF 的 DF 与 AB 重合，此时等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形DEF之间的面积仍不变，而此时 EC 的长从原来的 4 变成了 6，如图所示：过 E 作 EGAC 交 AC 于 G，Rt△EGC 中，不难得知，EG=GC= ，又∵等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DEF 之间的面积为 20，即梯形 ACEF的面积为20，（EF+AC）EG =（EF+AG+GC）EG =（2EF+3 ）3 =20EF= ，则 BF= ，△BEF 的面积= BFEF= = ，三角形 ABC 的面积=△BEF 的面积+20= = ．故答案是：．【点评】本题考查了三角形的面积，突破点是：利用等积变形，平移后三角形的面积不变，形状不变，再利用面积公式算得三角形 ABC 的面积． 12．（10 分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是 11 的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被 11 整除的数．【分析】五位数的最大数，根据被 11 整除的特征，奇数位上的数字和与偶数位数字和的差是 11 的倍数，因此五位数不能被11 整除，可以先确定万位上的数字，再逐个确定其它数字【解答】解：根据分析，设此五位数为，最大的五位数，则 a=9，若此五位数为 90000，显然不能被 11 整除，故符合题意的最大的五位数必大于90000，若 b=9，则划去后为 99，能被 11 整除，故 b9，若 b=8，则划去后为 98，不能被 11 整除，b=8，若 c=9 或 8，则划去 8 再划去后，为 99，不和题意，划去再划去9 后为 88，不合题意， c=7，划去若干数字后不能被 11 整除，若 d=9，8，或 7，均不合题意，d=6 时划去若干数后不能被 11 整除，d=6 若 e=9，8，7 或 6，均不合题意，故 e=5，综上所述，此五位数为：98765 【点评】本题考查了被 11 整除的特征，本题突破点是：根据 11 整除的特征，需要逆向思维算出哪些数不能被 11 整除，求出最大值三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13．（15 分）如图，正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 CD 边的中点，E，F 是 BC边上的两点，且 BE═EF=FC．连接 AE，DF 分别交 BM 分别于 H，G．求四边形EFGH 的面积．【分析】过 M 做 MQ 平行 BC 交 DF 于 Q，过 E 作 EP 平行 AB 交 BM 于 P，利用线段之间的比例关系，求得三角形之间的面积之比，最后求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如图，过 M 做 MQ 平行 BC 交 DF 于 Q，过 E 作EP 平行AB 交 BM 于 P，∵M 为 CD 中点，所以 QM：PC=1：2，QM：BF=1：4，所以 GM：GB=1：4， BG：BM=4：5；又因为 BF：BC=2：3，；∵E 为 BC 边上三等分点，所以 EP：CM=1：3，EP：AB=1：6， BH：HP=6：1，BH：HM=6：15=2：5，BH：BG=2：7，又∵GM：GB=1：4，BH：BG=5：14，，．故答案是：．【点评】本题考查了三角形的面积，突破点是：利用比例关系，求得三角形的面积比，从而最后求得阴影部分的面积． 14．（15 分）现有如图左边所示的四连方纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所示的 55 方格网上，放四连方，四连方可以翻转，四连方的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个四连方不能有重叠部分．那么最少放几个四连方就不能再放了？【分析】此题与常规填充题不同的是，本题要求放置几个四连方之后，没有空间再放置任何一个四连方．【解答】解：本题需要尽可能不合理利用空间，使用尽可能少的四连方占据空间，使余下的空白方格不能容下任何一个四连方，如下图所示，放入 3 个之后，再没有空间放任何一个四连方，而如果只放 2 个的话，还余下 25﹣24=17 块，必然会存在连续的空间可以放下四连方．所以：最少放 3 个四连方就不能再放了．【点评】要尽可能不合理利用空间，就使被放置的四连方分隔的空白部分尽量大又不能连成 4 块．。

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一、填空题（每小题6分，共48分）1．（6分）计算：+=．2．（6分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期．3．（6分）大于且小于的真分数有个．4．（6分）哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”．弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果，你的苹果数将是我的2倍”，则哥哥与弟弟共买了个苹果．5．（6分）图中，AB=AD，∠DBC=21°，∠ACB=39°，则∠ABC=度．6．（6分）已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是3：4，如两台抽水机同时抽取某水池，15小时抽干水池，现在，乙抽水机抽水9小时后关闭，再将甲抽水机打开，要抽干水池还需要小时．7．（6分）n为正整数，形式为2n﹣1的质数称为梅森数，例如：22﹣1=3，23﹣1=7是梅森数．最近，美国学者刷新了最大梅森数，n=74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数是．8．（6分）图中，ABCD是直角梯形，上底AD=2，下底BC=6，E是DC上一点，三角形ABE的面积是15.6，三角形AED的面积是4.8，则梯形ABCD的面积是．二、解答题（共4小题，满分22分）9．（5分）甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟180m，乙的速度是每分钟240m，在30分钟内，它们相遇了24次，问跑道的长度最多是多少米？10．（5分）一筐苹果分成甲乙两份，甲的个数和乙的苹果个数比是27：25，甲多乙少，若从甲中至少取出4个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？11．（6分）如图是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色．涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？12．（6分）三台车床A，B，C各以一定的工作效率加工同一种标准件，A车床比C车床早开机10分钟，C车床比B车床早开机5分钟，B车床开机10分钟后，B，C车床加工的标准件的数量相同，C车床开机30分钟后，A，C两车床加工的标准件个数相同，B车床开机多少分钟后就能与A车床加工的标准件的个数相同？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，100，如果每次都擦去最前面的6个，并在这串数的最后再写上擦去的6个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足6个．问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是多少？（2）最后所写的那个数是多少？14．（15分）数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分，参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题6分，共48分）1．（6分）计算：+=．【分析】可以先将原式化简，将分子分母分别计算出结果，然后最后求得结果．【解答】解：根据分析，原式=+======；故答案是：．【点评】本题考查了繁分数，突破点是：可以先将原式化简，将分子分母分别计算出结果，然后最后求得结果．2．（6分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期五．【分析】首先根据1个月最多有31天，可得：1个月最多有4个星期零3天；然后根据该月星期五、星期六和星期日各有5天，可得：该月的第1日是星期五，据此解答即可．【解答】解：因为31÷7=4（个）…3（天），所以1个月最多有4个星期零3天，因为该月星期五、星期六和星期日各有5天，所以该月的第1日是星期五．答：该月的第1日是星期五．故答案为：五．【点评】此题主要考查了年、月、日的特征和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一年中，1个月最多有31天．3．（6分）大于且小于的真分数有无穷多个．【分析】比较两个分数大小时，要么分子和相同，要么分母相同，才可比较．所以针对此题中的两个分数，先要通分变成分母相同的两个分数再进行比较即可．【解答】解：=，=；比2015大且小于2016的数有无数个，这无数个数都比2015×2016小．以这无数个数中的任何一个数做分子，2015×2016做分母组成的所有分数都是真分数．故：大于且小于的真分数有无穷多个．【点评】只要遇到比较分数大小的题，都要使其分子或分母相同，再做比较．4．（6分）哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”．弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果，你的苹果数将是我的2倍”，则哥哥与弟弟共买了12个苹果．【分析】首先分析哥哥比弟弟多几个苹果，同时找到第二次的数量差即可求出一份量．问题解决．【解答】解：依题意可知：哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”．说明哥哥比弟弟多2个苹果．弟弟若给哥哥一个苹果，哥哥的苹果数将是弟弟的2倍”，那么弟弟比哥哥少了4个苹果．此时4÷（2﹣1）=4（个）．弟弟此时4个，哥哥8个共4+8=12个．故答案为：12【点评】本题考查对和差倍问题的理解和运用，关键问题是找到一份量的数量，问题解决．5．（6分）图中，AB=AD，∠DBC=21°，∠ACB=39°，则∠ABC=81度．【分析】如果想求出∠ABC的度数，那么需要求出∠ABD度数，根据AB=AD可知底角相等．再根据外角即可求解．【解答】解：依题意可知：∠DBC=21°，∠ACB=39°根据外角等于不相邻的内角和可知∠ADB=∠C+∠DBC=21°+39°=60°．∵AB=AD．∴∠ADB=∠ABD=60°．∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+21°=81°．故答案为：81【点评】本题考查对长度和角度的立即和运用，关键是找到角之间的等量关系．问题解决．6．（6分）已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是3：4，如两台抽水机同时抽取某水池，15小时抽干水池，现在，乙抽水机抽水9小时后关闭，再将甲抽水机打开，要抽干水池还需要23小时．【分析】根据“工作量=工作效率×工作时间”．由已知条件设出甲、乙的工作效率分别是、1，可得工作总量（+1）×15=26.25，工作总量减去乙已经完成的工作量就得出乙要完成的工作量，再有公式即可算出甲的工作时间．【解答】解：设甲、乙的工作效率分别是、1．（+1）×15=26.2526.25﹣1×9=17.2517.25÷=23（小时）故：要抽干水池还需要23小时．【点评】解题就是重复利用公式“工作量=工作效率×工作时间”．7．（6分）n为正整数，形式为2n﹣1的质数称为梅森数，例如：22﹣1=3，23﹣1=7是梅森数．最近，美国学者刷新了最大梅森数，n=74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数是1．【分析】根据题意，此梅森数为2n﹣1=274207281﹣1，要求梅森数的个位数，只需求得274207281的个位数，而274207281的个位数可以根据周期规律求得．