福建省福建师范大学附属第二中学高三数学上学期期中试题 理

1 福建师大二附中2016—2017学年第一学期高三年期中考

数 学 试 卷

（满分：150分，完卷时间：120分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列函数中，值域为(0,)的函数是

A．()2xfx B．()fxx C．()lgfxx D．2()fxx

2．已知集合}1)2lg(|{xxA，集合}8221|{xxB，则ABI等于

A．(2,12) B．(2,3) C．(1,3) D．(1,12)

3．“1a”是“关于x的方程220xxa有实数根”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是( )

A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)

C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)

5.已知]3,21[12)(2在xxxxf的最小值为（ ）

A．21 B．34 C．-1 D．0

6．已知yx,满足221,1,0,xyxyy则zxy的取值范围是

A．2,1 B．1,1 C．2,2 D．1,2

7．已知数列{xn}满足xn＋3＝xn，xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，则数列{xn}的前2 014项的和S2 014为( )

A．669 B．671

C．1 338 D．1 343

8．若直线10(0,0)axbyab过曲线1sin02yxx的对称中心，则12ab的最小值为 2 A．2+1 B．42 C．3+22 D．6

9．已知)(xf是定义在R上的奇函数，且在),0[单调递增，若(lg)0fx，则x的取值范围是

A．(0,1) B．(1,10) C．(1,) D．(10,)

10．若曲线1,1,1,11xexyxx与直线1kxy有两个不同的交点，则实数k的取值范围是

A．)223,223( B．(0,322) C．)223,0()0,( D．)223,(

11．在数列{}na中，112a，且55nnaa，11nnaa，若数列{}nb满足1nnban，则数列{}nb是

A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列

12． 已知函数的定义域为)(xf),2[，且1)2()4(ff，)()(xfxf为的导函数，函数)(xfy的图象如图所示. （ ）

则平面区域1)2(00bafba所围成的面积是

A．2 B．4 C．5 D．8

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．

13．曲线21yx与直线0,1xx及x轴所围成的图形的面积是 ．

14．在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.

15．对于数列nc，如果存在各项均为正整数的等差数列na和各项均为正整数的等比数列nb，使得nnncab，则称数列nc为“DQ数列”．已知数列ne是“DQ数列”，其前5项分别是：3,6,11,20,37，则ne ．

16．设()gx是函数()gx的导函数，且()()fxgx．现给出以下四个命题：

①若()fx是奇函数，则()gx必是偶函数； ②若()fx是偶函数，则()gx必是奇函数；

③若()fx是周期函数，则()gx必是周期函数；④若()fx是单调函数，则()gx必是单调函数． x y

o -2

3 其中正确的命题是

．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)

已知函数23sincoscos222xxxfxm的图象过点（56，0）.

（I）求实数m的值以及函数fx的单调递增区间；

（II）设yfx的图象与x轴、y轴及直线xt（203t）所围成的曲边四边形面积为S，求S关于t的函数St的解析式.

18. (本小题满分12分)

已知等比数列na的前n项和为nS，432aa，26S。

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）若数列nb满足：2lognnnbaa，求数列nb的前n项和nT．

19．(本小题满分12分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2A＋B2＋cos2C＝1.

(1)求角C的大小；

(2)若向量m＝(3a，b)，向量n＝(a，－b3)，m⊥n，(m＋n)·(m－n)＝16，求a，b，c的值．

20. (本小题满分12分)

已知数列na的前n项和为nS，且22nnSa.

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）若数列1nna的前n项和为nT，求证：1nT．

21．(本小题满分12分)

为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：35kCxx(010x，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求k的值及fx的表达式； 4 （2）隔热层修建多厚时，总费用fx达到最小？并求最小值．

22．(本小题满分14分)

已知函数1()ln(1)fxxax,aR.

(Ⅰ)求xf的单调区间；

(Ⅱ)若()fx的最小值为0，回答下列问题：

（ⅰ）求实数a的值；

（ⅱ）已知数列na满足11a,1()2nnafa，记[x]表示不大于x的最大整数，求12[][][]nnSaaaL，求nS.

5 参考答案

1．A； 2．B； 3．A； 4．A；5．D；6．A；7．D；8．C；9．A；10．C．11。C 12。B

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．

13．4/3； 14．12

－16

； 15．2nn

； 16．①．

17．本小题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．

解法一：（I）23sincoscos222xxxfxm311sincos222xxm

1sin62xm． ……………………3分

因为fx的图象过点（56，0），所以51sin0662m，解得12m. ………5分

所以sin6fxx，由22262kxk，得22233kxk，kZ.

故fx的单调递增区间是22,233kk，kZ. ……………7分

（Ⅱ）由（I）得，31sincos22fxxx.

所以031sincos22tSxxdx ……………9分

031cosxsin22tx3131costsintcos0sin022223sin32t． ……………12分

所以3sin32Stt（203t）. ……………13分

解法二：

(Ⅰ)因为函数fx的图象过点（56，0），所以506f. 6 又255553sincoscos6121212fm35151sincos26262m

33114422mm. ………………3分

所以102m，解得12m. ………………5分

以下同解法一.

（II）由（I）得sin6fxx.

所以0sin6tSxdx ……………9分

0cos6tx3cos62t. ………………12分

所以3cos62Stt（203t）. ………………13分

18．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．满分12分．

解：（Ⅰ）设等比数列na的公比为q，

由4322,6,aaS 得3211112,6,aqaqaaq ……………………………………………………2分

解得12,2,qa …………………………………………………………………………………………………4分

所以112nnnaaq．……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）2lognnnbaa22log2nn2nn，…………………………………………8分

所以1221222nnTnL

1222212nnLL………………………………………………9分

2121122nnn 7 11222nnn．………………………………………………………………………12分

19.解

(1)∵2sin2A＋B2＋cos2C＝1，

∴cos2C＝1－2sin2A＋B2＝cos(A＋B)＝－cosC，

∴2cos2C＋cosC－1＝0，

∴cosC＝12或cosC＝－1，

∵C∈(0，π)，∴C＝π3.

(2)∵m⊥n，∴3a2－b23＝0，即b2＝9a2.①