相似三角形解答题难题含答案个人精心整理

一、相似三角形中的动点问题

1.如图，在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过

点B作射线BB1∥AC．动点D 从点A 出发沿射线AC方向

以每秒5 个单位的速度运动，同时动点E 从点C沿射线

AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB

于H，过点E作EF⊥ AC交射线BB1于F，G是EF中点，

连接DG．设点D 运动的时间为t 秒．

（1）当t 为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；

（2）当△DEG与△ACB 相似时，求t 的值．

点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运

动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm 的速度向A

点运动，当P点到达B点时，Q 点随之停止运动．设运动

的时间为x．

（1）当x 为何值时，PQ∥ BC？

（2）△APQ 与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；

若不能说明理由．

2.如图，在△ ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，

动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移

动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向

点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移

动．设移动的时间为t 秒．

（1）① 当t=2.5s 时，求△ CPQ的面积；

② 求△ CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数

解析式；

（2）在P，Q 移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形

时，求出t 的值．

5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿

AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA

边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q 同

时出发，用t（s）表示移动的时间（0< t <6）。

（1）当t 为何值时，△ QAP为等腰直角三角形？（2）

当t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC

相似？

3.如图1，在Rt△ ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB交边BC 于点E，

EM⊥ BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．

（1）当AD＝CD 时，求证：DE∥AC；

（2）探究：AD 为何值时，△BME与△CNE相似？

二、构造相似辅助线——双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（2，1），

正比例函数y=kx 的图象与线段OA 的夹角是45°，求这个

正比例函数的表达式．

7.在△ABC中，AB= ，AC=4，

BC=2，以AB 为边在

C点的异侧作△ABD，使△ABD

为等腰直角三角形，

4.如图所示，在△ ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm ，

11.如图：△ABC中，D 是AB上一点，AD=AC，BC边上

的中线AE交CD 于F。

12.四边形ABCD 中，AC 为

AB、AD 的比例中项，且AC平分∠DAB。

求证：

14.已知：如图，在△ABC中，M 是AC的中点，E、F

求证：

8.在△ ABC 中，AC=BC，

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x 轴上，

边OC在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角

线AC翻折B 点落在D点的位置，且AD交y 轴于点E．那

么D 点的坐标为（）

13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E 为AD 边

上的任意一点，EF∥ AB，且EF交BC于点F，某同学在研

究这一问题时，发现如下事实：

10..已知，如图，直线y=﹣2x ＋

2 与坐标轴交于A、B 两点．以

AB 为短边在第一象限

EF= ；

（2）当

时

，

(1)当

时

，

EF=

(3)当时

，

EF= ．当时，参照上述

研

a、b和k表示EF的一般结论，并

究结论，请你猜想

用给出证明．

做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。

求C、D 两点的坐标。

求线段CD 的长．

∠ACB=90 ，°点M 是AC上的一点，点N是BC上的一点，

沿着直线MN 折叠，使得点C恰好落在边AB上的P 点．求

证：MC：NC=AP：PB．

三、构造相似辅助

线

是 BC 上的两点，且 BE ＝ EF ＝FC 。 求 BN ： NQ ：QM ．

五、 相似之共线线段的比例问题

15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等

于 该顶点对边上中线长的 ．（注：重心是三角形三条中线 的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分 对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比

18.如图，在 △ABC 中，已知 方形 EFGH 的四个顶点分别在 求证： ．

CD 为边 AB 上的高，正

△ABC 上。

四、 相似类定值问题

16.如图，在等边 △ ABC 中， M 、N 分别是边 AB ，AC 的中

点，D 为 MN 上任意一点， BD 、CD 的延长线分别交 AC 、

AB 于点 E 、 F ．

求证： ．

19. 已知，在 △ABC 中作内接菱

形 CDEF ，设菱形的边长为 a ．求证： ．

17.已知：如图，梯形 ABCD 中， AB//DC ，对角线 AC 、 BD

交于 O ，过 O 作 EF//AB 分别交 AD 、BC 于 E 、F 。 求证： ．

20. （1）如图 1，点 在平行四边形 ABCD 的对

角线 BD 上，一直线过点 P 分别交 BA ，BC 的延长线于点

Q ， S ，交

于点 ．求证：