【解答】解：根据分析，此梅森数为2n﹣1=274207281﹣1，∵21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；26=64；27=128；28=256；29=512；210=1024…由此可知，2n个位数字为：2、4、8、6、2、4、8、6、2…即n=1，5，9，…时，个位数字为2；n=2，6，10，…时，个位数字为4；n=3，7，11，…时，个位数字为8；n=4，8，12，…时，个位数字为6；综上，2n个位数字按周期循环出现，周期为4，而74207281=4×18551820+1，故274207281的个位数与21的个位数相同，可以断定274207281的个位数为2，274207281﹣1的个位数为：2﹣1=1．故答案是：1．【点评】本题考查了质数与合数，突破点是：利用个位数字循环出现的周期性，最后求得梅森数的个位数．8．（6分）图中，ABCD是直角梯形，上底AD=2，下底BC=6，E是DC上一点，三角形ABE的面积是15.6，三角形AED的面积是4.8，则梯形ABCD的面积是24．【分析】按题意，可以先求得三角形ADE底边AD上的高，再求得三角形BEC的底边BC上的高，即可求得三角形ECB的面积，不难求得梯形ABCD的面积．【解答】解：根据分析，先求得三角形ADE底边AD上的高=4.8÷（×AD）=4.8÷1=4.8，如图，过E作EG⊥BC，EF⊥AB，显然EG=EF，由梯形的面积可知，×（AD+BC）×AB=×（2+6）×（AF+FB）=4×（4.8+EG），梯形的面积=S△ADE +S△ABE+S△BCE=15.6+4.8+=20.4+=20.4+3EG，4×（4.8+EG）=20.4+3EG，解得：EG=1.2，故梯形ABCD的面积=4×（4.8+EG）=4×（4.8+1.2）=24．故答案是：24．【点评】本题考查了三角形的面积，突破点是：先求得三角形ADE底边AD上的高，再求得三角形BEC的底边BC上的高，即可求得三角形ECB的面积，不难求得梯形ABCD的面积．二、解答题（共4小题，满分22分）9．（5分）甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟180m，乙的速度是每分钟240m，在30分钟内，它们相遇了24次，问跑道的长度最多是多少米？【分析】每相遇一次，两人就跑一个跑道的全长，先把两人是反向跑步，所以先求出两人的速度的和，再乘跑步的时间30分钟，即可求出24圈的长度，再除以24即可求出跑道的长度．【解答】解：（180+240）×30÷24=420×30÷24=12600÷24=525（米）答：跑道的长度最多是525米．【点评】解决本题关键是理解每相遇一次，两人就跑了一个跑道的全长，根据路程=速度和×时间，求出一共跑了多少米，再除以圈数即可．10．（5分）一筐苹果分成甲乙两份，甲的个数和乙的苹果个数比是27：25，甲多乙少，若从甲中至少取出4个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？【分析】“从甲中至少取出4个，加入乙中，则乙多甲少”这句话的意思是，如果从甲中取出3个，加入乙中，则乙不比甲多．【解答】解：依题意可知：从甲中取出4个，加入乙中，则乙比甲多；从甲中取出3个，加入乙中，则乙不比甲多．设甲有27n，乙有25n，则：得3≤n＜4，所以n=3，苹果共有：27n+25n=156个，这筐苹果有156个．【点评】重点是理解题目中“至少”两个字的含义，确定不等关系式．11．（6分）如图是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色．涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？【分析】共分为两大类情况，只使用1种颜色、使用两种颜色，分类讨论得出结果．【解答】解：①只是用一种颜色：有1+1=2种情况，②两种颜色的点数比为1：5，有2+2=4种，③两种颜色的点数比为2：4，有2×（1+1+3）=10种，④两种颜色的点数比为3：3，有有1+3+3+1=8种，共有凃法：2+4+10+8=24种．【点评】难点在于辨别旋转后相同的涂色方法，做到不重不漏．12．（6分）三台车床A，B，C各以一定的工作效率加工同一种标准件，A车床比C车床早开机10分钟，C车床比B车床早开机5分钟，B车床开机10分钟后，B，C车床加工的标准件的数量相同，C车床开机30分钟后，A，C两车床加工的标准件个数相同，B车床开机多少分钟后就能与A车床加工的标准件的个数相同？【分析】首先根据工作量相同时，效率和时间是反比关系，找到时间比即可求出效率比，时间可求．【解答】解：依题意可知：A开机10分钟C开机，再过5分钟B开机．当B开机10分钟时，C开机15分钟，时间比为：2：3，那么效率比为3：2．当C开机30分钟时，A开机40分钟，时间比为3：4，效率比为4：3．效率化连比A：B：C=3：6：4．根据B的效率是A的2倍．那么时间差是15分钟，再过15分钟即可使工作数量相同．答：B车床开机15分钟后B与A车床工作数量相同．【点评】本题是考察对工程问题的理解和综合运用，关键是根据工作量一定，找出时间的比例关系．问题解决．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，100，如果每次都擦去最前面的6个，并在这串数的最后再写上擦去的6个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足6个．问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是多少？（2）最后所写的那个数是多少？【分析】首先分析第一问擦去1，2，3，4，5，6但是写上了21数字和没有变化．剩下的数字和就是所有的数字和．第二问中发现数字是等差数列枚举即可．【解答】解：依题意可知：（1）擦去1，2，3，4，5，6但是写上了21数字和没有变化．最后的数字和是1+2+3+…+100的数字和为5050．（2）第一次擦下去的数字是1，2，3，4，5，6写上去的是21，第二次擦去的是7，8，9，10，11，12写上的数字是57．那么21与57的数字差为36．100÷6=16…4．说明擦去96个数字填上了16 个数字，这16个数字是以21位首项公差为36的等差数列．后来共20个数字．这20个数字为：97，98，99，100，21，57，93，129，165，201，237，273，309，345，381，417，453，489，525，561．然后20÷6=3…2．说明最后两个数字剩下了，新添加了3个数字，那么最后写的数字就是309，345，381，417，453，489的数字和为2394．答：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是5050．（2）最后所写的那个数是2394．【点评】本题考查对数字串问题的理解和运用，关键问题是找到等差数列的规律和鑫增加数字的规律，问题解决．14．（15分）数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分，参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？【分析】首先找出有多少种情况的结果，然后用400看每一组有多少人看看有没有余数，就是平均分的最大值．【解答】解：方法一：设4分题答对a道，7分题答对b道，则a可取0到8共9种，b可取0到6共7种，得分情况共有9×7=63种，再考虑得分重复情况，当a′=a+7，b′=b﹣4时，两次分数相同，即（a，b）=（0，6）和（7，2），（0，5）和（7，1），（0，4）和（7，0），（1，6）和（8，2），（1，5）和（8，1），（1，4）和（8，0）；共6种情况下，分数会相同．所以不同分数共63﹣6=57（种），400÷57=7…1.7+1=8，至少有8人分数相同，故答案为：8方法二：依题意可知：8道填空和6道问答题共8×4+6×7=74（分）没有答对问答时：共有9种情况：0，4，8，12，16，20，24，28，32．答对1个问答时；共有9种情况：7，11，15，19，23，27，31，35，39．答对2个问答时：共9种情况：14，18，22，26，30，34，38，42，46．答对3个问答时：共9种情况：21，25，29，33，37，41，45，49，53．答对4问答时：共9种情况：28，32，36，40，44，48，52，56，60．重复2个共7个．答对5问答时：共9种情况：35，39，43，47，51，55，59，63，67．重复2个共7个．答对6问答时：共9种情况：42，46，50，54，58，62，66，70，74．重复2个共7个．共有4×9+7×3=57．400÷57=7…1.7+1=8．故答案为：8．【点评】本题是考查对抽屉原理的理解与运用，关键问题的找出有多少个结果．然后平均分中的最大值即可，问题解决．。

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：（﹣）×÷﹣2.4＝．2．（10分）如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？3．（10分）有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草； 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够头牛吃一天．4．（10分）如图所示，将一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC所在平面上，折痕为DE．已知∠ABE＝74°，∠DAB＝70°，∠CEB＝20°，那么CDA等于．5．（10分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一圈的时间是70分钟．如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是分钟．6．（10分）如图，正方形ABCD的边长为5，E，F为正方形外两点，满足AE ＝CF＝4，BE＝DF＝3，那么EF2＝．7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为．8．（10分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，×，÷中的某两个．李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B ＝．二、解答下列各题（每题10分，共40分）9．（10分）计算：（++…+）+（++…+）+（++…+）+…+（+）+．10．（10分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每100元可得一张价值50元的代金券．这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用；每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案；如果不能，说明理由．11．（10分）如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为20，BD＝2，EC＝4，求三角形ABC的面积．12．（10分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数．三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是CD边的中点，E，F是 BC 边上的两点，且BE═EF＝FC．连接AE，DF分别交BM分别于H，G．求四边形EFGH的面积．14．（15分）现有如图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所示的5×5方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分．那么最少放几个“四连方”就不能再放了？2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：（﹣）×÷﹣2.4＝ 4.1 ．【分析】先从括号里算起，先化简，将原式进行巧算，最后求得原式结果．【解答】解：根据分析，原式＝（﹣）×÷﹣2.4＝（）×﹣2.4＝（）×11×＝（）×﹣2.4＝﹣2.4＝﹣2.4＝＝﹣2.4＝﹣2.4＝﹣2.4＝6.5﹣2.4＝4.1故答案是：4.1．2．（10分）如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有16个面；从下面看有16个面；从前面看有10个面；从后面看有10个面；从左面看有10个面；从右面看有10个面．由此即可解决问题．【解答】解：图中几何体露出的面有：10×4+16×2＝72（个）所以这个几何体的表面积是：1×1×72＝72（平方米）答：这个立体图形的表面积等于72平方米．