用完全平方公式因式分解练习
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专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一 直接用完全平方公式因式分解1.分解因式:2244a ab b -+=________. 2.因式分解:1-2a +a 2=________.3.分解因式a 2-10a +25的结果是______.4.因式分解:222x xy y -+=______. 5.因式分解:222x xy y ++=________. 6.因式分解:222m mn n ++=__________. 7.分解因式:221x x ++= ___________ . 8.分解因式:x 2﹣8x +16=_____.9.因式分解:244b b -+=____. 10.因式分解221x x -+=______.类型二 完全平方公式因式分解进阶11.分解因式:214a a -+=______. 12.分解因式:214m m -+=__________. 13.分解因式:x 2+x+14=_____. 14.因式分解:2441a a ++=______________ 15.分解因式:2244a ab b -+=______. 16.分解因式221236x xy y -+=______. 17.分解因式:224129x xy y -+=________.18.分解因式:x 2y 2-2xy +1=_______. 19.分解因式:224129m mn n -+= __________.20.因式分解24129m m -+=______. 21.2441x x -+=________;2216249a ab b ++=________;22.因式分解4x 2+12xy +9y 2=_____. 23.24129a a -+分解因式得__________. 24.因式分解:2296x xy y ++=______. 25.因式分解229124x xy y -+=______ 26.分解因式:9﹣12t+4t 2=_____.27.在括号内填上适当的因式:(1)225101x x ++=( ); (2)212b b -+=( )(3)24x x ++( )=(x+__)²(4)24m +( )+9n²=( )² 类型三 先提公因式再完全平方公式因式分解28.分解因式:am 2﹣2amn +an 2=_____. 29.因式分解:2mx 2﹣4mxy +2my 2=_____. 30.因式分解:2xm 2﹣12xm +18x =_____.31.分解因式:ma 2﹣2ma +m =___.32.分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy =___________.33.因式分解:22bx bx b -+=______. 34.分解因式:﹣x 2y +6xy ﹣9y =___. 35.分解因式:﹣m 2+4m ﹣4═_____.36.分解因式:﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3=_____.37.因式分解:-2x 3+4x 2y -2xy 2=________. 类型四 展开后再用完全平方公式因式分解38.分解因式:2(1)4a a +-=_________.39.因式分解:()241x x --=__________.40.因式分解:()44x x ++=___________.41.将(2)1x x -+因式分解的结果是________. 42.因式分解:8(a 2+1)-16a =____________.43.因式分解:()228a b ab +-的结果是______. 44.分解因式(a -b )(a -9b )+4ab 的结果是____.45.分解因式(a+1)(a+3)+1的结果是_____. 46.分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是________.47.分解因式:x(x-1)-3x+4=____. 48.分解因式:x 2-4(x-1)= ______. 类型五 其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49.因式分解:22421x y y ---=__________.50.因式分解2221b bc c -+-=______. 51.分解因式:2221y x x ---=_____.52.分解因式:2242x y xy --+=___________.专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一 直接用完全平方公式因式分解1.分解因式:2244a ab b -+=________.解:原式=a 2-2×a ×2b +(2b )2=(a -2b )2, 2.因式分解:1-2a +a 2=________.解:由题意可知:1-2a +a 2=(1-a )2,3.分解因式a 2-10a +25的结果是______.【解答】a 2-10a +25=(a -5)24.因式分解:222x xy y -+=______.解:原式()2x y =-,5.因式分解:222x xy y ++=________.解:222x xy y ++=()2x y +.6.因式分解:222m mn n ++=__________.【解答】222m mn n ++=2()m n +,7.分解因式:221x x ++= ___________ .解:221x x ++=2(1)x +8.分解因式:x 2﹣8x +16=_____.【解答】x 2-8x +16,=x 2-2×4×x +42,=(x -4)2. 9.因式分解:244b b -+=____.解:原式=()22b -,10.因式分解221x x -+=______.解:221x x -+=(x ﹣1)2. 类型二 完全平方公式因式分解进阶11.分解因式:214a a -+=______. 解:214a a -+=212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12.分解因式:214m m -+=__________.