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流体力学第五章201512力学参考

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工程流体力学（水力学）闻德第五章-实际流体动力学基础课后答案

工程流体力学（水力学）闻德第五章-实际流体动力学基础课后答案

⼯程流体⼒学（⽔⼒学）闻德第五章-实际流体动⼒学基础课后答案⼯程流体⼒学闻德课后习题答案第五章实际流体动⼒学基础5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。

试求切应⼒τxy 、τyx 和附加压应⼒p ′x 、p ′y 以及压应⼒p x 、p y 。

解：0y x xy yx u u x y ττµ==+=24xxu p a xµµ?'=-=-?，24y y u p a y µµ?'=-=?， 4x x p p p p a µ'=+=-，4y y p p p p a µ'=+=+5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴⽅向作等速运动（如图所⽰），由于上平板运动⽽引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。

试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。

（请将d 0d px=时的这⼀流动与在第⼀章中讨论流体粘性时的流动相⽐较）解：将坐标系ox 轴移⾄下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。

由例５－1中的（11）式可得2d (1)2d h y p y yu v h x h h µ=-- （１）当d 0d p x =时，y u v h=，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。

它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发⽣的流动。

当d 0d px≠时，即为⼀般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加⽽成，速度分布为(1)u y y yp v h h h=-- （２）式中2d ()2d h pp v xµ=- （３）当p ＞０时，沿着流动⽅向压强减⼩，速度在整个断⾯上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动⽅向压强增加，则可能在静⽌壁⾯附近产⽣倒流，这主要发⽣p ＜－１的情况．5－3 设明渠⼆维均匀（层流）流动，如图所⽰。

流体力学课件_第五章_流体运动学基础

流体力学课件_第五章_流体运动学基础

gQ
2g
2g


u dA v A
3
3
——动能修正系数
g
1
v1
2
2g
z2
p2
g
2
v2
2
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
2g
——总流的伯努利方程
5.3 理想流体的伯努利方程
丹· 伯努利（Daniel Bernoull，1700—1782）：瑞 士科学家，曾在俄国彼得堡科学院任教，他在流体力 学、气体动力学、微分方程和概率论等方面都有重大 贡献，是理论流体力学的创始人。 伯努利以《流体动力学》（1738）一书著称于世， 书中提出流体力学的一个定理，反映了理想流体（不 可压缩、不计粘性的流体）中能量守恒定律。这个定 理和相应的公式称为伯努利定理和伯努利公式。 他的固体力学论著也很多。他对好友 欧拉提出 建议，使欧拉解出弹性压杆失稳后的形状，即获得弹 性曲线的精确结果。1733—1734年他和欧拉在研究上 端悬挂重链的振动问题中用了贝塞尔函数，并在由若 干个重质点串联成离散模型的相应振动问题中引用了 拉格尔多项式。他在1735年得出悬臂梁振动方程； 1742年提出弹性振动中的叠加原理，并用具体的振动 试验进行验证；他还考虑过不对称浮体在液面上的晃 动方程等。
g
1
v1
2
2g
z3
g
3
v3
2
3
2g
5.7 伯努利方程的应用 毕托管测流速
p1
h
h p2 p1
g