3．（10分）有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草； 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够5 头牛吃一天．【分析】转换思想，将 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完转换成13头牛吃5天即可解决问题．【解答】解：依题意可知：10×8﹣（15+14+13+12+11）＝15（份）．15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完可以转换成13头牛吃5天．15÷（8﹣5）＝5（份）故答案为：54．（10分）如图所示，将一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC所在平面上，折痕为DE．已知∠ABE＝74°，∠DAB＝70°，∠CEB＝20°，那么CDA等于92°．【分析】在折叠前，可利用三角形内角和，求得∠C的度数，折叠后，利用三角形外角和以及四边形的内角和求得∠CDA．【解答】解：根据分析，折叠前，由三角形内角和，∠C＝180°﹣74°﹣70°＝36°，折叠后，∠EOD＝∠C+∠CEO＝36°+20°＝56°；∠BOD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣56°＝124°，∠CDA＝360°﹣∠ABE﹣∠BAE﹣∠BOD＝360°﹣70°﹣74°﹣124°＝92°．故答案是：92°．5．（10分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一圈的时间是70分钟．如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是126 分钟．【分析】甲剩下的路程就是乙已走的路程，那么甲走25分钟路程与乙走45分钟的路程相同，两者的速度与时间成反比例；行完全程时，再根据速度比，求出乙行完全程的时间．【解答】解：70﹣45＝25（分钟），甲走25分钟路程与乙走45分钟的路程相同，那么甲的速度：乙的速度＝45：25，行完全程两者所用的时间比就是：25：45；乙走一圈用的时间是：70÷25×45＝126（分）．答：乙走一圈的时间是126分钟．故答案为：126．6．（10分）如图，正方形ABCD的边长为5，E，F为正方形外两点，满足AE ＝CF＝4，BE＝DF＝3，那么EF2＝98 ．【分析】可以将EA、FD、FC、EB分别延长这样就把图形扩展成一个大的正方形，再利用勾股定理，不难求得EF2．【解答】解：根据分析，如图：将EA、FD、FC、EB分别延长，这样就把图形扩展成一个大的正方形，∵AE＝CF＝4，BE＝DF＝3，∴CM＝OA＝DF＝EB＝3，BM＝OD＝CF＝AE＝4又∵DF2+CF2＝CD2，AE2+EB2＝AB2，OA2+OD2＝AD2，CM2+BM2＝BC2∴∠AEB＝∠DFC＝∠AOD＝∠BMC＝90°，∴EO＝FO＝3+4＝7∴EF2＝OE2+OF2＝72+72＝98故答案是：987．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为108 ．【分析】首先可将k个连续的正整数设出来，求其和，抓住k取最大进行求解．【解答】解：设k的连续整数分别是n+1，n+2，n+3，…，n+k，则和＝＝，由于k最大，则n最小，且k＜2n+k+1，＝2×38，即k×（2n+k+1）＝22×38＝（22×34）×34＝35×（22×33），因此k的最大值为34＝108．故答案为：108．8．（10分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，×，÷中的某两个．李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B ＝．【分析】可以根据已知，先根据表格中的数字规律求得□，○是哪个运算符号，然后再算A○B的结果．【解答】解：根据分析，由表格中的数字可得：□○1＝13；2□2○1＝5，⇒□○1＝13；由2□2○1＝5，可知2+2+1＝5，2×2+1＝5，若2+2+1＝5，则++1＝13不成立，故排除，所以2×2+1＝5；综上，□为“×”，○为“+”，由表可知，A＝2□○1＝2×+1＝；B＝□2○1＝＝，A○B＝A+B＝+＝．故答案是：．二、解答下列各题（每题10分，共40分）9．（10分）计算：（++…+）+（++…+）+（++…+）+…+（+）+．【分析】先根据算式找规律，把同分母的分数合成一组，然后根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：（++…+）+（++…+）+（++…+）+…+（+）+＝+（+）+（++）+…+（++…+）+（++…+）＝+1++…++＝+++…++＝＝101556010．（10分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每100元可得一张价值50元的代金券．这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用；每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案；如果不能，说明理由．【分析】此题首先看一下1550最多能得多少代金券，即1500÷2＝750，而2300＝1550+750刚好不多不少，也就是说，1550现金必须和所有能得到的750代金券全部消费掉才能买到价值2300的商品．怎样才能把代金券和现金一起消费掉？我们从最后一次消费考虑就不难得出结论了．经过分析，如果最后一次消费是100或150以上均无法买到价值2300的商品，原因是后面所换的代金券不能单独用，题目是要求代金券必须和现金一起用．由此推断，要想买到价值2300的商品，最后一次消费必须是50现金+50代金券（为什么是50代金券，而不是100代金券，也是题意要求，现金不少于支付商品价值的一半）由50元代金券可知上次消费的现金是100，而和同步用的代金券也必须是100，如是推理，请看如下所示：50+50（代金券）100+100（代金券）200+200（代金券）400+400（代金券）800左边是现金800+400+200+100+50＝1550元，右边是代金券400+200+100+50＝750元，这样能买到的商品价值是1550+750＝2300元，故能买到．据此解答即可．【解答】解：根据题意可知：（1）由于最后一次购买东西换的代金券是不能使用的，因为有1500元的钱需要换750元的购物券，到最后一次最多可以用50元现金；（2）为了尽可能多的使用代金券，每次尽量用到一半的代金券，每一次的代金券由上一次购物获得；（3）第一次只能用现金．这样最后一次用50元现金和50元代金券；倒数第二次用100元现金和100元代金券；倒数第三次用200元现金和200元代金券；倒数第四次用400元现金和400元代金券；倒数第五次用800元现金．满足条件的答案为：第一次用800元现金；第二次用400元现金和400元代金券；第三次用200元现金和200元代金券；第四次用100元现金和100元代金券；第五次用50元现金和50元代金券．总共：800+400+400+200+200+100+100+50+50＝2300（元）所以用不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品．11．（10分）如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为20，BD＝2，EC＝4，求三角形ABC的面积．【分析】可以利用等积变形，将△DEF向B点平移，△DEF的形状大小不变，平移后△DEF的DF与AB重合，此时等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积仍不变，而此时EC的长从原来的4变成了6，此时不难计算出三角形ABC的面积．【解答】解：根据分析，利用等积变形，将△DEF向B点平移，△DEF的形状大小不变，平移后△DEF的DF与AB重合，此时等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积仍不变，而此时EC的长从原来的4变成了6，如图所示：过E作EG⊥AC交AC于G，Rt△EGC中，不难得知，EG＝GC＝，又∵等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为20，即梯形ACEF的面积为20，∴（EF+AC）×EG×＝（EF+AG+GC）×EG×＝（2×EF+3）×3×＝20⇒EF＝，则BF＝，△BEF的面积＝BF×EF＝＝，三角形ABC的面积＝△BEF的面积+20＝＝．故答案是：．12．（10分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数．【分析】五位数的最大数，根据被11整除的特征，奇数位上的数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，因此五位数不能被11整除，可以先确定万位上的数字，再逐个确定其它数字【解答】解：根据分析，设此五位数为，最大的五位数，则a＝9，若此五位数为90000，显然不能被11整除，故符合题意的最大的五位数必大于90000，若b＝9，则划去后为99，能被11整除，故b≠9，若b＝8，则划去后为98，不能被11整除，∴b＝8，若c＝9或8，则划去8再划去后，为99，不和题意，划去再划去9后为88，不合题意，∴c＝7，划去若干数字后不能被11整除，若d＝9，8，或7，均不合题意，d＝6时划去若干数后不能被11整除，∴d＝6若e＝9，8，7或6，均不合题意，故e＝5，综上所述，此五位数为：98765三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是CD边的中点，E，F是 BC 边上的两点，且BE═EF＝FC．连接AE，DF分别交BM分别于H，G．求四边形EFGH的面积．【分析】过M做MQ平行BC交DF于Q，过E作EP平行AB交BM于P，利用线段之间的比例关系，求得三角形之间的面积之比，最后求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如图，过M做MQ平行BC交DF于Q，过E作EP 平行AB交BM于P，∵M为CD中点，所以QM：PC＝1：2，∴QM：BF＝1：4，所以GM：GB＝1：4，∴BG：BM＝4：5；又因为BF：BC＝2：3，；∵E为BC边上三等分点，所以EP：CM＝1：3，∴EP：AB＝1：6，∴BH：HP＝6：1，∴BH：HM＝6：15＝2：5，BH：BG＝2：7，又∵GM：GB＝1：4，∴BH：BG＝5：14，∴，∴．故答案是：．14．（15分）现有如图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所示的5×5方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分．那么最少放几个“四连方”就不能再放了？【分析】此题与常规填充题不同的是，本题要求放置几个“四连方”之后，没有空间再放置任何一个“四连方”．【解答】解：本题需要尽可能“不合理”利用空间，使用尽可能少的“四连方”占据空间，使余下的空白方格不能容下任何一个“四连方”，如下图所示，放入3个之后，再没有空间放任何一个“四连方”，而如果只放2个的话，还余下25﹣2×4＝17块，必然会存在连续的空间可以放下“四连方”．所以：最少放3个“四连方”就不能再放了．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:02:07；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组A卷）一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10分）计算：124+129+106+141+237﹣500+113=（）A．350B．360C．370D．3802．（10分）如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了2盆花．每次，韩梅按照以下规则往家中搬一盆花：先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的．要把所有的花搬到家里，共有（）种不同的搬花顺序．A．4B．6C．8D．103．