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第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
第五章 漩涡理论内容1. 基本概念。
2. 漩涡随空间，时间的变化规律。
3. 漩涡对周围流场的影响。
4. 二元漩涡的特性。
5.1.1涡量和平均旋转角速度。
涡量场：Ω =▽V ⨯▽V ⨯=VzVyVxz y x k j i ∂∂∂∂∂∂令 ωx =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z Vy yVz 21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x Vz zVxy 21ω ω2=Ω∴ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=y Vx xVy z 21ω其中ω称为平均旋转角速度。
ωωωzyx,, 的物理意义。
设M 点的速度Vx,Vy A 点()dx xVx x VV xA∂∂+=()dx xVy y VV yA∂∂+=()()[]()[]11_sin 0,11dtx dtx dtx dt dtx dxy A A MA d V V V VV VV AA y dt x y xAyA⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+-='+==→θ dt xd V y∂∂≈∴θ1 即xV dtd y∂∂=θ1Ω是否为0判断有旋无旋例：1）r V∙=ωθ=ω常sin sin cos 0012xy z xyyxzr yrcso xV V V V VV V yx θθθωθωθωθωωωωω=-=-=-======⎛⎫⎪=-= ⎪⎝⎭∂∂∂∂有旋2）rV πθ2Γ=无旋02100222222=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===∴=+Γ=+Γ-=∴∂∂∂∂yV x V VyxV yxVxyzyx zyxx yωωωππ5.1.2涡线，涡面和涡管涡线：是一条曲线，在同一瞬时曲线上所有点旋转角速度Ω与该线相切。
1. 瞬时性2. 流动速度与旋转速度相垂直。
涡线方程()()()z y x dzz y x dyz y x dxz y x ,,,,,,ΩΩΩ==涡线涡管速度场 涡量场 Ω=⨯∇v 流线：zyxv dz v dy v dx == 涡线：zyxdz dy dx Ω=Ω=Ω流管： 涡管：流量：⎰=sn ds v Q 涡量：⎰⎰⎰==Γ=sn CC s ndsl d v dsJ ωω25.1.3涡通量和涡管强度⎰⎰=∙=ssnds ds n J ωω又称涡管强度流量⎰⎰=∙=ssnds ds n v Q v5.2速度环流和斯托克斯定理1）速度环流：定义：速度在曲线切线上的分量沿该曲线的线积分⎰Γ=BAABl d V定义：某瞬时AB 线上所有质点沿AB 运动的趋势。
第五章 流体旋涡运动基础§5-1 旋涡运动的几个基本概念一、涡量场对有旋流动，0≠ω ，而),,,(t z y x f ＝ω，所以对有旋流动的流场中同时存在一个旋涡场，或称涡量场或角速度场。
k Ωj Ωi ΩΩz y x++= (1)zy w Ωx ∂∂-∂∂=υ xwz u Ωy ∂∂-∂∂=(2) yu x Ωz ∂∂-∂∂=υ 满足涡量连续性方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x (3) 二、涡线同速度场中引进流线、流管和流量的定义一样。
下面我们定义涡线、涡管、涡束以及旋涡强度(涡通量)。
涡线――涡线是旋涡场中的一条曲线，在某一瞬时，曲线上各点的切线方向与该点流体微团的角速度ω方向重合。
(Ω 方向的判别，根据右手螺旋法则)对非定常流动涡线的形状随时间而变，对定常流动，涡线形状不随时间而变。
与流线一样，涡线本身也不会相交。
取k z j y i x sd d d d ++=为涡线上一微元线段。
类似于流线微分方程，或由0d d d d ==⨯zyx ΩΩΩk j is Ωz y x可得到涡线微分方程为：),,,(d ),,,(d ),,,(d t z y x Ωzt z y x Ωy t z y x Ωx z y x == (4)三、涡管和涡束涡管－在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每点的涡线，这些涡线形成一管状表面，称为涡管。
涡束－涡管中充满作旋转运动的流体，称为涡束。
四、涡通量涡通量－通过任一开口曲面的涡量的总和。
通过开口曲面A 涡通量为：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=n为d A 的外法线单位向量 对于封闭曲面：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=由于：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x 所以：0d =⋅=⎰⎰A n ΩJ A五、速度环量定义如下：在流场中任取一通曲线AB 。
AB 曲线上任一点的速度为V，在该点B 附近的曲线上任取一微元线段s d ，V 与sd 的夹角为α。