解:221142m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭, 13.分解因式:x 2+x+14=_____. 原式=(x +12)2.14.因式分解:2441a a ++=______________根据完全平方公式可得,原式=()()2224121a a a ++=+,15.分解因式:2244a ab b -+=______.16.分解因式221236x xy y -+=______.17.分解因式:224129x xy y -+=________.原式22(2)2(2)(3)(3)x x y y =-⨯⨯+ 2(23)x y =-.18.分解因式:x 2y 2-2xy +1=_______.【解答】:x 2y 2-2xy +1=(xy -1)². 19.分解因式:224129m mn n -+= ___________________.直接运用完全平方公式分解因式即可,即原式=(2m -3n )2.20.因式分解24129m m -+=______.解:24129m m -+=22(2)2233m m -⨯⨯+=2(23)m -21.2441x x -+=________;2216249a ab b ++=________;【解答】222441(2)41(21)x x x x x -+=-+=-,2222216249(4)24(3)(43)a ab b a ab b a b ++=++=+,22.因式分解4x 2+12xy +9y 2=_____.解:4x 2+12xy +9y 2=(2x +3y )2.23.24129a a -+分解因式得__________.解:224129(23)a a a -+=-,24.因式分解:2296x xy y ++=______.解:()222963x xy y x y ++=+25.因式分解229124x xy y -+=______解:229124x xy y -+=()232x y -.26.分解因式:9﹣12t+4t 2=_____.解:原式=(3﹣2t)2.27.在括号内填上适当的因式:(1)225101x x ++=( ); (2)212b b -+=( )(3)24x x ++( )=(x+__)²(4)24m +( )+9n²=( )² 试题解析:(1)25x 2+10x+1=(5x+1)2;(2)1-2b+b 2=(b-1)2(3)x 2+4x+4=(x+2)2;(4)4m 2+(±12mn )+9n 2=(2m±3n )2. 类型三 先提公因式再完全平方公式因式分解28.分解因式:am 2﹣2amn +an 2=_____.解:am 2﹣2amn +an 2=()()2222a m mn n a m n -+=-, 29.因式分解:2mx 2﹣4mxy +2my 2=_____.解:2mx 2﹣4mxy +2my 2,=2m (x 2﹣2xy +y 2),=2m (x ﹣y )2. 30.因式分解:2xm 2﹣12xm +18x =_____.解:原式=2x (m 2﹣6m+9)=2x (m ﹣3)2.31.分解因式:ma 2﹣2ma +m =___.解:ma 2﹣2ma +m = m (a 2﹣2a +1)=m (a -1)2,32.分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy =_______________________. 解:原式=xy (x 2-6x+9)=xy (x-3)2,33.因式分解:22bx bx b -+=______.由完全平方公式:22bx bx b -+=()221b x x -+ =()21b x -34.分解因式:﹣x 2y +6xy ﹣9y =___.解:﹣x 2y +6xy ﹣9y()()22=693y x x y x --+=--35.分解因式:﹣m 2+4m ﹣4═_____.解:原式=-(m 2-4m +4)=-(m -2)2.36.分解因式:﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3=_____.解:原式=﹣2ab (4a 2﹣4ab +b 2)=﹣2ab (2a ﹣b )2,37.因式分解:-2x 3+4x 2y -2xy 2=__________________________. 原式=-2x (x 2-2xy+ y 2)=-2x (x -y )2,38.分解因式:2(1)4a a +-=___________________________________. 2222(1)412421(1)a a a a a a a a +-=++-=-+=-.类型四 展开后再用完全平方公式因式分解39.因式分解:()241x x --=________________.解:()241x x --244x x =-+()22x =-. 40.因式分解:()44x x ++=___________.41.将(2)1x x -+因式分解的结果是________.原式=x 2-2x+1=(x-1)2.42.因式分解:8(a 2+1)-16a =____________.()()()222811681281.a aa a a +-=+-=-43.因式分解:()228a b ab +-的结果是______.解:()228a b ab +-22448a ab b ab =++-2244a ab b =-+()22a b =- 44.分解因式(a -b )(a -9b )+4ab 的结果是____.解:(a-b )(a-9b )+4ab=a 2-10ab+9b 2+4ab= a 2-6ab+9b 2=(a-3b )2. 45.分解因式(a+1)(a+3)+1的结果是_____.首先去括号,进而利用乘法公式分解因式,(a+1)(a+3)+1=244a a ++=2(2)a +. 46.分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是___________.()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -. 47.分解因式:x(x-1)-3x+4=____.解:x (x-1)-3x+4,=x 2-x-3x+4,=x 2-4x+4,=(x-2)2.48.