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初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式，则称y是x的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）。
（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ，0）和（0，b）的一条直线。
（3）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、一次函数图象的性质：（1）图象在平面直角坐标系中的位置:（2）增减性：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。
4、求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种：一是由已知函数推导，如例题1；二是由实际问题列出两个未知数的方程，再转化为函数解析式，如例题4的第一问。
三是用待定系数法求函数解析式，如例2的第二小题、例7。
其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程，得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中。
二、例题举例：例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。
分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x 的关系。
解：∵y=2y1y1=3x+2,∴y=2(3x+2)=6x+4,即变量y与x的关系为：y=6x+4。
例2、解答下列题目（1）（甘肃省中考题）已知直线与y轴交于点A，那么点A的坐标是（）。
（A）（0，–3）（B）（C）（D）（0，3）（2）(杭州市中考题)已知正比例函数，当x=–3时，y=6．那么该正比例函数应为（）。
一、一次函数与二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．二、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（1）根式的概念：如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈（1）对数的定义： ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化： log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式： log 10a =，log 1a a =，log ba ab =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （5）对数函数五、反函数（1）反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y fx -=．（2）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（3）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．六、三角函数的图像和性质（一）正弦与余函数的图像与性质 函数 x y sin =x y cos =图像定域义 RR值域 []1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Zx k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时，单调性[2,2]223[2,2]22Zk k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2] Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数，2π为最小正周期 是周期函数，2π为最小正周期 对称性对称中心(,0)k π，:,()2x k k Z ππ=+∈对称轴 对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质函数 x y tan = x y cot =图像定域义 {|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且 {|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域 RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,) Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数，π为最小正周期 是周期函数，π为最小正周期 对称性对称中心(,0)2k π 对称中心(,0)2k π七、反三角函数的图像与性质1. 反正弦与反余函数的图像与性质函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数反余弦函数arccos y x =是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 []1,1-[]1,1-值域 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π 单调性 [1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无 无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2π2. 反正切与反余切函数的图像与性质 函数反正切函数arctan y x = 是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数反余切函数arccot y x = 是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 (,,)-∞+∞(,,)-∞+∞值域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ()0,π。