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
后者一般规定为：当沿封闭曲线K反时针方向绕行时，取为正号。
二、旋涡强度(strength Of vortex)沿封闭曲线K的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系。
如图5—5所示，在平面XOY上取一微元矩形封闭曲线，其面积dA＝dxdy，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量推导得是沿任何封闭曲线的速度环量 都等于零，则在这区域内的流动一定是无旋流动。
(例5—2) 一个以角速度ω按反时针方向作像刚体一样旋转的流动，如图5—6所示。
试 求在这流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动。
上例题正是斯托克斯定理的一个例证。
以上结论可推广适用于圆内任意区域内。
(例5—3) 一个流体绕O 点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比，即V ＝rC ，其中C 为常数，如图5—7所示。
试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。
上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。
但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O 点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。
第三节 速度势和流函数速度势函数和流函数的引入对于流体力学的研究，特别是无旋流动和不可压流体的平面流动起着相当大的作用。
例如，我们知道流体力学研究中的一个重要问题，就是求出流场中的速度分布，它有三个变量。
对于无旋流动，可以引入一个参数即速度势函数，我们可以把求解三个未知量u ，v ，w 的问题，变为求解一个势函数问题，使问题大大简化。
一、速度势函数(velocitypotential function)1．速度势函数引入在无旋流动中每一个流体微团的旋转角速度都等于零，也就是说，在无旋流动中每一个流体微团都要满足式(5—4)的条件，即根据数学分析可知，式(5—4)是udx+vdy+wdz 成为某一函数Ф (x,y,z)的全微分的充分和必要条件。
而函数Ф的全微分可写成函数Ф称为速度势函数或位函数，简称为速度势。
它与电位的概念相类似，电位的梯度是电场的强度，而速度势的梯度则是流场的速度。
在定常流动中速度势与时间无关，仅是坐标的函数。
即Ф＝Ф(x,y,z)当流体作无旋流动时，总有速度势存在，所以无旋流动也称为有势流动，或简称为势流或位流。
从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动。
只要满足无旋条件，必然有速度势存在。
2．速度势函数的性质(1)不可压流体的有势流动中，势函数Ф满足拉普拉斯方程，势函数Ф是调和函数。
在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。
(2)任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数Ф值之差。
而与曲线的形状无关。
根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。
对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零.。
二、流函数(stream functiOn)1．流函数引入对于流体的平面流动，由不可压缩流体平面流动的连续性方程(3—29)得若令dΨ＝0或Ψ=常数，由式(5—17)可知，在每一条流线上函数Ψ都有各自的常数值，所以函数Ψ(x，y)称为流函数。
流函数永远满足连续性方程。
对于不可压缩的二维流动，无论是有旋流动还是无旋流动，流体有黏性还是没有黏性，一定存在流函数。
要注意的是，在三维流动中，一般不存在流函数(轴对称流动除外)。
2．流函数的性质(1)对于不可压缩流体的平面流动，流函数Ψ永远满足连续性方程。
(2)对于不可压缩流体的平面势流，流函数Ψ满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。
因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满足初始条件和边界条件的Ψ的拉普拉斯方程。
(3)平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。
这就是流函数Ψ的物理意义。
如图5—8所示，在两流线间任一曲线AB，则通过单位厚度的体积流量为由式可知，平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。
三、Ф和Ψ的关系如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较式(5—11)和式(5—18)，可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系式(5—22)是等势线簇和流线簇互相正交的条件，在平面上可以将等势线簇和流线簇构成的正交网络，称为流网({10wnet)，如图5—9所示。
