福建省晋江市高二数学上学期期中试题 理

- 1 - 第4题 C

B D

A

C1

B1 A1 D1 M 2017年秋高二年期中考试数学（理）科试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

一,选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）

1.命题：“0xR，020x”的否定是（ ）

A．0xR，020x B．不存在0xR，020x

C．xR，20x D． xR，20x

2.抛物线22xy的焦点坐标是( )

A.)0,1( B. )0,21( C. )81,0(

D. )41,0(

3.双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线为xy2，则该双曲线的离心率为( )

A．3 B．2 C．5 D．6

4.如图，在平行六面体1111DCBAABCD中,点M为AC与BD的交点， 若aBA11，,,111cAAbDA则下列向量中与MB1相等的是（ ）

A．cba2121 B．cba2121 C．cba2121 D．cba2121

5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，

命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的 ( )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD - 2 - =60º，且A1A=3，则A1C的长为（ ）

A．5 B．22 C．14 D．17

8．空间四边形OABC中，OA=6,AB=4,AC=3,BC=6，∠OAC＝∠OAB＝π3，则cos〈OA→，BC→〉等于( )

A. 21 B. 22 C．121 D．61

9.已知椭圆)20(14222bbyx的左，右焦点分别为21,FF，过1F的直线交椭圆于BA,两点，若22AFBF的最大值为5，则b的值是( )

A. 1 B.2 C.23 D.3

10.已知命题:p 椭圆2241xy上存在点M到直线:2620lxy的距离为1，命题:q椭圆2222754xy与双曲线22916144xy有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）

A． pq B．pq C. pq D．pq

11. 如图，过抛物线xy42焦点的直线依次交抛物线和圆1)1(22yx于A、B、C、D四点，则|AB|·|CD|＝( )

A．4 B．2 C．1 D.12

12.已知A,B,P是双曲线12222byax上的不同三点，且AB连线经过原点，若直线PA，PB的斜率乘积32•PBPAKK，则该双曲线的离心率为（ ）

A.315 B.25 C. 210 D.2

二、填空题（每小题5分，共25分）

13. 若双曲线22116yxm的离心率e=2，则m= 。

14、已知命题P：任意“2,1x，02ax”，命题q：“存在011,2xaxRx”若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是 。 - 3 - 15.已知点A是抛物线pxy22 (p＞0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，△FBC为正三角形，且△ABC的面积是1283，则抛物线的方程为 。

16.已知椭圆1:C2222111xyab与双曲线2C:2222221xyab有公共的焦点12,FF，且在第一象限交点为P，且124cos=5FPF．若1C与2C的离心率分别为1e、2e，则1211ee的最大值为 。

三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分，写出必要的解题过程）

17.（本小题满分10分）

设命题p：方程221122xymm表示双曲线；命题q：022,0200mmxxRx

（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围．

（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围．

（3）求使“qp”为假命题的实数m的取值范围．

18.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点(0，4)，离心率为35.

(1)求C的方程；

(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标.

19、在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；

- 4 - （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；

（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．

20.如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，060ABC，,EF分别是,BCPC的中点．

（Ⅰ）证明：AEPD；

（Ⅱ）若2,2ABPA，求二面角EAFC的余弦值．

21.在圆224xy上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段DP上，且2DPDM，点P在圆上运动。

(1)求点M的轨迹方程；

(2)过定点1,0C的直线与点M的轨迹交于,AB两点，在x轴上是否存在点N，使NANBuuuvuuuv为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

- 5 -

22．如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围． - 6 - 季延中学2017年秋高二年期中考试数学（理）参考答案

一： CCCDB AACDB CA

二：13, 48 14，1, 15,

y2＝16x 16,

103

三：

17.解（1）∵方程221122xymm表示双曲线，

∴(12)(2)0mm，即2m或12m。 …………4分

（2）2m或1m…………7分

（3）要使“qp”为假命题，则p，q都是假命题，

∴12212mm 得212m

m的取值范围为]21,2( …………10分

18.解 (1)将(0，4)代入C的方程得16b2＝1，∴b＝4.

又由e＝ca＝35，得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，

∴a＝5，∴C的方程为x225＋y216＝1. …………5分

(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3). …………6分

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋（x－3）225＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝3－412，x2＝3＋412. …………9分

设线段AB的中点坐标为(x′，y′)，则x′＝x1＋x22＝32，y′＝y1＋y22＝25(x1＋x2－6)＝－65，

即中点坐标为32，－65. …………12分

19. 【答案】（I）（II）

解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，………1分

则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0）， - 7 - ∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），

∴cos＜，＞==………………5分

∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为………………6分

（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），

设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），

则可得1nAC0nAD0ruuuurruuur，即，取x=1可得=（1，﹣1，），……………9分

设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=…………11分

∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：…………12分

20. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）155．

试题解析：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，060ABC，可得ABC为正三角形，

因为E为BC的中点，所以AEBC，又//BCAD，因此AEAD，

因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE，

而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADAI，

所以AE平面PAD，又PD平面PAD，所以AEPD．………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,AEADAP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，…………6分

又,EF分别为,BCPC的中点， - 8 - 所以31(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(3,0,0),(,,1)22ABCDPEF，

所以31(3,0,0),(,,1)22AEAFuuuvuuuv．…………7分

设平面AEF的一法向量为111(,,)mxyz，则00mAEmAFuuuvuuuv，因此11113031022xxyz．

取11z，则(0,2,1)m，…………9分

因为,,BDACBDPAPAACAI，所以BD平面AFC，

故BDuuuv为平面AFC的一法向量，又(3,3,0)BDuuuv，…………10分

所以

2315cos,5512mBDmBDmBDuuuvuuuvuuuv，…………11分

因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为155…………12分

21.试题解析：(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝x，y0＝y.

∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4.

∴x2＋2y2＝4，即＋＝1.

点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．…………4分

(2)假设存在．当直线AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，

联立方程组

整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝.…………6分

∴·＝(x1－n，y1)·(x2－n，y2)