u
2

p2
2g
g
g
g
u
2 gh c
2 gh c——流速系数

流体力学第五章

流体力学第五章

确定流态 确定流态
确定 β 、 或 λ m 确定 β 、 或 λ m
Δ pp Δ
第五章 压力管路的水力计算
•
第二类问题： 已知： Δp ，Δz ，d，L，μ，γ，求：Q 分析：
Q Q
vv
Re =
？ ？
vd ν
h h ff
确定流态 确定流态
？
Δ pp Δ
确定 β 、 或 λ m 确定 β 、 或 λ m
管路特性曲线是管路能量平衡（能量供给 =能量消耗）的直观反映。 对于给定管路，其特性曲线一定。 如：对于长管无泵和有泵两种情况，管路特性曲线如下图：
hf
H H0 hf z2-z1 Q Q
H0
•
管路特性曲线对于确定泵的工况以及自由泄流工况有重要应用价值。 第五章 压力管路的水力计算
§5.2 长管的水力计算
说明：
– 紊流流态——混合摩擦区（大庆设计院推荐公式）：
Q1.877ν 0.123 L h f = 0.0802 A d 4.877
其中：A = 10( 0.127 lg ε − 0.627 ) , ε = 即：β＝ 0.0802A，m＝0.123 – 紊流流态——水力粗糙区：
∆ ∆ = r 2d
3. 给定管路流量 Q，在已建成的长输管线 AB段改设串联变径管可以延长 管路的输送距离。
设变径管后
hfO -A fO-A H
未设变径管前
hfO -B fO-B
hf
O
A
B
C
串联变径管后，主管 AB段d（↑），v （↓） ，hf （↓） ， 即：hfO -B fO-B <hf。则：作用水头 H仍有部分能量剩余，可供给管中水流继续前进一 段距离至C点。 第五章 压力管路的水力计算

流体力学第五章

流体力学第五章

5.2 边界层流动

5.2 边界层流动


*


0
u 1 u e e
dy
5.2 边界层流动


**



0
u eue
u 1 u dy e
5.2 边界层流动

平面边界层流动方程
边界层近似假定 1. 纵向偏导数远小于横向偏导数
5.2 边界层流动

边界层分离

理想流体能量转换过程 边界层内粘性对机械能的耗散使得流体微团在逆 压区 MF 段间的某个点处 V 降为零，后来的质点 将改道进入主流区，使来流边界层与物面分离； 在分离点下游区域，受逆压作用而发生倒流。
5.2 边界层流动

边界层分离

分离点：紧邻壁面顺流区与倒流区分界点。 边界层分离的必要条件：粘性、逆压梯度。

湍流边界层摩阻系数大
0.664 C fL Re x
C fT
0.0576 /5 Re 1 x
5.2 边界层流动

边界层分离

边界层流动：流体质点受惯性力、粘性力和压力 作用；粘性力阻滞流体质点运动，使流体质点减 速和失去动能；压力的作用取决于绕流物体形状； 顺压梯度有助于流体加速前进，而逆压梯度阻碍 流体运动。



研究方法：实验、数值(RANS、LES、DNS)
5.1 粘流的基本特性

层流、紊流速度型 紊流粘性应力比层流大
5.2 边界层流动

边界层概念的提出




高 Re流动，惯性力远大于粘性力，研究忽略粘 性的流动有实际意义。 阻力、分离、涡扩散等问题，无粘解与实际相 差甚远。 研究表明：虽然 Re很大，但在靠近物面的薄层 流体内，沿物面法向存在很大的速度梯度，粘 性力与惯性力相当而不可忽略。 Prandtl把物面附近粘性力起重要作用的薄层称 为边界层。

流体力学习题及答案-第五章

流体力学习题及答案-第五章

第五章 势流理论5-1流速为u 0=10m/s 沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。

已知驻点位于(0，-5)，试求： (1)点涡的强度；(2)(0,5)点的流速以及通过驻点的流线方程。

答：（1）求点涡的强度Γ：设点涡的强度为Γ，则均匀流的速度势和流函数分别为：x u 01=ϕ，y u 01=ψ；点涡的速度势和流函数为：xy arctg πϕ22Γ-=，r y x ln 2)ln(221222ππψΓ=+Γ=； 因此，流动的速度势和流函数为：θπθπϕϕϕ2cos 20021Γ-=Γ-=+=r u x y arctg x u ， r y u y x y u ln 2sin )ln(202122021πθπψψψΓ+=+Γ+=+=；则速度分布为：2202y x yu y x u +⋅Γ+=∂∂=∂∂=πψϕ， 222yx x x y v +⋅Γ=∂∂-=∂∂=πψϕ； 由于)5,0(-为驻点，代入上式第一式中则得到：0)5(052220=-+-⋅Γ+πu ， 整理得到：ππ100100==Γu 。