(例5—4) 有一不可压流体平面流动的速度为u=4x，v=--4y，判断流动是否存在流函数和速度势函数，若存在求出其表达式。
(解) 由不可压缩流体平面流动的连续性方程流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。
由流函数的全微分式得：第四节基本的平面有势流动引言：流体的平面有势流动是相当复杂的，很多复杂的平面有势流动可以由一些简单的有势流动叠加而成，介绍几种基本的平面有势流动，它包括均匀直线流动，点源和点汇、点涡等。
一、均匀直线流动(uniformrectilinearflow)流体作均匀直线流动时，流场中各点速度的大小相等，方向相同，即u＝u。
和v＝v。
由式(5—11)和式(5—18)，得速度势和流函数由于流场中各点的速度都相等，根据伯努里方程(3—41)，得点，则这种流动称为点汇，这个点称为汇点。
显然，这两种流动的流线都是从原点O发出的放射线，即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度v r。
现将极坐标的原点作为源点或汇点，则去q v是点源或点汇在每秒内流出或流人的流量，称为点源强度或点汇强度。
对于点源，q v取正号；对于点汇，q v取负号，于是等势线簇是同心圆簇(在图5—11中用虚线表示)与流线簇成正交。
而且除源点或汇点外，整个平面上都是有势流动。
三、点涡设有一旋涡强度为I的无限长直线涡束，该涡束以等角速度三绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流。
由于直线涡束为无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样。
也就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理。
由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆。
根据斯托克斯定理可知，沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度，即因此涡束外的速度与半径成反比。
若涡束的半径r o →0，则成为一条涡线，这样的流动称为点涡。
但当r 。
→0时，v θ→∞，所以涡点是一个奇点。
点涡的速度势和流函数分别为当Γ>0时，环流为反时针方向，如图5—13所示；当Γ<0时，环流为顺时针方向。
点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是同心圆，而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。
设涡束的半径为r o ，涡束边缘上的速度为002r v πΓ=,压强为p 0; r →∞；时的速度显然为零，而压强为P ∞。
代人伯努里方程，得涡束外区域内的压强分布为在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。
又由式(5—32)式可知，在r→0处，压强P→∞，显然这是不可能的。
所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域，称为涡核区。
由式(5—33)可得涡核的半径由于涡核内是有旋流动，故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得。
可见，涡核内、外的压强降相等，都等于用涡核边缘速度计算的动压头。
涡核内、外的速度分布和压强分布如图5—14所示。
第五节有势流动的叠加一、势流叠加原理只有对一些简单的有势流动，才能求出它们流函数Ψ和势函数Ф，但当流动较复杂时，根据流动直接求解Ф和Ψ往往十分困难。
我们可以将一些简单有势流动进行叠加，得到较复杂的流动，这样一来，为求解流动复杂的流场提供了一个有力的工具。
前面我们知道，速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程。
凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上都称为调和函数，所以速度势函数和流函数都是调和函数。
根据调和函数的性质，即若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数，可将若干个速度势函数(或流函数)线性组合成一个代表某一有势流动的速度势函数(或流函数)。
现将若干个速度势函数叠加，得显然，叠加后新的速度势函数Ф也满足拉普拉斯方程。
同样，叠加后新的流函数Ψ也满足拉普拉斯方程。
几个简单的基本平面有势流动叠加成所需要的复杂有势流动。
将新的速度势函数Ф分别对x、y和z取偏导数，就等于新的有势流动的速度分别在X、y和Z轴方向上的分量：由此可见，叠加后所得的复杂有势流动的速度为叠加前原来的有势流动速度的矢量和。
二、螺旋流螺旋流是点涡和点汇的叠加。
将式(5—30)和式(5—26)相加以及将式(5—31)和式(5—27)相加即得新的有势流动的速度势和流函数显然，等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇(图5—15)，称为螺旋流。
