初中函数解析式与图像画法

二次函数解析式求法及图象与系数关系举例1.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中自变量x 和函数y 的部分对应值如下表求该二次函数的解析式；[解1]：观察所给的表格此函数图象关于x=12-对称，它的顶点坐标是（12-，94-）所以不妨设二次函数解析式为219()24y a x =+-又因为当x=0时 y=-2所以有 2192(0)24a -=+-a=1所以此二次函数的解析式为219()24y x =+-[解2]设此二次函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠当x=0时，y=-2; 当x=-1时，y=-2; 当x=1时，y=0;可以列出如下方程：2222(1)(1)011200a b ca b ca b c ⎧-=⨯-+⨯-+⎪=⨯+⨯+⎨⎪-=⨯+⨯+⎩解之得：a=1,b=1,c=-2 所以此二次函数的解析式为 22y x x =+-;2.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠关于直线x=1轴对称，它的最低点的纵坐标为 -2，且抛物线与y 轴交于点（0,1），求这个二次函数的解析式；[解1]：因为抛物线2(0)y ax bx c a =++≠关于直线x=1轴对称，它的最低点的纵坐标为 -1，可知此抛物线的顶点坐标是（1，-2） 所以不妨设抛物线的解析式为2(1)2y a x =--； 又抛物线与y 轴交于（0，1） 所以有 21(01)2a =-- a=3所以抛物线的解析式为：23(1)2y x =--[解2] 依题意有：12ba-= ①2424ac b a -=- ② 2001a b c ⨯+⨯+=③ 联立①②③ 解之得 a=3 b=-6 c=1 所以此抛物线的解析式是：2361y x x =-+3.已知当x=1时，二次函数的最大值为2，且过点（2，-3），求此二次函数的解析式； [解1]：依题意设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠当x=1时 2112y a b c =⨯+⨯+= ①2424b aca-=② 2322a b c -=⨯+⨯+③ 解之得 a=-5 b=10 c=-3所以抛物线的解析式是：25103y x x =-+- [解2] 依题意抛物线的顶点坐标是（1,2） 所以不妨设抛物线的解析式为2(1)2y a x =-+ 有抛物线过（2，-3）所以 23(21)2a -=⨯-+ 解之得 a=-5 所以抛物线的解析式为25(1)2y x =--+4.抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，求抛物线的解析式 [解1]从抛物线图象可知:图象关于x=1 对称，与x 轴相交于两点（1x ，0），（3,0这两点也关于x=1对称；所以有：1312x += 1x =-1 所以可以设抛物线解析式为(1)(3)y a x x =+-而点（0,3）在抛物线上，所以 3(01)(03)a =+- a=-1因此，抛物线的解析式是(1)(3)y x x =-+-223y x x =-++ 即223y x x =-++x[解2]：从抛物线图象可知 12(1)b-=⨯-① 2300b c =-+⨯+②解之得 b=2,c=3因此，抛物线的解析式是:223y x x =-++5．二次函数y=x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，求m 的值并写出抛物线的解析式；[解1]：根据二次函数的对称性可以知道：m=-1;函数对应图象的对称轴为x=1， 且当x=1时，y=-2;所以不妨设二次函数的解析式为： 2(1)2y a x =-- 当x=0时，y=-1;即 21(01)2a -=-- a=1 所以此二次函数为2(1)2y x =--[解2]：因为当x=-1,0,1时，y=2，-1，-2；所以把相应值代入得到一个三元一次方程组，解之得a=1, b=-2, c=-1;6. 抛物线y=-x 2图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，求所得图象的解析式。

初中数学如何通过函数的图像确定其解析式通过函数的图像确定其解析式是一个常见且重要的数学问题。

在本文中，我们将详细讨论如何通过函数的图像确定其解析式。

要通过函数的图像确定其解析式，我们可以按照以下步骤进行：1. 观察图像的形状和特点：首先，仔细观察函数图像的形状和特点。

注意函数图像的曲线、拐点、交点等信息。

通过观察图像，我们可以猜测函数的类型和形式。

2. 确定函数的类型：根据图像的形状和特点，我们可以初步确定函数的类型。

常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

根据函数的类型，我们可以有针对性地进行后续的分析和确定。

3. 确定函数的一般形式：根据函数的类型，我们可以猜测函数的一般形式。

例如，如果函数图像是一条直线，我们可以猜测函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a 和 b 是常数。

