七年级上册数学一元一次方程解决实际问题

第三章 第7课 一元一次方程与实际问题(1)(和差倍分问题)-七年级上册初一数学（人教版）

一、引言

在初一数学的学习中，我们已经学习了一些基础的数学知识，比如整数、分数、小数等等。本课将进一步引导我们应用这些知识解决实际生活中的问题。具体而言，我们将学习一元一次方程与实际问题的关系，并通过解决一些和差倍分问题来巩固所学内容。本文将详细介绍一元一次方程的概念以及如何应用它解决实际问题。

二、一元一次方程的概念

1. 一元一次方程的定义

一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程。它的一般形式为：𝑎𝑥+𝑏=0，其中𝑎和𝑏是已知数，𝑥是未知数。

2. 解一元一次方程的方法

解一元一次方程的基本思想是将方程中的未知数移到一边，把已知数移到另一边，使得方程两边相等。这样，我们就可以通过计算找到未知数的值，进而解决问题。

常用的解一元一次方程的方法有两种：加减法消元法和代入法。下面将分别介绍这两种方法的步骤。

2.1 加减法消元法

加减法消元法的步骤如下：

• 将方程中含有未知数的项移到等号的一边，将已知数的项移到等号的另一边，使方程变为等式；

• 对等式进行化简，将未知数的项和已知数的项相加或相减，使得方程只剩下未知数的项； • 进一步化简方程，得出未知数的值。

2.2 代入法

代入法的步骤如下：

• 引入一个新的未知数，代表另一个已知数，通过这个新的未知数和已知数之间的关系，构建一个新的一个一元一次方程；

• 解这个新的一元一次方程，得到新的未知数的值；

• 将新的未知数的值代回原方程，解出未知数的值。

三、实际问题与一元一次方程的应用

现在我们将通过一些实际问题的例子来演示如何应用一元一次方程解决实际问题。

例题1：甲、乙、丙三人合作完成一项工作，甲一天能完成$\\frac{1}{5}$，乙一天能完成$\\frac{1}{3}$，丙一天能完成$\\frac{1}{10}$。问甲、乙、丙三人一起工作，需要多少天能完成这项工作？

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《一元一次方程的实际应用》解决问题专项练习（含答案）

1. 某两市之间，可乘坐普通列车或高铁（路线不同），已知高铁的行驶路程与普通列车的行驶路程之和是920千米，而普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．求普通列车的行驶路程．

2．一名极限运动员在静水中划船的速度为每小时12千米，今往返于某河，逆流时用了10小时，顺流时用了6小时，求水流速度．

3. 某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店按8折购物（有效期为一年），问在一年内累计消费多少元时，买卡与不买卡花费一样多的钱？什么情况下买卡合算？

2 / 6 4．某校115名团员积极参与募捐活动，有一部分团员每人捐30元，其余团员每人捐10元．如果捐款总数为2750元，那么捐30元的团员有多少人？

5. 为有效开展阳光体育活动，某中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？

6．某下水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成．如果两队从两端同时施工2天，然后由乙队单独施工，还需多少天完成剩下的部分？

3 / 6 7. 学校在植树活动中种了杨树和杉树两类树种，已知种植杨树的棵数比总数的一半多56棵，杉树的棵数比总数的13少14棵．问：两类树各种了多少棵？

8．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子．如果用完全部的铁皮，那么用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底才能使加工出的盒身与盒底配套？

4 / 6 9.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘．问有多少个人，多少辆车？

七年级上册微型课24实际问题与一元一次方程（2）

一、内容和内容解析

1．内容

利用一元一次方程分析与解决“销售中的盈亏”问题；利用一元一次方程分析和解决“球赛积分表”问题．

2．内容解析

“销售中的盈亏”问题是实际生活中的常见问题，也是可借助方程模型解决的典型问题，并具有一定的代表性，后续学习的“增长率问题”“溶液配比问题”等问题均与其具有类似的数量特征，对“销售中的盈亏”问题的探究可以增强学生对同类问题的认识和解决能力．

这类问题的背景和表达都更贴近实际，其中的有些数量关系也比较隐蔽．对这一问题的探究可以使学生进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．

在“销售中的盈亏”的探究中，解决问题的关键有以下两点：

(1)理解和生活紧密相关的“成本”“售价”“盈利”“亏损”“利润率”等相关概念．

(2)“利润率”“亏损率”都是比值，要找准这一比值所对应的参照量．

同时，在关注问题解决之外，还要特别关注探究解决问题的过程，如利用方程比较估算与精确计算、利用方程进行推理等，这些是培养学生探究能力和解决综合性数学问题能力的重要途径．

“球赛积分表”问题是实际生活中的常见问题，也具有一定的代表性，这一问题的特点是“以表格的形式呈现题目情境及数字信息”．生活中的数量关系经常会有不同的表达形式，常见的有代数关系式、图形、表格等，借助表格表示数量关系是其中比较简洁的一种，但同时表格中所包含的数量关系也更隐蔽．

由于表格信息在生活中的广泛应用，所以对表格信息的解读能力是学生应用能力的重要组成，解读本课的表格信息要关注以下两点：

(1)理解表格的结构特征和“胜场”“负场”“积分”等概念的实际意义；

(2)结合实际意义将表格中的数字信息转化为数量关系． 同时，在“球赛积分表”问题中的另一个探究点是利用方程进行推理、判断、检验．问题的第2问需判断“某队的胜场总积分能否等于它的负场总积分”．解决这一问题是通过建立方程模型，用“方程是否存在整数解”来解释“积分能否相等”问题，这种方法是解决存在性问题的常用模型之一．

一元一次方程应用题专题讲解

一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）

（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．

（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．

（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．

（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．

（5）答——检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）

二、各类题型解法分析

一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，方案设计与成本分析 ，古典数学，浓度问题等。

（一）和、差、倍、分问题——读题分析法

这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套„„”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

1.倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率„„”来体现。

2.多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余„„”来体现。

增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量

例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？

例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

（二）等积变形问题

等积变形是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．