（10分）在桌面上，将一个边长为1 的正六边形纸片与一个边长为1的正三角形纸片拼接，要求无重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为（）A．8B．7C．6D．54．（10分）甲、乙、丙、丁四支足球队进行比赛．懒羊羊说：甲第一，丁第四；喜羊羊说：丁第二，丙第三；沸羊羊说：丙第二，乙第一．每个的预测都只对了一半，那么，实际的第一名至第四名的球队依次是（）A．甲乙丁丙B．甲丁乙丙C．乙甲丙丁D．丙甲乙丁5．（10分）如图，在5×5的空格内填入数字，使每行、每列及每个粗线框中的数字为1，2，3，4，5，且不重复．那么五角星所在的空格内的数字是（）A．1B．2C．3D．46．（10分）在除法算式中，被除数为2016，余数为7，则满足算式的除数共有（）个．A．3B．4C．5D．6二、填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）动物园里有鸵鸟和梅花鹿若干，共有腿122条．如果将鸵鸟与梅花鹿的数目互换，则应有腿106条，那么鸵鸟有只，梅花鹿有头．8．（10分）某年，端午节距离儿童节和父亲节的天数相同，在月历中与六月最后一天同列，父亲节是六月的第三个星期日，则该年的父亲节是六月日．（如图是某个月的月历示意图）9．（10分）在一个六位数中，任何3个连续排列的数字都构成能被6 或7 整除的三位数，则这个六位数最小是．10．（10分）小虎用6个边长均为1的等边三角形在桌面上无重叠地拼接图形，每个三角形都至少有一条边与另一个三角形的一条边完全重合，如图是拼接出的两个图形．那么，在所有拼接出的图形中，最小的周长是．2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10分）计算：124+129+106+141+237﹣500+113=（）A．350B．360C．370D．380【分析】根据加法的交换律与结合律简算即可．【解答】解：124+129+106+141+237﹣500+113=（124+106）+（129+141）+（237+113）﹣500=230+270+350﹣500=850﹣500=350故选：A．【点评】此题重点考查了学生对运算定律的掌握与运用情况，要结合数据的特征，灵活选择简算方法．2．（10分）如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了2盆花．每次，韩梅按照以下规则往家中搬一盆花：先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的．要把所有的花搬到家里，共有（）种不同的搬花顺序．A．4B．6C．8D．10【分析】分两种情况讨论：①先取的两盆在同侧有=2种搬法；②在异侧有×=4种搬法，所以共有2+4=6种，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，+×=2+4=6（种）答：共有6种不同的搬花顺序．故选：B．【点评】本题考查了排列组合知识的灵活应用，关键是先分类再计数．3．（10分）在桌面上，将一个边长为1 的正六边形纸片与一个边长为1的正三角形纸片拼接，要求无重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为（）A．8B．7C．6D．5【分析】正六边形每个内角是120°，正三角形每个内角是60°，正六边和正三角形边长都为1，所以它们的边拼组后有两组成为直线段，所以减少了4条边，据此解答即可．【解答】解：180°×（6﹣2）÷6=180°×4÷6=120°180°÷6=60°120°+60°=180°所以，拼接后的图形是：6+3﹣4=5（条）答：得到的新图形的边数为5．故选：D．【点评】本题关键是算出正六边形每个内角的度数，明确拼组方法．4．（10分）甲、乙、丙、丁四支足球队进行比赛．懒羊羊说：甲第一，丁第四；喜羊羊说：丁第二，丙第三；沸羊羊说：丙第二，乙第一．每个的预测都只对了一半，那么，实际的第一名至第四名的球队依次是（）A．甲乙丁丙B．甲丁乙丙C．乙甲丙丁D．丙甲乙丁【分析】可以先假设懒羊羊说的第一句是对的，即甲是第一，则沸羊羊说的乙是第一是错的，则丙是第二是对的，就可以推测出喜羊羊说的丙第三是错的，则喜羊羊说的丁第二是对的，与丙第二矛盾，故假设不成立，然后根据其它几句话判断四人的名次．【解答】解：根据分析，假设懒羊羊说的第一句是对的，即甲是第一，则沸羊羊说的乙是第一是错的，则丙是第二是对的，就可以推测出喜羊羊说的丙第三是错的，则喜羊羊说的丁第二是对的，与丙第二矛盾，故假设不成立，故懒羊羊说的甲第一是错的，丁第四是对的；由此可以推测乙是第一，丙是第三，则甲是第二．故排名是：乙甲丙丁．故选：C．【点评】本题考查了逻辑推理，突破点是：运用假设法，逻辑推理找到矛盾的地方，再排出名次．5．（10分）如图，在5×5的空格内填入数字，使每行、每列及每个粗线框中的数字为1，2，3，4，5，且不重复．那么五角星所在的空格内的数字是（）A．1B．2C．3D．4【分析】首先根据排除法在第一宫格中必须有4，那么第二行的第二列的数字只能为4．继续使用排除法即可推理成功．【解答】解：依题意可知：首先根据在第一宫格中必须有4，那么第二行的第二列的数字只能为4．同理在第二行第四列的数字只能是1．继续推理可得：所以再五角星的空格位置填写1．故选：A．【点评】本题是考察对凑数谜的理解和运用，关键的问题是使用排除法．问题解决．6．（10分）在除法算式中，被除数为2016，余数为7，则满足算式的除数共有（）个．A．3B．4C．5D．6【分析】除数×商=2016﹣7=2009，然后把2009分解因数，再根据余数小于除数，即可确定满足算式的除数共有几个．【解答】解：2016﹣7=2009，2009=7×287=49×41=1×2009所以满足算式的除数有：287、49、41、2009，共4个；答：满足算式的除数共有4个．故选：B．【点评】本题考查了整除问题与有余数除法的综合应用，关键是得到2009的大于7的因数．二、填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）动物园里有鸵鸟和梅花鹿若干，共有腿122条．如果将鸵鸟与梅花鹿的数目互换，则应有腿106条，那么鸵鸟有15只，梅花鹿有23头．【分析】一只梅花鹿有4条腿，一只鸵鸟有2条腿，把一只鸵鸟换成一只梅花鹿就少4﹣2=2条腿，把所以鸵鸟与梅花鹿的数目互换共少了122﹣106=16条腿，即有16÷2=8只梅花鹿换成了鸵鸟，原来的梅花鹿比鸵鸟多8头．多加上8只鸵鸟后，则梅花鹿和鸵鸟的数量相同，所以再加上8×2=16条腿，则一共有122+16=138条腿时，梅花鹿和鸵鸟的只数相同，这时一头梅花鹿和一只鸵鸟有4+2=6条腿，据此可求出梅花鹿的数量，进而可求出鸵鸟的数量．【解答】解：122﹣106=16（条）16÷（4﹣2）=16÷2=8（头）（122+8×2）÷（4+2）=（122+16）÷6=138÷6=23（头）23﹣8=15（只）答：鸵鸟有15只，梅花鹿有23头．故答案为：15，23．【点评】本题的关键是让学生理解鸵鸟和梅花鹿互换后少的腿数，是因每鸵鸟比每只梅花鹿就少2条腿，从而求出鸵鸟比梅花鹿少的只数，进而补上只数它们的数量相等，从而根据数量相等时的腿数，求出梅花鹿的头数．8．（10分）某年，端午节距离儿童节和父亲节的天数相同，在月历中与六月最后一天同列，父亲节是六月的第三个星期日，则该年的父亲节是六月17日．（如图是某个月的月历示意图）【分析】六月一共有30天，端午节和六月30日中间相差了数个整星期，所以端午节和六月30日相差的天数为7的倍数．而六月30 日和六月1日相差29天，所以端午节和六月1日相差了某个7的倍数加1 天，从而端午节和父亲节也相差了某个7 的倍数加1天，所以父亲节和六月1日相差了某个7的倍数加2天．根据父亲节是星期日，可得结论．【解答】解：六月一共有30天，端午节和六月30日中间相差了数个整星期，所以端午节和六月30日相差的天数为7的倍数．而六月30 日和六月1日相差29天，所以端午节和六月1日相差了某个7的倍数加1 天，从而端午节和父亲节也相差了某个7 的倍数加1天，所以父亲节和六月1日相差了某个7的倍数加2天．又由于父亲节是星期日，所以六月1日是星期5，从而推断出，六月的第三个星期日为17日，故答案为17．【点评】本题考查找规律，考查日期的推算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．（10分）在一个六位数中，任何3个连续排列的数字都构成能被6 或7 整除的三位数，则这个六位数最小是112642．【分析】因为任何3个连续排列的都是三位数，说明这个六位数中无0．因为要使六位数最小，不妨设，六位数为11□□□□，用分类讨论是思想思考问题即可．【解答】解：因为任何3个连续排列的都是三位数，说明这个六位数中无0．因为要使六位数最小，不妨设，六位数为11□□□□，①11x，则有⇒①112，②12X，则有⇒②126，③26x，则有⇒③264，④64x，则有⇒④642，故答案为112642【点评】本题考查最大与最小、整除问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用尝试的方法解决问题．10．（10分）小虎用6个边长均为1的等边三角形在桌面上无重叠地拼接图形，每个三角形都至少有一条边与另一个三角形的一条边完全重合，如图是拼接出的两个图形．那么，在所有拼接出的图形中，最小的周长是6．【分析】首先分析最小情况就是重复边数最多的情况．【解答】解：依题意可知：重叠的边数越多面积越小．故最小周长为：6故答案为：6【点评】本题考查对剪切和拼接的理解和运用，关键问题是枚举出最小的方式即可，问题解决．。

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：7﹣（2.4+1×4）÷1＝．2．（10分）中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期．（今天是2016年3月12日，星期六）3．（10分）如图中，AB＝5厘米，∠ABC＝85°，∠BCA＝45°，∠DBC＝20°，AD＝厘米．4．（10分）在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC 的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有个“好点”．5．（10分）对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n＝102时＝12．那么满足＜n且是n的约数的三位数n有个．6．（10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩次．7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为．8．（10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第个单位怡好与大尺上某一单位相合．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．10．（10分）如图，三角形ABC中，AB＝180厘米，AC＝204厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米．11．（10分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？12．（10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去．在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字行纸片和一张5×6的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）14．（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+b﹣c﹣d能被20整除．则n的最小值是多少？2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：7﹣（2.4+1×4）÷1＝ 2 ．【分析】先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的加法，然后算括号外的除法，最后算括号外的减法．【解答】解：7﹣（2.4+1×4）÷1＝7﹣（2.4+）÷1＝7﹣÷1＝7﹣＝2故答案为：2．2．（10分）中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期五．（今天是2016年3月12日，星期六）【分析】首先分析2016年的3月12日到2022年的3月13日是星期几，然后再根据3月12向前推理出2月4日即可．