分解因式:x 2-4(x-1)= ______.x 2-4(x-1)=x 2-4x+4=(x-2)2.类型五 其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49.因式分解:22421x y y ---=__________.22421x y y ---224(21)x y y =-++22(2)(1)x y =-+(21)(21)x y x y =++--. 50.因式分解2221b bc c -+-=______.解:原式=2()1b c --=[][]()1()1b c b c ---+=()()11b c b c ---+, 51.分解因式:2221y x x ---=_____.解:2221y x x ---=()22+2+1y x x -()22+1y x =-()()=11y x y x ++-- 52.分解因式:2242x y xy --+=__________________.原式=()()()()22242422x y xy x y x y x y -=--=+--++-.。
4.3用乘法公式分解因式第2课时用完全平方公式分解因式基础过关全练知识点1完全平方式1.若关于x的多项式x2-4x+a(其中a是常数)是完全平方式,则a的值是()A.2B.-2C.4D.-42.【新独家原创】若关于x的多项式x2+mx+n是完全平方式,则m,n 的值可能是()A.-1,14B.12,14C.14,-14D.-14,143.下列各式中,与2x2-6x的和是完全平方式的是()A.x+9B.3C.9D.9-x2知识点2用完全平方公式分解因式4.下列可以用完全平方公式因式分解的是()A.4a2-4a-1B.4a2+2a+1C.1-4a+4a2D.2a2+4a+15.(2022浙江杭州余杭期末)下列因式分解正确的是()A.x2+y2=(x+y)2B.x2+2xy+y2=(x-y)2C.x2+x=x(x-1)D.x2-y2=(x+y)(x-y)6.(2022贵州黔东南中考)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022=.7.【一题多变】(2022黑龙江绥化中考)分解因式: (m+n)2-6(m+n)+9=.[变式] 分解因式:19-13(a+b)+14(a+b)2= . 8.【教材变式·P108T5变式】因式分解:(1)m 2-4mn+4n 2; (2)-a+2a 2-a 3;(3)4+12(a-b)+9(a-b)2; (4)(x 2+4)2-16x 2.9.(2021浙江杭州余杭模拟)给出三个多项式:①a 2+3ab-2b 2;②b 2-3ab;③ab+6b 2.请任意选择两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.知识点3 简便运算10.用简便方法计算: 1012+198×101+992.能力提升全练11.下列因式分解正确的是( ) A.ab+ac+a=a(b+c)B.a 2-4b 2=(a+4b)(a-4b)C.9a 2+6a+1=3a(3a+2)D.a 2-4ab+4b 2=(a-2b)212.(2022浙江绍兴柯桥期中,7,)若x 2+2(k+1)x+4是完全平方式,则k 的值为( ) A.1 B.-3 C.-1或3 D.1或-313.把(a+b)2-4(a 2-b 2)+4(a-b)2因式分解为( )A.(3a-b)2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)214.若ab=2,b-a=3,则-a 3b+2a 2b 2-ab 3的值为 .15.因式分解:a 2-b 2-x 2+y 2-2ay+2bx= .16.【新独家原创】下列单项式:①3x;②-5x;③-154;④-1516x 2;⑤-3x 中,加上x 2-x+4后成为一个完全平方式的有 .(填序号)17.【作差法比大小】已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,试比较P,Q的大小.18.【学科素养·运算能力】(2022浙江杭州外国语学校期中,22,)配方法是一种重要的解决问题的数学方法,它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解,还能解决一些与非负数有关的问题或代数式最大值、最小值的问题.请用配方法解决以下问题.(1)试说明:无论x,y取何值,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数;(2)分解因式:a4+a2+1;(3)已知实数a,b满足-a2+5a+b-3=0,求a+b的最小值.素养探究全练19.【运算能力】我们知道(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,若将该式从右到左使用,就可得到用“十字相乘法”因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).实例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2)请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.答案全解全析基础过关全练1.C ∵关于x 的多项式x 2-4x+a(其中a 是常数)是完全平方式,∴a=4,故选C.2.A 当m=-1,n=14时,x 2+mx+n=x 2-x+14=(x −12)2,故选A. 3.D (2x 2-6x)+(9-x 2)=2x 2-6x+9-x 2=x 2-6x+9.故选D.4.C 1-4a+4a 2=(1-2a)2,故选C.5.D x 2+y 2不能分解,故A 错误;x 2+2xy+y 2=(x+y)2,故B 错误; x 2+x=x(x+1),故C 错误;x 2-y 2=(x+y)(x-y),故D 正确.故选D.6.答案 2 022(x-1)2解析 原式=2 022(x 2-2x+1)=2 022(x-1)2.7.答案 (m+n-3)2解析 原式=(m+n)2-2·(m+n)·3+32=(m+n-3)2.[变式] 答案 (13−12a −12b)2解析 原式=[13−12(a +b)]2=(13−12a −12b)2. 