（2）求)5,0(点的速度：将π100=Γ代入到速度分布中，得到：222222050102100102y x y y x y y x y u u ++=+⋅+=+⋅Γ+=πππ，2222225021002yx x y x x y x x v +=+⋅=+⋅Γ=πππ； 将0=x 、5=y 代入上述速度分布函数，得到：201010505501022=+=+⨯+=u （m/s ），05005022=+⨯=v （m/s ）；（3）求通过)5,0(点的流线方程：由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程C =ψ，则流线方程为：C y x y u =+Γ+21220)ln(2π；将0=x 、5=y 代入，得到：5ln 5050)50ln(21005102122+=+⨯+⨯=ππC ；则过该点的流线方程为：5ln 5050)ln(2100102122+=++y x y ππ，整理得到：5ln 55)ln(52122+=++y x y5-2平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为θ1=20m 3/s ，点汇位于（2,0）点，其流量为θ2=40m 3/s ，已知流体密度为ρ=1.8kg/m 3，流场中（0，0）点的压力为0，试求点（0,1）和（1,1）的流速和压力。

流体力学 第五章

流体力学 第五章

2p


1 1
2 gH Cv 2 gH
qv Av Cv A 2 gH Cq A 2 gH
5.2.2 厚壁孔口出流系数
收缩系数 C c ： Cc 1
1
1
阻力系数 ：

2 3
0.5
流速系数 Cv ： Cv
流量系数 Cv ：
1 1
0.82 0.82
型区时，雷诺准则失去判别相似的作用。
这也就是说，研究雷诺数处于自动模型区时的粘性流 动不满足雷诺准则也会自动出现粘性力相似。因此设计模 型时，粘性力的影响不必考虑了；如果是管中流动，或者

qV 比较（1）、（2）两式： Cq q T
可见，只要测得 qV，测得H和A就可以得到Cq 。
收缩系数 C c ： C c
Cq Cv
0.64
阻力系数
1 ： 2 1 Cv
0.06
流量系数 C q ：
qV Cq qT
0.62
流速系数 C v
0.97
5.2 厚壁孔口出流 厚壁孔口： 特点：
2）雷诺模型法
管中有压流动是在压差作用下克服管道摩擦而产生的流 动，粘性力决定压差的大小，粘性力决定管内流动的性质， 此时重力是无足轻重的次要因素，因此此时可以用雷诺模型 法解决问题，雷诺准则是：
p p v 2 v 2
vl vl
同时 几何相似
雷诺模型法在管道流动、液压技术、水力机械等 方面应用广泛。
C q Cv
5.3 几种孔口出流性能比较
出口面积和器壁上的面 积不等时，Cq的大小并不代表流量大 小。
为什么厚壁孔口流量大于薄壁孔口流量？
5.4 机械中的气穴现象

[教材]流体力学第五章习题答案

第五章习题答案选择题（单选题）5.1 速度v ，长度l ，重力加速度g 的无量纲集合是：（b ）（a ）lv g ；（b ）vgl ；（c ）l gv ；（d ）2v gl。

5.2 速度v ，密度ρ，压强p 的无量纲集合是：（d ）（a ）p v ρ；（b ）v p ρ；（c ）2pv ρ；（d ）2p v ρ。

5.3 速度v ，长度l ，时间t 的无量纲集合是：（d ）（a ）v lt ；（b ）t vl ；（c ）2l vt；（d ）l vt 。

5.4 压强差p ，密度ρ，长度l ，流量Q 的无量纲集合是：（d ）（a ）2Q pl ρ ；（b ）2l pQ ρ ；（c ）plQ ρ ；（d 。

5.5 进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：（b ）（a ）雷诺准则；（b ）弗劳德准则；（c ）欧拉准则；（d ）其他。