如果函数图像是一个抛物线，我们可以猜测函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b 和c 是常数。

4. 使用已知点确定解析式：选择图像上的几个已知点，然后将这些点的坐标代入到猜测的一般形式中。

通过解方程组，我们可以求解出函数的解析式的具体参数值。

5. 确认结果：计算出函数的解析式后，我们需要确认结果是否合理。

可以通过将解析式代入其他已知点，然后观察函数图像是否经过这些点。

如果函数图像经过这些点并且满足其他已知条件，则我们可以确认所计算的解析式是正确的。

需要注意的是，通过图像确定函数的解析式是一个近似的过程，存在一定的不确定性。

因此，我们需要选择尽可能多的已知点，以提高计算结果的准确性。

通过以上步骤，我们可以通过函数的图像确定其解析式。

这种方法可以帮助我们更直观地理解函数的性质，并且可以应用于其他类型的函数。

了解函数的解析式对于解决实际问题以及进一步理解数学概念都非常重要。

人教版九年级下册数学知识点总结一、反比例函数的概念反比例函数是指函数y=k/x（k≠0）的形式，其中自变量x 的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数这一限制条件。

另外，反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。

反比例函数的自变量不能为0，故函数图像与x轴、y轴无交点。

二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

在作反比例函数的图像时，应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

三、反比例函数及其图像的性质1．函数解析式：y=k/x（k≠0）2．自变量的取值范围：x≠03．图像：1）图像的形状：双曲线，曲度越大。

2）图像的位置和性质：当k>0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。

3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。

图像关于直线y=x和y=-x对称。

4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线y=k/x的一点，在双曲线的另一支上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。

【挑战题】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B(0，4)，且ac＝b。

⑴求该二次函数的解析表达式；⑵将一次函数y＝-3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与抛物线的另一个交点为C，求△ABC的面积。

题型三：二次函数中的特殊三角形【引例】已知抛物线y＝x2－2x－3的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，若△DPQ是等边三角形，求△DPQ的边长。

典题精练【例1】已知抛物线y＝x2－2x－3的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，点C为直角坐标系内一点，若四边形DPCQ是正方形，求正方形DPCQ的面积。

【例2】若x 1、x 2是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则方程的两个根x 1、x 2和系数a ，b ，c 有如下关系12b x x a +=-，12cx x a⋅=。

我们把它们称为根与系数关系定理。

如果设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)。

利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB ＝|x 1－x 2|＝= 请你参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0) ，抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形。

⑴当△ABC 为等腰直角三角形时，求b 2－4ac 的值。

⑵当△ABC 为等边三角形时，b 2－4ac ＝ 。

⑶设抛物线y ＝x 2＋kx ＋1与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且∠ACB ＝90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB ＝60°？【例3】已知抛物线y ＝-x 2＋mx －n 的对称轴为x ＝-2，且与x 轴只有一个交点。

⑴求m ，n 的值；⑵把抛物线沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C ，求新抛物线C 的解析式；⑶已知P 是y 轴上的一个动点，定点B 的坐标为(0，1)，问：在抛物线C 上是否存在点D ，使△BPD 为等边三角形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。

初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。

定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。

设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。

2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。

定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。

个性化教学辅导教案⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同．例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =2.一次函数：形如y=kx+b (k ≠0, k, b 为常数)的函数。

注意：（1）k ≠0,否则自变量x 的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx ，y 叫x 的正比例函数。

3.正比例正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注意：①注意k 是常数，k≠0的条件，当k=0时，无论x 为何值，y 的值都为0，所以它不是正比例函数。

②自变量x 的指数只能为1 新知识概要函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

注意：函数解析式与函数图象的关系（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； （2）函数图象上点的坐标满足函数解析式． 图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y 轴交于（0，b ）；与x 轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性：对于一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），当k﹥0时，y随x的增大而增大；当k﹤0时，y随x的增大而减小。

同步练习1.下列函数中，y随x的增大而增大的是（ C ）A. y=–3xB. y= –0.5x+1C. y= x– 4D. y= –2x-72. 一次函数y=(a+1)x+5中，y的值随x的值增大而减小，则a满足________ .（a< –1）3. 对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______（减小）4. 已知A(-1, y1), B(3, y2), C(-5, y3)是一次函数 y=-2x+b图象上的三点，用“<”连接y1, y2, y3为_________ .求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。