高中数学高考第2节 函数的单调性与最值 课件

江苏书人教育培训中心2013年暑假 新高一数学第16讲函数的性质

第1页 共4页 新高一数学第16讲 函数的单调性

一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；

第二节 函数的单调性与最值

[考纲传真] (教师用书独具)1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．

(对应学生用书第10页)

[基础知识填充]

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

定

义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A

当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的

图

像

描

述

自左向右看图像是上升的

自左向右看图像是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．

2．函数的最值

前提 函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意的x∈D，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈D，都有f(x)≥M；

(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M

结论 M为函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0) M为函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)

[知识拓展] 函数单调性的常用结论

(1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，fx1－fx2x1－x2＞0⇔f(x)在D上是增函数，fx1－fx2x1－x2＜0⇔f(x)在D上是减函数，即Δx与Δy同号增，异号减．

(2)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(3)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

(5)f(x)＝x＋ax(a＞0)的单调性，如图2­2­1可知，(0，a]减，[a，＋∞)增，[－a，0)减，(－∞，－a]增．

1 【状元之路】2017届高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.2

函数的单调性与最值模拟试题

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1．[2016·阜阳模拟]给定函数①y＝x 12 ，②y＝log12 (x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1。其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

解析：①y＝x 12 在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y＝log12 (x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③。

答案：B

2．[2016·福州模拟]函数f(x)＝ －x＋3a，x＜0，ax，x≥0(a＞0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )

A．(0,1) B.13，1

C.0，13 D.0，23

解析：当x＜0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数；当x≥0时，若函数f(x)＝ax是减函数，则0＜a＜1。要使函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，需满足0＋3a≥a0，解得a≥13，故有 0＜a＜1，a≥13，即13≤a＜1。

答案：B

3．[2015·湖北]已知符号函数sgnx＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0。f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则( )

A．sgn[g(x)]＝sgnx

B．sgn[g(x)]＝－sgnx

C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] 2 D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]

解析：因为f(x)是R上的增函数，又a＞1，所以当x＞0时，f(x)＜f(ax)，即g(x)＜0；当x＝0时，f(x)＝f(ax)，即g(x)＝0；当x＜0时，f(x)＞f(ax)，即g(x)＞0。由符号函数sgnx＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0知sgn[g(x)]＝ －1，x＞0，0，x＝0，1，x＜0＝－sgnx。

用心 爱心 专心 函数的单调性（一）

【教学目标】

1．理解函数单调性的概念，会利用函数图象写出单调区间．

2．能运用定义对函数单调性进行证明，培养学生的推理论证能力．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 函数单调性概念的理解．

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

如图为上海市2008年元旦这一天24小时内

的气温变化图，观察这张气温变化图：

问题1 随着时间的推移，气温如何变化？

问题2 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而不断增大？

〖设计意图〗从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的生成，也揭示了单调性最本质的东西．

二、直观抽象，形成概念

当自变量变大时，函数值变大还是变小，是函数的重要性质，我们同学在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务就是建立函数单调性的严格定义.

1． 借助图象，直观感知

①

观察第一组函数图象，当自变量 x 增大时，函数值 y 的变化趋势如何？

从左至右图象呈__上升__趋势

②

观察第二组函数图象，当自变量 x 增大时，函数值 y 的变化趋势如何？

从左至右图象呈__下降__趋势

③ 观察第三组函数图象，当自变量 x 增大时，函数值 y 的变化趋势如何？

xyxyy=x+1xyOOO111111y=-x+1xyxyxyOOO111111用心 爱心 专心 1x2x)(1xf)(2xf)(xf图3yx1x2x)(1xf)(2xf)(xf图4yx

从左至右图象呈_局部上升或下降_趋势

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，引导学生进行分类描述函数的单调性 (增函数、减函数)．

2． 抽象思维，形成概念

问题3.如何用数学语言来准确地表述当自变量 x 增大时，函数值 y 也增大？

引出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．