函数及图象、学习的目标：掌握正、反比例、一次函数、二次函数的图象及性质 、知识点归纳：1、 平面直角坐标系： 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对 应的有序实数对叫做这点的坐标•在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形” (平面内的点)和(有序实数对)紧密结合起来.2、 函数的概念：设在某个变化过程中有两个变量 x 、y ,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，有唯一确定的值与它相对应，那么就说 y 是x 的函数，x 叫做自变量.3、 自变量的取值范围： 对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值 应保证数学式子有意义. 4、 正比例函数：如果y = kx (k 是常数，k 丰0)，那么，y 叫做x 的正比例函数.5、 正比例函数 y = kx 的图象：过(0, 0), (1, K )两点的一条直线.6、 正比例函数y = kx 的性质(1 )当k > 0时，y 随x 的增大而增大 (2 )当k v 0时，y 随x 的增大而减小 7、 反比例函数及性质園数y =悬常数，此工0)叫做反比例函数。
X(1) 当k >0时，在每个象限内分别是 y 随x 的增大而减小; (2) 当k v 0时，在每个象限内分别是 y 随x 的增大而增大.8、 一次函数如果y = kx + b ( k , b 是+常数，k 丰0)，那么y 叫做x 的一次函数.9、 一次函数y = kx + b 的图象—系钦特征国飲特征不疑过的象限图例k>ob>0 青銭从左 到右取向上方 向 直銭与y 轴 的交点M (0, IQ 在N 轴上 四h<0 右£就轴下片k<0b>0克談从左 到右取冋 直钱与F 轴 的宏点 M(o a b)在用铀上 方M |Xy——Xb<0柱M 轴下 ■10克递記詡艮卫瑟社二匹象眼1过的一条直线。
k（1 ）当k > 0时，y 随x 的增大而增大; （2 ）当k v 0时，y 随x 的增大而减小.（1） 函数y = ax 2 + bx + c （其中a 、b 、c 是常数，且a 0）叫做的二次函数.2（2） 禾ij 用配方，可以把二次函数表示成 y = a （x + b ） 2 + 4ac b 或y = a （x — h ） 2 + k 的形式2a 4a （3） 二次函数的图象是抛物线，当 a >0时抛物线的开口向上，当a v 0时抛物线开口向下.抛物线的对称轴是直线 x =— 2或x = h2a（4） 抛物线的顶点是（一_b , 4ac b ）或（h, k ）2a4a•、选择题： 1 .函数y 'x 1中，自变量x 的取值范围是（）A . x v 1 B. x > 1C . x > 1D. x 丰 1 2.在函数..中，自变量的取值范围是（）x-lA.二 一 ：B. -C.-■< D. 飞 v I3 .在函数y 5 中，自变量x 的取值范围是（） J x 3A 、 x > 3B 、x 工 3C 、 x > 3D、x v 34.点 P (—1, 2）关于 y 轴对称的点的坐标是（).A . (1, 2： )B • (— 1, 2) c . (1,— 2) D . (— 1,— 2)5.点 M (1 , 2) 关于x 轴对称点的坐标为（ )A、 (—1, 2) E I 、(— 1, — 2) C 、 (1 ,— 2) D (2,— 1)6 .在直角坐标系中，点’1;'一定在（ ）A. 抛物线匸—'上B. 双曲线 上C.直线「二厂上D.直线丁二- ■■上4*411. 为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价.若设平均每次降 价的百分率为x ，该药品的原价是 m 元，降价后的价格是 y 元，贝U y 与x 的函数关系式是（2A 、y = 2m （1 — x ）B 、y = 2m （1 + x ）C 、y = m （1 — x ） 13 . 一辆汽车由淮安匀速驶往南京，下列图象中，能大致反映汽车距南京的路程间t （小时）的关系的是（）15、关于函数y 2x1，下列结论正确的是（A . 2s1、sOtAO14、某小工厂现在年产值 是（ ） A . y 150x 20 tt150万元，计划今后每年增加y 15 2x C20万元，年产值y （万元）与年数x 的函数关系式.y 150 20x D . y 20xA 、图象必经过点（- 2, 1)、图象经过第一、二、三象限 C 、当x 1时，y216、一次函数y = ax + b 的图像如图所示,则下面结论中正确的是 、y 随x 的增大而增大A . a v 0, b v 0B . a v 0, C. a >0, b >0 D . a > 0,17、若反比例函数A.k 工0xB.k 工3C.k v 3D.k > 318、函数y1的图象与坐标轴围成的三角形的面积是（7.若反比例函数y 兰（kx0）的图象经过点（一1, 2）,则k 的值为2 函数y = — x + 3的图象经过（ 第一、二、三象限 B 、第一■、 .函数y = 2x — 1的图象不经过（ A 、 B.第二象限 ） 三、四象限 ）C .第三象限第二、三、四象限 D 、第一、二、四象限D.