【解答】解：依题意可知：平年365天是52个星期多1天．润年是52个星期多2天．2016年3月12到2022年3月12日经过了5个平年1个闰年，向后推的天数为1+1+1+1+1+2＝7．恰好为星期六．那么2022年的2月4日到2022年的3月12日．经过24+12＝36天．36÷7＝5…1．从星期六前推前天．说明2022年的2月4日是星期五．故答案为：五3．（10分）如图中，AB＝5厘米，∠ABC＝85°，∠BCA＝45°，∠DBC＝20°，AD＝ 5 厘米．【分析】首先根据题意可知∠ABC＝85°，∠BCA＝45°．那么根据三角形内角和为180度可知∠A＝50°．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：∠ABC＝85°，∠BCA＝45°．那么∠A＝50°．∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝85°﹣20°＝65°∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣50°﹣65°＝65°；∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD＝5故答案为：54．（10分）在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC 的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有 6 个“好点”．【分析】如下图这样，经过A点和BC边的中点画一条直线，交方格图于E点和F点，可以证得D、E、F三点都是好点；过AB点作平行线，与原来的三角形组成平行四边形，得到平行四边形ACBI，可以证得I、H、G三点也是好点．【解答】解：（1）△BDA与△CDA等底等高，所以面积相等；（2）△ABE与△ACE的面积都等于平行四边形ABCE的一半，所以面积相等；（3）△ABF的面积＝△BDF的面积﹣△BDA的面积，△CAF的面积＝△CDF 的面积﹣△CDA的面积，又因为△BDA与△CDA面积相等，所以△ABF的面积＝△CAF的面积；（4）△ABI和△ACI的面积都等于平行四边形ACBI面积的一半，所以相等；（5）△ABH的面积是△ABI面积的一半，△ACH的面积是△ACI的面积的一半，所以△ABH与△ACH面积相等；（6）△AGB和△AGC有相同底AG，这条底边上的两个三角形高是相等的，所以这两个三角形面积相等．故此题的好点一共有6个．5．（10分）对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n＝102时＝12．那么满足＜n且是n的约数的三位数n有93 个．【分析】按题意，能满足＜n且是n的约数的三位数n，有两种：第一种，十位为0，第二种，个位为0，然后再计算个数．【解答】解：根据分析，第一种，十位为0的三位数中，能满足是n的约数的n只有：105、108、405，三个数删掉0后得：15、18、45分别为105、108、405的约数；第二种，个位为0的三位数共有：9×10＝90个，删掉0后均能满足是n 的约数，故满足题意的三位数n有90个，综上，满足题意的三位数一共有90+3＝93个．故答案是：93．6．（10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩9 次．【分析】首先分析可以将同学们进行标好，然后枚举即可．【解答】解：依题意可知：将学生进行编号1﹣12．如果是1﹣4一组，5﹣8一组，9﹣12一组下一组就没有符合题意的了，那么要求尽可能多分组．即第一次是1，2，3，4．第二次是1，5，6，7．第三次是2，5，8，9．第四组是3，6，8，10．第五组是4，5，8，11．第六组是3，5，9，10．第七组是4，6，9，11第八组是1，7，9，12第九组是2，6，10，12．故答案为：97．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为108 ．【分析】设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和＝（n+n+k﹣1）•k÷2＝2×38，利用质因数分解即可解决问题．【解答】解：设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和＝（n+n+k﹣1）•k÷2＝2×38，所以（2n+k﹣1）•k＝22×38，所以k的最大值为108＝22×33，此时2n+k﹣1＝35，n＝68，故k的最大值为108．故答案为108．8．（10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第7 个单位怡好与大尺上某一单位相合．【分析】根据题意可：第一把小尺与大尺的单位比是11：10，第一把小尺的单位3，相当于大尺的单位3.3（根据比例求得）大尺3.3与18.7才能相加得整数，所以小尺的0对的大尺的单位是18.7．耶第二把小尺子以0单位为起点，在1到10之间找的单位对应大尺上的整数，必须是大尺的18.7加上几点3，就是说加上的这个数的小数位是3．根据大尺与第二把小尺的单位比9：10求得第二把小尺是7时，大尺的单位数才出现点3．【解答】解：11：10＝？：3？＝3.3那B点处在单位18与19之间的应是：18.718.7只有加上一个末位上是3的数（令其为X）才能凑整十数．？是在1一10之间的自然数，所以只有？＝7符合条件．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．【分析】乙得票数至少增加4票，则甲必至少减少4票，此时才能使乙胜甲，可以设一个未知数，列出关系式，求出解．【解答】解：根据分析，设甲得票数为x，则乙的得票数为，由题意得：⇒⇒x＜168，又∵x为正整数，且也为正整数∴x＝147，x＝126，即：①甲得票数是147票，乙的得票数是140票；②甲得票数是126票，乙的得票数是120票．故答案是：甲147票，乙140票．或，甲126票，乙120票．10．（10分）如图，三角形ABC中，AB＝180厘米，AC＝204厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米．【分析】高一定，对应底的比等于面积比，根据五个小三角形面积相等，所以S△ADC＝4S△DBC，所以AD＝4BD＝4×（180÷5）＝144（厘米）；同理，可求AE、AF、AG的长度，进而求出AF+AG的长度即可．【解答】解：在△ABC中，因为S△ADC＝4S△DBC，所以AD＝4BD＝4×（180÷5）＝144（厘米）；在△ADC中，因为S△ADE＝3S△EDC，所以AE＝3EC＝3×（204÷4）＝153（厘米）；在△ADE中，因为S△AFE＝2S△EFD，所以AF＝2DF＝2×（144÷3）＝96（厘米）；在△AFE中，因为S△AFG＝S△GFE，所以AG＝GE＝153÷2＝76.5（厘米）；所以，AF+AG＝96+76.5＝172.5（厘米）；答：AF+AG为172.5厘米．11．（10分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？【分析】可以先求得甲、乙每小时注的水量，即为、，总时间为7小时，同时开的时候，不难求出时间．【解答】解：根据分析，设水池注满时水的总量为1份，甲、乙每小时注水的速度分别为份/时、份/时，则甲乙同时开的时候总速度为+＝，设刚开始只打开甲a小时，接着打开乙b小时，最后同时打开甲乙7﹣a﹣b小时，则：a+b+（7﹣a﹣b）＝1，化简得：2a+3b＝5，又∵a≥1，b≥1，∴a＝1，b＝1，∴甲乙同时打开的时间为：7﹣a﹣b＝7﹣1﹣1＝5（小时）．故答案是：5．12．（10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去．在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？【分析】按题意，一个多边形可以被分成两部分，其内角和至多增加360°，剪K次共增加的度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K×360°+540°，另一方面，20个五边形的度数和为20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K﹣19）×180°，这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°，求解最后得出结果．【解答】解：根据分析，一个多边形被分成两部分，其内角和至多增加360°，剪K次共增加的度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K×360°+540°，另一方面，20个五边形的度数和为20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K﹣19）×180°，这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°；整理得：K≥38，当K＝38时，可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18次将四边形分成19个四边形，再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成20个五边形．综上，则最少剪38次．故答案是：38．三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字行纸片和一张5×6的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）【分析】可以分情况讨论，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．【解答】解：根据分析，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．对于第一类，凸字形的头不能粘在方格纸的四个角，边框上（不是角）的小方格共有：2×3+2×4＝14（个），有14个图形，第二类，方格纸内部的每一个小方格可以粘凸字形的头，有头朝上，头朝下，头朝左，头朝右之分，所以，这类图形有4×（3×4）＝48（个）．由加法原理知，共有14+48＝62中图形，由于方格纸的每个小方格都与另外一个小方格旋转对称，所以总的不同图形为：62÷2＝31（个）．故答案是：31．14．（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+b﹣c﹣d能被20整除．则n的最小值是多少？【分析】首先说明任意8个非负整数不能满足条件，因为任意取9个非负整数，从中任意取7个，它们的两两之和有21个，这21个和数除以20的余数有21个，因为余数最多有20个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有4个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以20有相同的余数，此时四个数满足条件．（2）有3个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以20有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）＝a﹣c是20的倍数，由此循环，即可解决问题．【解答】解：存在8个数：0，1，2，4，7，12，20，40它们中任何四个数都不能满足条件，所以n的最小值大于等于9．因为任意取9个非负整数，从中任意取7个，它们的两两之和有21个，这21个和数除以20的余数有21个，因为余数最多有20个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有4个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以20有相同的余数，此时四个数满足条件．（2）有3个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以20有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）＝a﹣c是20的倍数，将a、c取出，在剩下的7个数中，同理可得：要么四个不同的数，满足条件，要么有两个数b、d，使得b﹣d是20的倍数，如此一来，总有a、b、c、d，使得a+b﹣c﹣d能被20整除．综上所述，n的最小值为9．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:01:43；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

