积分变换课后题答案

积分变换答案

1 第一章 傅里叶变换

内容提要：

一 傅里叶变换

定义1

定义2

定义3

4傅里叶积分定理

二 函数

型序列的充分条件构成1

.)(21)(,)(21)(,)()(

为傅里叶积分公式即称则若设：dwedxexftfdwewFtfdtetfwFiwtiwxiwtiwt)(tf)(1-wFℱ ;)()()(21逆变换的傅里叶为FourierwFdwewFiwt)(wF)(tf;)()()(变换的傅里叶为Fouriertfdtetfiwtℱ .)(21)(,)(21)(,)()(

为傅里叶积分公式即称则若设：dwedxexftfdwewFtfdtetfwFiwtiwxiwtiwt满足如下两个条件：若函数)(tf限个极值点；类间断点，且至多有有上连续或有有限个第一在即条件上满足狄利克雷在实轴的任何有限区间],[)( ,)(],[)( )batfDirichletbatfi.],[)( )的反常积分收敛在区间tfii.)()(,)(21)]0()0([21)(dtetfwFdwewFtftftfiwtiwt其中且的傅里叶变换存在，则函数函数列的该趋向下，，则在）（的某种趋向下，函数若在参数可积，且满足在实轴的任何有限区间设普通函数0,1)()(-dttftf).()( )0)(( ))(1()(1)(ttftftf即：型序列，构成一个积分变换答案

2

型序列几个常用 2. 0)0( 1 )1(1)( . 0)10( 1)( )1其它，，则令其它，ttftfttf).()(lim 00tt型序列，即时为当.)()1(1)(,1)(,)1(1)( )2(22-2wwfwdttfttfR构造：显然).()(lim 00wwR即型序列，时为当.)cos(21sin)()(,sin,sin)( )3(-RRIRdwwttRtRtRftdttttttf构造：因为).()(lim ttRIRR型序列，即时为当.2)1(1)(,2,2)( )4(22222-22wGttewfwdteetf构造：因为).()(lim 00wwG型序列，即时为当函数的积分 3).)(()()(lim)()()1-00-0处处无穷次可微，定义：tfdttfttdttftt积分变换答案

3

三 傅立叶变换的性质

四 几个常用函数傅里叶变换对

1.线性性质

2.位移性质 )( tf若ℱ , )(wF3.微分性质 )( n1ktfCkk. )(1nkkkwFCℱ

)( )1 atfℱ ;)( )(为实数awFeiwatiwetf0)( )2.)( )(00为实数wwwFℱ )( tfk若),,2,1( )(nkwFkℱ

)( tf若ℱ , )(wF)( )1 )(tfn;)( )()(为自然数nwFiwnℱ

)()( )2tf-itn.)( )()(为自然数nwFnℱ

)( tf若ℱ

, )(wF4.积分性质 ,0)()(dttftgtt时，当则ℱ ).(1)(wFiwtg).()0()(1wFwFiw若无此条件，则结论为).( )10)((lim)(1lim )()(lim)()()20000-00-000tftfdttfdttfttdttftttt函数的筛选性质： 2sin2wwE

).2( 0),2(

)()1ttEtfℱ

)0( )0( 0)0( )()2ttetft 1iwℱ 积分变换答案

4

习题1.1

1. 求下列函数的Fourier变换.

（1）ℱ)]([tf=dteAti0=0tieiA=)1(ieiA.

(2) ℱ)]([tf=dtteetitcos=dtteti0)1(cos+dtteti0)1(cos

由201cosaadtteat，2001coscosaadttedtteatat，

可知：ℱ)]([tf=22)1(11)1(11iiii=22424.

2. 求Fourier逆变换.

ℱ)]([1F=deeti21=dedeitit0)(0)([21

=010121)()(ititeiteit

=22221t=)(22t.

3. ℱ)]([tf=dtettisin

=-tdeticos=-dtetitetiticoscos

=tdeieetititisincos

=dtteiieetititisin)(

=dtteeetititisin2 ℱ )(1wiw)( )5tu)( )3tℱ 1)( 2w1)4ℱ 积分变换答案

5 ℱ)]([tf=1sin22i

由ℱ)()]([1tfF可知下面的等式成立.

4. 求下列函数的Fourier积分。

(1) ℱ)]([tf=01dteti+10dteti=10)(dteetiti

=10sin2tdti=10cos2ti=)cos1(2i

故ℱ)]([1F=deiti)cos1(221=dt0)sin(cos12

=)(tf.

(2) ℱ)]([tf=112)1(dtetti=102cos)1(2tdtt

=sin4cos4sin2sin232

故ℱ)]([1F=deti)cos(sin1243

=dt03cos)cos(sin14=)(tf.

(3) ℱ)]([tf=dtetfti)(=dtteetit02sin=dtteti0)1(2sin

=2252i .

故ℱ)]([1F=deiti224241025)25(221

=dtdtsin62521cos625)5(124242

=dtt0242625sin2cos)5(2.

5. ℱ)]([1F=deAtisin221=dtA0cossin24

=dtA0cossin2=1,01,21,ttAtA.

积分变换答案

6 习题1.2

1. 用函数的Fourier变换求下列函数的Fourier逆变换.

（1）ℱ])(2[321iiee=)3()2(1tt.

(2) ℱ]1)[cos(1= ℱ]21[1iiee=2)1()1()(ttt.

(3) ℱ]2)2[sin(1=]22[221ieeii=ittt2)2()2()(2.

(4) ℱ)]1[sin(1= ℱ]2[)1()1(1ieeii =ℱ]2[1ieeeeiiii

=)1(2)1(2tietieii.

(5) ℱ)]1()1([1=)(21ititee=tcos1.

2. 证明：

ℱ)]1)sin())(cos(([1=deti)1)sin())(cos((

由筛选性质0，

故)1)sin())(cos((在Fourier逆变换意义下为0.

3. 计算函数1)(2)sgn(tut的Fourier变换.

1)(2)sgn(tut

 ℱ]1)(2[tu=)(2))(1(2i=i2.

4. 利用函数的Fourier变换计算下列函数的Fourier变换.

(1) ℱ)]([tf=][222iaaiaiiaeeee=)]2cos()[(cos(4aa.

(2)422sincossin22ititeettt,

 ℱ)]([tf=)]2()2([42i=)]2()2([2i.