5.6 进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：（a ）（a ）雷诺准则；（b ）弗劳德准则；（c ）欧拉准则；（d ）其他。

5.7 雷诺数的物理意义表示：（c ）（a ）粘滞力与重力之比；（b ）重力与惯性力之比；（c ）惯性力与粘滞力之比；（d ）压力与粘滞力之比。

5.8 明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的：（c ）（a ）1/2；（b ）1/4；（c ）1/8；（d ）1/32。

5.9 压力输水管模型实验，长度比尺为8，模型水管的流量应为原型输水管流量的：（c ）（a ）1/2；（b ）1/4；（c ）1/8；（d ）1/16。

5.10 假设自由落体的下落距离s 与落体的质量m 、重力加速度g 及下落时间t 有关，试用瑞利法导出自由落体下落距离的关系式。

解： ∵s Km g t αβγ=[]s L =；[]m M =；[]2g T L -=；[]t T=∴有量纲关系：2L M T L T αββγ-=可得：0α=；1β=；2γ=∴2s Kgt =答：自由落体下落距离的关系式为2s Kgt =。

流体力学第五章


可压缩流动涉及温度变化，变量有 V, p, , T
可以应用 连续性方程 状态方程 动量方程 能量方程
uAC
p RT
可压缩流动能量方程 ?
5.1 可压缩气体一元定常流的基本公式 四、热力学常数
e 单位质量气体内能 h 单位质量气体的焓 S 单位质量气体的熵 q 是单位质量气体的热能
完全气体的比热
5.4 一元等熵气流在变截面管道中的流动 四、缩放喷管（拉伐尔喷管）
1
2
喉部 收缩段
3
扩张段
如何实现超声速流动 ？
例. 收缩喷管空气的滞止参数 p0=10.35105Pa，T0=350K ，出口直径d=15mm。求出口背压分别为pe=7105Pa、 pe=5105Pa时喷管的质量流量。
解 (1) 出口背压 pe=7105Pa （亚音速）
题5-15. 空气从T1=278K， p1=105Pa绝热地压缩为 T2=388K, p2=2105Pa ; 求p01/p02 。
例 解. 绝热流动 T01=T02，但 p01p02。
p01 p1

(T01
)
1
T1
&
p02 p2

(T02

) 1
T2
题

p01
p1 ( T2
γ
)γ1
第五章 可压缩流体的一元流动
§5-1 可压缩气体一元定常流动的基本公式 §5-2 微弱扰动波的传播 声速 §5-3 一元等熵流动的基本关系 §5-4 一元等熵气流在变截面管道中的流动 §5-5 有摩擦和热交换的一元流动
第五章 可压缩流体的一元流动 §5-1 可压缩气体一元定常流动的基本公式 一、状态方程 二、连续性方程 三、运完动全方气程体的状态方程 四、热力学常数

《流体力学》徐正坦主编课后答案第五章

第五章习题简答5-1有一薄壁圆形孔口，直径d= 10mm ，水头H 为2m 。

现测得射流收缩断面的直径d c为8mm ，在32.8s 时间内，经孔口流出的水量为0.01m 3，试求该孔口的收缩系数ε，流量系数μ，流速系数φ及孔口局部损失系数ζ。

解: 64.010822=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==d d A A c c εs m d Q v /06.6008.08.32/01.04422=⨯⨯==ππ 62.097.064.006.0197.011197.028.9206.62222=⨯===-=-==⨯⨯==⇒=εϕμϕζϕϕgHvgH v5-2薄壁孔口出流，直径d=2cm ，水箱水位恒定H=2m ，试求：（1）孔口流量Q ；（2）此孔口外接圆柱形管嘴的流量Q n ；（3）管嘴收缩断面的真空高度。

