高考数学复习 第二章 第三节函数的值域与最值课件

§2.2函数的定义域、值域

本节目录

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基础梳理

1.函数的定义域

函数的定义域是指使函数有意义的变里的取值范围.

2.函数的值域

⑴定义 在函数y=/(Q中，与自变量r的值对应的y的值叫函数值，函 数值的集合叫函数的值域・ (2) 基本初等函数的值域

函数 值域

y=kx+b R

2 /

y=ax +〃x+c(aHO) 2

4ac~b l

a>0 时，【山，+°°):

. 4ac—b2

avO 4y=£(EHO) [ylyWR, yHO}

y=ax(a>0 且 aHl) (0, +8)

y = logwx(a>0 且 aH 1) R

j=sinx [T,l]

J = COSX [-14]

j = tanx R 思考探究

函数为整式、分式、根式、指数或对数函数时，定义域有 什么特点？

提示：⑴整式的定义域是实数集R；分式的分母不为零；

(2) 偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

(3) 对数函数的真数必须大于零；

(4) 指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1.

2.函数的最值与值域有何联系？

提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值 域也就能确定函数的最值情况，但有了函数的最大(小)值，未 必能求出函数的值域. 课前热身

1.（教材改编）函数尸伍二+占的定义域为（）

A. （—8, —2]

B. （一8, 2]

C. （一8, -1）U（-1,2]

D. [2, +8）

答案：C

解析：选A.要使加：)有意义，需1 ogl(2x+l)>0=logll, 2 2

・・.0V2x+lVl, .\-|

log；(2x+l)

D. (0, +8) 3. （2012-高考江西卷）下列函数中，与函数y=/~定义域相同的 \[x

函数为（）

A・ y=.

smx B. j-lnX

X

C. y=xex sinx

1 第二章 第二节 函数的定义域和值域

一、选择题

1．(2011·九江模拟)函数y＝(13)x2的值域是( )

A．(0，＋∞) B．(0,1)

C．(0,1] D．[1，＋∞)

解析：∵x2≥0，∴(13)x2≤1，即值域是(0,1]．

答案：C

2．函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为( )

A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)

C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

解析：由3x－1>0，得3x>1，即3x>30，∴x>0.

答案：A

3．函数y＝xx－1－lg1x的定义域为( )

A．{x|x>0} B．{x|x≥1}

C．{x|x≥1或x<0} D．{x|0

解析：由 xx－1≥01x>0得x≥1.

答案：B

4．下列函数中值域为正实数集的是( )

A．y＝－5x B．y＝(13)1－x

C．y＝ 12x－1 D．y＝1－2x

解析：∵1－x∈R，y＝(13)x的值域是正实数集，

∴y＝(13)1－x的值域是正实数集．

答案：B

5．已知函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[1,2]，则a的值为( )

A.22 B．2

2 C.2 D.13

解析：当01时，有 a0＝1a＝2，综上可知a＝2.

答案：B

6．设f(x)＝ x2， |x|≥1，x， |x|<1，g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是( )

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)

C．[0，＋∞)

D．[1，＋∞)

解析：由f(x)≥0，可得x≥0或x≤－1，且x≤－1时，f(x)≥1；x≥0时，f(x)≥0.

又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b，＋∞)型，而f(g(x))的值域为[0，＋∞)，可知g(x)≥0.

72 主 题 函数的最值与值域

教学内容

1. 掌握常见的函数的值域（最大值最小值）的求解方法。

2. 能够利用单调性，基本不等式求值域（最大值最小值）。

求223yxx 在xR 上的值域？在[2,1]x 上的值域？

例1. 求下列二次函数2231,[1,0]yxxx的最大值或最小值.

试一试：求下列二次函数223,[0,3]yxxx的最大值或最小值.

73 例2. 求下列函数的值域：

（1）31xyx ； （2）321xyx .

试一试：求下列函数的值域：

（1）351xyx ； （2）431xyx .

例3. 将上述例目改为求解31xyx在(2,3)x 上的值域呢？

试一试：求函数12xyx 在(3,2)x 上的最大值和最小值.

例4. 求()12fxxx 的值域.

试一试：求函数23134yxx=---的定义域与值域

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1. 当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．

2. 已知函数2()23fxxx在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．

3. 设函数32)(2xxxf，若)(xf在]1,[mx上的最小值为1，求实数m的值 。

4. 已知函数2557(),(,][,)322xfxxx，求函数的值域。

5. 求函数22()4422fxxaxaa在[0, 2]上的最值

１ ｍ

75

本节课主要知识点：二次函数求值域的方法，分子分母是一次式的函数求值域的方法。

【巩固练习】

1. 设函数2203fxxxax的最大值为m，最小值为n，其中0,aaR．求mn、的值（用a表示）；

2. 求函数2(),[2,1)[0,)1xfxxx的值域；

2011届高三数学复习专题

——“函数的定义域和值域”

定义域部分

知识点及方法:求函数的定义域;定义域在函数、方程、不等式中的应用

1.求函数的定义域

(1) 51log3.0xy

(2) )1,0()(log)(log222aakaxaxyaa

(3) )2lg()(xxkaxf

(4) 设函数f ( x )的定义域是 [0 , 2 ] , 求f ( x 2 )的定义域.

(5) 设函数f ( x )的定义域是 [-1 , 1 ]求函数)41()41(xfxfy 的定义域.

(6) 设函数f ( x )的定义域是[ a , b ] , b>a>0,求函数g(x) = f(x+c) +f (x—2c )的定义域.

(8) 设函数的定义域是[0,1], 求函数的定义域.

2. 增强定义域意识

在用换元法应同时注意定义域

(1) 求函数 y=sinxcosx+sinx-cosx+2 的值域.

(2) 求函数()231fxxx的值域.

(3) 若方程9(4)340xxa有解,求实数的取值范围.

(4) 若方程2(2)50xmxm的两根都大于2,求的取值范围.

在求函数值域、最值中,注意定义域

(1) 已知求222uxyx的取值范围.

(2) 已知223sin2cos2cosxyy,求22sinsinuxy的取值范围.

(3)、是方程的两个实根，求22(2)(2)的取值范围.

在解方程、不等式时应保持方程和不等式中的函数的定义域在变形中不变

(1) 解不等式22log(1)2x

(2) 求函数cos3cos()cosxxfxx的最值.

(3) 求函数222sincos1sinxxyx的值域.

此外在化简函数的表达式或讨论函数性质时应注意函数的定义域。

值域部分

知识点及方法： 二次函数法；换元法；配方法；判别式法；函数单调性法；反函数法；数形结合法；均值不等式法；用导数知识等