第四象限10 、如图所示，函数x 2的图象最可能是（、y = m （1 + x ）2 s （千米）和行驶时19、 抛物线y -X x 4的对称轴是()4A 、x =— 2B 、x = 2C 、x =— 4 20、 抛物线y = 2(x — 3)2的顶点在()A 、第一象限B 、第二象限C 、x 轴上、填空题: 1. 抛物线yX? 2x 3与x 轴分别交A B 两点，贝y AB 的长为3•若反比例函数y 巴图象经过点A (2 , — 1)，贝U k= _________ .x4.若将二次函数 y = x 2 — 2x + 3配方为y = (x — h )2+ k 的形式，则y= ____________ 5•若反比例函数y k 的图象过点(3,— 4),则此函数的解析式为 y —x6. ______________________________________________ 函数y _J —的自变量x 的取值范围是 .2x 37. 写出一个图象经过点 (1，一 1)的函数解析式： _______________________ &已知一次函数 y 2x b ，当x = 3时，y = 1,贝U b = _________________14 .函数y =豎-：中自变量x 的取值范围是 ___________n =、解答题：1、求下列函数中自变量 x 的取值范围：/ 八 5x 7 (1) y =2(2) y = x — x — 2; (3) y = ；(4) y = -：f x 324x 8解：(1) _______________________________________________________________________(2) ______________________________________________________________________ (3) _____________________________________________________________________3的图象在每一象限内，y 随x 的增大而增大，则有（ ）D D.、x = 4 、y 轴上2. y直线2 1x3 2不经过第_______ 象限. 10. 函数y ax b 的图像如图所示，贝U y 随x 的增大而.11. 反比例函数 y 5的图像在 x象限.12. 函数 y 3x 24x 5中自变量x 的取值范围是 .2x 113. 当k =时，反比例函数yk(x 0)的图象在第一象限15.若正比例函数 y = mx (m z 0)和反比例函数y = n (n 丰0)的图象都经过点(2 , 3)，贝U m =x9.已知点P (— 2, 3),则点P 关于x 轴对称的点坐标是( ___ , _____ ).(只需填一个数)(4) _____________________________________________________________________2、分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：（1）某市民用电费标准为每度 0.50元，求电费y （元）关于用电度数 x 的函数关系式;数关系式;（3）在一个半径为10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为 r （cm ）的同心圆，得到一个圆环 .设圆环的 面积为S （cm 2），求S 关于r 的函数关系式.3、 已知弹簧的长度 y （厘米）在一定的限度内是所挂重物质量x （千克）的一次函数•现已测得不挂重物时弹簧的长度是 6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米•求这个一次函数的关系式.解：设所求函数的关系式是 y = kx + b,根据题意，得k------------- 解这个方程组，得---------------- b所以所求函数的关系式是 ________________________ •4、 一次函数中，当x 1时，y 3 ；当x 1时，y 7,求出相应的函数关系式.5、已知一次函数 y = _kx + b 的图象经过点（一1, 1）和点（1, - 5）,求四、综合题:（E 在F 的左边），求出 E 、F 两点的坐标.x 取什么时，y >0, y v 0, y = 0通过配方，求函数的顶点 P 的坐标；已知一个二次函数的图象经过A - 2, 5)、 2 B (0,3)和Q1 , - 2)三点.2（2）已知等腰三角形的面积为 20cm * 2 * *，设它的底边长为 x（ cm ），求底边上的高y （ cm ）关于x 的函 （1）函数的解析式（2）当x = 5时，函数y 的值.(1) (2) (3)求出这个二次函数的解析式；若函数的图象与x轴相交于点E、F, 作出函数的图象并根据图象回答：当函数及图象答案.选择题： C B C A C D A D B C C B C D A C C B C •填空题：1 . 4 2. 三3. -2 4.y = (x —1) + 2 5. y7. y = —x 等8.7 9.(—2, —3) 10.减小31. 62-三.解答题：1 . (1) 一切实数(2 )一切实数(3) x 22 . (1) y = 0.5x (x> 0)(2) y =40x3.分析：kx + b k0 0k& b 6k0.3解：y 4k b7.2b611.二、四13.321—1 等14.x >且x 12(4) x>—3(3) s= 100 —r2 (0 v r v 10)=0.3x + 6kx b333解：y = kx + b k y = x —3b322b 3kx b3b55.解：y= kx + b y =—2x + 5k b7k24.分析：(2, 0) ( 0,—3)k b 1b25.(1) y = —3x —2k b 5k3(2) y =—172四.① y = 0.5x —x — 1.52② y = 0.5(x —1) — 2 p(1 , —2)③ E( —1, 0 ) F(3 , 0) ④ 图略.当X V—1或X>3时y> 0 .当一1 v X v 3时y v 0 当X=—1, X= 3 时y = 0。