题5-2图解：（1）孔口出流流量为s L s m gH A Q /219.1/10219.128.9202.0462.02332=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==πϕ（2）s L gH A Q n /612.128.9202.0482.022=⨯⨯⨯⨯⨯==πμ（3）真空高度：m H gpg p C Cv 48.1274.074.0=⨯==-=ρρ 5-3 水箱用隔板分为A 、B 两室，隔板上开一孔口，其直径d 1=4cm ，在B 室底部装有圆柱形外管嘴，其直径d 2=3cm 。

已知H=3m ，h 3=0.5m 试求：（1）h 1，h 2；（2）流出水箱的流量Q 。

题5-3图解：隔板孔口的流量 112gh A Q μ=圆柱形外管嘴的流量 ()()132222h H g A h h g A Q -=+=μμ由题意可得Q 1=Q 2，则()()1212122212111211303.082.004.062.022h h h H d h d h H g A gh A -⨯⨯=⨯⨯-=-=μμμμ解得m h 07.11=sL s m gh A Q mh h H h /56.3/1056.307.18.9204.0462.0243.15.007.1333211312=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==∴=--=--=∴-πμ5-4 有一平底空船，其船底面积Ω为8m 2，船舷高h 为0.5m ，船自重G 为9.8kN 。

流体力学_第五章_1-3节


Re vd ——雷诺数（无量纲）
12
层流
紊流
层流
紊流
上临界雷诺数ReC
Re
12000-40000
Re
ReC 2300 下临界雷诺数
Re<Rec 层流 实用上以下临界雷诺数为准
Re>Rec 紊流（包括层流向紊流的临界区2000~4000）
Re=Rec 临界流
Rec 2000或2300
仅针对圆管
p2
g
wl gA
23
第三节 圆管层流
对截面1-1和2-2列出伯努利方程
1 2 1
Z1
p1
g
1
v12 2g
Z2
p2
g
2
v22 2g
hl1-2
在等直径圆管中 v1 v2
hl hf
hf
Z1
p1
g
Z
2
p2
g
又
Z1
p1
g
Z2
p2
g
wl gA
R A
hf
层流 hf k1v1.0 v1.0
OA段
紊流
hf
k v1.75~2.0 2
v1.75~2.0
AC、BD段斜率大于2
CDE段 结论：流态不同，沿程损失规律不同
11
流态的判别准则 —— 临界雷诺数
圆管流雷诺数
vc d
vc Rec d
Re c
vc d
vcd
临界雷诺数
Re c ——下临界雷诺数，临界雷诺数（2000左右或2300）
hf
1 R
R A
水力半径R是一个基本上能反映 过流断面大小、形状对沿程 损失综合影响的物理量
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②常见的涡旋运动现象
---- 涡旋运动无处不在，小至原子结构，大至宇宙星云。
热带气旋
2017/1/4 12
热带气旋(Tropical Cyclone)是一种低气压天气系统，于 热带地区离赤道平均3-5纬度外的海面(如南北太平洋，北大 西洋，印度洋)上形成，其它移动主要受到科氏力及其它大 尺度天气系统所影响，最终在海上消散、转化为温带气旋或 在登陆陆地后消散。登陆陆地的热带气旋可以造成严重的财 产或人命伤亡，是由天气引发天灾的一种。 热带气旋的最大特点是它的能量来自水蒸气冷却凝固时 放出的潜热。 热带气旋的气流受科氏力的影响而围绕着中心旋转。在 北半球，热带气旋沿逆时针方向旋转，在南半球则以顺时针 旋转。 西太平洋沿岸的中国、台湾、日本、越南、菲律宾等地， 习惯上称当地的热带气旋为台风。而大西洋则习惯称当地的 热带气旋为飓风。
平面复 势理论
R1 / R2 c 1
R1 / R2 c 1
R12 ( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2 c1 2 2 2 R2 ( x x2 ) ( y y2 )
69
*关于“
将
”的说明
，得
( y y1 ) ( x x1 ) udy vdx d ( y y1 ) d ( x x1 ) 2 2 R1 R1 ( y y2 ) ( x x2 ) d ( y y2 ) d ( x x2 ) 2 2 R2 R1 1 1 1 1 2 2 2 2 d ( y y ) d ( x x ) d ( y y ) d ( x x ) 1 1 2 2 2 2 R12 2 R12 2 R2 2 R12 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 dR dR dR dR R / R 1 2 1 2 1 2 c1 2 2 2 2 2 R1 2 R2 2 R1 2 R2
