线性代数§4.3向量组的秩

0 0
1 2 3
21 20 3 0
r3
3 2
r2
r2
(
1 2
)
1 0 0
1 1 0
2 1
10 00
因为 R( A) 2 ,所以向量组1,2 ,3,4的秩为2。A 的一个最
高阶非零子式为
11 D 2 0
20
由此可知, 1,2 是向量组1,2 ,3,4 的一个极大无关组。
设向量组A 满足:
矩阵的秩=矩阵列向量组的秩(称为矩阵的列秩)=矩阵 行向量组的秩(称为矩阵的行秩)
证
设 (1,2 , ,n ), R() r ,并设r 阶子式Dr≠0。由Dr
≠0知Dr所在的r 列线性无关;又由A 中所有r+1阶子式均为零知， A 中任意r+1个列向量都线性相关。因此Dr 所在的r 列是A 列 向量组的一个极大无关组,所以列向量组的秩等于r。
设向量组 0 :1,2 , ,r 是向量组A 的一个部分组,且满足
(1)向量组A0 线性无关; (2)向量组A 的任一向量都能由向量组A0 线性表示, 那么向量组A0便是向量组A 的一个极大无关组。
推论
例4 设齐次线性方程组
x1 2x2 x3 2x4 0 2x1 3x2 x4 0 x1 x2 5x3 7x4 0
等价。
(2)设向量组A 有两个极大无关组,分别为 1,2 , ,s 及 1, 2 , , t 。由(1)知,向量组 1,2 , ,s 与向量组A 等价, 向量组A 也与向量组 1, 2 , , t 等价,由等价的传递性得,向 量组1,2 , ,s 与向量组 1, 2 , , t 等价。
再证明 s=t
1,2 , ,与n
1, 2 , ,有n

4
设 i (a1i
a11 a1r 由矩阵秩定义，不妨设 r阶子式Dr 0 T a r1 a rr 1 i r, , a , , a ) ，
2i ri
x1 5 ( 1 r k ) 0 有非零解， 1 r k 线性相关 ， A列秩 r xr 1 1 r 为A列向量组的极大无关组
这r 1个向量均可由 1 r 线性表示， 从而根据定理1，有 R (b1 , b2 ,, br 1 ) R (1 , 2 ,, r ) r r 1 . r 1 个向量 b1 ，b2 ， ，br 1线性相关, ， r , 是 A 中任意 r 1 个向量， 设 1 ， 2 ， ， r , 线性相关， 1 ， 2 ， ， r 线性无关， 1 ， 2 ， A中任意向量 均可由1 r 线性表示，
故 a1 , a2 , a4 为列向量组的一个极大 无关组. B (b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ) 向量组 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 与 b1 , b2 , b3 , b4 , b5有相同的线性关系 .
1 解 设A a1 ,, a5 , 0 对 A 施行初等行变换 A 0 0 R ( A ) 3 , 变为行最简形
令A (1 m ), (列向量组） 把A行变换B（行阶梯形矩阵）
方法3：欲求向量组1 m的极大无关组并将余下向量 用极大无关组线性表示？
令A (1 m ), (列向量组） 把A行变换B（行最简形矩阵）
由B即可找出A的列向量组的极大无关 组，并可以把 余下向量用极大无关组 线性表示。


推论： 等价的向量组秩相同
注1： 向量组的任意两个极大无关组等价，秩相同。

的全体解向量构成的向量组为S，求S的秩.
1 2 1 0 3 4 1 2 r A 2 3 0 1 ~ 0 1 2 3 1 1 5 7 0 0 0 0
x1 3 x3 4 x4 0 x 2 2 x 3 3 x4 0
把上式记作x c11 c2 2
S能由向量组1 , 2线性表示， 1 , 2的四个分量不成比例， 又
因此根据最大无关组的等价定义知 所以1 , 2线性无关． 1 , 2是S的最大线性无关组，从而Rs =2.
例10 设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等， 证明向量组A与向量组B等价.
求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无
关组的列向量用最大无关组线性表示．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
1 2 1 1 1 2 1 1 A 4 6 2 2 6 9 7 3 2 1 4 r 0 ~ 4 0 9 0 4 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 2 1
因此Dr 所在的r列是A的列向量的一个最大无关组, 所以列向量组的秩等于r .
类似可证A的行向量组的秩也等于R( A).
向量组a1 , a2 , , am的秩也记作R(a1 , a2 , , am )
从上面证明中可看出：若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式,则
Dr 所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，
行阶梯形矩阵有3个非零行，R( A) 3，故列向量的最 大无关组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1,2,4列，
1 1 2 1 1 1 1 r 0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 3 6 7 0 1 1 1 1 0 1 0 0

即A0 组能由 B0 组线性表示 .
−1
从而A组能由 B组线性表示 .
证二
设向量组 A和B的秩都为 r . 因B组能由 A组线性表示 , 故A组和B组合并而 成的向量组 ( A, B )能由A组线性表示 . 而A组是( A, B )组的部分组 , 故A组总能由
( A, B )组线性表示 . 所以( A, B )组与A组等价 ,因此
( A, B )组的秩也为 r . 又因B组的秩为 r , 故B组的最大无关组 B0 含r 个向量 , 因此B0 组也是( A, B )组的最大无关组 , 从
而( A, B )组与B0 组等价 .
由A组与( A, B )组等价，A, B )与B0等价, 推知A组 组等价， ( 与B组等价 .
注意
本例把证明两向量组 A与B等价, 转换为证明它
是线性无关的， 是线性无关的，又根据 4.2定理 3的结论 ( 3) 知R n
个向量都线性相关， 中的任意 n + 1个向量都线性相关， 因此向量组 E 的一个最大无关组， 是R n的一个最大无关组，且 R n的秩等于 n.
三、向量组的秩与矩阵的秩的 关系
a11 a12 a 21 a 22 定义 9 矩阵 A = L L a m 1 am 1 量组成的向量组的秩， 量组成的向量组的秩， 称为矩阵 的列秩， 的列秩，记为 c ( A ). a1 n L a2n 的行向 L L L a mn A 的行秩，记为 的行秩， L
组等价知， 证 由A组与B组等价知， A组可由 B组线性表 示，利用定理 2可知r ≤ s;同理可得 r ≥ s .从而r = s .
推论1 两个线性无关的等价向 量组必含有 推论1 相同个数的向量。 相同个数的向量。 大线性无关组， 推论 2 一个向量组若有两个极 大线性无关组， 相等。 则它们所含向量的个数 相等。