高考数学一轮复习 2.5 函数的值域与最值 理 课件

§2.5 二次函数与幂函数 考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 知识梳理

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；

④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图象和性质

函数 y＝ax2＋bx＋c

(a>0) y＝ax2＋bx＋c

(a<0)

图象

(抛物线)

定义域

R

值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a

对称轴 x＝－b2a

顶点

坐标 －b2a，4ac－b24a

奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性 在－∞，－b2a上单调递减；

在－b2a，＋∞上单调递增 在－∞，－b2a上单调递增；

在－b2a，＋∞上单调递减

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝1212x是幂函数．( × )

(2)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．( × )

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.( √ )

(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × )

72 主 题 函数的最值与值域

教学内容

1. 掌握常见的函数的值域（最大值最小值）的求解方法。

2. 能够利用单调性，基本不等式求值域（最大值最小值）。

求223yxx 在xR 上的值域？在[2,1]x 上的值域？

例1. 求下列二次函数2231,[1,0]yxxx的最大值或最小值.

试一试：求下列二次函数223,[0,3]yxxx的最大值或最小值.

73 例2. 求下列函数的值域：

（1）31xyx ； （2）321xyx .

试一试：求下列函数的值域：

（1）351xyx ； （2）431xyx .

例3. 将上述例目改为求解31xyx在(2,3)x 上的值域呢？

试一试：求函数12xyx 在(3,2)x 上的最大值和最小值.

例4. 求()12fxxx 的值域.

试一试：求函数23134yxx=---的定义域与值域

74

1. 当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．

2. 已知函数2()23fxxx在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．

3. 设函数32)(2xxxf，若)(xf在]1,[mx上的最小值为1，求实数m的值 。

4. 已知函数2557(),(,][,)322xfxxx，求函数的值域。

5. 求函数22()4422fxxaxaa在[0, 2]上的最值

１ ｍ

75

本节课主要知识点：二次函数求值域的方法，分子分母是一次式的函数求值域的方法。

【巩固练习】

1. 设函数2203fxxxax的最大值为m，最小值为n，其中0,aaR．求mn、的值（用a表示）；

2. 求函数2(),[2,1)[0,)1xfxxx的值域；

2011届高三数学复习专题

——“函数的定义域和值域”

定义域部分

知识点及方法:求函数的定义域;定义域在函数、方程、不等式中的应用

1.求函数的定义域

(1) 51log3.0xy

(2) )1,0()(log)(log222aakaxaxyaa

(3) )2lg()(xxkaxf

(4) 设函数f ( x )的定义域是 [0 , 2 ] , 求f ( x 2 )的定义域.

(5) 设函数f ( x )的定义域是 [-1 , 1 ]求函数)41()41(xfxfy 的定义域.

(6) 设函数f ( x )的定义域是[ a , b ] , b>a>0,求函数g(x) = f(x+c) +f (x—2c )的定义域.

(8) 设函数的定义域是[0,1], 求函数的定义域.

2. 增强定义域意识

在用换元法应同时注意定义域

(1) 求函数 y=sinxcosx+sinx-cosx+2 的值域.

(2) 求函数()231fxxx的值域.

(3) 若方程9(4)340xxa有解,求实数的取值范围.

(4) 若方程2(2)50xmxm的两根都大于2,求的取值范围.

在求函数值域、最值中,注意定义域

(1) 已知求222uxyx的取值范围.

(2) 已知223sin2cos2cosxyy,求22sinsinuxy的取值范围.

(3)、是方程的两个实根，求22(2)(2)的取值范围.

在解方程、不等式时应保持方程和不等式中的函数的定义域在变形中不变

(1) 解不等式22log(1)2x

(2) 求函数cos3cos()cosxxfxx的最值.

(3) 求函数222sincos1sinxxyx的值域.

此外在化简函数的表达式或讨论函数性质时应注意函数的定义域。

值域部分

知识点及方法： 二次函数法；换元法；配方法；判别式法；函数单调性法；反函数法；数形结合法；均值不等式法；用导数知识等

指数函数

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)nan＝(na)n＝a.( )

(2)分数指数幂mna可以理解为mn个a相乘．( )

(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )

(4)函数y＝a－x是R上的增函数．( )

(5)函数21xya(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )

(6)函数y＝2x－1是指数函数．( )

无

题型一 指数幂的运算

例1 化简下列各式：

(1)[(0.06415)－2.5]23－ 3338－π0；

(2)a43－8a13b4b23＋23ab＋a23÷(a23－23ba)×a·3a25a·3a.

化简(14)12·4ab－130.1－1·a3·b－312＝________.

题型二 指数函数的图象及应用

例2 (1)已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0

(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )

A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0

C．2－a<2c D．2a＋2c<2

(1)已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象可能是( )

(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

题型三 指数函数的性质及应用

命题点1 指数函数单调性的应用

例3 (1)下列各式比较大小正确的是( )

A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62

C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1 (2)设函数f(x)＝ 12x－7，x<0，x，x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．

命题点2 复合函数的单调性

例4 (1)已知函数f(x)＝22xm(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．