）个数字 0． C.2015 D.2014
A.2017 【难度】☆ 【答案】C
B.2016
【考点】计算，多位数计算
【分析】 (102016 1)2 (102016 2) 102016 1 999...998000...001
2015个 2015个
4.
将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（ 种不同的排行．
A.1152 B.864 C.576 D.288
）
【考点】计数，加乘原理与排列组合 【难度】☆☆ 【答案】A
【分析】 1 2 3 7 28 ，8 的两边之和都是 14 研究有 7 的一边， 14 7 6 1 7 5 2 7 4 3 7 4 2 1 数的两侧分法有 4 种，两侧可互换，每个分法都是一边四个数另一边三个数，两边内部可互
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试卷（小学高年级组）
一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答 案的英文字母写在每题的圆括号内． ） 1. 算式 999 9 999 9 的结果中含有（
2016 个 2016 个
FG AB 6 ， CF
1 (CD FG ) 4 ， CG 10 ，令 AG BF h ，由勾股定理， 2
AC 2 AG 2 CG 2 h 2 100 CE 2 BC 2 BF 2 CF 2 h 2 16 AE 2 AC 2 CE 2 84
7.
两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足 上述条件的所有正方形共有 对．

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组B卷）2016 年第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小中组 B 卷）题一、选择题（每小题 10 分，共 60 分。

以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。

） 1．（10 分）凑 24 点游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下 52 张，（如果初练也可只用 1～10 这 40 张牌）任意抽取 4 张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成 24，每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是 3、8、8、9，那么算式为（9﹣8）83 或（9﹣88）3 等，在下面 4 个选项中，唯一无法凑出 24 点的是（） A．1、2、3、3 B．1、5、5、5 C．2、2、2、2 D．3、3、3、3 2．（10 分）在如图的算式中，每个汉字代表 0 至 9 中的一个数字，不同汉字代表不同的数字．当算式成立时，好字代表的数字是（） A．1 B．2 C．4 D．6 3．（10 分）如图，边长分别为 10 厘米和 7 厘米的正方形部分重叠，重叠部分的面积是 9 平方厘米，图中两个阴影部分的面积相差（）平方厘米． A．51 B．60 C．42 D．9 4．（10 分）库里是美国 NBA 勇士队当家球星，在过去的 10 场比赛中已经得了333 分的高分．他在第 11 场得（）分就能使前 11 场的平均分达到 34 分． A．35 B．40 C．41 D．47 5．（10 分）如图，木板上有 10 根钉子，任意相邻的两根钉子距离都相等，以这些钉子为顶点，用橡皮筋可套出（）个正三角形． A．6 B．10 C．13 D．15 6．（10 分）在桌面上，将一个边长为 1 的正六边形纸片与一个边长为 1 的正三角形纸片拼接，要求无重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为（） A．8 B．7 C．6 D．5 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）7．（10 分）计算：19872015﹣19862016= ． 8．（10 分）学校打算组织同学们去秋游，每辆大巴车有 39 个座位，每辆公交车有 27 个座位，大巴车比公交车少 2 辆，如果所有学生和老师都乘坐大巴，每辆大巴车上有 2 位老师，则多出 3 个座位；如果都乘坐公交车，每辆公交车都坐满并且各有 1 位老师，则多出 3 位老师，那么共有位老师，名同学参加这次秋游． 9．（10 分）于 2015 年 10 月 29 日闭幕的党的十八届五中全会确定了允许普遍二孩的政策．笑笑的爸爸看到当天的新闻后跟笑笑说：我们家今年的年龄总和是你年龄的7 倍，如果明年给你添一个弟弟或者妹妹，我们家 2020 年的年龄总和就是你那时年龄的 6 倍，那么笑笑今年岁． 10．（10 分）教育部于 2015 年 9 月21 日公布了全国青少年校园足球特色学校名单，笑笑所在的学校榜上有名，为了更好地备战明年市里举行的小学生足球联赛．近期他们学校的球队将和另 3支球队进行一次足球友谊赛，比赛采用单循环制（即每两队比赛一场），规定胜一场得 3 分，负一场得 0 分，平局两队各得 1 分；以总得分高低确定名次，若两支球队得分相同，就参考净胜球、相互胜负关系等因素决定名次．笑笑学校的球队要想稳获这次友谊赛的前两名，至少要得分．2016 年第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小中组 B 卷）参考答案与试题解析题一、选择题（每小题 10 分，共 60 分。

初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2016年12月10日10:00—11:00）一、选择题(每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值．（A）16 （B）17 （C）18 （D）192.小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟．（A）6 （B）8 （C）10 （D）123.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．（A）14 （B）16 （C）18 （D）204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（）．（A）2986 （B）2858 （C）2672 （D）2754CD BA5. 在序列20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）． （A ）8615（B ）2016（C ）4023（D ）20176. 从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 若15322.254553923444741A ⎛⎫-⨯÷+=⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，那么A 的值是________． 8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有 ________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为F ，AC 和BE 的交点为H ，AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．10. 若2017,1029与725除以d 的余数均为r ，那么d r -的最大值是________．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛这句话里有（ ）个数大于1，有（ ）个数大于2，有（ ）个数大于3，有（ ）个数大于4． 罗华庚金 杯决赛试题B （小学高年级组）一、填空题（每小题10份，共80分）1. 计算：8184157.628.814.48012552⨯+⨯-⨯+=________．2. 甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树________棵．3. 当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成________度的角．4. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为________．5. 贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一种这样的星球局势，共可以组成________个两两都是友国的三国联盟．6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是________，最小的是________．7. 见右图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角形DOE 的面积为________．8. 三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有________种可能数值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 将1234567891011的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．10. 如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为,5,y x 的长方体（,x y 为整数），余下部分的体积为120，求x 和y ．yx515411. 圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？12. 两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图所示，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1: MC DM ，四边形EBFC 为平行四边形，FM 与BC 交于点G ．若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13cm 2，求平行四边形ABCD 的面积．14. 设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题C （小学高年级组） （时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn=+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）.（A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）40292. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情:最终,（ ）得到的糖水最甜.（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米,下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟. （A ）22 （B ）20 （C ）17 （D ）164. 已知正整数A 分解质因数可以写成γβα532⨯⨯=A , 其中α、β、γ 是自然数. 如果A的二分之一是完全平方数, A 的三分之一是完全立方数, A 的五分之一是某个自然数的五再加入50克含糖率20%的糖水.再加入20克糖和30克水.再加入100克糖与水的比是2:3的糖水.次方, 那么γβα++ 的最小值是（ ）.（A ）10 （B ）17 （C ）23 （D ）315. 今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（ ）个三角形.（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）126. 从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（ ）个.