2017/1/4 77
塔科马海峡吊桥倒塌后第二天，华盛顿州州长宣布该座吊桥 的设计牢靠，计划按同样设计重建。冯· 卡门觉得此事不妥， 便觅来一个塔科马海峡吊桥模型带回家中，放在书桌上，开 动电扇吹风，模型开始振动起来，当振动频率达到模型的固 有频时，发生共振，模型振动剧烈。果然不出所料，塔科马 海峡吊桥倒塌事件的元凶，正是卡门涡街引起桥梁共振。
①涡旋场感生的速度场
2017/1/4
待证
54
格林函数法
奥高公式
55
② 涡线感生的速度场(比奥—萨瓦尔公式)
2017/1/4
56
分析：
？
58
③直涡线感生的速度场
非柱坐标
59
2017/1/4
60
2017/1/4
61
④ 涡对
62
1 2 ( y1 y2 ) j 2 dt 2 R j 1 12
2017/1/4
R1 / R2 c
70
⑤卡门涡街
2017/1/4
71
* 1911年在哥丁根，博士生希门茨研究水流中的圆柱表面的压 力，但测出的压力总是波动不已。后来，希门茨以日耳曼人那 股‘傻劲’，将圆柱磨得滚圆，将水槽精磨固定，但圆柱总是晃 动。而卡门在周末到实验室探索晃动的原因。他考虑了两种可 能性，假设涡流从圆柱体顶部和底部交替出现，卡门回忆说， ‘我清晰地想象到，若两股涡流按一定几何图案排列，其外形就 会稳定。’再经过仔细地‘做’——力学和数学分析，求解，再 实验，冯· 卡门终于发现了卡门涡街。
46
---- 亥姆霍兹涡线、涡面及涡管保持性定理
分析：
47
2017/1/4
48
----- 亥姆霍兹涡管强度保持性定理
比较：涡管强度守恒定理
2017/1/4
49
证明：（1）
质量守恒定理
证明：（2）
在orz平面上运动
垂直orz平面
有误
关于“
”的说明
2017/1/4
52
2017/1/4
53
3. 涡旋在无粘性不可压流体中所引起的速度场
----（涡面与涡管）在涡量场中任取一条非涡线的曲线，对过该曲 线的每一点作同一时刻的涡线所构成的曲面称为涡面；进一步 若曲线封闭（即涡面封闭），则对应的涡面构成涡管。
2017/1/4
25
2）涡旋运动的定义（续） ------（涡通量） 其中A为流场中的某一曲面。 ------（涡管强度）对于流场某一时刻的涡管，取涡管的一个横截面 A，称过A的涡通量为该瞬时的涡管强度（与A取法无关）。 ------ （速度环量） ，由斯托克斯公式，有
2017/1/4
72
2017/1/4
实验中观测到的卡门涡街
73
用LIF(激光诱导荧光)法拍摄的卡门涡街
2017/1/4
74
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*现在进行高层建筑物设计时都要进行计算和风洞模型实验， 以保证不会因卡门涡街造成建筑物的破坏。
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1940年，美国华盛顿州的塔科玛峡谷上花费640万美元，建造 了一座主跨度853.4米的悬索桥。建成4个月后，于同年11月7 日碰到了一场风速为19米/秒的风。虽风不算大，但桥却发生 了剧烈的扭曲振动，且振幅越来越大，直到桥面倾斜到45度左 右，使吊杆逐根拉断导致桥面钢梁折断而塌毁，坠落到峡谷之 中。
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③涡旋运动的定义
1）涡旋运动的简单识别
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*参考件
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*参考件
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*参考件
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2）涡旋运动的定义 ---定义流体速度的旋度为流场的涡量，记为 若 ，称流动作有旋运动，反之若 为无旋运动。 ----（涡线）某一时刻在一曲线上任一点切线方向与该点流体涡量 一致，则称该曲线为涡线，其方程为 ，即
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*相关分析
1）引入基本形式的兰姆—葛罗米方程 --- 引入算符公式 代入
得
如何而得？
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2）引入 纳维—斯托克斯方程 (N-S方程), 即有:
（引入广义牛顿应力公式: 可得:
再代入
）
可得: 其中
3）将 写为 两边求旋度得:
再利用
(5.1.11)修正式
得
另有
2
dx j