8.解析 (1)原式=m 2-2·m·2n+(2n)2=(m-2n)2.(2)原式=-a(a 2-2a+1)=-a(a 2-2·a·1+12)=-a(a-1)2.(3)原式=22+2·2·3(a-b)+[3(a-b)]2=[2+3(a-b)]2=(2+3a-3b)2.(4)原式=(x 2+4)2-(4x)2=(x 2+4+4x)(x 2+4-4x)=(x 2+4x+4)(x 2-4x+4)=(x+2)2(x-2)2.9.解析答案不唯一,写出以下任意一个即可.①+②得a2+3ab-2b2+b2-3ab=a2-b2=(a+b)(a-b).①+③得a2+3ab-2b2+ab+6b2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2.②+③得b2-3ab+ab+6b2=7b2-2ab=b(7b-2a).10.解析1012+198×101+992=1012+2×99×101+992=(101+99)2=2002=40 000.能力提升全练11.D ab+ac+a=a(b+c+1),故A错误;a2-4b2=(a+2b)(a-2b),故B错误; 9a2+6a+1=(3a+1)2,故C错误;a2-4ab+4b2=(a-2b)2,故D正确.故选D.12.D∵x2±2·x·2+22=(x±2)2,∴k+1=±2,∴k=1或-3,故选D.13.C(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2=(a+b)2-2×2(a+b)(a-b)+[2(a-b)]2=(a+b-2a+2b)2=(3b-a)2.14.答案-18解析当ab=2,b-a=3时,-a3b+2a2b2-ab3=-ab(a2-2ab+b2)=-ab(b-a)2= -2×32=-18.15.答案(a-y+b-x)(a-y-b+x)解析a2-b2-x2+y2-2ay+2bx=(a2-2ay+y2)-(b2-2bx+x2)=(a-y)2-(b-x)2=(a-y+b-x)(a-y-b+x).16.答案③④⑤解析 ①3x+x 2-x+4=x 2+2x+4,不是完全平方式;②-5x+x 2-x+4=x 2-6x+4,不是完全平方式;③-154+x 2-x+4=x 2-x+14=(x −12)2,是完全平方式; ④-1516x 2+x 2-x+4=116x 2-x+4=(14x −2)2,是完全平方式; ⑤-3x+x 2-x+4=x 2-4x+4=(x-2)2,是完全平方式.综上,满足条件的有③④⑤.故答案为③④⑤.17.解析 ∵P=2x 2+4y+13,Q=x 2-y 2+6x-1,∴P-Q=(2x 2+4y+13)-(x 2-y 2+6x-1)=2x 2+4y+13-x 2+y 2-6x+1=x 2-6x+9+y 2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0,∴P>Q.18.解析 (1)x 2+y 2-4x+2y+6=x 2-4x+4+y 2+2y+1+1=(x-2)2+(y+1)2+1,∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2)2+(y+1)2+1>0,∴无论x,y 取何值,多项式x 2+y 2-4x+2y+6的值总为正数.(2)a 4+a 2+1=a 4+2a 2+1-a 2=(a 2+1)2-a 2=(a 2+a+1)(a 2-a+1).(3)∵-a 2+5a+b-3=0,∴b=a 2-5a+3,∴a+b=a 2-4a+3=(a-2)2-1,∴当a=2时,a+b 有最小值,为-1,∴a+b的最小值为-1.素养探究全练19.解析(1)2;4或4;2.(2)因为x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4)=(x-4)·(x+1)=0,所以x-4=0或x+1=0, 所以x=4或x=-1.。
平方差公式、完全平方公式应用例说例1 计算(1))1)(1(+-ab ab ;(2))32)(32(---x x ;(3)1022;(4)992. 解:(1))1)(1(+-ab ab =11)(222-=-b a ab ;(2))32)(32(---x x = )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--;(3)1022= 2)2100(+=1040444001000022100210022=++=+⨯⨯+;(4)992=2)1100(-=98011200100001110021002=+-=+⨯⨯-.例2 计算 (1))1)(1(-+++b a b a ;(2)2)2(p n m +-.解:(1))1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ;(2)2)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +⋅-⋅+-=+- =2224244p np mp n mn m +-++-.例3 当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a ---+=-=时,求的值.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后,再将a 、b 的值代入计算出结果.解:)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a +---=---+=2222228484449b ab a b ab a b a -+=-+--;当时,1,1=-=b a222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8(-1)81)1(42-⨯-+=-4. 例4 求证:当n 为整数时,两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数.证明:22)12()12(--+n n =)144(14422+--++n n n n=n n n n n 814414422=-+-++,又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.