① 其中必有两个数互质;② 其中必有一个数是其中另一个数的倍数; ③ 其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数. （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 二、填空题 (每小题 10 分, 满分40分)7. 有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书. .8. 每天, 小明上学都要经过一段平路AB 、一段上坡路BC和一段下坡路 CD （如右图）. 已知AB :BC :CD = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4. 那么小明上学与放学回家所用的时间比是 .9.黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是.10.如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是.第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2015年12月12日10:00—11:00）一、选择题 (每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 算式个个2016201699999999⨯的结果中含有（ ）个数字0． （A ）2017 （B ）2016 （C ）2015 （D ）20142. 已知A , B 两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A , B 两地出发, 相向而行, 在距A 地140米处相遇; 如果乙每秒多行1米, 则两人相遇处距B 地180米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．（A ）532 （B ）542（C ）3 （D ）513 3. 在一个七位整数中, 任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数, 则这个七位数最大是（ ）．（A ）9981733 （B ）9884737 （C ）9978137 （D ）98717734. 将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这8个数排成一行, 使得8的两边各数之和相等, 那么共有（ ）种不同的排法．（A ）1152 （B ）864 （C ）576 （D ）2885. 在等腰梯形ABCD 中, AB 平行于CD , 6=AB , 14=CD , AEC ∠是直角, CE CB =, 则2AE 等于（ ）．（A ）84 （B ）80 （C ）75 （D ）646. 从自然数1,2,32015,2016，，中, 任意取n 个不同的数, 要求总能在这n 个不同的数中找到5个数, 它们的数字和相等. 那么n 的最小值等于（ ）． （A ）109 （B ）110 （C ）111 （D ）112 二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 两个正方形的面积之差为2016平方厘米, 如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米, 那么满足上述条件的所有正方形共有 对．8. 如下图, O , P , M 是线段AB 上的三个点, AB AO 54=, AB BP 32=, M 是AB 的中点, 且2=OM , 那么PM 长为 ．9. 设q 是一个平方数. 如果2-q 和2+q 都是质数, 就称q 为P 型平方数. 例如, 9就是一个P 型平方数．那么小于1000的最大P 型平方数是 ．10. 有一个等腰梯形的纸片, 上底长度为2015, 下底长度为2016. 用该纸片剪出一些等腰梯形, 要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上, 剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角, 则最多可以剪出 个同样的等腰梯形．第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）一、选择题1、计算：19+⨯+-=[(0.8)24]7.6(___)514（A）30 （B）40 （C）50 （D）602、以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（）个三角形。

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：7﹣（2.4+1×4）÷1=．2．（10分）中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期．（今天是2016年3月12日，星期六）3．（10分）如图中，AB=5厘米，∠ABC=85°，∠BCA=45°，∠DBC=20°，AD=厘米．4．（10分）在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有个“好点”．5．（10分）对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n=102时=12．那么满足＜n且是n的约数的三位数n有个．6．（10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩次．7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为．8．（10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第个单位怡好与大尺上某一单位相合．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．10．（10分）如图，三角形ABC中，AB=180厘米，AC=204厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米．11．（10分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？12．（10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去．在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字行纸片和一张5×6的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）14．（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+b﹣c﹣d能被20整除．则n的最小值是多少？2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：7﹣（2.4+1×4）÷1=2．【分析】先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的加法，然后算括号外的除法，最后算括号外的减法．【解答】解：7﹣（2.4+1×4）÷1=7﹣（2.4+）÷1=7﹣÷1=7﹣=2故答案为：2．【点评】本题考查了分数的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可．2．（10分）中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期五．（今天是2016年3月12日，星期六）【分析】首先分析2016年的3月12日到2022年的3月13日是星期几，然后再根据3月12向前推理出2月4日即可．【解答】解：依题意可知：平年365天是52个星期多1天．润年是52个星期多2天．2016年3月12到2022年3月12日经过了5个平年1个闰年，向后推的天数为1+1+1+1+1+2=7．恰好为星期六．那么2022年的2月4日到2022年的3月12日．经过24+12=36天．36÷7=5…1．从星期六前推前天．说明2022年的2月4日是星期五．故答案为：五【点评】本题考查对周期问题的理解和运用，关键问题是找到时间差，周期看余数即可，问题解决．3．（10分）如图中，AB=5厘米，∠ABC=85°，∠BCA=45°，∠DBC=20°，AD=5厘米．【分析】首先根据题意可知∠ABC=85°，∠BCA=45°．那么根据三角形内角和为180度可知∠A=50°．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：∠ABC=85°，∠BCA=45°．那么∠A=50°．∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=85°﹣20°=65°∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=180°﹣50°﹣65°=65°；∠ADB=∠ABD，∴AB=AD=5故答案为：5【点评】悲痛考查对长度问题的理解和运用，关键问题是找到角度之间的等量关系，问题解决．4．（10分）在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有6个“好点”．【分析】如下图这样，经过A点和BC边的中点画一条直线，交方格图于E点和F点，可以证得D、E、F三点都是好点；过AB点作平行线，与原来的三角形组成平行四边形，得到平行四边形ACBI，可以证得I、H、G三点也是好点．【解答】解：（1）△BDA与△CDA等底等高，所以面积相等；（2）△ABE与△ACE的面积都等于平行四边形ABCE的一半，所以面积相等；（3）△ABF的面积=△BDF的面积﹣△BDA的面积，△CAF的面积=△CDF的面积﹣△CDA的面积，又因为△BDA与△CDA面积相等，所以△ABF的面积=△CAF 的面积；（4）△ABI和△ACI的面积都等于平行四边形ACBI面积的一半，所以相等；（5）△ABH的面积是△ABI面积的一半，△ACH的面积是△ACI的面积的一半，所以△ABH与△ACH面积相等；（6）△AGB和△AGC有相同底AG，这条底边上的两个三角形高是相等的，所以这两个三角形面积相等．故此题的好点一共有6个．【点评】这种类型的题目一般是从中线入手，或者从平行四边形入手，这些点往往在一条直线上．5．（10分）对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n=102时=12．那么满足＜n且是n的约数的三位数n有93个．【分析】按题意，能满足＜n且是n的约数的三位数n，有两种：第一种，十位为0，第二种，个位为0，然后再计算个数．【解答】解：根据分析，第一种，十位为0的三位数中，能满足是n的约数的n只有：105、108、405，三个数删掉0后得：15、18、45分别为105、108、405的约数；第二种，个位为0的三位数共有：9×10=90个，删掉0后均能满足是n的约数，故满足题意的三位数n有90个，综上，满足题意的三位数一共有90+3=93个．故答案是：93．【点评】本题考查了定义新运算，突破点是：分类讨论，有两种：第一种，十位为0，第二种，个位为0，然后再计算个数．6．（10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩9次．【分析】首先分析可以将同学们进行标好，然后枚举即可．【解答】解：依题意可知：将学生进行编号1﹣12．如果是1﹣4一组，5﹣8一组，9﹣12一组下一组就没有符合题意的了，那么要求尽可能多分组．即第一次是1，2，3，4．第二次是1，5，6，7．第三次是2，5，8，9．第四组是3，6，8，10．第五组是4，5，8，11．第六组是3，5，9，10．第七组是4，6，9，11第八组是1，7，9，12第九组是2，6，10，12．故答案为：9【点评】本题考查对排列组合的理解和运用，关键问题是找到对应分组的情况，问题解决．7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为108．【分析】设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和=（n+n+k﹣1）•k÷2=2×38，利用质因数分解即可解决问题．【解答】解：设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和=（n+n+k﹣1）•k÷2=2×38，所以（2n+k﹣1）•k=22×38，所以k的最大值为108=22×33，此时2n+k﹣1=35，n=68，故k的最大值为108．