2 1 ( y2 y1 ) 0 2 2 R21
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y0 y1 1 y1 2 y2 1 y1 2 y1 1 2
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k1k2 1
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R1 / R2 1 x 0
其中A为由L所包围的任意曲面。
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微分形式：d n
dA
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*参考件----涡量与涡线
---- 在流体力学中直接将速度旋度定义为涡量，即涡量为：
---- 线上任意点的切线方向与该点的涡量方向一致的假 想曲线称为涡线，其方程的微分形式为：
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*参考件 例 已知流体质点的位臵表示为 x a, y b a(e2t 1), z c a(e3t 1)
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*旋涡气泵工作原理（工业吸尘器配套使用、雾化干燥机、养 鱼增氧、电焊设备、干洗衣服的清洁等 ）
-----在叶轮旋转时，叶轮间的气体会因旋转运动而沿叶片及 迳向方向被加速，气体进入外侧气环之后利用压差作用而回 到叶片的基部而形成强力气流，如此周而复始使气体在气环 内以螺旋方向运动而达到增压目的。气体运动至排气口之后， 迅速排出。
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解
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*关于3）中所提无旋性分析：
----初始位移: 流体质点在重力作用下产生波动 ; 在有势力作 用下,流场保持无旋。 ----初始速度: 如瞬时附加压强（一阵风等），其停止时刻 即为初始时刻，由此产生初始速度分布，由其产生的波动仍保 持无旋。
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，求其涡线方程。 分析：
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2）涡旋运动的定义（续） 环量与涡量的微分关系源自：
---- （涡管强度守恒定理）
分析：
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*参考件
*关于“ ”的说明
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2.涡量输运方程
① 粘性流体的涡量输运方程
从何而来？
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即有
涡量方程(5.1.11)修正式
另有变换式为 涡量方程(5.1.12)修正式
第五章
① 问题的背景
流体的涡旋运动
1.涡旋运动的基本概念
-------- 流体的涡旋运动是一种基本的流动现象,它普遍存在 于自然界和各种工程应用中。在涡旋运动中利害二者并存。 如含有大量涡旋运动的台风和龙卷风每年都对人类造成重大 损害。百慕大三角区的深海涡旋迄今仍为待解之迷。
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பைடு நூலகம்
在自然界中，流体团的旋转运动--涡旋有些能明显地看到 或肉眼分辨，例如大气中的龙卷风，桥墩后的旋涡区，划 船时产生的旋涡,云层中的卡门涡街等等。但在更多的情况 下，人们不易察觉到涡旋的存在。例如，当物体在真实流 体中运动时在物体表面形成一层很薄的边界层，此薄剪切 层中每一点都是涡旋；又如自然界大量存在着的湍流运动 充满着不同尺度的涡旋，这些都是肉眼难以辨认的。 大至旋涡星系,小至DNA 分子,都是在一种称为螺旋线当 中产生的，也即大自然并不认可笔直的形式。自然界所有 物质的基本结构都是曲线运动方式的圆环形状，从原子、 分子到星球、星系等。
*生活中小例子：冲水时，水流有时会