例5 观察下列等式:10122=-,31222=-,52322=-,73422=-,……请用含自然数n 的等式表示这种规律为:________________.例6已知2294y Mxy x +-是一个完全平方式,求M 的值.解:根据2)32(y x ±=229124y xy x +±得: 12±=-M .∴12±=M答:M 的值是±12.例7 计算 1584221)211)(211)(211)(211(+++++. 【点拨】若按常规思路从左到右逐个相乘,比较麻烦;如果乘或除以一个数或一个整式,将本来复杂的问题转化成我们已知的、熟悉的,从而找到问题的捷径.解:1584221)211)(211)(211)(211(+++++ =158422121)211)(211)(211)(211)(211(+÷++++- =1584222121)211)(211)(211)(211(+÷+++- =158442121)211)(211)(211(+÷++- =15882121)211)(211(+÷+- =15162121)211(+÷-=2-15152121+=2. 第一种情况:直接运用公式1.(a+3)(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (2x+12)(2x-12) 6. (a+2b)(a-2b)7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)第二种情况:运用公式使计算简便1、 1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、(100-13)×(99-23)7、(20-19)×(19-89)第三种情况:两次运用平方差公式1、(a+b)(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)第四种情况:需要先变形再用平方差公式1、(-2x-y)(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况:每个多项式含三项1.(a+2b+c)(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式:语言叙述:两数的 ,. 。
用完全平方公式因式分解练习
例1(1)把229124b ab a +-分解因式. (2)把2
2816y x xy +-分解因式.
(3)把241
1x x ++分解因式.
(4)把xy y x 4422-+分解因式.
练习:把下列各式分解因式:
(5).1692+-t t (6).412
r r +-
(7).236121a a +- (8).42242b b a a +-
例2.把下列各式分解因式:
(9).122++n n m m
(
10).222n m mn --
(11).ax y ax y ax ++2232
(12).22224)1(4)1(a a a a ++-+
练习:把下列各式分解因式:
(13).n n m m y y x x
42242510+- (14).222y xy x -+-
(15)21222+-x x (16)16
1)(21)(2+---y x y x (17)n n m m y y x x 2245105-+-
例3.把下列各式分解因式:
(18).222)1(4+-a a (19).2)(4y x y x --
练习:把下列各式分解因式:
(20).222)4
1
(+-m m (21).222224)(b a b a -+
(22).)(42
s t s s -+- (23).1)3)(2)(1(++++x x x x
例4(24).已知054222=+++-b b a a 求b a ,的值.
【课堂操练】
一.填空:
(25).-2x ( )+29y =(x - 2
)
(26).+-244x x =-2(x 2)
(27).++x x 32 =+x ( 2) (28).++22520r r =( +52
)r
二.填空,将下列各式填上适当的项,使它成为完全平方式(222b ab a ++)的形式: (29).+-x x 2 (30).++22
4
1y x (31).242x xy -+ (32).++24414b a (33).++469n m (34).+-x x 52
三.把下列各式分解因式:
(36).244x x +- (37).49142
++x x
(38).9)(6)(2++-+n m n m (39).n n n x x x 7224212+-++
【课后巩固】
一.填空
1.( )2+=+2
2520y xy ( )2.
2.=+⨯-227987981600800( -- 2)= . 3.已知3=+y x ,则222
121y xy x ++= .
4.已知0106222=++-+y x y x ,则=+y x .
5.若4)3(2+-+x m x 是完全平方式,则数m 的值是 .
6.158-能被20至30之间的两个整数整除,那么这两个整数是 .
二.把下列各式分解因式:
7.32231212x x y xy -+ 8.442444)(y x y x -+
9.22248)4(3ax x a -+ 10.2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-
(11).2222224)(b a c b a --+ (12).22222)(624n m n m +-
(13).115105-++-m m m x x x
三.利用因式分解进行计算:
(14).
4
19.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ (15).2298196202202+⨯+
(16).225.15315.1845.184+⨯+
四.(17).将多项式1362+x 加上一个单项式,使它成为一个整式的平方.
五.(18).已知212=
-b a ,2=ab 求:42332444b a b a b a -+-的值.
(19).已知n b a m b a =-=+22)(,)(,用含有m ,n 的式子表示:
(1)a 与b 的平方和;
(2)a 与b 的积;
(3)
b
a a
b +.。