故答案为108．【点评】本题考查最大与最小、质因数分解等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，灵活应用质因数分解解决问题．8．（10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第7个单位怡好与大尺上某一单位相合．【分析】根据题意可：第一把小尺与大尺的单位比是11：10，第一把小尺的单位3，相当于大尺的单位3.3（根据比例求得）大尺3.3与18.7才能相加得整数，所以小尺的0对的大尺的单位是18.7．耶第二把小尺子以0单位为起点，在1到10之间找的单位对应大尺上的整数，必须是大尺的18.7加上几点3，就是说加上的这个数的小数位是3．根据大尺与第二把小尺的单位比9：10求得第二把小尺是7时，大尺的单位数才出现点3．【解答】解：11：10=？：3？=3.3那B点处在单位18与19之间的应是：18.718.7只有加上一个末位上是3的数（令其为X）才能凑整十数．？是在1一10之间的自然数，所以只有？=7符合条件．【点评】弄清题意是关键，再就是弄清他们（大小尺）的比例关系才能求解．求9：10=X：？时，用猜想法解答．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．【分析】乙得票数至少增加4票，则甲必至少减少4票，此时才能使乙胜甲，可以设一个未知数，列出关系式，求出解．【解答】解：根据分析，设甲得票数为x，则乙的得票数为，由题意得：⇒⇒x＜168，又∵x为正整数，且也为正整数∴x=147，x=126，即：①甲得票数是147票，乙的得票数是140票；②甲得票数是126票，乙的得票数是120票．故答案是：甲147票，乙140票．或，甲126票，乙120票．【点评】本题考查了分数和百分数的应用，本题突破点是：根据列出关系式，以及甲乙的得票数为正整数的范围，得出答案．10．（10分）如图，三角形ABC中，AB=180厘米，AC=204厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米．【分析】高一定，对应底的比等于面积比，根据五个小三角形面积相等，所以S =4S△DBC，所以AD=4BD=4×（180÷5）=144（厘米）；同理，可求AE、AF、△ADCAG的长度，进而求出AF+AG的长度即可．【解答】解：在△ABC中，因为S=4S△DBC，所以AD=4BD=4×（180÷5）=144△ADC（厘米）；=3S△EDC，所以AE=3EC=3×（204÷4）=153（厘米）；在△ADC中，因为S△ADE=2S△EFD，所以AF=2DF=2×（144÷3）=96（厘米）；在△ADE中，因为S△AFE在△AFE中，因为S=S△GFE，所以AG=GE=153÷2=76.5（厘米）；△AFG所以，AF+AG=96+76.5=172.5（厘米）；答：AF+AG为172.5厘米．【点评】本题关键是明确高一定，对应底的比等于面积比，据此求出所需线段的长度．11．（10分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？【分析】可以先求得甲、乙每小时注的水量，即为、，总时间为7小时，同时开的时候，不难求出时间．【解答】解：根据分析，设水池注满时水的总量为1份，甲、乙每小时注水的速度分别为份/时、份/时，则甲乙同时开的时候总速度为+=，设刚开始只打开甲a小时，接着打开乙b小时，最后同时打开甲乙7﹣a﹣b小时，则：a+b+（7﹣a﹣b）=1，化简得：2a+3b=5，又∵a≥1，b≥1，∴a=1，b=1，∴甲乙同时打开的时间为：7﹣a﹣b=7﹣1﹣1=5（小时）．故答案是：5．【点评】本题考查了工程问题，本题突破点是：先求出甲乙单独注水的速度，再求时间．12．（10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去．在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？【分析】按题意，一个多边形可以被分成两部分，其内角和至多增加360°，剪K 次共增加的度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K×360°+540°，另一方面，20个五边形的度数和为20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K﹣19）×180°，这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°，求解最后得出结果．【解答】解：根据分析，一个多边形被分成两部分，其内角和至多增加360°，剪K次共增加的度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K ×360°+540°，另一方面，20个五边形的度数和为20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K﹣19）×180°，这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°；整理得：K≥38，当K=38时，可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18次将四边形分成19个四边形，再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成20个五边形．综上，则最少剪38次．故答案是：38．【点评】本题考查剪切和拼接，突破点是：利用剪切和拼接，列出关系式，再求解，得出结果．三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字行纸片和一张5×6的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）【分析】可以分情况讨论，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．【解答】解：根据分析，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．对于第一类，凸字形的头不能粘在方格纸的四个角，边框上（不是角）的小方格共有：2×3+2×4=14（个），有14个图形，第二类，方格纸内部的每一个小方格可以粘凸字形的头，有头朝上，头朝下，头朝左，头朝右之分，所以，这类图形有4×（3×4）=48（个）．由加法原理知，共有14+48=62中图形，由于方格纸的每个小方格都与另外一个小方格旋转对称，所以总的不同图形为：62÷2=31（个）．故答案是：31．【点评】本题考查组合图形的计数，本题突破点是：分类计算不同图形的个数．14．（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+b﹣c﹣d能被20整除．则n的最小值是多少？【分析】首先说明任意8个非负整数不能满足条件，因为任意取9个非负整数，从中任意取7个，它们的两两之和有21个，这21个和数除以20的余数有21个，因为余数最多有20个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有4个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以20有相同的余数，此时四个数满足条件．（2）有3个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以20有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）=a﹣c是20的倍数，由此循环，即可解决问题．【解答】解：存在8个数：0，1，2，4，7，12，20，40它们中任何四个数都不能满足条件，所以n的最小值大于等于9．因为任意取9个非负整数，从中任意取7个，它们的两两之和有21个，这21个和数除以20的余数有21个，因为余数最多有20个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有4个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以20有相同的余数，此时四个数满足条件．（2）有3个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以20有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）=a﹣c是20的倍数，将a、c取出，在剩下的7个数中，同理可得：要么四个不同的数，满足条件，要么有两个数b、d，使得b﹣d是20的倍数，如此一来，总有a、b、c、d，使得a+b﹣c﹣d能被20整除．综上所述，n的最小值为9．【点评】本题考查最大与最小、整除问题等知识，题目比较抽象，灵活应用所学知识，进行推理是解题的关键．。

第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试卷（小学高年级组） （时间 2016 年 12 月 10 日 10：00-11:00）
一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的
英文字母写在每题的圆括号内．）
1． 两个有限小数的整数部分分别是 7 和 10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（ ）种可能的取
同的排法．
A．1152
B．864
C．576
D．288
）种不
5． 在等腰梯形 ABCD 中，AB 平行于 CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC 是直角，CE＝CB，则 AE2 等于（ ）
A．84 B．80 C．75 D．64
A D
E B
C
6． 从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取 n 个不同的数，要求总能在这 n 个不同的数中找到 5
2016个9
2016个9
）个数字 0．
A．2017
B．2016
C．2015
D．2014
2． 已知 A，B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A、B 出发，相向而行，在距 A 地 140 米处相遇；
如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．
A． 2 2 5
个数，它们的数字和相等．那么 n 的最小值等于（ ）．
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 ................................................................................................................... 30 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 .....................................................................................................................31 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 ................................................................................................................... 32 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 ................................................................................................................... 33 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 ................................................................................................................... 34